山东理工大学2015-2016线性代数(C)试题

习题一 （A ）1．计算下列二阶行列式： （1）3125--； （2）log 11log a b b a )1b ,a 0,≠>且（b a ；（3）x x yx yx+-； （4）21111t t t +-+.解：1）= (-3)×5-(-1)×2=-13 2）=log log 10b a a b ⋅-= 3）=22()()x x y x y y -+-= 4）=(t +1)(t 2-t +1)-1=t 32．计算下列三阶行列式：（1）111101112---； （2）12111516312---； （3）0230b ac b ca-； （4）111c b ca ba---.解：1) =1×0×(-2)+1×1×(-1)+(-1)×1×1-(-1)×0×(-1)-1×1×1-(-2)×1×1=-1 2) =1×15×(-2)+2×16×3+(-1)×(-1)×1-(-1)×15×3-16×1×1-(-2)×2×(-1)=92 3) =2()30000b c ac a b c abc ⨯⨯+-⨯⨯+---= 4) =22222211abc abc b a c a b c +-+++=+++3．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性： （1）264315； （2）542163.解：1）6Γ= 偶排列 2）9Γ= 奇排列4．确定i 和j 的值，使得9级排列 （1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列； （2）3 9 7 2 i 1 5 j 4成奇排列.解：1）当8,3i j ==时成偶排列 2）当8,6i j ==时成奇排列5．利用行列式定义计算下列行列式（1）01001010010101D =； （2）12340000000000a a D a a =.解：1）(2143)21124334(1)1D a a a a Γ=-= 2）(2143)142332411234(1)D a a a a a a a a Γ=-=6．利用行列式性质计算下列行列式：（1）313023429722203-； （2）3211040220110102；（3）1234234134124123； （4）213131071242115-----.（5）xy x y y x y x x yxy+++;（6）222a b c a b c b c a b c a c a b++++++.解：1) =3120103430455223121--=-=--- 2) =10100002602100302=--3) =100010001113110010101601222124411111104-==--------4) =10001001138100085521005725401151143==------5) =00xx x y xx y yx y x x y x x x y y x y+++++ =0000x y xy y x x y x y y x y x y x y x-++--- 332()x y xyxy x y xy x x yy=+=-+-+- 6) =222a b c a bc b c a b c a c a b ++++++ =22a b c a b c a b cc b c a b c a c a b ++------++++ 111()22a b c cb c ab c ac a b--=++++++ =111()022022a b c b c a b c a c c a b --++++++++ 111()0()022a b c a b c a b a cc a b--=++++-++++ =32()a b c ++7．计算下列行列式：（1）11231323n n nD --=--K K M M M M；（2）111222121212n n n n a a a n a a a nD a a a n++++++=+++K K M M MMK（n ≥2）；（3）11221110001100011000010011n n n n a a a a D a a a +-----=---K K K MMMMMK K ；（4）0121111111000101210001n i n na a a D a i n a a +-=≠=L K K K MMMMMK K（其中0，，，，，）.解：1) 10001200!1n D n n-==-K K M M M O ML2) 1°当n =2时，12n D a a =-2°当n ＞2时，11111222222122120212n nn n n n a a a n a a n a a a n a a n D a a a na a n++++++++=+=++++L L L L M MOM M MOM LL3) 110000110000110010001000011n D +--==-L L L M M M O M M L L 4) 01211201111110000000010000nn n i i n na a a D a a a a a a a +=-⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑L L L L M M M O M M L L8．解方程：（1）2212134526032113212x x ---=--+--（2）11001()01001x y z x x y z y z=其中、、均为实数.解：1)22(9)(1)0x x --= 3x =±或1x =± 2)22211x y z ---=0x y z ===9．用克拉默法则解下列线性方程组： （1）123123133243421132411x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩（2）1234123423412342513232222420x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎪⎨++=-⎪⎪-++=⎩解：1)1234112412141142311234111124311432113,,1211211211342342342324324324x x x --------====------------ 2) 122511*********1312131123103222322022221421422042D D D -----===---- 34251125111121113243220322211214D D ----==---- 312412341,0,,1D D D Dx x x x D D D D∴=======-10．k 取何值时，下面的方程组仅有零解？（1）320720230x y z kx y z x y z +-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩（2）0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：1) 当32163725630,,5213kk k --=-≠≠-即时仅有零解 2) 当1111(1)(4)0,14,211kk k k k k -=+-≠≠≠-即且时仅有零解（B ）1．填空题（1）设1234134()124123x f x x x=，则方程f (x )=0的根为____________；（2）1111111111111111xx y y +-+-=________________；（3）设行列式3040222207005322--，则第四行各元素余子式之和的值为__________；（4）n 阶行列式0001000000001n a a D a a=L LMM M M M L L =__________ （5）设n 阶行列式13521120010301n n D n-=L L LM M M M L则D n 的第一行各元素的代数余子式之和11121n A A A +++=L ______________.解：1) ()(2)(3)(4)0f x x x x =---= 2,3,4x x x ∴=== 2) =22x y 3) -28 4) 2nn a a--5) 21!(1)nk n k =-∑2．选择题（1）下列行列式中，不等于零的是（ ）.A ．1231110.50.50.5--- B. 1231110.5 1.5 2.5 C. 1531210.542.5D. 111412125---- （2）已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（ ）. A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m（3）多项式10223()71043173xx x f x x-=--中的常数项是（ ）.A ．3B ．-3C ．15D ．-15（4）设行列式1234123412341234()a a a a x a a a x a f x a a x a a a xa a a --=--，则方程()f x =0的根为（ ）.A ．1234,a a a a ++B ．12340,a a a a +++C ．1234,a a a a --D ．12340,a a a a ----（5）n 阶行列式D n 为零的充分条件是（ ）. A ．主对角线上的元素全为零B ．有(1)2n n -个元素都等于零 C ．至少有一个（n -1）阶子式为零D ．所有（n -1）阶子式均为零 解：D 、A 、A 、B 、D3．证明：32222()22a b ca a bb c a b a b c ccc a b----=+---.