考研数学历年真题(2008-2017)年数学一

(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则( ) （A)12ab =（B)12ab =- （C)0ab = （D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-（D ）()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12(B ）6（C)4（D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ） （A ）010t = (B)01520t <<(C)025t = (D ）025t >()s（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ） （A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ）（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一 （C ） A 与C 不相似，B 与C 相似（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。

2008年考研数学一真题及参考答案一、选择题部分1. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且对任意x∈(a, b) 有f'(x) ≠ 0，则 f(x) 在 [a, b] 上是增函数的充分必要条件是：(A) f(a) < f(b)(B) f(a) = f(b)(C) f(a) > f(b)(D) f(a) ≤ f(b)参考答案：(A) f(a) < f(b)2. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且对任意x∈(a, b) 有f'(x) ≠ 0，则 f(x) 在 [a, b] 上是减函数的充分必要条件是：(A) f(a) < f(b)(B) f(a) = f(b)(C) f(a) > f(b)(D) f(a) ≤ f(b)参考答案：(C) f(a) > f(b)3. 设 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 为三次多项式，其中 a, b, c 都是实数，且满足 f(-1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 2，则 f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值为：(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4参考答案：(D) 44. 设函数 f(x) = e^x + ax + b，其中 a, b 是常数。

若 f(x) 在 (0, 1) 上取得最小值，则 a, b 的值为：(A) a = -1, b = -e(B) a = -1, b = e(C) a = 1, b = -e(D) a = 1, b = e参考答案：(A) a = -1, b = -e5. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 1，g(x) = f(f(f(x)))，则 g(1) 的值为：(A) -1(B) 0(C) 1(D) 2参考答案：(C) 1二、填空题部分1. 设函数 f(x) = ln(1 + x^2) + Cx，其中 C 是常数，若 f'(x) 在整个实数集上恒为正，则 C 的取值范围是 _______。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考答案和评分参考数 学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为 （B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）函数(,)arctanxf x y y=在点（0，1）处的梯度等于 （A ） （A ）i （B ）i - （C ）j （D ）j -（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是 （D ） （A ）044=-'-''+'''y y y y . （B ）044=+'+''+'''y y y y （C ）044=+'-''-'''y y y y . （D ）044=-'+''-'''y y y y（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是 （B ）（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛. (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛. (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. （5） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若03=A ，则 （C ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆. （B ）E A -不可逆，E A +可逆.（C ）E A -可逆，E A +可逆. （D ）E A -可逆，E A +不可逆 （6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为 （B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7） 随机变量X ，Y 独立同分布，且X 的分布函数为F(x)，则Z=max{X, Y}分布函数为 （A ）（A ）)(2x F ；（B ）)()(y F x F ；（C ）2)](1[1x F --；（D ）)](1)][(1[y F x F -- （8）随机变量~(0,1),~(1,4)X N Y N ，且相关系数1XY ρ=，则 （D ）（A ）{21}1P Y X =--= （B ）{21}1P Y X =-= （C ）{21}1P Y X =-+= （D ）{21}1P Y X =+=二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 微分方程'0xy y +=满足条件(1)1y =的解是=y x/1(10) 曲线sin()ln()xy y x x +-=在点（0，1）处的切线方程是1+=x y .(11) 已知幂级数(2)nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(]5,1(12) 设曲面∑是z =⎰⎰∑++dxdy x xdzdx xydydz 2=π4(13) 设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+则A 的非零特征值为__1___(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2EX X P ==e21三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-解： ()[]()3040sin sin sin lim sin sin sin sin limx x x x x x x x x -=-→→ ……2分＝()()20203sin cos 1lim 3cos sin cos cos lim xx x x x x x x -=-→→ ……6分 613sin lim 22210==→x x x ……9分 (16)（本题满分9分） 计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点（0，0）到点(,0)π的一段.解法1：()()[]⎰⎰⋅-+=-+π22cos sin 122sin 122sin dx x x x x ydy x xdx Ldx x x⎰=π22sin ……4分⎰+-=ππ0022c o s 2c o s 2x d x x x x ……6分 22s i n 212s i n 222002ππππ-=-+-=⎰x d x x x ……9分解法2：取1L 为x 轴上从点()0,π到点()0,0的一段，D 是由L 与1L 围成的区域()⎰⎰⎰-+--+=-++11)1(22sin )1(22sin 122sin 222L L L Lydy x xdx ydy x xdx ydy xxdx ……2分⎰⎰⎰--=02sin 4πxdx xydxdy D……5分⎰⎰⎰⎰--=-=--=ππππ0020sin 00)2cos 1(sin 22cos 214dx x x xdx x x xydy dx x22sin 212sin 2220002ππππ-=-+-=⎰xdx x x x ……9分 (17)（本题满分11分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点.解：点),,(z y x 到xOy 面的距离为z ，故求C 上距离xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2z H =在条件02222=-+z y x 与53=++z y x 下的最大值点和最小值点. ……3分 令)53()2(),,,,(2222-+++-++=z y x z y x z z y x L μλμλ ……5分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-+=+-==+==+=530203*********'''z y x z y x z z L y L x L z y x μλμλμλ ……7分 得y x =，从而⎩⎨⎧=+=-53202222z x z x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=555z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x ……10分根据几何意义，曲线C 上存在距离xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为)5,5,5(--和)1,1,1( ……11分(18)（本题满分10分） 设()f x 是连续函数， (I) 利用定义证明函数⎰=x dt t f x F 0)()(可导，且()()F x f x '=；(II) 当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数⎰⎰-=2)()(2)(dt t f x dt t f x G x 也是以2为周期的周期函数.