从平面到空间的类比推理

从平面到空间的类比推理波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力.类比推理是根据两个对象具有某些相同的属性，当一个对象具有某一个性质，推出另一个对象也具有类似性质的一种推理方式.例1.(1)在平面，边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值√32a ；在空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和也为定值√63a . (2)在平面，设P 是∆ABC 内一点，∆ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有la ℎA+lb ℎB+lc ℎC=1；在空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是ℎA 、ℎB 、ℎC 、ℎD ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有l a ℎA+l b ℎB+l c ℎC+l dℎD=1.在平面上的结论，可用面积等积变形得到；在空间里的结论，可类比地利用体积等积变 形而得到.例2.直角四面体：过某一顶点的三个平面角都是直角的四面体称为直角四面体.平面上的直角三角形与空间的直角四面体类似，它们之间很多结论，无论是从结构还是推证方法上来看，都有密不可分的内在联系. (1)在平面，如图1.4—1，AC 2=AD×AB ；BC 2=BD×AB.(射影定理).在空间，如图1.4—2，S ΔPBC 2=S ΔOBC ⋅S ΔABC ；S ΔPAC 2=S ΔOAC ⋅S ΔABC ;S ΔPAB 2=S ΔOAB ⋅S ΔABC .(2)在平面，AB 2=AC 2+BC 2(勾股定理)；在空间：S ΔABC 2=S ΔPBC 2+S ΔPAC 2+S ΔPAB 2.并由此可以得到，若三侧面PAB ，PAC ，PBC 与底面ABC 所成角分别为α，β，γ， 则 cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1. (3)在平面，设两直角边分别为a 、b ，h 为斜边上的高，则1ℎ2=1a 2+1b 2；在空间，设三棱锥P—ABC 三条侧棱的长分别为a 、b 、c ，底面ABC 上的高为h ， 则1ℎ2=1a2+1b2+1c2.说明：其中：S ΔPBC 2=(12PD ⋅BC)2=14PD 2BC 2=14AD ⋅OD ⋅BC 2=(12BC ⋅AD)(12BC ⋅OD)=S ΔOBC ⋅S ΔABC .其证明过程用到了射影定理.在(1)中将射影定理的两式相加可得(2)中的勾股定理；同样，在空间里，由(1)中空间形 式的三式相加可得(2)中对应的结论.再如，将圆的面积公式S=πR 2对变量R 求导，可得圆的周长公式C=2πR .类比可得：将球的体积公式V= 43πR 3对变量R 求导，可得球的面积公式S=4πR 2.以上猜测的结论都需要严格的证明.A PE BO D CCA DB 图1.4—2图1.4—1想一想①：1.如图1.4—3.椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出 “黄金双曲线”的离心率e 等于( ).A.5＋12. B.5－12. C.5－1. D.5＋1. 2.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图1.4—9甲，在平行四边形ABCD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图1.4—4乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21=( ).A.2(AB 2＋AD 2＋AA 21).B.3(AB 2＋AD 2＋AA 21).C.4(AB 2＋AD 2＋AA 21). D.4(AB 2＋AD 2). 3.类比等差数列，我们定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.现已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么(1)a 18 = ，这个数列的前n 项和S n = . 4.已知∆ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边分别是a ，b ，c ，则有a=bcosC+ccosB ；类比上述结论，写出满足下列条件的对应结论：四面体P —ABC 中，∆ABC ，∆PAB ，∆PBC ，∆PAC 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —A C —B 的大小分别为α，β，γ， 则S= .例3.在DEF ∆中有余弦定理：.cos 2222DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.分析:根据类比猜想得出S AA 1C 1C 2=S ABB 1A 12+S BCC 1B 12−2S ABB 1A 1⋅S BCC 1B 1cos θ.其中θ为侧面为ABB 1A 1与BCC 1B 1所成的二面角的平面角. 证明：作斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直截面DEF ，则∠DEF=θ为面ABB 1A 1与BCC 1B 1所成的二面角的平面角.在∆DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2−2DF ⋅EF cos ∠θ， 在上式的两边同乘以21AA ，得DE 2⋅AA 12=DF 2⋅AA 12+EF 2⋅AA 12−2DF ⋅AA 1⋅EF ⋅AA 1cos ∠θ，即 S AA 1C 1C 2=S ABB 1A 12+S BCC 1B 12−2S ABB 1A 1⋅S BCC 1B 1cos θ.例4.若点O 在ABC 内，则有结论S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内的结论是______________________. 解:如图1.4—5.过点A 、B 分别作直线OC 的垂线AE 、BE 点E ，F.设D CF AB = ，∵BFD ∆∽AED ∆， ∴ DE·BF=AE·DF. ① 又由数量积的几何意义知， OC → ⋅OB → =OC → ⋅OF → ,OC → ⋅OA → =OC → ⋅OE → .② OC → ⋅(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ).