云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第四次月考数学(理)试题含答案

2023届高二上第二次月考数学参考答案一 选择题17．（1）3A π=（2）2b c ==解析：（1）由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=.由于sin 0C ≠，cos 10A A --=，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=. ……………………………5分（2）由题得ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =①.而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==. ……………………………10分 18．（1）0.0044，175 （2）234 （3）35解析：（1）解：()0.00120.00240.00360.00600.0024501x +++++⨯=，解得 0.0044x =，居民月用电量的众数为1502001752+=； ………………………4分（2）在[)50,200内的居民数为()0.00240.00360.00605010060++⨯⨯=，第一档用电标准的度数在[)200,250内，设第一档用电标准的度数为m ，则()2000.004410015m -⨯⨯=，解得234m ≈； ……………………………8分（3）在[)50,100内的居民数为：0.00245010012⨯⨯=，在[)100,150内的居民数为0.00365010018⨯⨯=， 从两组中抽取5户居民作为节能代表，则从[)50,100抽取125230⨯=户，记为A ，B ，从[)100,150 抽取185330⨯=户，记为a ，b ，c ， 从中随机选取2户的基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10种，其中这2户来自不同组的有：Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共6种， 所以这2户来自不同组的概率为63105p ==. ……………………………12分 19. （1）如图，取PD 中点F ，连接EF ，F C ﹒∵E 是AP 中点，∴EF ∥AD ，且EF=12AD由题知BC ∥AD ，且BC=12AD∴BC ∥EF ，且BC=EF∴BCFE 是平行四边形，∴BE ∥CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ， ∴BE ∥平面PCD ； ……………………………6分 （2）取AD 中点为O ，连接OP ，OB ，∵PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∴OP ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴OP ⊥平面ABCD ，∵OB ⊂平面ABCD ，∴OP ⊥OB ，由BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2BC 知OB ⊥OD ，∴OP 、OB 、OD 两两垂直，故以O 为原点，OB 、OD 、OP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图：设|BC |＝1，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，E 11(0,)22-，，P (0,01)，， 则()()11311,,010********BE DE BP DP ⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪====⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，， 设平面BED 的法向量为()111m x y z ＝，，，平面PBD 的法向量为()222n x y z ＝，， 则1110130m BE x y z m DE ⎧⋅⎪⇒⎨⋅⎪⎩＝＝＝＝，取()113m ＝，，，22200n BP x y z n DP ⎧⋅⎪⇒⎨⋅⎪⎩＝＝＝＝，取()111n ＝，，．设二面角P BD E --的大小为θ，则cos θ＝1111m n m n ⋅⋅⋅＋＋＝﹒ ……………12分 20. 解析：（1）当1n =时，112;a S ==当2n ≥时，11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=；显然2n n a =在1n =时同样成立，综上：2nn a =22log 2n n n b a log n === ……………………………6分 （2）易知数列{}n b 为等差数列，(1)2n n n T +=，2112(1)1n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，11111111212122233411n R n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 得证.……12分21．（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x ，可得()()22222212()()21212121221x xx x x x xxx x x x x a a a a a a f x f x --------⋅-+--+=+=+=+++++()(1)211021x xa a -+==-=+，解得1a =；()f x 在R 上是递减函数．………………………5分 （2）()()33920x x x f t f ⋅+-->，()()3392x x x f t f ∴⋅>---，因为()f x 是R 上的奇函数，()()3392x x xf t f ∴⋅>-++，()f x 是R 上的递减函数，3392x x x t ∴⋅<-++，39221333x x xx xt -++∴<=-++对任意的0x ≥恒成立，设3x m =，且2()1g m m m=+-，即min ()t g m <． 0x ≥，31x m ∴=≥，22()121221g m m m m m∴=+-≥⋅-=-， （当且仅当2m m=即2m =时等号成立）， 221t ∴<-．所以实数t 的取值为(),221-∞- ……………………………12分22．（1）因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为23，离心率为12，所以有223b =且12c a =，而222a b c =+，解得224,3a b ==， 因此椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； ……………………………4分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意可知12,2x x ≠±，设椭圆左顶点的坐标为：(2,0)E -，因为以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，所以有12120(2)(2)()()0AE BE AE BE AE BE x x y y ⊥⇒⊥⇒⋅=⇒----+--=，即：12121242()0(*)x x x x y y ++++=直线:I y kx m =+与椭圆C 的方程联立，得：2222221212228412(34)84120,,3434143y kx mkm m k x kmx m x x x x x y k k =+⎧--⎪⇒+++-=⇒+==⎨+++=⎪⎩因此2222121212122312()()()34m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，因此由(*)可得：2222221641231240343434km m m k k k k ---++=+++，化简得：22241670(2)(27)02,7k km m k m k m m k m k -+=⇒--=⇒==或当2m k =时，直线方程为2(2)y kx m y kx k y k x =+⇒=+⇒=+ 该直线恒过定点(2,0)-，这与已知矛盾，故舍去； 当27m k =时，直线l 方程为22()77y kx m y kx k y k x =+⇒=+⇒=+ 该直线恒过定点2(,0)7-，综上所述：直线l 过定点2(,0)7-. ……………………………12分。