(I) 证：对任意的x ，由于()f x 是连续函数，所以xdt t f x dtt f dt t f x x F x x F xx xx x xx x x ∆=∆-=∆-∆+⎰⎰⎰∆+→∆∆+→∆→∆)(lim )()(lim )()(lim 00000 ……2分 )(lim )(lim 00ξξf xx f x x →∆→∆=∆∆= （其中ξ介于x 与x x ∆+之间） 由)()(lim 0x f f x =→∆ξ，可知函数)(x F 在x 处可导，且)()('x f x F = ……5分(II) 证法1：要证明)(x G 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有)()2(x G x G =+，记)()2()(x G x G x H -+=，则()()222()2()(2)()2()()x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dt +'''=-+--⎰⎰⎰⎰0)()(2)()2(222=+--+=⎰⎰dt t f x f dt t f x f ……8分又因为00)(2)(2)0()2()0(2020=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰dt t f dt t f G G H 所以0)(=x H ，即)()2(x G x G =+ ……10分证法2：由于()f x 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有⎰⎰⎰⎰++-+-=-+220)()(2)()2()(2)()2(x xx dt t f x dt t f dt t f x dt t f x G x G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+x xx x dt t f du u f dt t f dt t f dt t f dt t f 002002022)()2(2)()()()(2……8分[]0)()2(20=-+=⎰x dt t f t f即)(x G 是以2为周期的周期函数. ……10分(19)（本题满分11分）将函数21)(x x f -=，)0(π≤≤x 展开成余弦级数，并求级数121(1)n n n +∞=-∑的和.解：由于⎰-=-=πππ220322)1(2dx x a ……2分,2,1,)1(4cos )1(21202=-=-=+⎰n nnxdx x a n n ππ……5分 所以nx n nx a a x f n n n n cos )1(431cos 2)(121210∑∑∞=+∞=-+-=+=π，π≤≤x 0， ……7分 令0=x ，有∑∞=+-+-=1212)1(431)0(n n n f π， 又1)0(=f ，所以12)1(2121π=-∑∞=-n n n ……11分(20)（本题满分10分）设βα,为3维列向量，矩阵,T T A ααββ=+其中Tα，Tβ为α，β的转置. 证明： (I) 秩()2r A ≤；(II) 若,αβ线性相关，则秩() 2.r A < 证：(I) ()()T T r A r ααββ=+()()T T r r ααββ≤+ ……3分2)()(≤+≤βαr r ……6分(II) 由于βα,线性相关，不妨设βαk =，于是21)())1(()()(2<≤≤+=+=βββββααr k r r A r T T T ……10分(21)（本题满分12分）设n 元线性方程b Ax =，其中A =2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (I) 证明行列式na n A )1(+=；(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； (Ⅲ) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(I) 证法1：记n D A ==2222212121212na a a a aa a a a当1=n 时，a D 21=，结论成立， 当2=n 时，2223212a aa a D ==，结论成立 ……2分假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得2122n n n D aD a D --=-n n n a n a n a ana )1()1(2221+=--=--，即na n A )1(+= ……6分证法2：2222122222121321012211212212122nna a a a a a aa aA r ar a a a a aa a a =-……2分3222221301240123321212na a a r ar a a a a a a -=……4分nnn n a n a n n a n n a a a ar nn r )1(111013412301211+=+----……6分(Ⅱ) 解：当0≠a 时，方程组系数行列式0≠n D ，故方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212121212122n n n na a a aaaD na a a aa a a aa ---===所以，an nD D x n n )1(11+==- ……9分(Ⅲ) 解：当0=a 时，方程组为 12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1-n ，所以方程组有无穷多解，其通解为()()01001000TTx k =+ ,其中k 为任意常数 ……12分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为1{}(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为101()0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩，其它记 Y X Z += (I) 求1{0}2P Z X ≤=； (II) 求Z 的概率密度)(z f z . 解：(I) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤021021X Y X P X Z P 2121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=Y P ……4分(II) {}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=)({}{}{}1,0,1,=≤++=≤++-=≤+=X z Y X P X z Y X P X z Y X P {}{}{}1,10,1,1=-≤+=≤+-=+≤=X z Y P X z Y P X z Y P {}{}{}{}{}{}11011=-≤+=≤+-=+≤=X P z Y P X P z Y P X P z Y P{}{}{}[]1131-≤+≤++≤=z Y P z Y P z Y P [])1()()1(31-+++=z F z F z FY Y Y ……7分 []13()()(1)()(1)Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z '==+++- ……9分 ⎩⎨⎧<≤-=其他,021,31z ……11分 (23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==n i i X n X 11，212)(11∑=--=n i iX X n S ，221S nX T -= (I) 证明T 是2μ的无偏估计量； (II) 当0,1μσ==时，求DT.(I) 证：因2222221)(1)1(ES nX D X E ES n X E S n X E ET -+=-=-= ……4分2222μσσμ=-+=nn所以T 是2μ的无偏估计量 ……7分(II) 解：当0=μ，1=σ时，由于X 与2S 独立 ，有)1(22S n X D DT -=2221DS nX D += ……9分 []22222)1()1(11)(1S n D n n X n D n --⋅+= )1(21112)1(2)1(11212222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅-⋅+⋅=n n n n n n n n ……11分数 学（二）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则()f x '的零点个数为 （D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）如图，曲线段的方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数， 则定积分()axf x dx '⎰等于 （C ）（A ）曲边梯形ABCD 面积. （B ）梯形ABCD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积. （D ）三角形ACD 面积. （3）【 同数学一（3）题 】 （4）判断函数x x x x f sin 1ln )(-=，则)(x f 有 （A ）（A ）1个可去间断点，1个跳跃间断点； （B ）1个跳跃间断点，1个无穷间断点.（C ）2个跳跃间断点； （D ）2个无穷间断点（5）【 同数学一（4）题 】 （6）设函数f 连续，若dxdy yx y x f v u F vu D ⎰⎰++=2222)(),(，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ （A ） （A ）)(2u vf （B ）)(2u f u v （C ） )(u vf （D ）)(u f uv（7）【 同数学一（5）题 】（8）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为 （D ）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 已知函数()f x 连续，且1)()1()](cos[1lim2=--→x f ex xf x x ，则=)0(f 2. (10) 微分方程0)(2=-+-xdy dx e x y x 的通解是=y )(x e C x --.(11) 【 同数学一（10）题 】 (12) 曲线32)5(x x y -=的拐点坐标为)6,1(--.(13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则=∂∂)2,1(xz)12(ln 22-.(14) 设3阶矩阵A 的特征值是λ,3,2，若行列式482-=A ，则=λ1-.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学一（15）题 】 (16)（本题满分10分）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰20)1ln()(t du u y t x x 确定，其中)(t x 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-=-020t xx te dt dx 的解，求22dx y d . 