∆图1.4—3图1.4—4ABCO图1.4—5E FD=OC → ⋅OA → S ΔOBC +OC → ⋅OB → S ΔOAC +OC → ⋅OC →S ΔAOB =OC → ⋅OE → S ΔBOC +OC → ⋅OF → S ΔAOC +OC → ⋅OC →S ΔAOB =OC → ⋅(OE → S ΔBOC +OF → S ΔAOC +OC →S ΔAOB )=OC → ⋅(OC → S ΔAOD +OC → S ΔBOD +OE → S ΔBOC +OF →S ΔAOC )=12OC →⋅(OC → ⋅OD ⋅AE +OC → ⋅OD ⋅BF +OF → ⋅OC ⋅AE +OE → ⋅OC ⋅BF) =12OC → 2(OD ⋅AE +OD ⋅BF −OF ⋅AE −OE ⋅BF)=12OC →2((OD −OF)⋅AE +(OD −OE)⋅BF)=12OC →2(−AE ⋅DF +DE ⋅BF)=0.∴ OC → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →). 同理可得, OB → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ), OA → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ).由此可得在平面内一向量(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →)同时与过同一点O 的三个不共线的向量都垂直，满足此条件的向量(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →)必为0.故S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.类比可得 V O—BCD ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + V O—ACD ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABD ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABC ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =00.其证明思路为利用三棱锥的体积等积变形和空间向量数量积的几何意义来进行.例5.平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”.请用类比法写出更多相似的命题解析:(1)(平面)在平行四边形中，对角线相交于一点且互相平分；(空间)在平行六面体中，对角线相交于一点且互相平分.(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和； (空间)在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和. (3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的二分之一； (空间)球体积等于球面积与半径之积的三分之一. (4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍； (空间)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.(5)(平面)到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线； (空间)到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面.等等.例6.等腰四面体——三组对棱分别对应相等的四面体.在研究三角形时，等腰三角形是我们的主要研究对象之一.原因是它具有良好的对称性.在四面体中，有与之对应的等腰四面体. 根据定义不难证明：①长方体一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体；②等腰四面体的四个面是四个全等的三角形.③若四面体的四个面具有相同的周长，则其为等腰四面体. ④等腰四面体的四个顶点和对面重心的连线段的长相等. ⑤h=4r.(内切球半径为r ，高为h).想一想②：你能证明上述性质②、③、④、⑤吗？对于等腰四面体我们还有：四面体是等腰四面体的充要条件是：过每一个顶点的三个平面角之和为1800.必要性：设四面体ABCD 是等腰四面体，过顶点A 的三个平面角之和为DAB DAC BAC S ∠+∠+∠=.有等腰四面体的四个面是全等的三角形得 ∠BAD =∠BDA ，∠CAD =∠DBA ，⇒S =∠BDA +∠DBA +∠DAB =1800.充分性：设0180=∠+∠+∠=DAB DAC BAC S .将四面体从顶点A ，沿三条棱剪开，平摊在∆BCD 所在的平面上(图1.4—7). 由已知过顶点B ，C ，D 的平面角之和为1800. 则易知B ，C ，D 是∆AA ′A ′′三边上的中点. 当∆AA ′A ′′还原成四面体后易知其对棱必相等. 我们知道，在平面内，正三角形是特殊的等腰三角形.在空间,正四面体是特殊的等腰四面体.它们之间也有很多类似的结论：①正三角形有一个外接圆和内切圆，且它们是同心圆；正四面体有一个外接球和一个内切球，它们也是同心球.②正三角形重心、垂心、外心、内心凡四心重合，并称该点为正三角形的中心； 正四面体的重心、垂心、外心、内心也四心重合，此点也称为正四面体的中心.③边长为a 的正三角形的高为√32a ，中心把高分成2:1的两部分；棱长为a 的正四面体的高为√63a ，中心把高分成3:1的两部分. ④平面几何中有如下结论：如图1.4—8 (1)，设O 是等腰 Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两 腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图1.4—8(2)，设O 是正三 棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1， 过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ， R ，P ，则有1AQ ＋1AR ＋1AP＝3.⑤正三角形的三内角相等，均为600；正四面体的相邻两面所成二面角也相等，其余 弦值均为−13.等. 习题1.41.已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解为(1，2).