弥勒一中高二年级文数月考3一、选择题1. 设集合A ={0，1，2，4}，{14}B x Rx =∈<≤∣，则A ∩B =（ ） A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {2，4} D. B ={x |1<x ≤4} 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用交集的定义运算即得解. 【详解】由题得{}{}0,1,2,4{14}24A B x x =<=∣,.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2. 若复数z=的共轭复数是=a+bi （a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则点（a ，b ）为（ ）A. （﹣1.2）B. （﹣2，1）C. （1，﹣2）D. （2，﹣1）【答案】B 【解析】试题分析：利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 解：复数z===﹣2﹣i ，∴=﹣2+i ，点（a ，b ）为（﹣2，1）．故选B ．考点：复数的代数表示法及其几何意义． 3. 若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于（ ） A.125B. －125C. 512D. －512【答案】D 【解析】试题分析：∵x为第四象限的角，5sin 13x ∴==-，于是5513tan 121213x -==-，故选D ．考点：商数关系．4. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.13B.12C.23D.34【答案】A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A 5. 已知函数()1020x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩，，，若()1f a =-，则实数a 的值为（ ）A. 2B. ±1C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，分0a ≤和0a >讨论求解.【详解】当0a 时，11a e --=-，解得1a =，舍去； 当0a >时，21a -=-，解得1a =, 综上：实数a 的值为1. 故选：C【点睛】本题主要考查分段函数的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.6. “01m ≤≤”是“函数()cos 1f x x m =+-有零点”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：()0cos 1f x x m =⇒=-，由01m ≤≤，得011m ≤-≤，且1cos 1x -≤≤，所以函数()cos 1f x x m =+-有零点．反之，函数()cos 1f x x m =+-有零点，只需|1|1m -≤⇒02m ≤≤，故选A ．考点：充分必要条件．7. 将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率=新工件的体积原工件的体积〕（ ）A.78B.67C.56D.45【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为56，故选C ．考点：三视图．8. 已知m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则抛物线2mx ny =的焦点坐标是（ ）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得m 和n 的值，从而得到抛物线的方程，即得到焦点坐标. 【详解】已知m ，n ，m ＋n 成等差数列得2n =m +m +n ， m ，n ，mn 成等比数列得2·n m mn =，解得m =2，n =4， 故抛物线为22x y =，其焦点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的基本概念与性质、等比数列的基本概念与性质和抛物线的简单几何性质，属于基础题.9. 在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点，则·AE AF =( )A.89B.109C.259D.269【答案】B 【解析】试题分析：因为AB AC AB AC +=-，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=-，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++=,故选B ． 10. 等比数列{}n a 中，1824a a ==，，函数()()()()128f x x x a x a x a =---，则()0f '=（ ）A. 62B. 92C. 122D. 152 【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 可得()f x '的表达式，可得()0f '的表达式，利用等比数列的性质可得答案. 【详解】解：由题意，记()()()()128g x x a x a x a =---，则()()()()()f x xg x f x g x xg x ==+''，，故()()()41212818002f g a a a a a '====.故选：C .【分析】本题主要考查等比数列的性质，函数导数的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力.11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥ PB 于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ ）A.2B.22C.3 D.33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF 、PEF均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEFSAE EF AE EF AF =⨯≤+==，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF 的面积最大，此时122tan 222EF BPC PF ∠===，故选B ． 考点：基本不等式、三角形面积． 12. 设2222222211111111111112233420202021S =+++++++++[S]表示不大于S 的最大整数(例如：[2.34]=2，[-π]=-4)则[S]等于（ ） A. 2019 B. 2020C. 2021D. 2022【答案】B 【解析】 【分析】()2221111111(1)11n n n n n n n n ++⎛⎫++==+- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求解.【详解】因()()()22222222211111111(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫++===+- ⎪++++⎝⎭， 所以111111111120211223202020212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以[]2020S =. 故选：B【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13. 如图，这是一个把k 进制数a （共有n 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则输出的b ＝ ．【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 考点：程序框图．14. 设实数x，y满足2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则u＝y xx y-的取值范围是________．【答案】[－83，32]【解析】【详解】试题分析：令ytx=，作出可行域，可知t可视为(),x y，()0,0连线的斜率，1,23t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且1u tt=-为关于t的增函数，所以83,32u⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.考点：1.线性规划；2.函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值域.15. 若函数()3211232f x x x ax=-++在23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上存在单调递增区间，则a的取值范围是_________.【答案】19⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，【解析】【分析】先对函数求导，将问题转化为存在23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，使()0f x '>成立，只需使()max 0f x '>即可；进而可求出结果.