解：由02=--x te dtdx得tdt dx e x 2=，积分并由条件00==t x ，得21t e x +=， 即)1ln(2t x += ……4分)1ln()1(122)1ln(2222t t t t t t dt dxdt dydx dy ++=+⋅+== ……7分[][]1)1ln()1(122)1ln(2)1ln()1()(22222222+++=+++=++==t t t t t t t dt dx t t dt ddx dy dx d dxy d ……10分(17)（本题满分9分） 计算21⎰.解：由于+∞=--→2211arcsin lim x xx x ，故dx xx x ⎰-10221arcsin 是反常积分 令t x =arcsin ，有t x sin =，[0,)2t π∈⎰⎰⎰==-120202222sin cos cos sin 1arcsin ππtdt t tdt ttt dx xx x ……3分⎰+-=202022sin 4142sin 16πππtdt t t ……7分 41162cos 81162202+=-=πππt ……9分 (18)（本题满分11分） 计算{}⎰⎰Ddxdy xy 1,max ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D .解：曲线1=xy 将区域D 分成如图所示的两个区域1D 和2D ……3分{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=211,m ax D D Ddxdy xydxdy dxdy xy ……5分⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=x xdy dx dy dx xydy dx 102212021021221 ……8分2ln 4192ln 212ln 415+=++-=……11分 (19)（本题满分11分）设)(x f 是区间[)+∞,0上具有连续导数的单调增加函数，且1)0(=f ，对任意的[)+∞∈,0t ，直线t x x ==,0，曲线)(x f y =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数)(x f 的表达式.解：旋转体的体积⎰=t dx x f V 02)(π，侧面积⎰+=tdx x f x f S 02')(1)(2π，由题设条件知⎰⎰+=t t dx x f x f dx x f 02;02)(1)()( ……4分上式两端对t 求导得：)(1)()(2'2t f t f t f +=， 即y '=……6分由分离变量法解得12)1ln(C t y y +=-+，即 t Ce y y =-+12 ……9分将1)0(=y 代入知1=C ，故t e y y =-+12，)(21t t e e y -+=于是所求函数为)(21)(x x e e x f y -+== ……11分(20)（本题满分11分）(I) 证明积分中值定理：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈η，使得)()()(a b f dx x f ba-=⎰η；(II) 若函数)(x ϕ具有二阶导数，且满足)1()2(ϕϕ>，⎰>32)()2(dx x ϕϕ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得()0ϕξ''<证：(I) 设M 与m 是连续函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值，即M x f m ≤≤)(，[]b a x ,∈由积分性质，有⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(，即M dx x f a b m ba ≤-≤⎰)(1……2分 由连续函数介值定理，至少存在一点[]b a ,∈η，使得⎰-=badx x f a b f )(1)(η，即))(()(a b f dx x f ba-=⎰η ……4分(II) 由 (I) 知至少存在一点[]3,2∈η，使)()23)(()(32ηϕηϕϕ=-=⎰dx x ……6分又由)()()2(32ηϕϕϕ=>⎰dx x 知，32≤<η，对)(x ϕ在]2,1[和],2[η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到)1()2(ϕϕ>，)()2(ηϕϕ>，得21,012)1()2()('11<<>--=ξϕϕξϕ，32,02)2()()('22≤<<<--=ηξηϕηϕξϕ ……9分在],[21ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有211221()()()0,(,)(1,3)ϕξϕξϕξξξξξξ''-''=<∈⊂- ……11分(21)（本题满分11分）求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 下的最大值与最小值.解：作拉格朗日函数)4()(),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x F μλμλ……3分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=04002022022'22''''z y x F z y x F z F y y F x x F z y x μλμλμλμλ ……6分解方程组得)2,1,1(),,(111=z y x ，)8,2,2(),,(222--=z y x ……9分 故所求的最大值为72，最小值为6. ……11分(22)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (23)（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； （Ⅱ）令123{,,}P ααα=，求1P AP -.证明: (I) 设存在数321,,k k k ，使得0332211=++αααk k k ○1 用A 左乘○1的两边，并由11αα-=A ，22αα=A ，得：0)(3323211=+++-αααk k k k ○2 ……3分 ○1－○2得：022311=-ααk k ○3 因为21,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以21,αα线性无关，从而031==k k 代入○1得，022=αk ，又由于02≠α，所以02=k ，故123,,ααα线性无关. ……7分 （Ⅱ）由题设，可得),,(),,(321321ααααααA A A A AP ==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100110001100110001),,(321P ααα由(I)知，P 为可逆矩阵，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1001100011AP P ……10分数 学（三）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数()f x 在区间]1,1[-上连续，则x=0是函数0()()xf t dtg x x=⎰的 （B ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点. （C ）无穷间断点. （D ）振荡间断点.（2）【 同数学二（2）题 】 （3）已知(,)f x y =则 （B ）（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在（C ）)0,0(x f '存在，)0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f ' )0,0(y f '都不存在 （4）【 同数学二（6）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 设函数21,()2,x x c f x x cx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则=c 1.(10) 函数3411x x f x x x +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求积分⎰=222)(dx x f 3ln 21. (11) 设{}1),(22≤+=y x y x D ，则⎰⎰=-Ddxdy y x )(24/π.(12) 【 同数学一（9）题 】(13) 设3阶矩阵A 的特征值是1, 2, 2，E 为3阶单位矩阵，则E A --14= _3___ . (14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 计算201sin limlnx xx x→. 解：原式＝20lnsin ln lim x x x x →-=xx xx x x sin 2sin cos lim 20-→ ……4分 302sin cos lim x x x x x -=→206sin limx xx x -=→ ……7分 61-= ……9分 (16)（本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数且1ϕ'≠-，(I) 求 dz ； (II) 记 1(,)()z z u x y x y x y ∂∂=--∂∂，求ux∂∂. 解法1：(I) 设)(),,(22z y x z y x z y x F ++--+=ϕ则2x F x ϕ'=-，2y F y ϕ''=-，1z F ϕ''=-- ……3分由公式x z F z x F '∂=-∂'，y zF z y F '∂=-∂'，得 21z x x ϕϕ'∂-='∂+，21z y y ϕϕ'∂-='∂+ 所以[]1(2)(2)1z z dz dx dy x dx y dy x y ϕϕϕ∂∂''=+=-+-'∂∂+ ……7分 (II) 由于2(,)1u x y ϕ='+， 所以 2322(21)(1)(1)(1)u z x x x ϕϕϕϕ'∂-∂+''=+=-''∂+∂+ ……10分 解法2：(I) 对等式)(22z y x z y x ++=-+ϕ两端求微分,得22()xdx ydy dz dx dy dz ϕ'+-=⋅++ ……5分解出dz 得 2211x y dz dx dy ϕϕϕϕ''--=+''++ ……7分(II) 同解法1 ……10分 (17)（本题满分11分） 【 同数学二（18）题 】 (18)（本题满分10分） ()f x 是周期为2的连续函数， (I) 证明对任意实数t ，有⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t；(II) 证明⎰⎰+-=xt tdt ds s f t f x G 02])()(2[)(是周期为2的周期函数.