解关于x 的不等式cx 2−bx +a >0.有A CBD图1.4—6 图1.4—7B D AA ′′ A ′ C 图1.4—8(2)图1.4—8(1)如下解法：由ax 2−bx +c >0，⇒a −b(1x)+c(1x)2>0，令y=1x，则y ∈(12，1)，不等式cx 2−bx +a >0的解为(12，1).类比上述解法，已知关于x 的不等式k x+a +x+bx+c <0的解为 (-2，-1)∪(2，3)，则关于x 的不等式kx ax−1+bx−1cx−1<0的解为 .2.设P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上的任意一点，F 1、F 2是其两焦点，若∠P F 1F 2=α，∠P F 2 F 1=β(α>β)， 则e =sin(α+β)sin α+sin β.若换成双曲线x 2a 2−y 2b 2=1呢？3.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，则k PM ·k PN =−b 2a 2.试问，对双曲线x 2a2−y 2b 2=1也有类似的特性吗，若有，写出对应的结论并加以证明.4.对于函数y=x 2(x>0)上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，直线段AB 必在曲线段AB 的上方.设点C 分AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为λ(λ>0)，则由点C 在C ′点的上方可得不等式：a 2+λb 21+λ>(a+λb 1+λ)2.请分析函数y=lnx(x>0)的图像，类比上述不等式可以得到的不等式是 ．5.对于求和12+22+32+…+n 2有人采用如下方式：∵ (k+1)3-k 3=3k 2+3k+1，令k=1，2，…n ，代入得到n 个等式，累加后得(n+1)3-1=3(12+22+32+…+n 2)+3(1+2+3+…+n)+n ，从而可得 12+22+32+…+n 2=n(n+1)(2n+1)6.类似地，你能得到13+23+33+…+n 3=(n(n+1)2)2吗？ 6.类比本节例7，已知f(x)=cos xcos(300−x)，求f(10)+f(20)+ … + f(590)的值.7.换一种方式证明，若点O 在 ABC 内，且点O 对三个顶点A 、B 、C 的视角∠AOB=∠AOC=∠AOC ，则有结论S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=00.命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内的结论_____________________________.【参考答案】 想一想①：1. A.2. C.3.由等和数列的定义，易知a 2n-1=2，a 2n =3，故a 18=3. S n ={52n n 为偶数52n −12 n 为偶数.4.S=S 1cos α+ S 2cos β+ S 3cos γ. 想一想②： ②易证.略. ③设各组对棱的长分别为.由题设有a+b+c=a+b ′+c ′=b +a ′+c ′=c +b ′+a ′，⇒b +c =b ′+c ′，b +c ′=c +b ′，⇒c −c ′=c ′−c ，⇒c =c ′.进一步可推得：a=a ′，b =b ′.于是该四面体是等腰四面体.④由②知，四个面是全等的三角形，又由三棱锥的体积公式及此三棱锥的体积是不变的，易得结论.⑤提示，以内切球的球心为顶点，四个面为底面，将此四面体分解为四个小四面体，由三棱锥的体积等积变形，也易得结论成立.∆ a bc习题1.41.关于x 的不等式kx+a+x+b x+c<0的解为(−2,−1)∪(2,3)，用−1x替换x ，不等式可化为，k(−1x)+a +(−1x )+b (−1x)+c =kxax−1+bx−1cx−1<0，因为−1x∈(−2,−1)∪(2,3)，所以12<x <1或−12<x <−13，即不等式kx ax−1+bx−1cx−1<0的解为(−12，−13)∪(12，1).2.e =ca =2c2a =|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=sin(α+β)sin α+sin β.对于双曲线则有e =sin(α+β)sin α−sin β. 3.对于双曲线有k PM ·k PN =b 2a 2.证明：设点M 、P 的坐标为(n m ,)、(y x ,)，则N(n m --,). 因为点M(n m ,)在已知双曲线上，所以n 2=b 2a2m 2−b 2，同理y 2=b 2a 2x 2−b 2. 则k PM ⋅k PN =y−n x−m⋅y+n x+m=y 2−n 2x 2−m 2=b 2a 2⋅x 2−m 2x 2−m 2=b 2a 2.椭圆可类似地证明.4.如图D1.4—1，由定比分点公式及平行线分线段定理可得y=x 2(x>0)的不等式a 2+λb 21+λ>(a+λb1+λ)2， 类似地，对于函数y=lnx(x>0)有，ln a+λln b1+λ<lna+λb 1+λ.5.提示，利用(k+1)4-k 4=4k 3+6k 2+4k+1求之.6.提示：考察f(x)+f(600-x).59√32.7.解:∵S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → =12( OOBOOOCO OA → snn ∠BOC+OOAOOOCO OB →snn ∠AOC+OOAOOOBO OC → snn ∠AOB)=12OOAO0BO0COsnn ∠AOC(OA → |OA → |+OB → |OB → |+OC→|OC ← |),由于OA → |OA → |，OB→|OB → |,OC→|OC ← |，分别是与OA → ,OB → ,OC → 共线的单位向量， ∠AOB=∠AOC=∠AOC=1200，∴ OA → |OA → |+OB → |OB → |+OC → |OC ← |=0.0故S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.类比可得 V O—BCD ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ACD ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABD ∙OC⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABC ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.图D1.4—1。

