理论力学13—达朗贝尔原理资料

当调速器以匀角速转动时，角a 将保持不变，飞 球在水平面内作匀速圆周运动，其向心加速度为
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
理论力学电子教程
第二节 质点系的达朗贝尔原理
理论力学电子教程
第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii

i

O
i
x
FT
FT
理论力学电子教程
第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
理论力学电子教程
第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
理论力学电子教程
第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
理论力学电子教程
第二节 质点系的达朗贝尔原理

Fi + FNi +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 上式表明，质点系运动的每一瞬时，作用于系内每个质
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0

∑ m ar = (∑ m )ar = mar
例13-3飞轮质量为m，半径为Ｒ，以匀角速度 ω 定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘 上，不考虑重力的影响。 求：轮缘横载面的张力。
解：(1)受力分析 (2)加速度分析，写出 FI ,i m n FIi = mi ai = R∆θ iω 2 R 2πR (3)建立动静法平衡方程
达朗贝尔原理
惯性力· 质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
13.2 13. 质点系的达朗贝尔原理
Fi + FN i + FI i = 0 i = 1,2, L , n
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用 的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。 记
解 ： F = ma I
( )
( )
= ∑ mi riα cosθ i zi + ∑ (−mi riω 2 sin θ i zi )
M Ix = ∑ mi riα cos θ i zi + ∑ (−mi riω sin θ i zi )
2
由
xi yi cos θi = , sinθi = ri ri
有 MI x =α
∑m x z −ω ∑m y z
M = m2 ge sin ωt + m 2 eω 2 h sin ωt
Fx = − m2 eω ⋅ sin ωt
例13-6 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座 上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电机转子 固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加 速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图。 已知: P, R, J , a, m. 求：支座A，B受到的附加约束力。

要求： 1 计算A B惯性力的大小
O
A B
2 标上惯性力的方向
例2：单摆的摆长为l，摆锤质量为m，求其摆的运动 微分方程及杆的受力。
确定研究对象 摆球
1、运动分析
a l
an l2
2、施加惯性力
FI ml
FInml2
3、受力分析
T
an a
F Iτ
F In
mg
4、”形式”上的平衡方 程
F 0 FImsgin0
miai mac
惯性力系对简化中心O的主矩 M I O
与简化中心的位置有无关系？
惯性力系为平面时为代数量 M IO
三 刚体惯性力系简化的主要结果 （重点掌握） 1 刚体的平行移动 2 刚体绕固定轴的转动
3 刚体的平面运动
一、平移刚体
FIR miai mac
1 惯性力系的主矢 FIR mac
思考：以那点为简化中心，简化结果最简单？
FF NFI 0
1 应用动静法时 ，对静止的质点是否需要加惯性力？ 2 对运动的质点是否都要加惯性力？
3 应用动静法可以解决什么样的问题？
例题1 圆盘可绕轴O转动，质量不计。其上缠有一质 量不计的绳，绳下端分别吊重物A B 。 若圆盘半径为 R r，重物A B 的质量MA大于MB
并设绳与圆盘间无相对滑动。若盘的角加速度为已知
Fn 0 F In mcgo sT0
T
gsin0
F Iτ
l
T P co F Is n P co m s 2 l
mg FIn
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
一 质点系的的达朗贝尔原理
Fi FNiFIi0
i=1-----n
对于质点系中的质点，所受主动力、约束力实际上就 是外力、内力。

例13-6某传动轴上安装有两个齿轮，质量分别为 m1、m2，偏心距分别为 e1
和 e2。 在图示瞬时， 1D1 平行于 z 轴， 2D2 平行于 x 轴， C C 该轴的转速是 n r/min。 求此时轴承 A、B 的附加动反力。
解：研究 AB 轴，其受力图如图示 Q1 m1e1 2 Q 2 m 2 e 2 2
解得
S B 45.5 N
例13-4图示矩形块质量m1 = 100 kg，b = 0.5 m，h = 1.0 m，置于平台车上。车质量m2 = 50 kg。此车沿光 滑水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m3的物体 牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足 够阻止相互滑动，求能够使车加速运动的质量m3的最 大值，以及此时车的加速度大小。
解：研究 ABC 杆，由机构可知，ABC 作平移运动，初瞬时＝0， 所以 a n 0, Q AB ma , QBC ma ，受力图如图示，由达朗贝尔原理：
X 0 Q AB Q BC mg sin mg sin 0 解得
a g sin
l l l m B (F ) 0 S A cos l Q AB sin mg Q BC cos 0 2 2 2 解得 S A 5.38 N Y 0 S A S B mg cos mg cos 0
M1、M2的惯性力的方向如图示，大小

