北师大版高中数学必修五安徽省宿州市十三校重点中学

宿州市十三所重点中学2021-2022学年度期终质量检测高一数学试卷（人教版）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{lg 0},{0,1,2,3} A xx B =>=∣，则A B = （）A ．{2,3}B ．{1,2,3}C ．(1,)+∞D ．(2,3)2.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（）A ．1213-B ．513-C ．1213D ．1253.已知13x x -+=，则22x x -+=（）A ．3B ．5C ．7D ．94.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2+3πα⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．23-C ．23D ．795．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为()A ．3π-B.6π-C ．6π D.3π6．已知cos1a =，2(log sin1)b =，cos12c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c b a>>7.设()f x 是定义在R 上的函数且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-，当[)2,0∈x 时，2()20221x f x =+，则(2022)f =（）A ．2022B ．2-C ．2D ．20238．若函数()f x 图象上存在不同两点,M N 关于原点对称，则称点对[],M N 是函数()f x 的一对“和谐点对”（点对[],M N 与[],N M 看作同一对“和谐点对”），已知函数()lg(),0sin ,0x x f x x x --<⎧=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

宿州市十三所重点中学2018-2019学年度第一学期期中质量检测高二数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 一个圆台D. 两个圆锥 2.直线3320x y --=的倾斜角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 3.已知直线1:30-+=l mx y 与211:22l y x =-+垂直，则=m （ ） A. 12-B. 12C. -2D. 2 4.在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面xoz 的垂线PQ ，则垂足Q的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的度数是（ ）A ．0°B ．30° C.60° D ．90° 6.已知平面α，直线l ，点P ，则下列命题正确的是( )A ．若,l P l α⊄∈，则P α∉B ．若,l P l α⊄∈，则P α∈C ．若α⊂l ,P l ∈，则P α∈D ．若α⊂l ,P l ∉，则P α∉ 7.圆心在x 轴上，且过点(2,4)的圆与y 轴相切，则该圆的方程是( )A ．01022=++y y x B ．01022=-+y y x C ．01022=++x y x D ．01022=-+x y x8.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0 9. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱的大小是( )A ．3B ．22C ．5D ．210.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．34 C ．32D ．311. 已知),(b a P 为圆C:044222=+--+y x y x 上任意一点，则11+-a b 的最大值为（ ） A. 2 B. 34-C. 34 D. 012.已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线20x y +-=相交于,A B 两点，C 为圆上的一点，OC 的中点D 在线段AB 上，且35AD DB =u u u r u u u r，则圆O 的半径r 为（ ）A.11B.103C.10D.23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省宿州市十三校重点中学2010—2011学年第一学期期中考试高二数学试题（文科）第I 卷一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 不等式（1－x ）（3+x ）>0的解集是A. (－3,1) B (－∞,－3)∪(1,+∞)C. (－1,3)D. (－∞,－1)∪(3,+∞)2. 已知数列}{n a 的通项公式是na n n )1(3-+=：，则32a a +的值为 A . 2 B . 32 C . 35 D . 383. 如果实数b a >，则下列各式正确的是A ．22b a > B. 33b a > C. b a 11< D. ab a >24. 在△ABC 中，已知045,2,2===A b a ,则B 等于A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°5. 已知数列}{n a 的通项公式是11+-=n n a n ，那么这个数列是 A. 递增数列 B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列6.已知实数y x b a <<,，且0))((,0))((>--<--b y a y b x a x ,则下列关系式正确的是A.b y x a <<<B. y b x a <<<C. b y a x <<<D. b a y x <<<7. 已知实数2,=+b a ab ，则b a 33+的最小值是 A. 18 B. 6 C. 23 D.2438.在线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-o y x y x y x 20630下,目标函数y x z +=2的最小值是.A. 9B. 2C. 3D. 49.等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若321,2,4a a a 成等差数列，则44a S 的值是 A. 167 B. 1615 C .87 D. 815 10.已知实数y x ,满足11122=+y x ，则222y x +有 A. 最大值3+22 B. 最小值3+22C. 最大值42D. 最小值4211. 在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，B=300，三角形ABC 的面积为21，则b 的值是A ．1+3 B. 2+3 C. 3+3 D. 333+ 12.已知等差数列数列}{n a 前n 的和为S n,,,若20101-=a ，22007200920072009=-S S ，则2011S 的值是 A ． 2009 B. 2010 C ．0 D ．2010×2011二.填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卷的相应位置）13.不等式01>-x x 的解集是14.在三角形ＡＢＣ中，若31cos ,3==A a ，则bc 的最大值是 .15.关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 .16.已知等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都是整数，且前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，则数列}{n a 的通项公式是 ________.第Ⅱ卷三.解答题:（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等比数列，首项16,241==a a .（1）求数列}{n a 的通项公式（2）若数列}{n b 是等差数列，且5533,a b a b ==求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S .18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，已知54cos ,5,6-===A b a（1）求角B 的大小（2）求三角形ABC 的面积。