证法1：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，⎰⎰⎰⎰++++=022202)()()()(tt t tdx x f dx x f dx x f dx x f ……2分令2-=x s ，则有⎰⎰⎰⎰-==+=+0022)()()2()(tttt dx x f ds s f ds s f dx x f所以⎰⎰⎰⎰⎰=-+=+222)()()()()(dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ttt t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰20)(，则ax dt t f x G x-=⎰0)(2)(因为对任意的x ，ax dt t f x a dt t f x G x G xx +-+-=-+⎰⎰+020)(2)2()(2)()2(a dt t f x x 2)(22-=⎰+ ……8分02)(22=-=⎰a dt t f所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分证法2：(I) 设 ⎰+=2)()(t tdx x f t F ，由于0)()2()('=-+=t f t f t F ， ……2分所以)(t F 为常数，从而有)0()(F t F = 而⎰=20)()0(dx x f F ，所以⎰=20)()(dx x f t F ，即⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰2)(，则ax dt t f x G x -=⎰0)(2)(，⎰++-=+20)2()(2)2(x x a dt t f x G ……7分由于对任意x ，((2))2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，(())2()G x f x a '=- 所以((2)())0G x G x '+-=，从而)()2(x G x G -+是常数，即有0)0()2()()2(=-=-+G G x G x G ，所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为05.0=r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元实 现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取)910(n +万元，并能按此规 律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？解：设n A 为用于第n 年提取)910(n +万元的贴现值，则)910()1(n r A n n ++=-故∑∑∞=∞=++==11)1(910n nn n r nA A ……3分 ∑∑∑∞=∞=∞=++=+++=111)1(9200)1(9)1(110n nn n n n r nr n r ……6分 设∑∞==1)(n nnxx S ，)1,1(-∈x因为21()()()1(1)n n x x S x x x x x x ∞=''===--∑，)1,1(-∈x ……9分 所以42005.1111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S r S （万元）故39804209200=⨯+=A （万元），即至少应存入3980万元. ……10分(20) ( 本题满分12分 ) 【 同数学一（21）题 】 (21) ( 本题满分10分 ) 【 同数学二（23）题 】 (22) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（22）题 】 (23) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（23）题 】数 学（四）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设0a b <<，则=+--∞→nnn n b a1)(lim （B ）（A ）a . （B ）1-a . （C ）b . （D ）1-b . （2）【 同数学三（1）题 】（3）设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域},10),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=则以下结论正确的是 （A ） （A ）()()0.Df yg x dxdy =⎰⎰ （B ）()()0.Df xg y dxdy =⎰⎰（C ）[()()]0.Df xg y dxdy +=⎰⎰ （D ）[()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰（4）【 同数学二（2）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 【 同数学三（9）题 】 (10) 已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程是xy 2= .(11)=⎰⎰121ln xdy x dx y2/1.(12) 【 同数学二（10）题 】(13) 设3阶矩阵A 的特征值互不相同，且行列式0A =，则A 的秩为___2___. (14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学三（15）题 】 (16)（本题满分10分）设函数dt x t t x f ⎰-=10)()()10(<<x ，求()f x 的极值、单调区间及曲线)(x f y =的凹凸区间.解：31231)()()(310+-=-+-=⎰⎰x x dt x t t dt t x t x f xx……4分 令21()02f x x '=-=，得22,22-==x x （舍去） 因()20f x x ''=>（10<<x ） ……5分故22=x 为()f x 的极小值点，极小值)221(31)22(-=f ，且曲线)(x f y =在)1,0(内是凹的. ……8分 由21()2f x x '=-知，()f x 在)22,0(内单调递减，在)1,22(内单调递增. ……10分(17)（本题满分11分） 【 同数学二（21）题 】 (18)（本题满分10分） 【 同数学三（16）题 】 (19)（本题满分10分） 【 同数学三（18）题 】 (20)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (21)（本题满分10分） 【 同数学二（23）题 】 (22)（本题满分11分） 【 同数学一（22）题 】 (23)（本题满分11分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该 企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？解：进行再加工后，产品的合格率984.08.075.004.096.0=⨯⨯+=p ……4分 记X 为n 件产品中的合格产品数，)(n T 为n 件产品的利润，则n np EX p n B X 984.0),,(~== ……8分 )(2080)(X n X n T --=，()1002078.4ET n EX n n =-= ……10分要20000)(≥n ET ，则256≥n ，即该企业每天至少应生产256件产品. ……11分。

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭． 记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________． 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 （23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+ò，则()f x ¢的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B). 【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x ¢=+×=+．显然()f x ¢在区间(,)-¥+¥上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0f f ¢¢-·=-·<，由零点定理，知()f x ¢至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x¢¢=++>+，恒大于零，所以()f x ¢在(,)-¥+¥上是单调递增的．又因为(0)0f ¢=，根据其单调性可知，()f x ¢至多有一个零点．故()f x ¢有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j-【答案】应选(A). 【详解】因为222211f y y x x x y y ¶==¶++．222221xf x y x y x y y -¶-==¶++．所以(0,1)1fx ¶=¶，(0,1)0f y ¶=¶，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】(A) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+--=. (B) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+++=. (C) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢--+=. (D) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=.【答案】应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11l =，2,32i l =±，故对应的特征值方程为，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i l l l l l -+-=-+3244l l l =+-- l l l 3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=．应选(D). （4）设函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B). 【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}nf x 收敛．故应选(B). （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】 则下列结论正确的是：则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆. (C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z æöç÷=ç÷ç÷èø在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B). 