西南交通大学数值分析题库
用复化梯形公式计算积分
1
()f x dx ?,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保
证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)
()
1f x ∞
≤）
；如果知道(2)
()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1
()f x dx ?
此实际值 大 (大，小)。
在以1
0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =
∈?为内积的空间C[0,1]
中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2
3
x
3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y
y λ'=??=?
的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确
解
解 Euler 公式 1
1,1,
,,k k
k x
y y h y k
n h
n
λ -----------(5分) 1
011k
k
k
y h y h y λλ
------------------- (10分)
()
11(0)n
n
x n x y h e h n λλλ??=+=+→→ ??
?
若用复化梯形求积公式计算积分1
x I e dx =
?
区间[0,1]应分 2129 等分，即要
计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过
71
102
-?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值
1．用Romberg 法计算积分 2
3
2
x e dx -?
解 []02()()2b a
T f a f b -=
+= 9.219524346410430E-003 10221()222
b a a b
T T f -+=+= 5.574989241319070E-003
10
022243
T T S -=
= 4.360144206288616E-003
22T = 4.499817148069681E-003 21
122243
T T S -=
= 4.141426*********E-003
10
02221615
S S C -=
= 4.126845266588636E-003
32T = 4.220146327817699E-003
32
222243
T T S -=
= 4.126922721067038E-003
21
12221615S S C -=
= 4.125955805783515E-003
10
02226463
C C R -=
= 4.125941687358037E-003
2．用复合Simpson 公式计算积分
2
3
2
x e dx -?
(n=5)
解 44
501()4()2()(),625k k h h b a
S f a f a kh f a kh f b h ==??-=++++++=????
∑∑
5S =4.126352633630653 E-003
3、 对于n+1个节点的插值求积公式
()()b
n
k k k a
f x dx A f x =≈∑? 至少具有 n 次代数精度. 4、 插值型求积公式
()()b
n
k k k a
f x dx A f x =≈∑?的求积系数之和0n
k k A =∑=b-a 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式
()()4()()22b
a
b a a b f x dx f a f f b -+??
≈
++????
?
具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则
()()4()()22b
a
b a a b f x dx f a f f b -+??
-++????
?
=)(f 2880)a b ()4(5η--
(
[a,b])
因此对不超过3次的多项式f(x)有
()()4()()022b
a
b a a b f x dx f a f f b -+??
-
++=????
?
即
()()4()()22b
a
b a a b f x dx f a f f b -+??
=
++?????
精确成立,对任一4次的多项式f(x)有
()()4()()22b
a
b a a b f x dx f a f f b -+??≠
++????
?
因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.
6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式
2
2()()(0)()f x dx Af a Bf Cf a -≈-++?
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型？ 解 由()1f x 得 4A B C 由()f x x 得 0aA aC
由2()f x x 得 22163a A a C 由3()f x x 得 330a A a C
由4()
f x x 得 4464
5
a A
a C
可 得101612,,995
A C
B a 代数精度是5, 是Gauss 型积分公式
7．1）设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求
)(2x P
2）构造如下的Gauss 型求积公式1
00110()()()xf x dx A f x A f x ≈+?
解 (1) 0()
1P x , 01000(,())
2()
()
((),())
3
x P x P x x
P x x
P x P x 222
012010011
(,())
(,())()
()
()((),())
((),())x P x x P x P x x
P x P x P x P x P x P x 12
3
00
1
(,())4x P x x dx =
=
? 1000
1
((),())2
P x P x xdx ==?
1
2110
21
((),())()336
P x P x x x dx =
-=? 12
310
21(,())()330
x P x x x dx =-=? 2
2621()()
532P x x x 2
63510
x x
(2) 2
263
()
510
P x x x 的两零点为01
66
66
,10
10
x x (即Gauss 点)
1
101010
001109696
,3636
x x x x A x
dx A x dx x x x x ---+=
===
--?? Gauss 型求积公式
1
96669666
()()()xf x dx f f --++≈
+? 8 用复合Simpson 公式计算：
要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson 公式求此
积分值。
解 复合Simpson 公式计算的误差为 =)f (R n 4(4)
b-a ()2880
h f η-
，[a ，b]
因此只要
4
0.0052880n ??