安徽省宿州市十三所重点中学新高考数学函数的概念与基本初等函数多选题之知识梳理与训练及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．函数()()1xf xx Rx=∈+，以下四个结论正确的是（）A．()f x的值域是()1,1-B．对任意x∈R，都有()()1212f x f xx x->-C．若规定()()()()()11,n nf x f x f x f f x+==，则对任意的(),1nxn N f xn x*∈=+ D．对任意的[]1,1x∈-，若函数()2122f x t at≤-+恒成立，则当[]1,1a∈-时，2t≤-或2t≥【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得11,01()11,01xxf xxx⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212f x f xx x->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有()11xf xx=+，若()1,1(1)nxn N f xn x*-∈=+-，∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n n xx n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立，可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.3．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确． 对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.5．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立6．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.7．已知函数()221,0log 1,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.8．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）A ．1230x x x ++>B ．6425s t ⋅=C ．45t s = D ．14425s t +=【答案】CD 【分析】设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程()=f x s必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()f x s ==，54454x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=，又()f x 在(),t +∞上递增，35 4x t ∴=，即3564516=,42545x s t t s t =====， 6454144, 2516525t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.9．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；10．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ， 可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010mn ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.11．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1log (1)a a a a ++<D ．12log (2)1a a a a +++<+【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+， 等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断； 【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.13．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．14．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.15．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.16．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x ππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（ ） A ．1ab = B ．26c d π+=C ．abcd 的取值范围是()153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得199x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d <<<<<<<<<， 由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项正确； 令()442x k k Z ππππ+=+∈，解得()41x k k Z =+∈， 当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=， 所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称， 则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=，1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>-D ．2212log mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-， 所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ 51≥=-①. 令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.18．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根 B 1515a --+<<时，方程有2个根 C ．当 15a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15a --<， 故当152a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当152a -=时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根； 当1512a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；1512a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当15a --=3个根，C 正确；当 1542a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.19．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．20．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.。

安徽省宿州市十三所省重点中学2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版）宿州市十三所重点中学2024-2025学年度第一学期期末质量检测高一数学试卷（参考答案） CBCCB AB DDA CA 3 452)4323sin(+-=πx y17.解:原式=)cos (tan sin )cos (322θθθθ-⋅⋅-=θθθ222cos tan sin ⋅-=1.................10分19. f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6………………………………4分(1)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )………8分（1）函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像如图所示：列表：略………………………………10分……………………………… 12分20.（1）)0(f =0， ………………………………………………………………2分分平行与时，分分平行时与）当（分时分时当分解：12...............)()(110 (13)628 (11)232)()(26.).........()(1112634..........0)1,3()12,2()()(2...).........1,3()12,2()1,2()2,1()1(.18b a b a k k k k k k k b a b a k b a b a k k k k k k k b a b a k b a k k k b a k -+-=∴-=∴+=-∴+=--+-⊥+=∴=∴=++-∴=⋅+--⊥+=-+-=-+=+证明奇函数…………………………………………………………5分（2）令2121,,x x x x x y x >==+且，由)()()(y f x f y x f +=+得)()()(2121x x f x f x f -=-， 当0>x 时，0)(<x f 且021>-x x 0)(21<-∴x x f ，)()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即，)(x f ∴为减函数.……………………………………………………………12分21.