祖暅原理的教学设计一、祖暅原理及其对教学过程的启发1.从平面图形到空间图形的类比推理师：（多媒体演示）观察并思考问题：等底等高的图形面积有什么关系？学生讨论后小结：等底等高的图形面积相等。

师：我们发现，用平行于底边的任意直线去截这两个图形，截得的两条线段始终相等。

那这个条件是否是两个图形面积相等的充要条件呢？学生探究，教师指导：点构成线，线构成面，用平行于底边的任意直线去截图形，截得的两条线段始终相等，那么这些相等线段组成的面积也相等。

类比猜想：把平面图形拓展到几何体，这个结论还成立么？2.祖暅原理的引入情境导入：取一摞作业本置于桌面，用手轻推使之发生形变。

师：推动以后这摞作业本的体积改变了么？推动前后还有什么共同点？生：体积、高度、本数都没有改变。

师：回忆平面图形等积定理，讨论并归纳立体几何体等积定理。

学生归纳，教师指导，引入祖暅原理。

师：祖暅原理只能判断两个几何体体积是否相等，如果求几何体的体积，还必须转化为常见几何体。

3.从特殊到一般，从已知到未知师：我们学过特殊棱柱———长方体的体积公式，同学们回忆一下。

生：设长方体的长、宽、高分别为、、，那它的的体积为。

4.利用祖暅原理，结合下图，推导棱柱体积公式图1学生小组合作：做一个与棱柱等底等高的长方体，用一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，截面总是相等，则这个长方体与棱柱体积相等。

棱柱体积公式为：。

教师补充：利用祖暅原理求棱柱体积时，需要构造与之等底等高的几何体，且需要满足两个条件：一是已知其体积公式，二是用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，截面总是相等。

二、祖暅原理的教学建议中国传统数学在数学史上是一颗璀璨的明珠，但是随着历史变迁，传统数学的发展逐步失去活力，最终汇入西方数学体系中。

在20世纪的今天，随着新课改的逐步深入，数学文化进入到教师和教材编者的视野中。

祖暅原理作为立体几何中不可或缺的一部分，将其整合进教学过程中，更有利于加深学生对本章内容的内化。

高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是（）A．是增函数，则B．因为，则C．为锐角三角形，则D．直线，则【答案】C【解析】根据题意，由于是增函数，则或者f’(x)=0在个别点成立，故错误对于B，因为，则显然不成立，对于D直线，则，可能斜率都不存在，故错误，故选C.【考点】推理与证明点评：主要是考查了合情推理的运用，属于基础题。

2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。

3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 .【答案】9【解析】根据题意，可知，，，，那么可知的分解中最小的数是73，那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。

4.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，，则可归纳出一般式子为() A．1＋＋＋＋<(n≥2)B．1＋＋＋＋<(n≥2)C．1＋＋＋＋<(n≥2)D．1＋＋＋＋<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意，由于观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，左边是n 个自然数平方的倒数和，右边是项数分之项数的二倍减去1，那么可得到，推广到一般1＋＋＋＋<(n≥2)，故选C.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的基本运用，属于基础题。