≤ ???
ππ 即可.得 2.147n ,取3n
3
2.0008632S
9 试述何谓Gauss 型求积公式。如下求积公式：
是否是Gauss 型求积公式？Gauss 型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分
区间上连续)
解 把用[a ，b]上的n+1个节点（互不相同的）k x (k=0,1,…,n)而使数值求积公式
∑==
n
k k k n )
x (f A
)f (Q
的代数精确度达到2n+1，称为Gauss 型求积公式 求积公式
?π
sin xdx
()()()()1
1
141
101333
f x dx f f f -≈
-++?
()()()()1
1
141
1013
3
3
f
x dx f f f -≈
-+
+
?
因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss 型求积公式。G auss 型求积公式是稳定的，也是收敛的。
10． 试述何谓Gauss 型求积公式。并证明： ⑴ Gauss 型求积公式
()()()n
b
k k a k x f x dx A f x ρ=≈∑? 的系数0k
A (这里()x ρ是权函数)
⑵
n
k k A C ==∑ 其中C 是常数(要求写出C 的表达式)。
解 把用[a ，b]上的n+1个节点（互不相同的）k x (k=0,1,…,n)而使数值求积公式
∑==n
k k k n x f A f Q 0
)()(
的代数精确度达到2n+1，称为Gauss 型求积公式 (1)
()()()n
b
k k a k x f x dx A f x ρ=≈∑?是Gauss 型求积公式，因此如果()f x 是不超过
2n+1次的多项式两边应该完全相等，取
2
011101
11()()()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x -+-+??
-----= ?-----??
则 0()()b
a x f x dx ρ<
=? 0
()n
k k i k A f x A ==∑ (2)
()()()n
b
k k a k x f x dx A f x ρ=≈∑?是Gauss 型求积公式，因此代数精确度达到2n+1, 因此如果()f x 是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取 ()1f x ≡得
(),()n
b
b
k a
a k A x dx C C
x dx ρρ===∑?? 11． 证明：（1）Newton-Cotes 系数
)
(n k
c
满足如下等式：
()
1n
n k
k c ==∑
(2）设n T ，2n T 分别表示把区间[a,b] n,2n 等分后复化梯形公式计算积
分
?b
a
dx x f )(，n S 表示把区间[a,b] n 等分后复化Simpson 公式计算积分?b
a
dx x f )(。证明下式
成立：
3
42n
n n T T S -=
证明 (1) 因为 Newton-Cotes 求积公式为
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑?，其中
01110111()()()()()
()()()()()
b
k k n k a
k k k k k k k n x x x x x x x x x x A dx x x x x x x x x x x -+-+-----=-----?
而Newton-Cotes 系数
)(n k
c
满足 ()
n k k
A C b a
因
n
k k A b a ==-∑，故()0
1n
n k k c ==∑.
(2) 因 ()11121()4()2()()62n n n k k k h h S f a f a f a kh f b -==-?
?=+++++????
∑∑
b a
h
n
又因 1
1()2()()2n n k h T f a f a kh f b -=?
?=+++????∑
21
21/2()2()()22n n k h h
T f a f a k f b -=??=+++????
∑
()11121()2()2()()42n n
k k k h h f a f a kh f a f b -==-?
?=+++++??
??
∑∑ 整理即可得 3
42n
n n T T S -=
12、若用复化梯形求积公式计算积分1
x
I e dx =
? 区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算
个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过
71
102
-?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。
13．证明 i x (i =0,1,…,n)是插值型求积公式
()()b
a
x f x dx ρ?≈0
()n
i
i
i f x ω=∑的高斯点的
充分必要条件是:多项式0
()()n
i
i x x x π==-∏与任意次数不超过n 的多项式()p x 关于权函
数()x ρ正交
()()()0b a
x x p x dx ρπ=? 且高斯系数 ()()b
i i a
x l x dx ωρ=?
.