（1）51)sin(,53)sin(=-=+B A B A ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ，⎪⎩⎪⎨⎧==∴51sin cos 52cos sin B A B A2tan tan =∴B AB A tan 2tan =∴…………………………………………………5分（2）,53)sin(,2=+<+<B A B A ππ43tan tan 1tan tan ,43)tan(-=-+∴-=+∴B A B A B A ，由B A tan 2tan =∴得01tan 4tan 22=--B B ，62tan 2tan ,262tan +==∴+=∴B A B .…………………………9分设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=,623tan tan +=+CDB CD A CD.623+=∴=CD AB ， …………………………………………………12分22.（1）∵tan 7α=，α∈[0,2π],∴272, ,1010cos sin αα==∵OA 与OC 的夹角为α,∴210OA OCOA OC ⋅=,∵OC mOA nOB =+,|OA |=|OB |=1,|OC |=,∴2102m nOA OB +⋅=,①…………………………………………………3分 又∵OB 与OC 的夹角为45°,∴222OB OC mOA OB n OB OC⋅⋅+==,②…………………………………5分 又()345 45 455cos AOB cos cos cos sin sin ααα∠=︒+=︒-︒=-∴3cos 5OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-, 将其代入①②得313,1555m n m n -=-+=,从而57,44m n ==， 故5577log log n m -=55777log log 15n m ==-…………………………………7分 （2）由（1）得57,44m n ==，又()()22112188f x ax ax a x a =-+=-+-，0a <，故()f x 在57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以5224f a ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭…………………………12分。

2025届安徽省宿州市十三所重点中学数学九上开学联考模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，正方形ABCD 的边长是2，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别在边AD 、AB 上，且OE ⊥OF ，则四边形AFOE 的面积是（）A ．4B ．2C ．1D ．122、（4分）若成立，则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）平行四边形所具有的性质是（）A ．对角线相等B ．邻边互相垂直C ．两组对边分别相等D ．每条对角线平分一组对角4、（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A ．606030(125%)x x-=+B ．606030(125%)x x-=+C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-=5、（4分）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平后再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，则FAB ∠的度数是()A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°6、（4分）向一容器内均匀注水,最后把容器注满.在注水过程中,容器的水面高度与时间的关系如图所示,图中PQ 为一线段,则这个容器是()A ．B ．C ．D ．7、（4分）如图，已知一次函数y kx b =+，y 随着x 的增大而增大，且0kb <，则在直角坐标系中它的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8、（4分）如图，四边形ABCD 是边长为5cm 的菱形，其中对角线BD 与AC 交于点O ，BD ＝6cm ，则对角线AC 的长度是（）A ．8cmB ．4cmC ．3cmD ．6cm二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．若∠MBD=40°，则∠NCD 的度数为_____．10、（4分）函数中，自变量x 的取值范围是________．11、（4分）已知正比例函数y =(k +5)x ，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是____.12、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于________．13、（4分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点P ．Q 分別是AB 、AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，D 是BC 的中点，当点P 运动到___时，四边形APDQ 是正方形．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F 。

2020-2021学年安徽省宿州市十三所省重点中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-．”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【分析】根据特称命题的否定直接判断即可.【详解】“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定为“(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-”. 故选：C2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，则此双曲线C的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】C【分析】计算出b a 的值，利用公式e =可计算出该双曲线的离心率的值. 【详解】由题意可知，双曲线C 的渐近线方程为12b y x x a =±=±，则12b a =，因此，双曲线C 的离心率为2c e a =====. 故选：C.3．垂直于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y -+=或250x y --=B ．20x y -+=或20x y -=C ．250x y -+=或250x y --=D ．.20x y -+=或20x y --=【答案】A【分析】根据互相垂直直线之间的斜率关系，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】直线210x y ++=的斜率为2-，因此与该直线垂直的直线的斜率为12， 设与210x y ++=垂直的直线方程为：12202y x b x y b =+⇒-+=， 直线220x y b -+=是圆225x y +=的切线，2525b b =⇒=⇒=±，因此切线方程为250x y -+=或250x y --=. 故选：A4．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.5．圆()221:11C x y -+=与圆222:230C x y y ++-=的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】B【分析】求出12C C 以及两圆的半径1r 、2r ，比较12C C 、12r r -、12r r +的大小关系，由此可得出两圆的位置关系.【详解】圆1C 的圆心为()11,0C ，半径为11r =，圆2C 的标准方程为()2214x y ++=，圆心为()20,1C -，半径为22r =，12C C ==121r r -=，123r r +=，所以，121212r r C C r r -<<+，所以，圆1C 与圆2C 相交.故选：B.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.6．曲线2y x x=+在点()1,3处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．4 B ．2C ．16D ．8【答案】D【分析】首先可求出曲线的导函数()f x '，然后求出()1f '的值和切点坐标，并写出切线方程，最后根据切线与两坐标轴交点坐标即可得出结果． 【详解】由2y x x=+，得221y x '=-，则()1121k f ==-=-'，因为()1123f '=+=， 所以曲线2y x x=+在点(1,3)处的切线方程为()31y x -=--，即40x y +-=， 所以切线与两坐标轴交点分别为()0,4、()4,0， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积14482S =⨯⨯=. 