【详解】由()3211232f x x x ax =-++得()22112224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭， 为使函数()3211232f x x x ax =-++在23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上存在单调递增区间， 只需存在23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，使()0f x '>成立， 即只需()max 0f x '>即可；当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '显然单调递减， 所以()f x '的最大值为()max 22239f x f a ⎛⎫'==+⎪⎝'⎭， 由222039f a ⎛⎫=+> ⎪'⎝⎭，解得19a >-， 所以a 的取值范围是19⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 故答案为：19⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数存在增区间求参数，根据导数的方法求解即可，属于常考题型.16. 设椭圆2222 x y E :1(a b 0)a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为,F B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是______． 【答案】13【解析】试题分析：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC 的中位线，于是OFM AFB ∽，且12OFFA =，即1123c c a c a =⇒=-．考点：椭圆的离心率．三、解答题17. 已知数列{}n a 的首项11a =，()*142nn n a a n N a +=∈+，（1）证明：数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列：（2）设1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）1122n n-+. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，得到11211442n n n n a a a a ++==+，推出111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可证明数列是等比数列； （2）先由（1）求出11122n n a =+，即1122n n b =+，再由分组求和的方法，即可求出数列的和.【详解】（1）证明：142n n n a a a +=+，12111442n n n na a a a ++∴==+，111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又11a =，111122a ∴-=，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公比的等比数列；（2）由（1）知1111112222n n n a -⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭， 11122n n a =+，11122n n n b a ∴==+ 所以231111111122222222n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111112211222222212n n n n nn ⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=++++=-=-+ ⎪⎝⎭-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查求数列的和，熟记等比数列的概念，等比数列的通项公式与求和公式，以及分组求和的方法即可，属于常考题型. 18. 某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度(支持或反对)，进行了如下的调查研究.全年级共有1350人，男女比例为8∶7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有3名男生被抽到，其中1人支持，2人反对；有2名女生被抽到，其中1人支持，1反对，现从这5人中随机抽到一男一女进一步调查原因，求其中恰有一人支持一人反对的概率.参考公式及临界值表：()()()()22()n ad bc K a c b d a b c d -=++++【答案】（1）填表见解析；没有；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据全年级共有1350人，分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19，得到抽到的人数，再根据男女比例为8∶7，得到男生数和女生数，结合原有的数据完成列联表.利用列联表中的数据求得2K 的值，然后再与临界值表对照下结论.（2）这是古典概型，先列举出随机抽取一男一女所有可能的情况，再找出恰有一人支持一人反对的可能情况，代入公式求解.【详解】（1）因为全年级共有1350人，分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19， 所以，抽到的人数是150人，又男女比例为8∶7， 所以男生80人，女生70人， 列联表如下： 支持 反对 总计 男生 30 50 80 女生 45 25 70 总计 7575150因为22150(30255045)10.71410.82880707575K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关.（2）记3名男生为123A a a ，，，其中A 为支持，23a a ，为反对，记2名女生为12B b ，，其中1B 为支持，2b 为反对，随机抽取一男一女所有可能的情况有6种，分别为()()()()()()111221223132A B A b a B a b a B a b ，，，，，，，，，，，，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有3种， 所以恰有一人支持一人反对的概率为12P =. 【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，在三棱锥S -ABC 中，ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，2SA SC ==，M 为AB 中点.（1）证明：AC ⊥SB ；（2）求点C 到平面SAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221. 【解析】 【分析】（1）证明AC ⊥平面SDB ，AC ⊥SB 即得证；（2）设点C 到平面SAB 的距离为h ，利用C SAB S ABC V V --=得1133SABABCS h S SD ⋅=⋅，计算即得解.【详解】（1）证明：如图，取AC 的中点D ，连接DS ，DB.因为SA =SC ，BA =BC ，所以AC ⊥DS ，且AC ⊥DB ，DS ∩DB =D ，,DS DB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥SB.（2）因为SD ⊥AC ，平面SAC ⊥平面ABC ， 所以SD ⊥平面ABC.所以在Rt SDB 中，SD =1，3DB =∴SB =2，∴SAB 的等腰三角形，222121147322223222224SABABCS S ∆⎛⎫∴=-=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭设点C 到平面SAB 的距离为h ， 则由C SAB S ABC V V --=得1133SABABCS h S SD ⋅=⋅所以322177ABCSABSSDh S⋅===. 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2AM MB =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）220x y +=﹣或220x y +=﹣ 【解析】【详解】试题分析：（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为12，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；（2）设直线l 方程为1y kx =+，代入椭圆方程，由2AM MB =得122x x =-，利用韦达定理，化简可得222843434k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，求出k ，即可求直线l 的方程. 