证明: 左=111()2222a b c bb c a b ccc a b++----3111()00()0a b c b c aa b c c a b=++---=++---4．证明：1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++.解：11111111112222222222ab c c a b b c c a ab c c a b b c c a a b c c a b b c c a ++++=+++++++++左 =1112222ab c ab c a b c5．计算下列n 阶行列式：（1）0000100002001000000nD n n =-L LM M M M M M L L ； （2）123121221321321221n n n n n D n n nn n ---=----L L L M M M M M L ； （3）210001210000021012n D ---=--L L MM M M M L L；（4）12323413452121n n D n n =-L L L M M M M L.解： 1) (1)(2)((1),(2)1,)2(1)!(1)!n n n n n nD n n --Γ--=-=-L2) 11111111110222111120022211110001nn n n n D n n n ------------=--=---L L L L L L M M M O M M M M O M L L12(1)2(1)n n n --=-+ 3) 10000021001200100012n D n ---=--=+--L L L M M M O M M L 4) 1231341(1)145221111n n n n D n +=-L L L M M M O M L=1230111(1)01112111n n n n n-+-L L L M M M O M L(1)12(1)(1)2n n n n n +-+=-⋅6．用数学归纳法证明2112122222122122121111n n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a a a a a ++==++++L L L M M ML证明: 1°当n =2时,222112212212111a a a D a a a a a +==+++ 2°设n =k 时,2211k k D a a =+++L当n =k +1时,222211111k k k k k D D a a a a +++=+=+++L7．证明n 阶行列式2cos 100012cos 100012cos 00sin(1)sin 0002cos 1012cos n θθθθθθθ+=L L L M M M M M L L证明: 1°当n =2时,22cos 1sin312cos sin D θθθθ==2°设n =k 时,sin(1)sin k k D θθ+=当n =k +1时,1sin(2)sin(1)cot cos(1)sin k k k D D k k θθθθθ++=++++=8．试证：一元二次函数可由其图像上三个横坐标互不相等的点唯一确定.证明: 设二次函数为2y ax bx c =++,三点为112233(,),(,),(,)x y x y x y ,且123x x x ≠≠,则211122222333ax x c y ax x c y ax x c y ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 又2112222331101x x x x x x = 则方程组只有唯一的解a ,b ,c9．解线性方程组211121312112223221123111n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ---⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L L L 其中(12)i j a a i j i j n ≠≠=，，，，.解：211112122212111()1n n i j j i nn nn n a a a a a a D a a a a a --≤≤≤-==-∏L L MM M O M L123,0n D D D x D =====L11231,0n D x x x x D∴======L10．若齐次线性方程且1234123412341234020300x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解，则a 、b 应满足什么条件？解：当11112110113111a ab =-即2(1)4a b +=时,方程组有非零解.习题二 （A ）1．设矩阵232121a b a c A b c a b c +--⎡⎤=⎢⎥+--+-⎣⎦，且A O =，求a ，b ，c 的值.解: A =0时2302102100a b a c b c a b c +=⎧⎪--=⎪⎨+-=⎪⎪-++=⎩,则3,2,5a b c ==-=2．设201312A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112215B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求（1）2A B +，（2）3A B -.解: 20111231022312215431A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 201112537333122159217A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．如果矩阵X 满足2X A B X -=-,其中2112A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0220B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求X .解：2X A B X -=- 22X A B =+ 12X A B =+21022211220222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．某石油公司所属的三个炼油厂A 1，A 2，A 3在2003年和2004年所生产的四种油品B 1，B 2，B 3，B 4的数量如下表（单位：104t ）：（1）作矩阵34A ⨯和34B ⨯分别表示2003年、2004年工厂A i 产油品B j 的数量； （2）计算A B +和B A -，分别说明其经济意义；（3）计算1()2A B +，并说明其经济意义.解: 1) 582715472201856525143A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 632513590302078028185B ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 2) 1215228916260381214553328A B ⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎝⎭上式表明:123,,A A A 三个在2003年,2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的总产量.52211802215342B A --⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭上式表明：123,,A A A 三厂在2004年生产的1234,,,B B B B 四种与2003年相比的增加量.3) 12192614221()813019621455316422A B ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上式表明123,,A A A 三厂在2003年、2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的平均产量.5．计算下列矩阵的乘积： （1）01121043⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （2）5112207432-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦； （3）（-1，3，2）304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（-1，2）； （5）112120124305--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）（1，-1，2）120201013112-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦解：1) 4312⎛⎫=⎪⎝⎭2) 126241114⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭ 3) =54) 241236-⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭5) 1332⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6) =156．设311212123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111210111B -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求（1）AB 和BA ；（2）AB-BA .