其中()i l x 为关于节点i x 的拉格朗日插值基函数。
证明: 必要性，设节点(0,1,
,)i x i
n 使求积公式 ()()b
a
x f x dx ρ?≈
()
n
i
i
i f x ω=∑成为Gauss 型求积公式，则它的代数精度应具有2n+1，故对任意次数不超过n 次的多项式P(x)有：0
()()()
()n
i
i p x x p x x x ==-∏π是次数不超过2n+1的多项式，从而
()()()b
a
x x p x dx ?
ρπ0
()()0n
i i i i p x x ωπ==
=∑，即必要性成立。 充分性：因为n+1个节点的插值型求积公式
()()b
a
x f x dx ρ?≈0
()n
i
i
i f x ω=∑代数精度至少
有n ，如果取f(x)是任一次数不超过2n+1的多项式，则f(x)= ()()()p x x r x π，
其中P (x)是次数不超过n 次的多项式，r(x)是次数不大于n 的多项式，因()x π与任一次数不超过n 次的多项式正交，从而1()()()()()()()b b b
n a a a x f x dx x p x x dx x r x dx ρρωρ+=+???，即
()()()()b
b a
a
x f x dx x r x dx ρρ=??。由于
r(x)次数不大于n ，故
()()()n
b
i i a i x r x dx A r x ρ==∑?。又因()()()()i i i i f x p x x r x π=+=r(x k
)，从而
0()()()n
b
i i a i x r x dx A f x ρ==∑?，即0
()()()n
b
i i a
i x f x dx A f x ρ==∑? 从而知其代数精度至少有2n+1，故i x 是Gauss 点。
14、若用复化梯形求积公式计算积分()b
a
I f x dx =
?
,则复化梯形求积公式计算式
()n T f =1
1()2()(),2n k h b a
f a f a kh f b h n -=??-+++=
??=??
∑ ，截断误差()n I T f -= 2
(),(,)12
b a h f a b ηη-''-
∈ (假定2()[,]f x C a b ∈)。 15． 数值求积公式:()[()4(0)()]3
h h h
f x dx f h f f h -≈-++? 的代数精度是 3 次。
此数值求积公式 不是 （是，不是）Gauss 型求积公式。
16 用复化梯形公式计算积分
1
()f x dx ?
,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保证
满足误差小于0.00005的要求（这里假定()f x 任意阶导数存在，且(2)
()
1f x ∞
≤）
。 17． 用复化梯形公式计算积分
1
()f x dx ?
,要把区间[0,1] 一般要等分 2 份才能保
证满足误差小于0.00005的要求（这里假定()f x 任意阶导数存在，且()
()
1k f x ∞
≤）
18． 试用Simpson 公式计算积分
dx e x
?
21
/1 的近似值, 并判断此值比准确值大还是小,并说明理由。
解 ()4()()62b a b a S f a f f b -+??
=
++????
= 2.026323 截断误差
21/(4)1
1
(),(1,2)2880
x
e dx S
f ηη-=-
∈? 而1
32(4)
8
2436121()x x x x f x e x +++=
因此21/1x
S e
dx >
?
19. (1) 证明:计算积分()()b
a
I f f x dx =
?
的1n 个基点的求积公式
[]11
()()
,,1,
,1n i i i i I f A f x x a b i n +=≈∈=+∑
的代数精确度至少是n 的充分必要条件是
(),1,,1b
i i
a A l x dx i n =
=+?
其中 1
1()
()()n j i j i
j
j i
x x l x x x +=≠-=-∏
(2) 如果(1)中的1n
个基点的求积公式的代数精确度是21n ,则
2()(),1,
,1b
b
i i i a
a
A l x dx l x dx i n =
==+?
?
证明 (1) 必要性 因[]1
1
()()
,,1,
,1n i
i
i i I f A f x x a b i n +=≈
∈=+∑的代数精确度至
少是n ,取11111111()()()()
()
()
()()()()
i i n i i i
i i i i n x x x x x x x x f x l x x x x x x x x x .则
[]11
()()
,,1,
,1n b
k k k a
k f x dx A f x x a b k n +==∈=+∑?