试题解析：（1）设椭圆方程为()222210,0x y a b a b+=>>，因为11,2c c a ==，所以2,a b == ，所求椭圆方程为22143x y +=.（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1，则由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234880k x kx ++=（）﹣，且0＞．设()()1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =得122x x =﹣，又122122834834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以222228348234k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩消去2x 得222843434k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得214k =，12k =±，所以直线l 的方程为112y x =±+，即220xy +=﹣或220x y +=﹣. 21. 已知f (x )=ln x -x +a +1.（1）若存在x ∈(0，+∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； （2）求证：当x >1时，在（1）的条件下，211ln 22x ax a x x +->+成立. 【答案】（1）[0，＋∞)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分离参数得ln 1a x x ≥-+-，令()ln 1g x x x =-+-，利用导数求出()g x 的最小值即可得结果；（2）将原不等式进行转化，令()211ln 22G x x ax x x a =+---，将导数和（1）相结合，根据导数与单调性的关系得()()1G x G ≥进而得证. 【详解】（1）()ln 1(0)f x x x a x =-++>.原题即为存在x 使得ln 10x x a -++≥，∴ln 1a x x ≥-+-， 令()ln 1g x x x =-+-，()111x g x x x-'=-+=. 令()0g x '=，解得x =1.∵当0<x <1时，()0g x '<，∴g (x )为减函数， 当x >1时，()0g x '>，∴g (x )为增函数，()()min 10g x g ∴==，()10a g ∴=.∴a 的取值范围为[0，＋∞).（2）证明：原不等式可化为211ln 0(10)22x ax x x a x a +--->>，. 令()211ln 22G x x ax x x a =+---，则G （1）=0.由（1）可知ln 10x x -->，则()ln 1ln 10G x x a x x x '=+--≥-->，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )≥G （1）=0成立， ∴211ln 22x ax a x x +->+成立. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决恒成立问题，利用导数证明不等式，熟练掌握导数与单调性的关系是解题的关键，属于较难题.22. 将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（1）cos {2sin x t y t ＝＝ （t 为参数）；（2） 34sin 2cos ρθθ=-.【解析】试题分析：（1）设11(,)x y 为圆上的点，在曲线C 上任意取一点（x ，y ），再根据11{2x x y y ==，由于点11(,)x y 在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得12P P 、 的坐标，可得线段12PP 的中点坐标．再根据与l 垂直的直线的斜率为12，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x cos y sin ρθρθ==、 可得所求的直线的极坐标方程． （1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得11{2x x y y == 由22111x y +=得22)12(y x =+，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为cos {2sin x t y t ＝＝ （t 为参数）.（2）由221{4220y x x y +=+-=解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．23. 已知()221f x x x =-++. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤. 【答案】（1）()1,3-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围；（2）由基本不等式可以解得222m n p mn np pm ++≥++，将条件平方可得()222222236m n p m n p mn np pm ++=+++++=，代入222m n p mn np pm ++≥++，即可证得要求证得不等式．【详解】（1）当2x ≥时，令()241336f x x x x =-++=-<，解得3x <，此时23x ≤<； 当12x -<<时，令()()22156f x x x x =-++=-+<，解得1x >-，此时12x -<<； 当1x ≤-时，令()()()221336f x x x x =--+=-+<，解得1x >-，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）因为6m n p ++=，所以2222()22236m n p m n p mn np mp ++=+++++=，因为m 、n 、p 为正实数，所以由基本不等式得222m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号）， 同理：222n p np +≥，222p m mp +≥，所以222m n p mn np mp ++≥++， 所以()222222236333m n p m n p mn np mp mn np mp ++=+++++=≥++. 所以12mn np pm ++≤.【点睛】本题主要绝对值不等式的解法、考查利用基本不等式证明不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题．。

4章培优2 数列求和的方法考点一裂项相消【例1】（2020·云南弥勒市一中月考（理））若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+. (1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)设()2log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析（2）1n nT n =+ 【解析】证明：当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =， 当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ----=+-+-=-+⎡⎤⎣⎦ ，即121n n a a -=-()1121n n a a -∴-=- ，即1121n n a a --=- ∴ 数列{}1n a -是首项为-2，公比为2的等比数列 由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=- 12n n a ∴=-()22log 1log 2nn n b a n ∴=-== ()1111111n n b b n n n n +∴==-++，1 则1111111...1311122⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎭⎭+⎝⎝n n n n n n T 【一隅三反】1．