解：1) 612610842AB -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 400410222AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2) 212220660AB BA -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭7．求所有与A 可交换的矩阵： （1）1011A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）11001101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 设a b X c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则XA =AX 得 a =d b =00aX ca ⎛⎫∴=⎪⎝⎭2) 设111222a b c Y a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则 YA AY =得 1220a a b === 12b c a == 1c b =00ab c Y a b a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭8．设矩阵A 与B 可交换.证明：（1）22()()A B A B A B +-=-；（2）222()2A B A AB B ±=±+.解：1) 2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=- 2) 22222()2A B A AB BA B A AB B ±=±±+=±+9．计算（1）31111⎡⎤⎢⎥--⎣⎦； （2）1301n⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）2212301111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （4）00000na b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （5）31111011100110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （6）1111111111111111n---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦解：1) 0000⎛⎫=⎪⎝⎭ 2) 1301n ⎛⎫=⎪⎝⎭3) 507527622⎛⎫⎪=⎪ ⎪---⎝⎭4) 000000n nn a bc ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5) 13610013600130001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6) 2,1,nE n n A n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数2为奇数10．设2210()f x a x a x a =++，A 是n 阶矩阵，定义2210()f A a A a A a E =++. （1）如果2()1f x x x =-+211312110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求()f A .（2）如果35)(2+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3312A 求)(A f .解：1) 2713()823210f A A A E ⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪-⎝⎭2) 200()5300f A A A E ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭11．设521341A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，320201B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 计算（1）AB T ；（2）B T A ；（3）A T A .解：1) 32521199203411701TAB --⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭2) 21211042341TB A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3) 34222206262TA A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭12．设某港口在一月份出口到三个地区的两种货物的数量以及两种货物的单位价格、重量、体积如下表：（1）利用矩阵乘法计算经该港口出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各为多少？ （2）利用（1）的结果计算经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：1) 0.20.35820655335200010008000.0110.05827633.8120013005000.120.5840770346⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2) 82065533511810827633.81191.884077034611956⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613．设A 为n 阵对称矩阵，k 为常数.试证kA 仍为对称矩阵.证明: 设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L,则 111212122212()n n T n n nn ka ka ka ka ka ka kA kA ka ka ka ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L则kA 为对称矩阵14．（1）证明：对任意的m ×n 矩阵A ，A T A 和AA T 都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n 阶矩阵A ，A +A T 为对称矩阵，而A -A T 为反对称矩阵. 解：1) 证明: ()()TTTT TTA A A A A A ==Q ()()T TT TTTAA A A AA == ,TTA A AA ∴都是对称矩阵2) ()(),TTT TTTTA A A A A A A A A A +=+=+=++为对称矩阵 ()()()TTT TTTA A A A A A A A -=-=-=-- 则TA A -为对称矩阵15．设A 、B 是同阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .解：()TTTAB AB B A AB BA AB =⇔=⇔=16．判断下列矩阵是否可逆.若可逆，利用伴随矩阵法求其逆矩阵： （1）5432⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）1326-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； （3）021111312⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； （4）10120123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 1123522A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭2)不可逆3) 1153444131444131222A -⎛⎫- ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭4) 11001102211033A -⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭17．设n 阶矩阵A 可逆，且det A =a ，求1det A -，det *A .解：1AA E -=Q 111det det AA a-==∴ *det AA A E =⋅∴*11det (det )n n A A a --==18．设A 为n 阶矩阵，A ≠O 且存在正整数k ≥2，使k A O =.求证：E A -可逆，且121()k E A E A A A ---=++++L证明: 21()()k E A E A A A --+++L2121()k k k E A A A A A A E A E E A --=++++----=-=-L L 21K E A A A -=+++L19．已知n 阶阵A 满足232A A E O --=.求证：A 可逆，并求A -1。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