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y za c+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B). （7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max {,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =£=£()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =££==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY r =，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY r =，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =´+，1b =．从而排除(B).故应选故应选(D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y ¢+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1yx =．【详解】由dy ydx x=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F ¢=-=¢． 故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ¥=+å在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数0(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为的收敛域为. 【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nnn a x ¥=+å的收敛域为(4,0]-，则0nnna x ¥=å的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为(1,5]．(12)设曲面S是224z x y=--的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy S++=òò.【答案】 4p ．【详解】作辅助面1:0z S =取下侧．则由高斯公式，有取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy S++òò122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy åå=++-++òòòò2224x y ydV x dxdy W+£=+òòòòò．2222410()2x y x y dxdy +£=++òòd r rdr p q p p 22200116424=·==òò． (13) 设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，10A a =，2122A a a a =+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A a a a a a a a a æö==+=ç÷èø．记12(,)P a a =，因12,a a 线性无关，故12(,)P a a =是可逆矩阵．因此是可逆矩阵．因此0201AP P æö=ç÷èø，从而10201P AP -æö=ç÷èø．记0201B æö=ç÷èø，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．相同的特征值．因为2||(1)01E B l l l l l --==--，0l =，1l =．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. ) (15)(本题满分10分)求极限[]40sin sin(sin )sin lim x x x x x®- 【详解1】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]30sin sin(sin )lim x x x x®-= ＝20cos cos(sin )cos lim 3x x x x x®-201cos(sin )lim 3x x x®-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x ®=(或2201(sin )2lim 3x x x ®=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x®+=)16=． 【详解2】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]40sin sin(sin )sin lim sin x x x xx®-= ＝30sin lim t t t t ®-201cos lim 3t t t ®-=2202lim 3t tt ®=（或0sin lim 6t t t ®=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)p的一段．的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò20[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx p=+-ò20sin 2x xdx p=ò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò20cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp=-+-ò22p =-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)p 到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域围成的区域12sin 22(1)L Lxdx x ydy ++-ò2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y éù¶-¶=--êú¶¶ëûòò4Dxydxdy =-òòsin 004xxydydx p=-òò22sin x xdxp=-ò(1cos 2)x x dx p=--ò20cos 22xx xdx pp=-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydyxdx p+-==òò故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy=+-ò212sin 222LLxdx ydy x ydy I I=-+=+ò对于1I，记sin 2,2P x Q y==-．因为P P y x ¶¶==¶¶，故1I 与积分路径无关．与积分路径无关．1sin 20I xdxp==ò．对于2I ，222222sin cos sin 2LI x ydyx x xdxx xdx pp===òòò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò2cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ì+-=í++=î求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z l m l m =++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy zL x L y L z z x y z x y z l m l m l m ¢=+=ìï¢=+=ïï¢=-++-=++==íïïïî 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=ìíî解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-æö+-=ç÷èø下的最大值点和最小值点．值点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x yx y l l æö=+++-+-ç÷èø， 由222520.422(5)0,9422(5)0,93xy L x x x y L y x x y y y y x l l ìæö¢=+-+-=ïç÷èøïïïæö¢=+-+-=+-íç÷èøæö+-=ç÷èøïïïïî得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得2cos ,2sin .x z y z q q ì=ïí=ïî 代入35x y z ++=，得，得532(cos sin )z q q =++所以只要求()z z q =的最值．的最值． 令()252(sin cos )()032(cos sin )z q q q q q -+¢==++，得cos sin q q =，解得5,44p p q =．从而．从而5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数，是连续函数，（I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =ò可导，且()()F x f x ¢=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，为周期的周期函数时，证明函数证明函数2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò也是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．（I ）【证明】000()()()()()lim lim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+D D ®D ®-+D -¢==D D òò0()lim x xxx f t dtx+D D ®=D ò00()lim lim ()()x x f x f f x x x x D ®D ®D ===D【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim lim x xxx x f t dt f x x xx+D D ®D ®+D =D D ò．(II) 【证法1】根据题设，有】根据题设，有2220(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +¢éù¢+=-+=+-êúëûòòò， 22000()2()()2()()xG x f t dt x f t dt f x f t dt ¢éù¢=-=-êúëûòòò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而从而 (2)()G x G x ¢¢+=．