5.在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为____________。

平面到空间类比结论的探究西乡二中 王仕林类比思想是数学中的一种重要解题思想,而平面几何问题的某些结论,通过类比思想,可以进一步探究空间问题的一些结论.掌握了从平面到空间问题的类比规律,可以深入地掌握平面几何与空间立体几何之间的内在联系.下面通过例子来说明这个问题.一、从平面到空间的类比结论：结论1：ABC ∆的面积公式1(2ABC S BC h h ∆=⋅是BC 边上的高） 推广：三棱锥S ABC -的体积公式1(3S ABC ABC V S h h -∆=⋅是三棱锥的 高）观察并分析： （1）平面内的三角形类比到空间变为三棱锥。

（2）平面内三角形的面积类比到空间为三棱锥的体积。

（3）平面内三角形的底边（线段）类比到空间变为 （图1）三棱锥的底面（平面）。

结论2：如图2，D 、E 是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且DE//BC ，12,h h 分别是 ADE ∆、 ABC ∆上的高。

则（1）12DE h BC h = （2）2122ADE ABC S h S h ∆∆= 推广：如图3，D 、E 、F 分别是三棱锥S-ABC 的边SA 、SB 、SC 上的三点，12,h h 分别是三棱锥S DEF - （图2） 与S ABC -的高，且平面DEF//平面ABC 。

则（1）2122DEF ABC S h S h ∆∆=， （2）3132S DEF S ABC V h V h --= 。

观察并分析：（1）平面内的两个三角形类比到空间为两个三棱锥。

（2）平面内的线段之比类比到空间为面积之比。

（3）平面内的面积之比类比到空间为体积之比。

（4）平面内的线段之比为高之比；空间内面积之比为两高之比。

（图3）（5）平面内的面积之比为平方之比，类比到空间变为：它的体积之比等于它的高的立方之比。

结论3：如图4，OM 、ON 为两条射线，D 、A 、E 、B 分别为OM 、ON 上的任意两点，则ODE OAB S OD OE S OA OB∆∆=⋅ 推论3：如图5，OP 、OQ 、OR 分别为三条射线，1A 、2A 、1B 、2B 、 （图4）1C 、2C 分别为OP 、OQ 、OR 上任意两点，则111222111222O A B C O A B C V OA OB OC V OA OB OC --=⋅⋅ 观察并分析：（1） 平面内两条射线类比到空间为三条射线。

