e p, u xi L x, xi pi 0 （一阶条件） 0 x i 0
0
u x
e p, u u
L x, u
性质六的证明
e p, u 在价格 p 上为凹函数
固定效用为 u ，取价格 p, p, p ，p p 1 p ，设 在价格为 p时最优解为 x ，支出函数为
求支出函数。
对偶问题
效用最大化： max u x x 支出最小化： min px x
s.t. u x u x* x h p , u
s.t. px y x* x p , y
当 y e p, u 、 u v p, y 时，效用最大化问题的解和支出最小化问题的解相同，即：
本讲涉及到的数学知识之一: 包络定理 三、包络定理的图形描述
M (a) g ( x(a), a)
a
a
第一节
间接效用函数
一、间接效用函数的定义
二、间接效用函数的性质 三、间接效用函数的应用
一、间接效用函数的定义
①
x2
收入变化
x2 x2
x1
x1
x1
②
价格变化
x2
x2
x1
x1
ＰＳ：关于吉芬商品
① ②
③
吉芬商品是由英国人Robert Giffen发现的，地 点在爱尔兰，时间19世纪中叶。 吉芬商品的存在一般得具备两个条件：一是很 少相近的替代品；二是其开支占收入的比例很 大。 一般来说，劣质商品对财富水平比较低的家庭 来说很可能是吉芬品。即土豆价格下降时，家 庭实际上更富有了，就愿意购买其它更为合意 的商品，从而减少对土豆的消费。