因而．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故，故 (2)()0G x G x +-=．即2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，222222()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--òòòò．对于22()x f t dt +ò，作换元2tu =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有，则有22()(2)()()x xxxf t dt f u du f u du f t dt +=+==òòòò，因而因而 222()()0x xf t dt xf t dt +-=òò．于是于是200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数【证法3】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，2222()2()()2()xx xf t dt f t dt xf t dt f t dt +=+--òòòò2222()()2()2()xx xf t dt xf t dt f t dt f t dt +=-+-òòòò()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-òò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=òò．事实上事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=ò，所以所以22()x f t dt C +ºò．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +º=òò．所以所以200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x p =-££展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -¥=-å的和．的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x pp-ò2213p æö=-ç÷èø． 02()cos n a f x nxdx p p =ò2002cos cos nxdx x nxdx pp p p éù=-êúëûòò 220cos x nxdxp pp éù=-êúëûò202sin 2sin x nxx nx dxn npppéù-=-êúëûò1222(1)n n p p--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx p -¥¥===-=+=--+åå，0x p ££．令x=0x=0，有，有n n f n p 2121(1)(0)143-¥=-=-+å又(0)1f =，所以n n n p 1221(1)12-¥=-=å．（20）(本题满分10分)设,a b 为3维列向量，矩阵T T A aa bb =+，其中,T Ta b 分别是,a b 得转置．证明：得转置．证明： （I ） 秩()2r A £；（II ）若,a b 线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r aa bb aa bb a b =+£+£+£． 【证法2】因为T TA aa bb =+，A 为33´矩阵，所以()3r A £． 因为,a b 为3维列向量，所以存在向量0x ¹，使得，使得0,0TTa xb x ==于是于是 0TTA x aa x bb x =+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A £．【证法3】因为TT A aa bb =+，所以A 为33´矩阵．矩阵．又因为()00TTTT A a aa bb abb æöç÷=+=ç÷ç÷èø， 所以|||0|00T TaA abb ==故 ()2r A £．（II ）【证法】由,a b线性相关，不妨设k a b=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk ra ab b b b b=+=+££<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中，其中2222212121212a a a a a A a a a a æöç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷èø，12n x x x xæöç÷ç÷=ç÷ç÷èø，b 100æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø．（I ）证明行列式||(1)nA n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aaD A aa aa ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得按第一行展开得nn n aa aaD aD aa aa 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故(1)nA n a=+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aDa D --==-得，2211221()()n n nnn n n D aDa D aD aD aD a ------=-==-=．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aaA aa aa =22122213121212212na a aa r ar aa aa -3222221301240123321212na a ar ara aaa aa -=n n n a a an r ar n n a n n a n1213012401130111----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ¹时，方程组系数行列式0n D ¹，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aaaaD na a a a a aa aa ---===所以，11(1)n n D ax Dn a -==+． （III ）【详解】【详解】 当0a =时，方程组为时，方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()01100TTx k =+，其中k 为任意常数．为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为密度为1,01,()0,Yy f y 其它其它..£<ì=íî记Z X Y =+．（I ） 求102P Z X æö£=ç÷èø；（II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】 解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y æöæö£==+£=ç÷ç÷èøèøæöæö=£==£=ç÷ç÷èøèø解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z XP X P Y X P Y P X æö+£=ç÷æöèø£==ç÷=èøæö£=ç÷æöèø==£=ç÷=èø（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{} =P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1} =P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=£=+£££££££££££+£Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3 ()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+£+++-=ì-<<ï=+++-=éùíëûïî解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-ì-<<ï=+++-=éùíëûïîå其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N m s 的简单随机样本，记å==ni i X n X 11，2211()1ni i S X X n ==--å，221TX S n=-．（1）证明T 是m 2的无偏估计量；的无偏估计量； （2）当m s 0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nn ns m s =+-=+-2m =对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次()()22111111n ni j k i j k n T X X X X n n n n n =¹=-=---åå，()()1n j k j kn ET E X EX n ¹=-å2m =，对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量． （2）解法2．根据题意，有(0,1)nXN ，22(1)nXc ，22(1)(1)n Sn c --．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n Sn -=-．所以221()D T D XS n æö=-ç÷èø()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n n n =+-=--。