从平面到空间的类比思维作者：李云飞来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第01期类比是数学发现的重要源泉.随着数学课程改革的深入,对学生数学类比能力的考查已悄然升温.本文将对由平面到空间中的有关类比作一些初浅的探究.一、射影定理的类比例1 如图1,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,则AB2=BD•BC,类似有命题:三棱锥A-BCD 中(如图2),AD⊥面ABC,AO⊥面BCD,O为垂足,且在△BCD内,则S△ABC2=S△BCO•S△BCD.上述命题是()A.真命题B.增加AB⊥AC的条件才是真命题C.假命题D.增加三棱锥A-BCD是正三棱锥的条件才是真命题分析:由已知的垂直关系,不难找出以下类比关系:AB类比于△ABC,BD类比于△BOC,BC类比于△BCD,长度类比面积可得到:S△ABC2=S△BCO•S△BCD.证明:如图乙,连接DO并延长交BC于E,∵AD⊥面ABC,AO⊥面BCD∴BC⊥面AED,又在△AED中,AO⊥DE,AD⊥AE,则AE2=EO•ED,∴(12BC•EA)2=(12BC•EO)•(12BC•ED)得S△ABC2=S△BCO•S△BCD.选A.二、勾股定理的类比例2 在平面几何里,有勾股定理:设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则有AB2+AC2=BC2;拓展到空间,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 .(2003年全国高考15题)分析:由于A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,把这些直角面类比于三角形的直角边,底面类比于三角形的斜边,故可以得到猜想:S△ABC2+S ACD2+S△ADB2=S△BCD 2.证明:∵三个侧面两两互相垂直,∴三条侧棱也两两互相垂直.如图2,利用例1中射影定理类比结论得S△ABC2=S△BCO•S△BCD,S△ACD2=S△COD•S△BCD,S△ABD2=S△BOD•S△BCD,相加即得结论S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD 2.三、余弦定理的类比例3 在△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2 cos∠DEF.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式,并予以证明.(2004年上海春招20题)分析:根据类比猜想得出S AA1C1C2=S ABB1A12+S BCC1B12-2S ABB1A1•S BCC1B1cosθ.如图3,作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF,则∠DEF为面ABB1A1与面BCC1B1所成角,在△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2 cos∠DEF,同乘以AA12得:DE2•AA12=DF2•AA12+EF2•AA12-2DF•AA1•EF•AA1•cosθ即:S△AA1C1C2=S ABB1A12+S BCC1B12-2S ABB1A1•S BCC1B1cosθ.四、角平分线定理的类比:例4 如图4,△ABC的∠C的内角平分线CE分AB所得的比AEEB=ACCB;把这个结果类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图5),平面DCE平分二面角A-CD-B,且与AB相交于点E,则可得到的类似的结论有 .分析:AC、BC分别类比于△ACD和△BCD,AE和EB分别类比于△AEC和△BEC得到,长度类比面积得S△ABC S BEC=S△ACD S△BCD(或S△AED S△BED=S△ACD S△BCD).证明:考虑两种情形:如图5,若△ACD和△BCD的底边CD上的高相交于G,则EG平分∠AGB,AGBG=AEBE,即S△AEC S BEC=S△ACD S△BCD显然成立.如图6,若△ACD和△BCD的底边CD上的高分别为AM和BN,平移BN至PM,连接BP、AP,则四边形BNMP为平行四边形,∴CD∥面ABP,设面DCE∩面ABP=EF,故CD∥EF.从而有EF∥PB.在△APM中,MF为∠AMF的平分线,于是AMMP=AFFP=AEBE,∴S△ABC S BEC=S△ACD S△BCD五、内切半径求法的类比例5 若三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径r=2SC;拓展到空间,棱锥的体积为V,表面积为S,若内切球与每个面都相切,则这棱锥的内切球的半径 .分析:从两个方面类比①从形式上类比:二维类比到三维,即“2”类比到“3”,面积S类比到体积V,周长C类比到表面积S得r=3VS.②从方法上类比:平面中等面积法求内切圆半径,空间中等体积法求内切球的半径.六、所成角余弦的类比线段AB在直线AC上的射影为AH,若直线AB与直线AC所成的角为θ,则cosθ=AHAB;设某平面图形的面积为S,它在某个平面上的射影的面积为S0,则这两个平面所成的锐角平面角为θ,则cosθ=S0S.分析:问题很简单,后者为空间二面角的平面角的求角公式.。

