不定积分

第四章 不定积分
第一节 基本概念和内容提要
一、原函数与不定积分
二、基本积分表
三、不定积分的计算
第二节 不定积分的计算法
一、 换元积分法
（一）注解
1、 凑微分法： (())()(())()()()f x x dx f x d x f u du F u c ϕϕϕϕ'===+⎰⎰⎰
(())(();F x c u x F f ϕϕ'=+
== 此法是最容易也是最难的方法。

关键是是否知道如何换元？
要很熟悉常见的换元，也就是导数要熟练。

常见的凑微分形式有：
11(1)()()()n n n n x f kx p dx f kx p d kx p kn
-+=
++ 1(2)()()()x x x x e f ke p dx f ke p d ke p k
+=++ 1()()()ln x x x x a f ka p dx f ka p d ka p k a
+=++ 1(3)cos (sin )(sin )(sin )xf k x p dx f k x p d k x p k
+=++ 1sin (cos )(cos )(cos )xf k x p dx f k x p d k x p k
+=-++ 211(tan )(tan )(tan )cos f k x p dx f k x p d k x p x k
+=++ 11(4)(ln )(ln )(ln )f k x p dx f k x p d k x p x k
+=++ 1ln (log )(log )(log )a a a a f k x p dx f k x p d k x p x k +=++
(5)(arcsin (arcsin )(arcsin )f x f x d x =
221(arctan )(arctan )(arctan )x dx x x f f d a a x a a a
=+ 221(6)ln(1)12
xdx d x x =++
2、第二换元法： ()()(())()(())()x t f x dx f t d t f t t dt ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰
1()(())(();()(())()F t c F x C t F t f t t ϕϕϕϕ-''=+=
+=严格单调） 第二换元的常见目标是：去根号
3、换元法和分部积分法经常结合使用。

4、可用换元先进行降次，从而简化计算。

二、举例：
1、设()arcsin ,xf x dx x c =+⎰则
1()
dx f x =⎰ 。

分析：
2、2
2
2(1)ln ,(())ln ,()2x f x f x x x dx x ϕϕ-==-⎰求 分析：
3、5
33
1(1)(2)3降次化为 分析：
4、求arcsin x
x e dx e
⎰ （两种解法； 分析：
5、求
分析：
6、求
分析：
7、设2()()3dx y y x y x y x x y =-=-⎰由确定，求
分析：
另外：求22221;,()sin cos (1)
x x dx x dx t xe a x b x x xe +=+-⎰⎰；
arctan(1,(1dx t =⎰
， 分析：
二、 分部积分法
（一）注解
1、 通常适合(1)两种形式函数的混合积(2)积分中有未知函数的导数
2、 和换元法结合使用，可先把复杂问题简化（如反三角化为三角函数）
3、 注意分部积分法使用后相同积分的合并和抵消，特别是相互抵消的情况。

（二）举例
1、2(arcsin );(1)x dx ⎰
直接分部积分（2）令u=arcsinx 分析：
2、22(tan 1)x e x dx +⎰
，注意抵消。

分析：
3、2ln sin sin x dx x ⎰
分析：
4、arctan 3
22(1)x
xe dx x +⎰
分析：
5、设f 的一个原函数为
cos x x
，求()xf x dx '⎰ 分析：
6、设f 可导，f 的一个原函数是()F x ，()f x 的反函数存在，求
1()f x dx -⎰ 分析：
另外，4222ln arctan ,(1)arctan ,tan sec ,(1)(1)x x x xdx x x xdx dx x x x --+⎰⎰⎰⎰ 分析：
三、 有理函数的不定积分
（一） 注解
1、 掌握这种类型积分的步骤（1）部分分式分解（2）分项积分
2、 次数较高时，要分析被积函数的特点，采用凑微分或变量代换降次。

（二） 举例
1、221(2)(1)dx x x x ---⎰
分析：
2、24411;11
x dx dx x x -++⎰⎰ 分析：
3、8
81(1)
x dx x x -+⎰ 分析：
4、24
461;11x x dx dx x x
+-+⎰⎰ 分析：
四、简单无理函数的不定积分
（一）注解
1、常见的代换要清楚。

（去根号）
2、尽量化简（1）有理化分子或分母（2）降次（3）开方等
3、先换元再分部积分
4
、分子含有分母的部分项 （二）举例
1
、
分析：
2
、3
分析：
3
、
分析：
4
、
分析：
5
、x
分析：
6
、⎰ 0x π≤≤
分析：
7
、 分析：
五、三角函数有理式的不定积分
（一）注解
1、利用变量代换化为有理函数的积分，常见代换要清楚
2、尽量使分母简单（1）将分母化成单项式（2）将分母看成一项
3、尽量使(sin ,cos )R x x 得次数降低（常用倍角公式，积化和差等）
（二）举例
1、2sin tan 1cos 22cos 2
x x x x dx dx dx x x +=++⎰⎰⎰，
分析：
2、22211sin cos sin 2cos 2sin cos x x dx dx x x x x
+=⎰⎰ 分析：
3、sin 22sin dx dx x x +⎰
分析：
4、sin cos sin cos x x dx x x -⎰
分析：
5
、 分析：【2tan
tan tan 222tan 1sin cos 22cos (1tan )1tan 222x x x x dx dx d x x x x x ==++++⎰⎰⎰】
6、7cos 3sin 5cos 2sin x x dx x x -+⎰，和1cos 12tan cos 2sin x dx dx x x x =++⎰⎰(也可令tan x t =)
分析： 111111sin cos (sin cos )(sin cos )a x b x A a x b x B a x b x '+=+++，再凑微分
7、21sin cos 1sin x x dx x --+⎰
分析：
六、其它
（一）注解
1、结合几何问题，如切线问题
2、结合微分方程问题等
3、有些题目较繁，方法却简单
（二）举例
1、设曲线()y f x =过点1
(0,)2
-且曲线上任一点(x,y)处切线斜率为2ln(1)x x +， 求()f x
分析：
2、 试求函数()f x 满足(0)0f =且有1,01(ln ),1x f x x x <≤⎧'=⎨
>⎩ 分析：
3、221ln 1ln 1(1ln )(ln )1ln (1)ln x x x x dx x d dx x x x x x
x x x --=-=------⎰⎰⎰ 分析：
4、222(sin cos )1sin 122(1tan )1cos 222cos 2
x x x x x x x e dx e dx e dx x x ++==++⎰⎰⎰ 分析:21(sec 2tan )tan tan tan 22222
x x x x x x x x e dx e x e dx e dx =+=-+⎰⎰⎰
5、arcsin cos sin arccos (arccos arcsin )x arc xdx xarc x x x x ⋅=+-⎰⎰
s i n a r c c o (a r c c o s a r x a r c x x x =-
dx -。