（2020·湖南天心·长郡中学月考（文））设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式： （2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）（2）113(21)(23)n n n +-++ 【解析】(1)由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列,设公差为d , 因为11a =,所以34112312a a a d a d +=+++=,解得2d =, 所以{}n a 的通项公式为:21n a n =-(*n N ∈);(2)由(1)知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和:1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭113(21)(23)n n n +=-++. 2．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =，（2）1n nS n =+ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），因为11a =，且139,,a a a 成等比数列，所以2319a a a =，即2(12)1(18)d d +=⨯+，解得0d =（舍去）或1d =，所以n a n =，（2）由（1）可得11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以111111+2231n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++ 考点二 错位相减【例2】．（2020·贵州省思南中学月考）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a na ++=，且11a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）1*(1)22,()n n S n n N +=-⋅+∈.【解析】（1）11n n a n a n++=2n ∴≥时，有32412312341231n n a a a a na a a a n -⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-，即1n a n a =，故n a n =， 又1n =时也适合该式，n a n ∴=（2）因为2nn b n =， 所以1231222322n n S n =++++① 则234121222322n n S n +=++++②①-②得，123112(12)22222212n n n n n S n n ++--=++++-=--1*(1)22,()n n S n n N +∴=-⋅+∈.【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，满足42210S a -=，且1a ，2a ，5a 恰为等比数列{}n b 的前三项． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <． 【答案】（1）21n a n =-，13n n b -=；（2）见解析【解析】（1）由题意，422215210S a a a a -=⎧⎨=⋅⎩，得121252a d d a d +=⎧⎨=⎩，由0d ≠，得11a =，2d =．所以21n a n =-．由11b =，23b =，得公比3q =，所以13n n b -=．（2）因为1213n n n c --=，所以0121135213333nn n T --=++++① 得23111352321333333n n nn n T ---=+++⋯++② ①-②得21222221133333n n nn T --=++++-12113321221213313n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦=+-=--．所以3333n n n T +=-．从而3n T <．2．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项，{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+，{}n b 是等比数列，34b =且632b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）31n a n =+；()1*,2n n b n N -=∈（2）137142n n -+-【解析】（1）当1n =时，1a =1S =4； 当2n ≥时，()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+， 且14a =亦满足此关系，∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N =+∈，设{}n b 的公比为q ，则3638b q b ==，则2q ，∴()31*32n n n b b q n N --=⋅=∈；（2）由题意，1312n n n n a n c b -+==，而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++， 27101331281242n n n T -+=++++， 两式相减，有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭， 2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．3．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N .【答案】（1）121n n a -=+；（2）(1)(1)212nn n n S n +=-⋅++． 【解析】（1）∵121n n a a +=-，∴112(1)n n a a +-=-，而1110a -=≠， ∴数列{1}na -是等比数列，公比为1，首项为1，∴112n n a --=，∴121n n a -=+；（2）由（1）()11212n n n na n n n --=+=⋅+，21(111)(222)(323)(2)n n S n n -=⨯++⨯++⨯+++⋅+21(1122322)(123)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅+++++设21122322n n T n -=+⨯+⨯+⋅，则2312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得2112222212n n n n n T n n --=+++-⋅=--⋅，∴(1)21n n T n =-⋅+，∴(1)(1)212nn n n S n +=-⋅++． 考点三 分组求和【例3】．（2020·赣榆智贤中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T .若113a b ==，42a b =，4212S T -=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和.【答案】（1）213nn n a n b =+=，（2）()()33122n n n -++【解析】（1）由11a b =,42a b =，则()()421234122312S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=， 所以2d =，所以3(1)21n a n d n =+-=+，设等比数列{}n b 的公比为q ，由4219,3a b b ===，2139b b q q ∴===，解得3q =，所以113n n n b b q -==，（2）()213n n n a b n +=++，数列{}n n a b +的前n 项和()()22222n a a a b b b +++++++()()()()()231332135213332213nnn n n nn -++=++++++++=+=+-()3312n -+【一隅三反】1．（2020·河南高二月考）已知数列{}n c 的前n 项和122n n T +=-，在各项均不相等的等差数列{}n b 中，11b =，且1b ，2b ，5b 成等比数列，（1）求数列{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）设22log n bn n a c =+，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）()1121n b b n d n =+-=-，2nn c =；（2）n S 2122232n n n+-+=+． 【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则21b b d =+，514b b d =+，∵1b ，2b ，5b 成等比数列，∴2215b b b =，即()()21114b d b b d +=+．整理得212d b d =，解得0d =（舍去）或122d b ==，∴()1121n b b n d n =+-=-．