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《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于等于（≤）B. 大于等于（≥）C. 整除（|）D. 模2同余（≡）答案：D2. 下列哪个图是完全图？（）A. 无向图B. 有向图C. 简单图D. n阶完全图答案：D3. 设A和B为集合，若A∪B=A，则下列哪个结论成立？（）A. A⊆BB. B⊆AC. A=BD. A∩B=∅答案：B4. 下列哪个命题是永真命题？（）A. (p→q)∧(q→p)B. (p∧q)→(p∨q)C. (p→q)∧(p→¬q)D. (p∧¬q)→(p→q)答案：B5. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的最小生成树的边数是（）。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，则A∩B=_________。
答案：{3,4,5}7. 设图G的顶点集V={a,b,c,d}，边集E={e1,e2,e3,e4,e5}，其中e1=(a,b)，e2=(a,c)，e3=(b,d)，e4=(c,d)，e5=(d,a)，则G的邻接矩阵为_________。
答案：[0 1 1 0 0; 1 0 0 1 0; 1 0 0 1 0; 0 1 1 0 1;0 0 0 1 0]8. 设p为真命题，q为假命题，则(p∧q)∨(¬p∧¬q)的值为_________。
答案：真9. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的度数序列为（3,3,3,3,3,3），则G的边数是_________。
答案：1510. 下列命题中，与“若p，则q”互为逆否命题的是_________。
《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，则A∩B的结果是（）A. {1,2,3,4,5}B. {2,4}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5,6,8,10}答案：B2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. ≤B. ≠C. |D. ≠答案：A3. 设图G有5个顶点，每两个顶点之间都有一条边相连，则图G的边数是（）A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C4. 下列哪一个图是欧拉图？（）A. 无向图B. 有向图C. 树D. 环答案：D5. 下列哪一个命题是正确的？（）A. 若p→q为真，则p为真B. 若p∧q为假，则p为假C. 若p∨q为真，则q为真D. 若p→q为假，则p为假答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 设集合A={a,b,c,d}，B={c,d,e}，则A-B=________。
答案：{a,b}2. 设p是命题“今天是晴天”，q是命题“我去公园玩”，则命题“如果今天不是晴天，那么我不去公园玩”可以表示为________。
答案：¬p→¬q3. 设图G有n个顶点，e条边，则图G的度数之和为________。
答案：2e4. 一个连通图至少有________个顶点。
答案：25. 设图G的邻接矩阵为A，则A的转置矩阵表示________。
答案：图G的转置图三、判断题（每题5分，共25分）1. 离散数学是研究离散结构的数学分支。
（）答案：正确2. 两个集合的笛卡尔积是这两个集合的直积。
（）答案：正确3. 有向图中，顶点u和顶点v之间的长度为2的路径是指路径上有3条边。
（）答案：错误4. 树是一种无向图。
（）答案：正确5. 哈夫曼编码是一种贪心算法。
（）答案：正确四、应用题（每题25分，共50分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，C={3,6,9,12,15}，求A∪(B∩C)。
离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。
A（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
（2）解：a） A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学北京大学出版社第二版配套PPT课件介绍本文档是北京大学出版社出版的《离散数学》第二版的配套PPT课件的简介。
透过课件，学生可以更好地理解和学习离散数学的概念和原理。
课件的作者包括屈婉玲、耿素云和张立昂等离散数学领域的专家，他们精心设计了课件的内容和布局，旨在帮助学生更好地理解离散数学的基础知识，并应用到实际问题中。
内容概述离散数学是计算机科学和信息技术中的一门基础课程，它研究离散的数学结构和离散对象之间的关系。
离散数学的理论和方法在计算机科学、密码学、人工智能等领域有着广泛的应用。
《离散数学》第二版的配套PPT课件涵盖了离散数学的主要内容，包括集合论、逻辑、关系、图论、计数原理等。
课件的设计旨在让学生通过图示、例子和练习等形式来理解和掌握离散数学的概念和方法。
课件还提供了一些附加材料和参考资料，供学生进一步学习和探索离散数学的相关内容。
课件特点1.系统性：课件内容有机地连接起来，形成一个完整的体系，学生可以从不同的章节中逐步深入学习离散数学的不同方面。
2.可视化：课件中使用了大量的图示和示例，帮助学生更直观地理解离散数学的概念和原理。
3.互动性：课件中设置了各种练习和思考题，鼓励学生积极参与和思考，提高学习效果。
4.实用性：课件中的例子和实际应用案例帮助学生将离散数学的理论应用到实际问题中，增强学习的实际效果。
使用指南学生可以使用任何支持Markdown文本格式的编辑器来打开和阅读本课件。