故选：D ．【点睛】本题考查求曲线上一点的切线方程，关键点是根据切点坐标以及曲线在切点处的导函数值求得切线方程，考查推理能力，是简单题．7．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的正视图侧视图三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据三视图还原几何体，然后根据体积公式计算即可. 【详解】根据题干的三视图可知该几何体为底面为直角梯形的直四棱柱 如图所示：所以体积为()1111122262ABCD A B C D V -+⨯=⨯=故选：C8．若点P 在抛物线24y x =上，则点P 到点()2,2Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时点P 的坐标为（ ） A ．(1,2)- B ．()1,2C ．()1,4D ．()1,4-【答案】A【分析】数形结合以及根据抛物线的定义可得距离之和为PQ PM +，简单判断可得结果.【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F 如图所示：由抛物线定义可知：点P 到焦点的距离与到准线1x =-的距离相等，即PF PM = 点P 到点()2,2Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和为PQ PF +，即PQ PM + 当,,Q P M 三点共线时，PQ PM +有最小，所以点()1,2P - 故选：A9．已知命题():1,2p k ∀∈，方程22121x y k k -=--都表示双曲线；q ：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0；下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ⌝∧是真命题【答案】C【分析】首先判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真假性质判断即可；【详解】解：若方程22121x y k k -=--表示双曲线，则()()210k k -->，解得12k <<，故命题():1,2p k ∀∈，方程22121x y k k -=--都表示双曲线，为真命题，抛物线24y x =的焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭，故命题q 为假命题，故A 、B 错误；所以q ⌝为真命题，p ⌝为假命题，所以()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∧为假命题， 故选：C10．已知双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d ，2d ，且124d d +=，则此双曲线的方程为（ ）A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22122x y -=D ．22144x y -=【答案】D【分析】依题意可得a b =，c =，利用已知条件，表示出A 、B 的坐标，列出方程转化求解即可．【详解】解：因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，即c e a ===a b =，c =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±，取0x y -=，令x c =，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，即2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以),Aa，),B a -所以1d =2d =因为124d d +=4=，解得2a =所以双曲线方程为22144x y -=故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 11．设()()f x x R ∈是奇函数，()f x '是()f x 的导函数，()20f -=．当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()2,00,2-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(),2()0,2-∞-⋃D ．()(2,02,)-⋃+∞【答案】D【分析】构造函数()()f x F x x=，利用导数可得函数()F x 的在()0,∞+的单调性，然后利用函数()F x 的奇偶性可得()F x 在(),0-∞的单调性，最后简单判断可得结果. 【详解】令()()f x F x x =，所以()()()2xf x f x F x x '-'= 当当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '> 所以可知()F x 的在()0,∞+的单调递增，又()f x 是奇函数且()20f -=，所以()()220f f =--=，则()20F =由()()()()()f x f x f x F x F x x x x---====--， 所以函数为()(),00,-∞⋃+∞的偶函数且()F x 在(),0-∞单调递减，()20F -= 当0x >时，()0f x >的解集为(2,)+∞当0x <时，()0f x >的解集为(2,0)-综上所述：()0f x >的解集为：()(2,02,)-⋃+∞ 故选：D二、填空题12．设l 是直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________.（填写序号）①若//,//l l αβ,则//αβ ②若//,l l αβ⊥,则αβ⊥ ③若,l αβα⊥⊥,则l β⊥ ④若,//l αβα⊥,则l β⊥ 【答案】②【详解】①由,l l αβ,不一定推出αβ∥. 反例如图：，所以①不正确； ②如图所示：过l 作平面γ交平面α于直线a ，因为l α,所以la ，又l β⊥，所以a β⊥，a α⊂，故αβ⊥，所以②正确； ③由l αβα⊥⊥，，不能推出l β⊥；反例如图：故③不正确；④若,l αβα⊥，未必有l β⊥. 反例如图：．故④不正确；故所给命题正确的是②.13．直线1:30()l mx y m R +-=∈与直线2:21l y x =-平行，则实数m =__________． 【答案】2-【分析】根据两直线平行斜率相等，简单计算即可.【详解】由题可知：直线1l 的斜率为m -，直线2l 的斜率为2 又1l //2l ，所以22m m -=⇒=- 故答案为：2-14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率为12，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8，那么C 的方程为__________．【答案】22143x y +=【分析】结合椭圆的定义可得48a =，再结合离心率可求出c 的值，从而求出2b ，可写出椭圆方程.【详解】解：由椭圆的定义可知：2ABF 的周长为4a ，所以48a =，解得2a =； 因为离心率为12，所以1c =，则2223b a c =-= 所以椭圆的方程为：22143x y +=.故答案为：22143x y +=.【点睛】结论点睛：过焦点的三角形和椭圆交于A B 、两点，则A B 、两点与另一焦点连线与线段AB 构成的三角形的周长为4a .15．已知直三棱柱111ABC A B C -，2AB BC ==，22AC =，14AA =，则此直三棱柱外接球的表面积为__________． 【答案】24π【分析】由2AB BC ==，22AC =，得到AB BC ⊥，确定上下底面的中心的位置，然后由外接球的球心是上下底面中心的连线的中点求解. 【详解】如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -，2AB BC ==，22AC = 所以222AB BC AC ==，则AB BC ⊥，设上下底面的中心为12,O O ，则外接球的球心O 为12O O 的中点， 又14AA =，所以外接球的半径为22116R AO OO =+直三棱柱外接球的表面积为2424S R ππ==，故答案为：24π16．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________．【答案】11【分析】对函数进行求导，根据函数()f x 在1x =-有极值0，可以得到(1)0f -=，(1)0f '-=，代入求解即可【详解】解：322()3f x x mx nx m =+++2()36f x x mx n ∴'=++依题意可得(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩即2130360m n m m n ⎧-+-+=⎨-+=⎩ 解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩当1m =，3n =时函数32()331f x x x x =+++，22()3633(1)0f x x x x '=++=+函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以29m n =⎧⎨=⎩，所以11+=m n 故答案为：11【点睛】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值0()0f x ⇒'=．