期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说法错误的是（）A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好2.已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形．由①、②、③组合成“三段论”，根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（）A. 正方形的对角线相等B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形是平行四边形D. 以上均不正确3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60°B. 假设三内角都大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个小于 60°4.下列推理是归纳推理的是（）A. A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B. 由a1=1，a n=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C. 由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD. 以上均不正确5.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A. 药物A、B对该疾病均没有预防效果B. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果D. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果6.实数m满足集合M={1，2，（m2-3m-1）+（m2-5m-6）i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值是（）A. 4B. -1C. -1或4D. -1或67.非零复数z1、z2分别对应复平面内的向量、，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则（）A. ⊥B. ||=||C. =D. 和共线8.已知命题p：∃x∈R，使sin x=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是假命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．其中正确的是（）A. ②④B. ②③C. ③④D. ①②③9.已知=2，=3，=4，=5，…=10，则推测a+b=（）A. 1033B. 109C. 199D. 2910.下列选项中不正确的是（）A. △ABC中，A＞B，则sin A＞sin B的逆否命题为真命题B. 若am2＜bm2，则a＜b的逆命题为真命题C. 若p：x≠2或y≠6，q：x+y≠8，则q是p充分不必要条件D. 若p：∀x∈R，cos x≤1，则￢p：∃x∈R，cos x＞111.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）A. |AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2B. S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB=S2△BCDC. S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2D. |AB|2×|AC|2×|AD|2=|BC|2×|CD|2×|BD|212.已知函数f（x）=x2，．若∀x1∈[-1，3]，∃x2∈[0，2]，使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围是（）A. B. （-∞，-8]C. D. （-∞，-8]∪二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，执行图中的程序框图，输出的S值是______．14.下列四个命题中，正确命题的个数是______．①0比i小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1④如果实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应15.已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为______．16.若x1，x2∈R，且，则|x1+x2|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.集合，.（1）若，求；（2）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若+（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由．参考公式：独立性检测中，随机变量，其中n=a+b+c+d为样本容量P（K2＞k）0.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费x（单位：万元）对年创新产品销售额y（单位：十万元）的影响，对近10年的研发经费x i与年创新产品销售额y i（i=1，2，…，10）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．其中，，，，．现拟定y关于x的回归方程为．（1）求，的值（结果精确到0.1）；（2）根据拟定的回归方程，预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是多少？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求证：．22.以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．23.设函数f（x）=|x+1|+|x-2|，g（x）=|x-3|+|x-2|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了回归分析与独立性检验和相关指数的应用问题，是基础题目．根据统计分析的观点，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，越接近1，其模拟的效果就越好，正确．故选：C．2.【答案】A【解析】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“正方形的对角线相等”，故选：A．三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是矩形”叫不前提．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．3.【答案】B【解析】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，故选：B．根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题4.【答案】B【解析】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．故选：B．本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．5.【答案】C【解析】【分析】根据两个表中的等高条形图看药物A的预防效果优于药物B的预防效果．本题考查了等高条形图的应用问题，是基础题．【解答】解：根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B实验显示明显大，∴药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：C．6.【答案】B【解析】解：∵集合M={1，2，（m2-3m-1）+（m2-5m-6）i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，∴，解得m=-1．故选：B．利用交集定义和复数概念求解．本题考查实数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意得复数的概念和交集定义的灵活运用．7.【答案】A【解析】解：在四边形OACB内，，，∵非零复数z1、z2分别对应复平面内的向量、，则由复数加法的几何意义可知，|z1+z2|对应，|z1-z2|对应，则，由，，可知三边长OACB为平行四边形，则四边形OACB为矩形．∴．故选：A．由题意可得，，再由|z1+z2|=|z1-z2|，得到，由，，可知三边长OACB为平行四边形，从而得到四边形OACB 为矩形，有．本题考查复数的模的求法，考查复数对应向量加减法的几何意义，是中档题．8.【答案】B【解析】解：∵|sin x|≤1，∴：∃x∈R，使sin x=错误，即命题p是假命题，∵判别式△=1-4=-3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，故选：B．先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p，q的真假是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：由给出的几个等式可以推测：，（n≥2且n是正整数），在，b=102-1=99，于是a+b=109．