2007～2008学年度第二学期《线性代数》试卷(C)适用专业年级：07级本科（经管类专业） 考试形式：开（）、闭（√）卷注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。

一、单项选择题（每小题3分，共 15分。

请将正确答案填在题后的括号内）1、设12,m ααα ，是m 个 n 维向量，则下列结论不正确的是（ ）. A 、若12,m ααα ，线性无关，则121,m ααα- ，线性无关。

B 、若12,()s s m ααα< ，线性相关，则12,m ααα ，线性相关。

C 、若12,m ααα ，中有一个向量是零向量， 则12,m ααα ，线性相关。

D 、若12,()s s m ααα< ，线性无关，则12,m ααα ，线性无关。

2、下列说法正确的是（ ）. A 、设,AB C BA C ==则 B 、()A B C AB AC +=+C 、0,AC BC C A =≠=且则BD 、0,00AB A ===则或B 3、A 是一个2阶矩阵，且3A =，则3A 的行列式值为（ ）.A 、27B 、3C 、18D 、94、已知向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）. A 、112,2αααα-3，3 B 、13312,2ααααααα---22+， C 、1131,ααααα+-3， D 、22,ααααα+323-，5、n 阶矩阵A 具有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的（ ）.A 、充分必要条件B 、充分但非必要条件C 、必要但非充分条件D 、既非充分也非必要条件二、填空题（每小题3分，共 15分。

请将答案填在下面的空格内）1 排列4，3，1，2的逆序数(4312)τ=__ ___.2 矩阵12463623-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 3 设3阶矩阵A 的特征值为-2，3，-5，那么矩阵A 的行列式= _______ .4 齐次线性方程組 1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解，则,λμ应取 .5 若二次型22121122(,)24f x x x x x x =++，则对应矩阵为 .三、计算题（共10分）计算行列式 2412371459272512D ----=--四、计算题（共10分）、设矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求n A （n 为正整数）。

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14．11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16．在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ，则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ，则128．若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3．四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4．若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06．行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7．行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128．如果D a a a M21 22 23 ，则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329．已知某5 阶行列式的值为5，将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110．行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111．n 阶行列式.1 1 112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.1 2 3 413．设行列式5 6 7 8D ，A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14．已知c b a bD ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ，A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式，则15．设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ，A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016．已知行列式D 1 0 3 0 ，D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317．齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318．若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解，则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2．xyxyxyxyxyxy1.；x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3．解方程0x 1 1 0 ；4．a1a2x an21；1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n)；1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2；8．a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011．D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1．设abcd 1，证明：021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12． a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3． 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4．2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15．设a, b, c两两不等，证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B二．填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三．计算题3 y3 1．(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ； 2. 2(x ) ；n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( ) 。

山东理工大学《线性代数》试卷
本试卷共七大题
一、填空题 (本大题共7个小题，满分25分)：
1. (4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征
向量是, 则的属于的两个线性无关的特征向量是
()；
2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是
的伴随矩阵, 则的行列式()；
3.(4分)设, , 则
( )；
4.(4分)已知维列向量组
所生成
的向量空间为,则的维数dim()；
5.(3分)二次型经过正交变换可化为
标准型,则( )；
6.(3分)行列式中的系数是()；
7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的
个解向量 , 其中, , 则该方程组的通解是
()。

二、计算行列式：
(满分10分)
三、设, , 求。

(满分10分)
四、取何值时, 线性方程组无解或有解？
有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分)
五、设向量组线性无关 , 问: 常数满足什么条件时, 向量组
, , 也线性无关。

(满分10分)
六、已知二次型，
(1)写出二次型的矩阵表达式；
(2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型；
(3)是什么类型的二次曲面?
(满分15分)
七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）：
1．(7分)设向量组线性无关 , 向量能由线性表示 , 向
量
不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。

2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组
必有非零解。

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。