在定滑轮上，质量为mi的轮缘质点的虚加切向
惯性力和法向惯性力方向如图示，大小分别为 n 2
qi mi r
qi mi r
根据质点系的达朗贝尔原理，由平衡方程得
X 0
n X O qix qix 0
例 13-1单摆摆长l，摆锤质量m，求单摆的运动规律 及绳的约束力。

MO(F) 0
FΙC
r
l 2
MΙC
MΙO
M
0
联立求解，可得
1 7.9rad / s2 2 4.44rad / s2
由ΣFx=0 解得轴承O 水平方向的约束反力
FOy
O
FOx M mg
A
FΙ C
M ΙO
C
M ΙC
m1 g
B
FOx
FC
m1( r1
l 2
2
)
8.91N
由ΣFy=0 解得轴承O 铅垂方向的约束反力
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，它们相互抵消，这样， 上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
解得
FI mgtan
由于
FI
man
m
v2 lsin
FN
an
v
mg FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，摆锤的
质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，单摆向左偏转的角度为 ，求车厢
的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析 如图所示。由达朗贝尔原理，列x方向 的平衡方程
解得
FAx FBx 0
FAy 200kN
FBy 200kN
FAz 20kN
z
B FBx

M IC J C
FIC
第十三章 达朗贝尔
例题13-2 均质杆长 l ，质量m，与水平面铰接，杆由与
平面成角位置静止落下，求初始瞬时OA杆的角
加速度及O点支座反力
A
C
O

mg
第十三章 达朗贝尔
例题13-3
绕线轮重为P，半径分别为R 和r ，对质心O的 转动惯量为JO ，在与水平成角的常力T 作用下 作纯滚动，不计滚阻力偶，求轮心O的加速度并
第十三章 达朗贝尔
若将作用于每个质点的力分为内力和外力，则： e i Fi Fi FIi 0 由空间任意力系平衡条件： e i Fi Fi FIi 0 e i M O Fi M O Fi M O FIi 0
它主动力时不论位置如何总能平衡，这叫静平衡 动平衡
若转轴过中心惯性主轴，则刚体转动时不出
现附加约束力，这叫动平衡
•第十三章 达朗贝尔
如图(a)、(b)、(c)、(d)所示定轴转动情形， 哪些情况满足静平衡，哪些情况满足动平衡?
m m
r
r
r
m
2m
r
r
2r
r
m
m m
r


(b)
m


(a )
(c)
(d )
静约束力 附加动约束力
FBz FRz
•第十三章 达朗贝尔
要使附加动约束力为零，则必须有：
FIx FIy 0
M Ix M Iy 0
由定轴转动刚体惯性力计算公式：
FIx maCx FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0 M Iy J yz J xz 2 0

力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB


1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB


1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB



1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理

将虚加在刚体上的惯性力系视作力系向刚体上任一点 O简化而得到一个惯性力 F G 和一个惯性力偶 MO 。 简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 G 简化而得到一个
F G = ∑ Fi G = ∑ −mi ai = −MaC
G MO = ∑ MO ( Fi G )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动， 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量 与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
由于 ∑Fi i = 0 , ∑MO (Fi i ) = 0 , 将质点系受力按内力、外力划分, 将质点系受力按内力、外力划分 则：
( F1e ,⋯ , Fi e ,⋯ , Fn e , F1G ,⋯ , Fi G ,⋯ , FnG ) = 0
F e + FG = 0 ∑ i ∑ i M O ( Fi e ) + ∑ M O ( Fi G ) = 0 ∑
F G = − MaC G M C = − ICε
作用于质心
18
§13–2 刚体惯性力系的简化 13–
M α y rO
例2、图为一电动卷扬机构的 示意图。 示意图 。 已知起动时电动机
x
的平均驱动力矩为M 的平均驱动力矩为 M ， 被提 升重物的质量为m 升重物的质量为m1 ，鼓轮质 量为m 量为 m2 ， 半径为 r ， 它对中 半径为r 心的回转半径为ρ 心的回转半径为 ρO 。 试求起 动时重物的平均加速度a 动时重物的平均加速度a和此 时轴承O的动约束力。 时轴承O的动约束力。3–
9
§13–1 达朗贝尔原理 13–
O1
解：1、选小球为研究对象 、
x1
ω