反之结论不成立，即函数有0()0f x '=，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变）．三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()()400x a x a a --<>，命题q ：实数x 满足403x x -<-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()3,4；（2）[]1,3.【分析】先求出命题,p q 对应的x 的范围（集合），（1）p q ∧为真，即,p q 均为真，求交集即可；（2）由必要不充分条件，得出集合的包含关系，可得答案．【详解】()():40P x a x a --<，():3,4q x ∈（1）当1a =时，():1,4P x ∈，∵p q ∧为真，所以P 与q 都是真命题，所以()3,4x ∈．（2）∵():,4P x a a ∈，():3,4q x ∈，且p 是q 的必要不充分条件∴()()3,4,4a a ∴13a ≤≤，即[]1,3a ∈【点睛】结论点睛：对于必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（ 1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明//PB 平面AEC ；（ 2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ,因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点,又E 为PD 的中点，所以//EO PB ,EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .（2）因为113P ABCD V AB AD AP -=⨯⨯⨯=, 所以3AB =，所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ABCD ⊥，所以BD PA ⊥，且AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ， 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD .【点睛】本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.19．已知函数()()2xf x e ax a R =-∈. （1）若12a =，求函数()f x 的单调区间 （2）当[]2,3x ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+；单调递减区间为(),0-∞；（2）2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）当12a =时，()x f x e x =-，利用导数可求得函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由参变量分离法得出min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用导数求出函数()xe g x x =在区间[]2,3上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）当12a =时，()x f x e x =-，()1x f x e '=-， 令()0f x '=，得0x =．令()0f x '>，得0x >：令()0f x '<，得0x <．所以函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）()202x x e f x e ax a x =-≥⇔≤对任意的[]2,3x ∈恒成立，即min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 设()xe g x x =﹐则()()21x e x g x x-'=，显然当[]2,3x ∈时()0g x '>恒成立． ()g x ∴在[]2,3单调递增，()n 2mi ()22g x g e ∴==， 22224e e a a ∴≤⇒≤，所以2,4 e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.20．平面上动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到直线2x =-的距离小1． （1）求动点M 满足的轨迹方程C ﹔（2）若A ，B 是（1）中方程C 表示的曲线上的两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）．试问直线AB 是否经过定点，并说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）直线AB 经过定点()4,0，证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义可得动点M 满足的轨迹方程C ﹔（2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k，联立直线与抛物线方程解出交点坐标，进而可得直线AB 的方程，可得直线AB 经过的定点坐标．【详解】（1）由题意易得：点M 到定点()1,0F 的距离等于点M 到直线1x =-的距离由抛物线定义可得：动点M 满足的轨迹方程C 为24y x =．（2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k． 联立方程24y kx y x =⎧⎨=⎩可得244(,)A k k ，同理可得：24,4()B k k -．∴()222441414k k kk k kk k+===±-- 直线AB 的方程为224(4)1k y k x k k +=--即2(4)1k y x k =--． 特别的，当1k =或1-时，点A 与点B 的横坐标都是4．综上可知，直线AB 经过定点()4,0．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是设出直线OA 和OB 的方程，分别与抛物线联立解出交点坐标，即可写出直线AB 的方程，进而得出定点坐标，考查了学生计算能力，属于中档题． 21．已知函数()ln ),(f x x x ax b a b R =++∈在点()()1,1f 处的切线为320x y --=．（1）求函数()f x 的解析式：（2）若存在实数m ，使得2()1f x m m x --<在x 1,14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）()ln 21f x x x x =+-；（2）12m -<<．【分析】（1）由条件可知()()11,13f f '==，代入求解,a b ，得到函数的解析式；（2）根据不等式能成立，转化为2max ()1f x m m x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，利用导数求函数()()f x h x x=的最大值，再求m 的取值范围.【详解】（1）由题意知：()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1'=++f x x a ∴(1)13(1)1f a f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩ 故()ln 21f x x x x =+-．（2）令()1()ln 2f x h x x x x ==-+，2211111()()24h x x x x '=+=+-，[]11,4x∈ ∴()()120h x h ''≥=>，故()h x 在[]11,4x ∈时，单调递增，()()11h x h ≤=． 要存在实数m ，使得2()1f x m m x --<在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时成立，只要2max()11f x m m x ⎡⎤--<=⎢⎥⎣⎦即可，解得：12m -<<． 22．已知椭圆E 2222:1(0)x y a b a b+=>>的焦距为1F ，2F 是椭圆的左右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF △O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点()0,2A -的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积为1时，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）2y =-或2y x =-． 【分析】（1）由焦距为c 的值，由12F PF △b 的值，结合222a bc =+即可求a 得值，进而可得椭圆E 的方程.（2）由题意可得直线l 斜率存在，设:2l y kx =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y 将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出弦长PQ ，求出点O 到直线PQ 的距离d ，计算OPQ △面积让其等于1，即可求得k 的值，进而可得直线l 的方程.