故选：B．根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式，（n≥2且n是正整数），将n=10代入可得答案．本题考查归纳推理，关键是根据题意所给的等式，发现其中的共同点．10.【答案】B【解析】解：根据题意知，A为真命题故逆否命题为真命题；B中命题为若a＜b，则am2＜bm2，m=0时不合题意；Cp不能得q，由q可得p，正确；D由命题的否定知D正确故选：B．运用四种命题之间的关系判断真假即可．本题考查四种命题之间的关系及命题真假的判断．11.【答案】C【解析】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD2=S ABC2+S ACD2+S ADB2．故选：C．斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．12.【答案】B【解析】解：由题意可知，f（x）=x2∈[0，9]，∵∀x1∈[-1，3]，∃x2∈[0，2]，使得f（x1）≤g（x2），f（x）max≤g（x）max，∵g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）max=g（0）=1-m∴9≤1-m则实数m的取值范围m≤-8故选：B．由题只要f（x）在[-1，2]上的最小值大于g（x）在[0，2]上的最小值即可求解不等式的恒成立问题常转化为求解函数的最值，注意解题中的量词的区别13.【答案】19【解析】解：A=1，A≤2是，S=1+9=10，A=A+1=2，A=2，A≤2是，S=10+9=19，A=A+1=3，A=3，A≤2否，输出S=19，故答案为：19根据程序框图进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．14.【答案】0【解析】解：根据题意知：复数不能比较大小，故①错；由共轭复数的概念知实部相等，虚部互为相反数，两个复数和为实数不一定互为共轭复数故②错误；③不知x，y的范围故错误；由纯虚数的定义知a≠0，故④错误；∴正确命题个数为0．故答案为0．运用复数的有关概念可解决此问题．本题考查复数的有关概念．15.【答案】【解析】解：观察已知中等式：f（4）=f（22）＞2=，f（8）=f（23）＞=，f（16）=f（24）＞3=，f（32）=f（25）＞=，…，则f（2n+1）＞（n∈N*）故答案为：f（2n+1）＞（n∈N*）我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）16.【答案】【解析】解：∵∴（2+sin x1）（2+sin2x2）=1，∵-1≤sin x≤1，∴1≤2+sin x≤2，∴2+sin x1=1且2+sin2x2=1，即sin x1=-1，sin2x2=-1，则x1=+2kπ，2x2=+2mπ，即x2=+mπ，k，m∈Z，则x1+x2=++2kπ+mπ，则|x1+x2|=|+（2k+m）π|，则当2k+m=-2时，|x1+x2|取得最小值，最小为|-2π|=，故答案为：．根据方程结合三角函数的有界性得到sin x1=-1，sin2x2=-1，求出对应根的表达式，进行求解即可．本题主要考查三角函数最值的应用，结合三角函数的有界性求出方程的根是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）a=1时，A=（1，3），B=（1，2），∴∁R B=（-∞，1]∪[2，+∞）．∴A∩（∁R B）=[2，3）．（2）∵a＞0，∴A=（a，3a），B=（1，2）．∵q是p的充分不必要条件，∴B⊊A．由B⊆A得，解得，又a=1及符合题意．∴．【解析】（1）a=1时，A=（1，3），B=（1，2），可得∁R B=（-∞，1]∪[2，+∞）．即可得出A∩（∁R B）．（2）由a＞0，可得A=（a，3a），B=（1，2）．根据q是p的充分不必要条件，即可得出B⊊A．本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2=10①．又复数（1+2i）z=（a-2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a-2b=2a+b，即a=-3b②．由①②联立的方程组得a=3，b=-1；或a=-3，b=1．∵a＞0，∴a=3，b=-1，则Z=3-i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m=-5．【解析】（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2=10①，a=-3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．（2）根据若+（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．19.【答案】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，所以喜爱打篮球的总人数为人，2×2喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生15520女生102030合计252550（2）根据列联表可得K2的观测值，所以有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”.【解析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．（1）根据题意计算表中数据，补充完整列联表；（2）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论．20.【答案】解：（1）令t=（x-3）2，则，=20.5，，，，，．（2）由（1）知，y关于x的回归方程为，当x=13时，=15.5（十万元）=155万元，故可预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是155万元．【解析】本题考查了求回归方程的应用，考查运算求解能力，是中档题．（1）令t=（x-3）2，则，求出，，根据题中的数据，代入数据，即可求得的值；（2）由(1)得回归方程，代入求值即可．21.【答案】解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（5）=25+4×4=41．（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f （4）=4×4，由上式规律得出：f（n+1）-f（n）=4n．∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），f（n-1）-f（n-2）=4（n-2）．f（n-2）-f（n-3）=4（n-3），……，f（2）-f（1）=4×1，∴f（n）-f（1）=4×[（n-1）+（n-2）+……+2+1]=2（n-1）n，∴f（n）=2n2-2n+1（n≥2），又n=1时，f（1）也适合f（n），∴f（n）=2n2-2n+1（n≥1）．（3）当n≥2时，==，∴+++……+=1+=1+=-．∴+++……+．【解析】（1）f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，可得f（5）=25+4×4=41．（2）由f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f （4）=4×4，由上式规律得出：f（n+1）-f（n）=4n．累加求和即可得出．（3）当n≥2时，==，利用裂项求和即可得出．本题考查了数列递推关系、累加求和方法与裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，转化为：（ρsinθ）2=4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y2=4x（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）化为：2x+3y=1，代入y2=4x得y2+6y-2=0,设A、B的纵坐标分别为y1、y2；则y1y2=-2，y1+y2=-6；则|y1-y2|==2；|AB|=×|y1-y2|=×2=，所以|AB|=．【解析】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程根和系数的关系的应用，主要考查学生的应用能力．（Ⅰ）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，得到关于y的一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当（x+1）（x-2）≤0，即x∈[-1，2]时，取等号，此时f（x）min=3．（2）对任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立⇔g（a）≤f（x）min=3，或或，⇔1≤a≤2或2＜a＜3或3≤a≤4⇔1≤a≤4,所以，实数a的取值范围为[1，4]．【解析】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于中档题．（1）利用绝对值三角不等式求得函数f（x）的最小值．（2）g（a）≤f（x）min=3，解此绝对值不等式，求得a的范围．。