在阅读的同时，建议学生积极参与，思考课件中的问题，并完成相应的练习。
学生还可以根据自己的学习情况，有针对性地选择课件中的章节进行学习。
附加材料《离散数学》第二版的配套PPT课件还提供了一些附加材料，供学生进一步学习和探索离散数学的相关内容。
这些附加材料包括参考资料、习题解答和扩展阅读等。
学生可以根据自己的学习需要，选择适合自己的附加材料进行阅读。
结语《离散数学》第二版的配套PPT课件是学习离散数学的重要辅助工具，它通过图示、例子和练习等形式，帮助学生更好地理解和掌握离散数学的概念和方法。
2017秋课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1设集合A={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题）[A] A．1∈A；B．2∈A；C．3∈A；D．{3，2,1}⊆A。
1-2A,B,C为任意集合，则他们的共同子集是（选择题）[D] A．C；B．A；C．B；D．Ø。
1-3设S={N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）（1）N⊆Q，Q∈S，则N⊆S，［错］（2）-1∈Z，Z∈S，则-1∈S。
［错］1-4设集合B={4，3}∩Ø，C={4，3}∩{Ø}，D={3，4，Ø}，E={x│x∈R并且x2-7x+12=0}，F={4，Ø，3，3}，试问：集合B与那个集合之间可用等号表示（选择题）[A]A.C;B.D;C.E;D. F.1-5用列元法表示下列集合：A={x│x∈N且3－x〈3}（选择题）[D]A.N;B.Z;C.Q;D.Z+1-6为何说集合的确定具有任意性?(简答题)答：按研究的问题来确定集合的元素。
我们所要研究的问题当然是随意的呗。
之所以，集合的定义（就是集合成分的确定）当然带有任意性哪。
第二章二元关系2-1设A={1，2，3}，A上的关系R={〈1，2〉，〈2，1〉}∪IA，试求：（综合题）(1)domR=?;(2)ranR=?;(3)R的性质。
（4）商集A/R=？（5）A的划分∏=？（6）合成运算（R。
R）=？答：R={<1,2>,<1,3>,<2,3>，<1，1>，<2，2>，<3，3>}；(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};(2)RanR={R中所有有序对的y}={2,1,3}；(3)R的性质:自反,反对称,传递性质.这时，R不是等价关系。
（4）商集A/R={{1，2，3}，{2，3}，{3}}。
由于R不是等价关系，所以，等价类之间出现交集。
这是不允许的。
请看下面的划分问题。
（5）A的划分∏={{1，2，3}，{2，3}，{3}}；也由于R不是等价关系，造成划分的荒谬结果：出现交集。
试问：让“3”即参加第一组，又参加第二组，她该如何分配呢！！！所以，关系R必须是等价关系。
至于作业中，此两题应说：因为R不是等价关系，此题无解。
2-2设R是正整数集合上的关系，由方程x+3y=12决定，即R={〈x，y〉│x，y∈Z+且x+3y=12}，试给出dom（R。
R）。
（选择题）[B]A.3；B.{3}；C.〈3，3〉；D.{〈3，3〉}。
2-3判断下列映射f是否是A到B的函数；以及函数的性质。
最后指出f：A→B 中的双射函数。
（选择题）[B]（1）A={1，2，3}，B={4，5}，f={〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。
（2）A={1，2，3}=B，f={〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。
（3）A=B=R，f=x。
（4）A=B=N，f=x2。
（5）A=B=N，f=x+1。
A.（1）和（2）；B.（2）和（3）；C.（3）和（4）；D.（4）和（5）2-4设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。
ｇ＝[C] A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。
2-5关系型数据库与《关系与函数》一章内容有何联系？（简答题）答关系与函数一章的内容是关系型数据库的理论基础第三章结构代数(群论初步)(3-1)，(3-2)为选择题3-1给出集合及二元运算，判断是否代数系统，何种代数系统？（1）S1={1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算*是普通乘法。
[A] A．不构成代数系统；B．只是代数系统。
；C．半群；D．群。
（2）S2={a1，a2，……，an}，ai∈R，i=1，2，……，n；二元运算。
定义如下：对于所有ai，aj∈S2，都有ai。
aj=ai。
[C] A．不构成代数系统；B．只是代数系统。
；C．半群；D．群。
（3）S3={0，1}，二元运算*是普通乘法。
[C] A．不能构成代数系统；B．半群；C．独异点；D．群。
3-2设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。
，对于所有x，y∈Z都有x。
y=x-y试问？在Z上二元运算。
能否构成代数系统，何种代数系统？为什麽？（综合题）答判定和讨论特殊元素及其对代数结构的作用，整数上的减法运算满足封闭性，才能构成代数系统，当然要满足群的定义条件，整数上的减法运算只构成一般代数系统，而不构成半群，更不构成群。
第二部分图论方法第四章图以下三题分别为：选择题是非题填空题4-110个顶点的简单图G中有4个奇度顶点，问G的补图中有r个偶数度顶点。
[C] A．r=10；B．r=6；C．r=4；D．r=9。
4-2是非判断：无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有8个顶点。