【详解】（1）由题设可得：2c =c =以12F F 为底，当点P 为上下顶点时，12F PF △高最大，所以12F PF △的面积max 122S c b c b =⨯⨯=⨯=1b = 所以2224a b c =+= 故E 的方程为2214x y +=． （2）当l x ⊥轴时，不满足直线与抛物线交于不同的两点，不合题意，故设:2l y kx =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y将2y kx =-代入2214x y +=得22(14)16120k x kx +-+=． 由216(43)0k ∆=->可得234k >，所以1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+从而12|PQ x x =-==． 又点O 到直线PQ 的距离d =所以OPQ △的面积为221||124141OPQ S d PQ k k =⋅===++， 整理得：421656490-+=k k ，即()22470k -=，解得274k =，所以2k =±且满足0∆>．所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用焦点三角形面积最大值为bc 求出b 的值，对于三角形面积利用弦长公式求弦长，利用点到直线的距离公式求三角形的高，根据面积为1列方程，可求直线的斜率k ，是常考题型.。

2025届安徽省宿州市十三所重点中学七年级数学第一学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若方程3x n-7-7= 1是关于x 的一元一次方程，则n 的值是（ ） A ．2B ．8C ．1D ．32．运动场环形跑道周长400米，小林跑步的速度是爷爷的二倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min 后小林第一次与爷爷相遇，小林跑步的速度是（ ）米/分． A ．120B ．160C ．180D ．2003．如图，甲从A 点出发向北偏东 65°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西10°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是（ ）A ．165°B ．160°C ．125°D ．105°4．数149000000科学记数法可表示为（ ） A ．81.4910⨯B ．91.4910⨯C ．814.910⨯D ．914.910⨯5．将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果将分式2510aba b+中的a 和b 都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）A ．扩大到原来的2倍B ．扩大到原来的4倍C ．缩小到原来的12D ．不变7．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是( ) A ．了解我国民众对乐天集团“萨德事件”的看法 B ．调查我校某班学生喜欢上数学课的情况 C ．了解湖南卫视《人们的名义》反腐剧的收视率 D ．调查某类烟花爆竹燃放的安全情况8．某商贩在一次买卖中，以每件135元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中，该商贩（ ） A ．不赔不赚B ．赚9元C ．赔18元D ．赚18元9． “壮丽70年，数字看中国”．1952年我国国内生产总值仅为679亿元，2018年达到90万亿元，是世界第二大经济体．90万亿元这个数据用科学记数法表示为（ ） A ．4910⨯亿元B ．5910⨯亿元C ．6910⨯亿元D ．49010⨯亿元10．已知-252m a b 和734n b a -是同类项，则m+n 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．如今中学生睡眠不足的问题正愈演愈烈，“缺觉”已是全国中学生们的老大难问题，教育部规定，初中生每天的睡眠时间应为9个小时，鹏鹏记录了他一周的睡眠时间，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则鹏鹏这一周的睡眠够9个小时的有（ ）A ．1天B ．2天C ．3天D ．4天12．如图所示的是一副特制的三角板，用它们可以画出-一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ）A ．18B ．108C ．82D ．117二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将一堆糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少12颗．设幼儿园里有x 个小朋友，可得方程___________. 14．当x________时，分式121x x +-有意义． 15．对，定义新运算“”如下：，已知，则实数__________．16．如图所示，OA ⊥BE ，OC ⊥OD ，则图中与∠BOC 互余的角是_________．17．已知222x x +=，则多项式2243x x +-的值为__________ ．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（5分）某校为了了解该校七年级学生学习数学的效果情况，现从七年级2019年12月份测试中随机抽取了部分学生的数学成绩，按,,,A B C D 四个等级进行统计，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：(注：A 等：108-120分；B 等：96-107分；C 等：72-95分；D 等：0-71分)（1）这次抽查的样本容量是多少？ （2）将两幅统计图补充完整；（3）如果该校这次测试数学成绩达到96分(含96分)以上的七年级学生有405人，那么该校七年级学生共有多少人？ 19．（5分）读题画图计算并作答画线段AB ＝3 cm ，在线段AB 上取一点K ，使AK ＝BK ，在线段AB 的延长线上取一点C ，使AC ＝3BC ，在线段BA 的延长线取一点D ，使AD ＝AB ． (1)求线段BC 、DC 的长？ (2)点K 是哪些线段的中点？20．（8分）点D 是线段AB 的中点，延长线段AB 至C ，使得3BC AD =． （1）根据题意画出图形；（2）若15BD =，求线段AC 的长，21．（10分）ABC 在直角坐标系中的位置如图所示．（1）写出ABC 各顶点的坐标；（2）画出ABC 关于y 轴、x 轴的对称图形111A B C △，222A B C △； （3）求出111A B C △的面积．22．（10分）自2016年1月1日起，某市居民生活用水实施年度阶梯水价，具体水价标准见下表：类别水费价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米） 综合水价（元/立方米） 第一阶梯≤120（含）立方米 3.5 1.5 5 第二阶梯120～180（含）立方米 5.25 1.5 6.75 第三阶梯＞180立方米10.51.512例如，某户家庭年用水124立方米，应缴纳水费：120x 5+（124﹣120）x 6.75＝627（元）． （1）小华家2017年共用水150立方米，则应缴纳水费多少元？（2）小红家2017年共用水m 立方米（m ＞200），请用含m 的代数式表示应缴纳的水费．水费2115元，求小刚家这两年的年用水量分别是多少？ 23．（12分）下列各式分解因式： （1）225x -（2）22363ax axy ay -+参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、B【分析】根据一元一次方程的定义即可得． 【详解】由一元一次方程的定义得：71n -=， 解得8n =， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握理解定义是解题关键． 2、B【分析】设爷爷的速度为x 米/分钟，则小林的速度为2x 米/分钟，根据二者速度之差×时间＝环形跑道的长度，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】解：设爷爷的速度为x 米/分钟，则小林的速度为2x 米/分钟， 根据题意得：5×（2x ﹣x ）＝400， 解得：x ＝80， ∴2x ＝1．答：爷爷的速度为80米/分钟，小林的速度为1米/分钟． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3、C【详解】如图，由题意，可知：∠BAD=65°， ∴∠BAE=25°， ∵∠CAF=10°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAF+∠CAF =25°+90°+10° =125°， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了方向角，正确理解方向角的定义是解题的关键． 4、A【分析】由题意根据科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数进行分析得解．【详解】解：将149000000用科学记数法表示为：81.4910 ． 故选：A ． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟知科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值是解题的关键． 5、A【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论． 故选A ．本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．6、A【分析】根据分式的基本性质变形后与原分式比较即可．【详解】将分式2510aba b+中的a和b都扩大到原来的2倍，得2224=52102510a b aba b a b⨯⨯⨯+⨯+，∴分式的值扩大到原来的2倍．故选A．【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．7、B【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【详解】A、了解我国民众对乐天集团“萨德事件”的看法调查范围广适合抽样调查，故A不符合题意；B、调查我校某班学生喜欢上数学课的情况适合普查，故B符合题意；C、了解湖南卫视《人们的名义》反腐剧的收视率调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；D、调查某类烟花爆竹燃放的安全情况调查具有破坏性适合抽样调查，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考察的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8、C【分析】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y；求出成本可得.【详解】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得135-x=25%xy-135=25%y解方程组，得x=108元，y=180元135+135-108-180=-18亏本18元【点睛】考核知识点：一元一次方程的运用.理解题意，列出方程是关键. 9、B【分析】根据科学计数法的表示方法写出即可. 【详解】90万亿元=900000亿元=5910⨯亿元， 故选B. 【点睛】此题考查科学计数法的表示方法，科学计数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值. 10、D【分析】根据同类项的定义建立关于m 、n 的式子，分别求解再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：2431m n =⎧⎨-=⎩，解得22m n =⎧⎨=⎩，则224m n +=+=， 故选D ． 【点睛】本题考查同类项的定义，理解定义并准确求解出参数是解题关键． 11、B【分析】根据折线统计图可以得到鹏鹏这一周的睡眠够9个小时的有几天. 【详解】由统计图可知,周五、周六两天的睡眠够9个小时, 所以B 选项是正确的. 【点睛】本题考查了折线统计图，折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且还能够清楚的表示出数量增减变化的情况,可以直观地反映这种变化以及各组之间的差别. 12、C【分析】一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可． 【详解】A 、18︒＝90︒−72︒，则18︒角能画出；B、108︒＝72︒＋36︒，则108︒可以画出；C、82︒不能写成36︒、72︒、45︒、90︒的和或差的形式，不能画出；D、117︒＝72︒＋45︒，则117︒角能画出．故选：C．【点睛】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、2x+8=3x-12【解析】试题解析：设共有x位小朋友，根据两种分法的糖果数量相同可得：2x+8=3x-12.故答案为2x+8=3x-12.14、12≠．【分析】分母不为零时，分式有意义.【详解】当2x﹣1≠0，即x12≠时，分式121xx+-有意义．故答案为12≠．【点睛】本题考点：分式有意义.15、1．【解析】当x≥3时，根据题意得：x*3=2x+3=-1，解得：x=-2，不合题意；当x＜3时，根据题意得：x*3=2x-3=-1，解得：x=1，则实数x等于1，故答案为1【点睛】本题考查了解一元一次方程，新定义问题，根据新定义分x大于等于3与x小于3两种情况考虑，进而求出x的值是解题的关键.16、∠AOC和∠BOD【详解】解：∵OA ⊥BE ， ∴∠AOB=90°，∴∠AOC 与∠BOC 互余， ∵OC ⊥OD ， ∴∠COD=90°， ∴∠BOD 与∠BOC 互余，∴与∠BOC 互余的角是∠AOC 和∠BOD. 故答案为：∠AOC 和∠BOD. 【点睛】本题考查的是余角的概念，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角． 17、1【解析】解：222432(2)32231x x x x +-=+-=⨯-=．故答案为1．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18、（1）200；（2）答案见解析；（3）900人．【分析】（1）用条形统计图中C 等级的人数除以扇形统计图中C 等级所占百分比即可；（2）用抽取的总人数减去B 、C 、D 三个等级的人数即可得到A 等级的人数，进而可补全条形统计图；用B 、D 等级的人数分别除以总人数可得B 、D 等级所占百分比，进而可补全扇形统计图； （3）用405除以（A 等级所占百分比+B 等级所占百分比）即可求出结果． 【详解】解：（1）由统计图信息得：6030%200÷=， ∴这次抽查的样本容量为200；（2）A 等级的人数=200－50－60－50=40人，B 等级所占百分比=50÷200=25%，D 等级所占百分比=50÷200=25%； 补充完整两幅统计图如图所示；（3）405(25%20%)900÷+=人，即该校七年级学生共有900人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，属于常考题型，理解题意、弄清两者的关联、熟练掌握求解的方法是解题关键．19、 (1) BC ＝1.5 cm ，DC ＝6cm ；(2)点K 是线段AB 和DC 的中点.【分析】(1)先根据AC ＝3BC ＝AB ＋BC ,可得AB ＝2BC ,即BC ＝AB ＝1.5(cm),AD ＝AB ＝×3＝1.5(cm),进而可得:DC ＝DA ＋AB ＋BC ＝1.5＋3＋1.5＝6(cm),(2)根据中点的定义可得:K 是线段AB 的中点,也是线段DC 的中点.【详解】(1)由AC ＝3BC ＝AB ＋BC ,得AB ＝2BC ,∴BC ＝AB ＝1.5(cm),AD ＝AB ＝×3＝1.5(cm),∴DC ＝DA ＋AB ＋BC ＝1.5＋3＋1.5＝6(cm),(2)K 是线段AB 的中点,也是线段DC 的中点.【点睛】本题主要考查线段的中点性质和线段和差关系,解决本题的关键是要熟练掌握线段中点的性质和线段和差关系.20、（1）见详解；（2）75【分析】（1）根据题意，即可画出图形；（2）根据线段的中点和线段的和差关系，即可求出AC 的长度.【详解】解：（1）如图：（2）根据题意，∵D 是线段AB 的中点，15BD =，∴15AD BD ==，2=30AB BD =，∴3=45BC AD =，∴304575AC AB BC =+=+=.【点睛】本题考查了求两点之间的距离的应用，线段的和差，线段的中点的定义，弄清线段之间的数量关系是解题的关键．21、（1）()()()2,33,21,1A B C ---、、；（2）详见解析；（3）32． 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用网格结构准确找出对应点A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2的位置，然后顺次连接即可；（3）用111A B C △所在正方形减去三个直角三角形的面积即可得答案．【详解】（1）根据平面直角坐标系可知：()()()2,33,21,1A B C ---、、．（2）ABC 关于y 轴、x 轴的对称图形是111A B C △，222A B C △，∴A 1（2，3），B 1（3，2），C 1（1，1），A 2（-2，-3），B 2（-3，-2），C 2（-1，-1），∴111A B C △，222A B C △如图所示，（3）111111322 1 112122222A B C S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22、（1）小华家2017年应缴纳水费802.5元；（2）小红家2017年应缴纳的水费是（12m ﹣1155）元；（3）小刚家2017年用水2立方米，2018年用水160立方米．【分析】（1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；（2）由题意利用总价＝单价×数量，结合阶梯水价，即可得出结论；（3）根据题意设2017年用水x 立方米，则2018年用水（360﹣x ）立方米，再根据两年共缴纳水费1元即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】解：（1）小华家2017年应缴纳水费为120×5+（150﹣120）×6.75＝802.5（元）．答：小华家2017年应缴纳水费802.5元；（2）小红家2017年共用水m 立方米（m ＞2），则应缴纳的水费为：120×5+（180﹣120）×6.75+12（m ﹣180）＝（12m ﹣1155）元．答：小红家2017年应缴纳的水费是（12m ﹣1155）元．（3）设2017年用水x 立方米，则2018年用水（360﹣x ）立方米．根据两年共缴纳水费1元可得：120×5+（180﹣120）×6.75+12（x ﹣180）+120×5+（360﹣x ﹣120）×6.75＝1．解得：x ＝2．2018年用水量：360﹣2＝160（立方米）．答：小刚家2017年用水2立方米，2018年用水160立方米．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据题意例出一元一次方程求解是解题的关键.23、（1）原式(5)(5)x x =-+；（1）原式=23()a x y =-.【解析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）原式=（x+5）（x-5）；（1）原式=3a （x 1-1xy+y 1）=3a （x-y ）1．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。