当1n =时，12c =，当2n ≥时，()1112222222222n n n n n n n n n n c T T ++-=-=---=-=⨯-=．验证：当1n =时，12c =满足上式，∴数列{}n c 的通项公式为2nn c =．（2）由（1）得，2122log 2n bn n n a c n -=+=+，∴()()()()35212122232n n S n -=++++++++ ()()35212222123n n -=+++++++++()()21221412214232n n n n n n +-+-+=+=+-． 2．（2020·河南高二月考（理））已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}nb 的前n 项和nS.【答案】（1）12n na ；（2）221nn S n n =++-.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，即22q q =，解得2q .因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=； （2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++()212(22)12(2462)122221212n n n n n n n n -+-=+++++++++=+=++--.3．（2020·天水市第一中学）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，22a =，3412a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n na （2）(1)212n n n n S -=-+【解析】（1）设公比为q由题意可知12311212a q a q a q =⎧⎨+=⎩，整理得260q q +-=，解得3q =-（舍），2q ，即11a =则11122n n n a --=⋅=（2）11122log 221n n n n b n ---=+=+-12(1)(1)211222n n n n n n n S ---∴=+=-+- 考点四 倒序相加【例4】．（2020·全国高三其他（文））已知函数()cos lnxf x x xππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号 本题正确选项：A 【一隅三反】1．（2020·江苏高二期中）设函数()221xf x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ） A ．9 B ．11C ．92D ．112【答案】B【解析】()221x f x =+，()()()22222212121221x xx x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221xx x x x +⋅=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++， 则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B.2．（2019·浙江丽水·高二月考）已知函数()sin 3f x x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．4033B ．-4033C ．8066D ．-8066【答案】D【解析】()()()2sin 32sin 234f x f x x x x x πππ+-=+-+-+--=-，所以原式()4033480662=-⋅=-. 3．（2020·江苏常熟中学月考）已知函数()442x x f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（ ） A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593【答案】A【解析】因为()442x x f x =+，所以()114214242x x xf x ---==++ 所以()()21414242xx x f x f x +=-+=++因为2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以20191n n a a -+=，则数列{}n a 的前2018项和2018S ，则1220182018a a S a =+++2018212018017S a a a =+++所以201820182S =，所以20181009S =又()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭，20192018201923029100933S S a ∴=+=+= 故选：A考点五 奇偶并项【例5】．（2020·湖南高二月考）设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b满足()11na nn n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =. ∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()112121na nnn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n+-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-， ∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na nnn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135 (454321)n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦-2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由535S =得151035a d +=，解得13a =， ∴()*21N n a n n =+∈. （2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+，∴()()()2222213579 (414121)n nTn n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.【一隅三反】．1（2019·广东汕头·金山中学高二月考（理））设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=（2）1,2,2n nn T n n 为奇数为偶数-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 【解析】（1）因为122n n S a +=-，所以当2n ≥时，122n n S a -=-两式相减得122n n n a a a +=-+， 所以112n n a a += 当1n =时，1222S a =-，11a =，则212a = 所以数列{}n a 为首项为1，公比为12的等比数列， 故112n n a -= （2）由（1）可得()()()121log 11nnn n b a n =-=--所以()()012311nn T n =+-+-⋅⋅⋅+--故当n 为奇数时，()()()101234212n nT n n -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-=当n 为偶数时，()()()()012345212n n T n n =++-++-+++-+-=综上1,2,2n nn T n n 为奇数为偶数-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 2．（2020·内蒙古集宁一中期中（理））已知数列{}n a 的前n 项和为,239n n n S S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()31log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a +=；（2）,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数 【解析】（1）当1n =时，11239S a =-.因为11S a =，所以11239a a =-，所以19a =. 因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-.两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列. 