[是] 4-3填空补缺：1条边的图G中，所有顶点的度数之和为2。
第五章树5-1概述无向图与无向树的关系。
（简答题）答（1）生成树的定义---生成子图概念；（2）生成子图与母图的关系----顶点数相同；（3）何种图才有生成树----连通图；（4）连通图中的那种边永远不会进入任何一颗生成树中---环。
（5）连通图中的那种边必然会进入其生成树中---桥。
5-2握手定理的应用（指无向树）（计算题）（1）在一棵树中有7片树叶，3个3度顶点，其余都是4度顶点，共几个顶点[11]（2）一棵树有两个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶，问有几片叶[9]5-3用Huffman算法求带权为1，2，3，5，7，8的树叶的最优2元树T。
（填空题）试问：T的权W（T）=(61)；树高(4)层。
5-4以下给出的符号串集合中，那些是前缀码（是非题）B1={0，10，110，1111}；[是]B2={1，01，001，000}；[是]B3={a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc}[非]B4={1，11，101，001，0011}[非] 5-511阶无向连通图G中有17条边，其任一棵生成树T中必有6条树枝[非] 5-6二元正则树有奇数个顶点。
[是]5-7通信中a，b，c，d，e，f,g,h出现的频率分别为25%;20%;20%.15%,10%,5%,3%,2%;试完成下列要求。
（综合题）1、最优二元树T；2、二元树的权W（T）=；3、每个字母的码字；第三部分逻辑推理理论第六章命题逻辑6-1判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。
（填空题）（1）2月17号新学期开始。
（是简单）命题（2）离散数学很重要。
（是简单）命题（3）离散数学难学吗？（不是）命题（4）C语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性（是复合）命题（5）x+5>2。
（不是）命题（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。
（是复合）命题6-2将下列命题符号化.（填空题）（1）2是偶素数。
p∧q（2）小李不是不聪明，而是不好学。
p∧﹃q（3）明天考试英语或考数学。
（兼容或）p∨q6-3用等值演算法求下列命题公式的主析取范式，并由此指出该公式的类型（1）﹃（p→q）∧q0，永假式（计算题）（2）（（p→q）∧p）→qΣ（0，1，2，3）永真式（计算题）（3）（p→q）∧qΣ（1，3）可满足式（计算题）6-4令p：经一堑；q：长一智。
命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[B] A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p6-5p：天气好；q：我去游玩．命题”如果天气好，则我去游玩”符号化为［A］A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p6-6将下列推理命题符号化，然后用不同方法判断推理结果是否正确。
（综合题）如果今天不下雨，则明天上体育课。
今天没有下雨。
所以，明天上体育课。
题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。
再用不同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。
公式是重言式，所以，推理正确。
方法1：等值演算法(略)方法2:主范式法(略);方法3:真值表法(略);方法4：构造证明法,如下:（1）将原子命题符号化：（2）按题意构成前提：（3）按题意构成结论：（4）证明：答:如果今天下雨，则明天不上体育课。
今天下雨了。
所以，明天没有上体育课。
题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。
再用不同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。
公式是重言式，所以，推理正确。
方法1：等值演算法（（p→﹃q）∧p）→﹃q﹤＝﹥1；方法2:主范式法(略);方法3:真值表法(略);方法4：构造证明法,如下:将公式分成前提及结论。
前提：（p→﹃q），p；结论：﹃q；证明：（1）（p→﹃q）前提引入（2）p前提引入（3）（p→﹃q）∧p（1）（2）假言推理（4）﹃q扣题：要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确第七章谓词逻辑7-1在谓词逻辑中用0元谓词将下列命题符号化（填空题）（1）1不是素数。
﹃F（a）。
（2）如果2＞3，则2＞5。
L（a，b）→H（a，c）。
7-2填空题：设域为整数集合Z，命题∀x∀y彐z（x-y=z）的真值为17-3在谓词逻辑中将下列命题符号化（填空题）人固有一死。
x（M（x）→F（x））。
7-4一阶逻辑与命题逻辑有何联系？举例说明。
（简答题）答：把命题逻辑中的符号化的命题，把句子成分展示出来，并按句子成分符号化，就变成一阶逻辑中的公式了。
例如：每个人都会死。
命题逻辑中的P变成一阶逻辑中的x（M（x）→F（x））。
《附录》习题符号集Ø空集,∪并,∩交,⊕对称差,～绝对补,∑累加或主析取范式表达式缩写,－普通减法,÷普通除法,㏑自然对数,㏒对数，﹃非，量词”所有”，”每个”，∨析取联结词，∧合取联结词，彐量词”存在”，”有的”，∏划分。
《附录》习题符号集Ø空集,∪并,∩交,⊕对称差,～绝对补,∑累加或主析取范式表达式缩写,－普通减法,÷普通除法,㏑自然对数,㏒对数，﹃非，∀量词”所有”，”每个”，∨析取联结词，∧合取联结词，彐量词”存在”，”有的”，∏划分。
2017年9月10号.。