安徽宿州十三所重点中学18-19学度高二下年中质量检测-数学（文）第二学期期中质量检测高二数学〔文科〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的.〕 1.在复平面内，复数iz +=21对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的石子可以排成一个正三角形〔如下图〕3.用反证法证明命题：个不小于21”时，反设正确的选项是A.假设)1(f ，)2(f ，)3(f 都不小于21B.假设)1(f ，)2(f ，)3(f 都小于21C.假设)1(f ，)2(f ，)3(f 至多有两个小于21D.假设)1(f ，)2(f ，)3(f 至多有一个小于214.关于综合法和分析法说法错误的选项是A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法5.执行如右图所示的程序框图，当输入6,1==n a 时，输出的结果等于 A.32B.64C.128D.2566.设有一个线性回归方程为x y 5.23-=，那么变量x 增加一个单位时1 3 6 10 15A.y 平均增加2.5个单位B.y 平均增加3个单位C.y 平均减少2.5个单位D.y 平均减少3个单位 7.以下几种推理中是演绎推理的是A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电B.猜想数列 ,431,321,211⨯⨯⨯的通项公式为)()1(1*N n n n a n ∈+= C.半径为r 的圆的面积2r S π=，那么单位圆的面积为π=SD.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质8.某中学在一次春游中，开展有奖答题活动，从2道文科题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为 A.21B.103C.256 D.2599.把以下在平面内成立的结论类比地推广到空间，仍然正确的选项是 A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么必与另一条相交 B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么必与另一条垂直 C.如果两条直线与第三条都不相交，那么这两条直线不相交 D.如果两条直线同时与第三条直线垂直，那么这两条直线平行 10.以下命题中正确的选项是〔1〕i b a b a b a R b a )()(,,++-=∈是则为纯虚数的充要条件 〔2〕当z 是非零实数时，21≥+zz 恒成立 〔3〕复数3)1(i z -=的实部和虚部都是2- 〔4〕设z 的共轭复数为z ，假设izzz z z z -==⋅=+则,8,4 A.〔1〕〔2〕B.〔1〕〔3〕C.〔2〕〔3〕D.〔2〕〔4〕【二】填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填在答题卷上〕 11.,0)4(3,,=-+-+∈i x y x R y x ）若（那么x y -=. 12.数系的结构图为下图所示，其中空白方框中的内容应为. 13.证明不等式)2(211≥---<-+a a a a a 所用的最合适的方法是.14.设函数)0(2)(>+=x x xx f ，观察：2)()(1+==x x x f x f 43))(()(12+==x x x f f x f87))(()(23+==x x x f f x f 1615))(()(34+==x xx f f x f ……根据以上事实，由归纳推理可得： 当==≥∈-))(()(21*x f f x f n N n n n 时，且.15.在平面几何里，有“假设ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，其内切圆半径为r ，那么三角形面积为r c b a S ABC)(21++=∆”.类比上述结论，拓展到空间，我们有“假设四面体ABCD 的四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,其内切球的半径为r ，那么四面体的体积为”.【三】解答题〔本大题共6题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 16.〔此题总分值12分〕实数m 取什么数值时，复数i m m m z )2(122--+-=分别是： 〔Ⅰ〕实数；〔Ⅱ〕纯虚数.17.〔此题总分值12分〕0,0>>b a ，求证：ba ab ba +≥+22.18.〔此题总分值12分〕下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限x 〔年〕和所需要的维修费用y 〔万元〕的几组统计数据：〔Ⅰ〕请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； 〔Ⅱ〕估计使用年限为10年时，维修费用为多少？〔参考：①3.1120.765.655.548.332.22=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯②xb y a xn xy x n yx b ni ini ii -=--=∑∑==,1221〕19.〔此题总分值12分〕某同学参加北大、清华、科大三所学校的自主命题招生考试，其被录取的概率分别为31,41,51〔各学校是否录取他相互独立，允许他可以被多个学校同时录取〕. 〔Ⅰ〕求此同学没有被任何学校录取的概率； 〔Ⅱ〕求此同学至少被两所学校录取的概率.20.〔此题总分值13分〕c b a ,,是互不相等的非零实数，求证：由b ax cx y a cx bx y c bx ax y ++=++=++=2,2,2222确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点. 21.〔此题总分值14分〕 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x f x x 且，设函数1)21()(+-=x f x g 〔Ⅰ〕求证：)(x f 是奇函数； 〔Ⅱ〕①求证：2)1()(=-+x g x g ；②结合①的结论求)1()20122011()20122()20121()0(g g g g g +++++ 的值； 〔Ⅲ〕仿上，设)(x F 是R 上的奇函数，请你写出一个函数)(x G 的解析式，并根据第〔Ⅱ〕问的结论，猜想函数)(x G 满足的一般性结论.宿州市十三所重点中学~2017--2018~学年度第二学期期中质量检测 高二数学〔文科〕参考答案一、选择题1~5DBBDB6~10CCABC 二、填空题 11、512、自然数〔或非负整数，或正整数和零〕 13、分析法 14、nn x x2)12(+-15、rS S S S )(314321+++三、解答题16、解：〔1〕为实数复数i m m m z )2(122--+-=022=--∴m m ………………………………………………2分21=-=∴m m 或………………………………………………5分〔2〕为纯虚数复数i m m m z )2(122--+-=020122≠--=-∴m m m 且………………………………8分1=∴m …………………………………………………………12分17、证明：成立要证ba abb a +≥+22 成立只要证ab b a 4)(2≥+成立只需证ab b a 222≥+ 成立即证0222≥-+ab b a成立很显然0)(2222≥-=-+b a ab b a成立故b a abb a +≥+22……………………………………………12分 18、解：〔1〕4565432=++++=x 55.75.65.58.32.2=++++=y …………………………2分 906543222222512=++++=∑=i ix 又……………………3分23.180905453.112=-⨯⨯-=∴b …………………………………7分 08.0423.15=⨯-=-=x b y a 又x y 23.108.0+=∴线性回归方程为…………………………9分〔2〕把10=x 代入回归方程得到：38.121023.108.0=⨯+=y∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元。