所以11933n n n a -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11nnn n b a n =-=-+故当n 为偶数时，()()()234512n nT n n ⎡⎤=-++-++⋯+-++=⎣⎦ 当n 为奇数时，()()()()()123451112n n T n n n n -⎡⎤=-++-++⋯+--+-+=-+⎣⎦ 32n +=-，所以,23,2n nn T n n 为偶数为奇数⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩ 考点六 绝对值求和【例6】．（2020·鄂尔多斯市第一中学高二期中（理））已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-+⋯+-= （ ）A ．150B ．162C ．180D ．210【答案】B【解析】由对勾函数的性质可知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减；当10n ≥时，数列{}n a 为递增． 所以122310099a a a a a a -+-++-=12239101110121110099()()()()()()a a a a a a a a a a a a -+-++-+-+-++-=11010010a a a a -+-=1100(1010)(1001)(1010)+-+++-+=162 【一隅三反】1．（2020·广东宝安·高二期末）已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且636564S S =，则数列{}2log na 前10项和为( )A ．58B ．56C ．50D ．45【答案】A 【解析】{}n a 是首项为32的等比数列,n S 是其前n 项和,且636564SS =,所以公比不为1， ()()63321651643211q q qq--∴=--,365164q ∴+=,14q ∴=,172132()24n n n a --∴=⋅=,2log 72n a n ∴=-, ∴数列{}2log n a 前10项和为53113579111358+++++++++=,故选：A高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

弥勒一中2022届高二年级下学期第四次月考文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDDBCABABDDC【解析】 1．∵{|31}A x x =-<<，{|10}B x x =-<<，∴(10)A B =- ，，故选C ． 2．212i (12i)i2i i i z --===--，则z 对应的点为(21)--，，故选D ． 3．利用求加权平均数的公式解得：3071%4085%5091%0.8484%304050⨯+⨯+⨯==++，故选D ．4．由题意可得||242pAF =+=，解得4p =，则抛物线C 的方程是28y x =，故选B ． 5．∵πsin 2sin 2cos 2ααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴tan 2α=，∵222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+ 221tan 1tan αα-=+22123125-==-+，故选C ． 6．由条件得2AD AB AC =+ ，BC AC AB =- ，则2224216AD ABAB AC AC =++= ，222212BC AC AC AB AB =-+= ，两式相减可得1AB AC =，故选A ．7．由12//l l 得16232a a a =≠-，解得1a =-，∴1l 与2l 间的距离263d -==，故选B ．8．由522x =，lg 20.3010≈，所以25lg5lg5lg 212lg 2120.30102log 1.3222lg 2lg 2lg 20.3010x ---⨯=====≈，即x 的值约为1.322，故选A ．9．由题意可知几何体的直观图如图1：是正方体的一部分，所以几何体的体积为11(24)441632⨯⨯+⨯⨯=，故选B ．10．设()x f x a =，∵()f x 的图象经过点(3，0.008)，∴3(3)0.008f a ==，则0.2a =，即()0.2xf x =．∴(1)0.2f =，∴(1)0.20.2log 10log 10log 10f a ==<=， 1000(0.2)(0.2)b <=<1=，0.2010101c =>=，∴a b c <<，故选D ．图111．由22530x x +-=，得12x =或3x =-．因为cos (11)C ∈-，，所以1cos 2C =，所以sin 2C =，由余弦定理得222c a b ab ab =+-≥（当且仅当a b =时，等号成立）．因为ABC △的面积为4，所以sin 8ab C =，所以8sin ab C =，所以3ab =，所以2c 的最D ． 12．由函数()cos()f x A x ωϕ=+的部分图象如题图所示，可得512244T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，①正确；由图知，左侧第一个零点为：13144-=-，所以对称轴为：3114424x -+==-，所以12x =-不是对称轴，②不正确；()f x 在132244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z 上是减函数，③正确；因为A正负不定，()f x 的最大值为|A |，所以④不正确，综上可得：①③正确，故选C ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．根据不等式组画出可行域如图2中ABO △所示，目标函数z x y =+可看作直线y x z =-+，把图中的虚线进行平移，可知在点A 处，直 线在y 轴上的截距最大，而点A 的坐标为(2，1)，所以max 213z =+=．14．如图3，可得22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭，，又点P 在渐近线b y x a =上，∴22c b c a = ，整理得：1ba =，又1a =，∴1b =. 15．如图4，取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，因为平面PBC⊥平面ABC ，所以AD ⊥平面PBC ，在AD 上取一点O ，使得OA OP =，则O 为外接球的球心，设球的半径为R ，2AB AC BC ===， 所以AD =1PD =，222)1R R =-+，解得3R =， 则三棱锥P ABC -的外接球的体积34ππ3327V ⎛=⨯= ⎝⎭． 图2图3图416．因为2()32(1)f x x f ''=+，则(1)32(1)f f ''=+，得(1)3f '=-，则(1)12(3)16f =+⨯--=-，故切线方程为(6)3(1)y x --=--，即330x y ++=．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠， 由题设可得121116(2)(8)a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，， 解得13a d ==， …………………………………………………（2分） ∴3n a n =． …………………………………………………（3分）当2n ≥时，1111112333n n n n n n b S S --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，…………………………（4分） 当1n =时，111111233b S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，符合上式， ………………………（5分）∴13n nb =. …………………………………………………（6分） （2）由（1）可得13n n n n a b -=， …………………………………………………（7分）∴01211233333n n nT -=++++ ， …………………………………………………（8分） 121112133333n n n n n T --=++++ ， …………………………………………………（9分） 两式相减得2111211131133333313nn n n nn n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-=-- ， …………………（11分） 整理得1923443n n n T -+=-⨯． …………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由题意可知，样本容量161000.01610n ==⨯， ………………………（1分）40.00410010b ==⨯， …………………………………………………（2分）0.1000.0040.0100.0160.0400.030a =----=． …………………………………（4分）（2）设本次竞赛学生成绩的平均数为x ，则(0.016550.030650.040750.010850.00495)1070.