2008考研数学一真题及答案一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-•=-•<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x ''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x x x y y ∂==∂++．222221xf x y x y x y y-∂-==∂++．所以(0,1)1fx ∂=∂，(0,1)0f y ∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆. (C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x=． 【详解】由dy ydx x=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+． 代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=． （10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-， (0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则nn n a x∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ22200116424=•==⎰⎰． (13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e． 三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x→-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x→=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=) 16=． 【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]40sin sin(sin )sin limsin x x x x x→-=＝30sin lim t t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰20sin 2x xdx π=⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰20cos 22x xdx ππ=-+⎰ 200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰20cos 22xx xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰ 22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P y x∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关． 10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ，2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰ 2cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=． 解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 代入35x y z ++=，得z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰00()limlim ()()x x f xf f x xξξ∆→∆→∆===∆ 【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()limlimx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有22200(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x xf t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x xf t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx x f t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰222002()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰202cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰20020cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰2002sin 2sin x nxx nx dxn n πππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 1222(1)n n ππ--=124(1)n n--=． 所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤． 令x=0，有n n f n π2121(1)(0)143-∞=-=-+∑ 又(0)1f =，所以n n n π1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤== ⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1}=P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i YY Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES n n nσμσ=+-=+-2μ= 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111n ni j ki j k n T X X X X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1n j k j kn ET E X EX n ≠=-∑2μ=， 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nX χ，22(1)(1)n S n χ--．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-． 所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n S n n n n n =+-=--。

2008考研数学一真题及答案一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-•=-•<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x ''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x x x y y ∂==∂++．222221xf x y x y x y y-∂-==∂++．所以(0,1)1fx ∂=∂，(0,1)0f y ∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆. (C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x=． 【详解】由dy ydx x=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+． 代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=． （10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-， (0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则nn n a x∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ22200116424=•==⎰⎰． (13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e． 三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x→-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x→=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=) 16=． 【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]40sin sin(sin )sin limsin x x x x x→-=＝30sin lim t t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰20sin 2x xdx π=⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰20cos 22x xdx ππ=-+⎰ 200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰20cos 22xx xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰ 22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P y x∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关． 10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ，2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰ 2cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=． 解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 代入35x y z ++=，得z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰00()limlim ()()x x f xf f x xξξ∆→∆→∆===∆ 【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()limlimx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有22200(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x xf t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x xf t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx x f t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰222002()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰202cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰20020cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰2002sin 2sin x nxx nx dxn n πππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 1222(1)n n ππ--=124(1)n n--=． 