例：已知均质杆l, m， 弹簧刚
度 k, AB水平时平衡，弹簧拉
长变形 0
系统平衡 M A(F) 0
k 0 l
mg
l 2
0
mg 2k
k 0 mg
弹簧取自然位置O为零势能点,重力以杆水平位置为零势能点:
V
1 2
k
0
l
2
mg
l
2
1 k 2l 2 m2 g 2
2
8k
取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点: （重力-弹力系统常采用）
V
1 2
k
2
02
mg l
2
其中
0 l
, 0
mg 2k
1 2
k
2 0
2 0l
2l 2
02
mg l
2
V 1 k 2l 2
2
质点系在势力场中运动,有势力功可通过势能计算。
W10 W12 W20
W10 V1, W20 V2
W12 V1 V2
有势力所作的功等于质点 系在运动过程的初始与终了位 置的势能的差。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
2
2
时,负功。
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加
速度。
解：取整个系统为研究对象

O
aCn C
A
Fix FOx－ma2lCn 2 mg sin 0
aCτ α
4.由动能定理计算2，T1-T2=∑Wi
1 2
J O 2

0

mg

l 2
sin

外力只有重力
例4: OB质量不计，AB长l、质量m。试求绳OA剪
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Fix FOx 0 （3）
4.补充方程
aC l / 2
FOx

0;
FOy

1 4
mg ;
3g
2l
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转
到任一位置时的角加速度 、角速度及O处约束力
惯性系中：
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题，也 叫动静法
一、质点的达朗贝尔原理
ma FR F FN
FI
F
记

F N

ma

FI ma

0
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
则有 F FN FI 0


MIO MO (FIi ) MO FIi
MO miii miii
mi i2 JO
ω
MIO
FaOICFCρIii
i FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC 在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα

1 FB mg 98N FA 2 1 FB m 2 15775N 附加动反力 : FA 2 静反力 :
13.3 刚体达朗贝尔原理
例13-5：两圆盘质量均为m，对称偏心距均为e， A =常量。 求：A、B轴承反力。 解：研究对象:转子 C1 FI1 受力分析:如图示 mg 2 运动分析:转动 aC1 aC 2 e
非自由质点M：质量m ， 主动力F，约束反力FN，加速度a
则：F FN ma 即：F FN ma 0
M
F FN FR a
FI
得：F FN FI 0 —质点达朗贝尔原理
第13章 达朗贝尔原理
令：FI ma
—质点惯性力
FB
FI 1 FI 2
FB 0 FA
FB 0 FA
第13章 达朗贝尔原理
13.4 转子的静平衡与动平衡概念
动平衡—解决转子的偏心 和转轴与质量对称平面不垂直的问题
F'I 1 FI2
C2

FI1
C1
F'I2
适用于高速、细长转子
第13章 达朗贝尔原理
2

x
F1
受力分析：如图示 D 2 运动分析： an 2
dFI Ads an
D A 2 ds 2 D2 A 2d 4
第13章 达朗贝尔原理
13.2 达朗贝尔原理
例13-1：电机护环直径D，环截面面积A，材料密度 y （kg/m3），转子角速度=常数。 dFI F D2 2 解： dFI A d d 4 π x
第13章 达朗贝尔原理
FB
mg

(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?

由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体
(人手)产生的反抗力（反作用力），称为小车的惯性力。 F' F ma
动力学/达朗伯原理
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动
FI
力 为
F
a
，约束反力 FN ，获得的加速度
。 由牛顿第二定律：
FN
F
FN
ma
F FN ma 0
▼任意点
Mi 切向加速度
a i
法向加速度
ain
▼
Mi 虚加上的惯性力
FIi
mi
ai
，
FIin
miain
α
所有的点组成一个平面内的惯性力系
α
ain aiτ
FIiτ
FIin
动力学/达朗伯原理
▼
Mi 虚加上的惯性力
FIi
mi
ai
，
FIin
miain
▼O为转轴 z与质量对称平面的交点，向O点简化：
理论力学
第三部分 动 力 学
第十三章
达 朗 贝尔原 理
2021年7月22日
动力学/达朗伯原理
第十三章
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理是十八世纪为解决机器动力学问题 提出的，实质就是在动力学方程中引入惯性力，将动 力学问题从形式上转化为静力学中的力的平衡问题， 应用静力学的平衡理论求解。
本章介绍动力学的这一重要原理——达朗伯尔原 理 (也称动静法)。
FA
mg 4
cos0
FAτ
（与图示反向）
FAn
FIR
动力学/达朗伯原理
●用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：