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．…………………………………………………（7分）（3）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表：男生 女生 总计 优秀 24 30 54 不优秀 26 20 46 总计5050100…………………………………………………（9分）∵22100(24203026)100 1.449 2.7065050465469K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， ………………………（11分） ∴没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”． ……………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ， ∵SA SC =，∴OS AC ⊥． …………………（1分） ∵DA DC =，∴DO AC ⊥， ……………………（2分） 又OS ，OD ⊂平面SOD ，且OS OD O = ，AC ⊥平面SOD ，……………………………………………………………（3分）又SD ⊂平面SOD ，∴AC SD ⊥． ……………………………………………（4分） （2）解：连接BD ，在ASC △中，∵SA SC =，60ASC ∠=︒，O 为AC 的中点，∴ASC △为正三角形，且2AC =，OS =6分） ∵在ASC △中，2224DA DC AC +==，O 为AC 的中点，∴90ADC ∠=︒，且1OD =． …………………………………………………（7分） ∵在SOD △中，222OS OD SD +=， ∴SOD △为直角三角形，且90SOD ∠=︒，图5∴SO OD ⊥. …………………………………………………（9分） 又OS AC ⊥，且AC DO O = ，∴SO ⊥平面ABCD ． …………………………………………………（10分） ∴13B SAD S BAD BAD V V S SO --==△111132323AD CD SO =⨯=⨯=． ………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）()44(0)af x x x x'=+->． ……………………………………（1分） ∵2x =是函数()f x 的一个极值点， ∴(2)8402af '=+-=，解得8a =-， ………………………………………（2分） ∴284(2)4(2)(1)()44x x x x f x x x x x---+'=-+-==， …………………………（3分） 令()0f x '>，解得2x >，令()0f x '<，解得02x <<， ………………………（5分） 故()f x 在(0，2)上递减，在(2，+∞)上递增． …………………………………（6分） （2）2()ln 24g x a x x ax x =+--，x ∈[1，e]，24(4)(4)(1)()44a x a x a x a x g x x a x x x-++--'=+--==， …………………（8分）①当14a≤，即4a ≤时，()g x 在[1，e]上递增，故min ()(1)2g x g a ==--； …………………………………………………（9分） ②当1e 4a <<，即44e a <<时，()g x 在14a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上递减，在e 4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上递增， 故2min()ln 448a a a g x g a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ………………………………………（10分）③当e 4a≥，即4e a ≥时，()g x 在[1，e]上递减，故2min ()(e)(1e)2e 4e g x g a ==-+-； ………………………………………（11分） 综上：22241()ln 44e 48(1e)2e 4e 4e.a a a h a a a a a a a --⎧⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-⎩，，，，，≤≥ ………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）证明：如图6，由椭圆的方程可得：(20)(20)A B -，，，， …………………（1分） 设000(2)()(02)M m P x y m x ≠≠±，，，，，则2200142x y +=，得220042x y -=-． …………………（2分）又00022(2)4AP AM y m mk k x -====+--，002BP y k x =-， 所以2020142AP BP y k k x ==-- ． ………………………（4分） 又001422y mx =-- ，整理可得0024x my +=， 所以0024OP OM x my =+=为定值． …………………………………………（6分）（2）解：假设存在定点(0)Q n ，满足要求． ………………………………………（7分） 设000(2)()(02)M m P x y m x ≠≠±，，，，，则以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得0MQ BP =， ……………（8分）所以00000(2)(2)2240n m x y nx n x my ---=--+-= ，，，①…………………………………………………（9分）由（1）得0024x my +=，② …………………………………………………（10分） 由①②可得0(2)0n x -=，因为02x ≠，解得0n =， …………………………（11分） 所以存在x 轴上的定点(00)Q ，，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）直线l 的极坐标方程为πsin 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，，转换为直角坐标方程为10x y +-=． ………………………（2分）圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，，(其中θ为参数）转换为直角坐标方程为 22(2)4x y ++=．………………………………………………（4分）图6（2）椭圆的参数方程为2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，(ϕ为参数)，转换为直角坐标方程为22143x y +=， …………………………………………（6分）把直线l '的方程转换为参数方程为22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，(t 为参数)，代入22143x y +=，得到2780t -+=， …………………………………………………（8分） 所以128||||||7CA CB t t ==． …………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当3x <时，()3(4)72f x x x x =-+-=-， 不等式()2f x ≥，即722x -≥，解得52x ≤； ………………………………（2分） 当34x ≤≤时，()3(4)1f x x x =-+-=，不等式()2f x ≥的解集为空集；………………………………………………（3分）当4x >时，()3(4)27f x x x x =-+-=-，不等式()2f x ≥，即272x -≥，解得92x ≥， …………………………………（4分）综上所述，原不等式的解集为5922⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，． ………………………（5分）（2）()f x a ≤的解集不是空集，即()f x 的最小值小于或等于a ，由（1）可得723()134274x x f x x x x -<⎧⎪=⎨⎪->⎩，，，，，，≤≤ …………………………………………（6分）由此可得()f x 在(−∞，3)上是减函数，在[3，4]上是常数1，在区间(4，+∞)上是增函数， …………………………………………………（8分） ∴函数()f x 的最小值为1， …………………………………………………（9分） 由此可得1a ≥，即实数a 的取值范围为[1，+∞）．…………………………………………………………………（10分）。