所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤． 令x=0，有n n f n π2121(1)(0)143-∞=-=-+∑ 又(0)1f =，所以n n n π1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤== ⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1}=P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i YY Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES n n nσμσ=+-=+-2μ= 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111n ni j ki j k n T X X X X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1n j k j kn ET E X EX n ≠=-∑2μ=， 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nX χ，22(1)(1)n S n χ--．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-． 所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n S n n n n n =+-=--。

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭． 记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________． 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 （23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x x x y y ∂==∂++．222221xf x y x y x y y-∂-==∂++．所以(0,1)1fx ∂=∂，(0,1)0f y ∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max {,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x=． 【详解】由dy y dx x =-，得dy dx y x=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=． （10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-， (0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='． 故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则nn n a x∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ . 【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰ 2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ22200116424=∙==⎰⎰ ． (13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e． 三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x →-=0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x→=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=)16=． 【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-[]40sin sin(sin )sin limsin x x x x x→-= ＝30sin limt t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰20sin 2x xdx π=⎰200cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰20cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰ sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰20cos 22x x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx xydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P Py x∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关． 10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ，2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-， 由222220,20,220,43.,350xy z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=． 解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 代入35x y z ++=，得z =所以只要求()z z θ=的最值．令()03sin )z θθθ'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰00()limlim ()()x x f xf f x xξξ∆→∆→∆===∆ 【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()limlimx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． 当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x xf t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x xf t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰20020cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰2002sin 2sin x nxx nx dx n n πππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 1222(1)n n ππ--=124(1)n n --=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤． 令x=0，有n n f n π2121(1)(0)143-∞=-=-+∑ 又(0)1f =，所以n n n π1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵T T A ααββ=+，其中,T T αβ分别是,αβ得转置．证明： （I ）秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2T T T T r A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T T A ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a a D A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=- 1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-= ．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a a A a a a a =22122213121212212na a a a r ar a a a a -322222130124123321212na a a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 12130124113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a a a a D na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100T Tx k =+ ，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩ 记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤== ⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1} =P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =-． （1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES n n nσμσ=+-=+-2μ= 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111n ni j ki j k n T X X X X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1n j k j kn ET E X EX n ≠=-∑2μ=， 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nX χ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n S n n n n n =+-=--。