而
11
()n k k i k A f x A +==∑,因此(),1,
,1b
i i a
A l x dx i n ==+?
充分性 如果
[]1
1
()()
,,1,
,1
n i i i i I f A f x x a b i n +=≈∈=+∑
且(),1,
,1b
i i
a A l x dx i n =
=+?
,其中 1
1()()()
n j i j i j j i
x x l x x x +=≠-=-∏
则 1
11
1
()()[()()()]n n b
i
i
i i a
i i I f A f x f x f x l x dx ++==-
=-∑∑?
()(1)11()
()
()1!
n b
n a
f x x x x dx n η++=
--+?
因此当f(x)是任一次数不超过n 的多项式时, 1
1()()n i
i
i I f A f x +==
∑.即代数精确度至少是n 。
(2) 由(1)知()b
i i
a A l x dx =
?
，因求积公式的代数精确度是21n ,因此当
()
2
12
1()()()()n j i j i j j i x x f x l x x x +=≠??
- ?== ?- ???
∏时, 11()()n k k i k I f A f x A +===∑，而2()()b i a
I f l x dx =? 因此 2()(),1,
,1
b
b
i i i a
a
A l x dx l x dx i n =
==+?
?
20． 数值求积公式:
)](0[2/)]()0([)(''
2h f f ah h f f h dx x f h
-++≈?
）（ 当a 取何值时代
数精度最高?是多少次? 解 当()
1,f x x ,两边总是相等的；当2()
f x x 要使两边相等,则3311232h a h ??
=- ???得
1
12
a
,此时当3()f x x 两边总相等，当4()
f x x 两边不相等, 最高代数精度是3。
1.导出用Euler 法求解 (0)1
y y
y λ'=??
=? 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解
解 Euler 公式 11,1,,,k k k x y y h y k n h n
λ--=+==
()()0111k
k
k y h y h y -=+λ=
=+λ
()
11(0)n
n
x n x y h e h n λλλ??=+=+→→ ??
?
2. 解初值问题 (,),
()y f t y a t b y a η
'=?≤≤?
=? 所建立的单步差分格式
011222(,)(,(,))
k k k k k k k k y y y a f t y a f t y f t y η
αδ+=??
=++++?中,不管怎样选取1222,,,a a αδ其局部离散误差都不是4
()O h 解 22(,(,))k k k k f t y f t y αδ++
1222(,)k k f t y f f f αδ''=++ +2221121222222
122f f f f f α
αδδ??''''''+++
?
?
112
()()k k y t y t a f a +=++22212221121222222122f f f f f f f f f αδααδδ?????????
??
?''''''''++++++
=()222212212221121222222()22k a y t a a f a f f f f f f f f αδααδδ???? ????
???
''''''''+
+++++++
另一方面
22311211
1222211
()()()()2()()()23!k k k k k k k y t y t y t h f f y t h f f y t f y t f y t h +????'''''''''''''''=++++++++???
?
如其局部离散误差都是4
()O h ，可得 122222221212a a h
a h a h αδ??+=?
?=???=?? ，232232222
3221123!23!112
3!a h a h a h ααδδ?=???=???=??.这是不可
能的.
3、解常微分方程初值问题(,)y f x y '=，00()y x y = 的梯形格式
[]111(,)(,)2
n n n n n n h
y y f x y f x y +++=+
+ 是＿2＿阶方法
4、 欧拉预报--校正公式求解初值问题0
(0)0
y y x y '+-=??
=?
取步长h=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.
解 欧拉预报--校正公式01
111(,)(,)(,)2
n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y ++++?=+????=++???? 得 y(0.1)
1y =0.005000
y(0.2)
2y =0.019025
5. 用E uler 法计算积分
2
0x t e
dt ?
在点0.5,1,1.5,2x
的近似值(可取0.5h )
解 原问题与初值问题2
(0)0
x
y e y ?'=??=??等价, Euler
公式
2
1
1,1,,4,0.5
k k k x y y he
k h --=+==
y(.5000E+00)1y ≈=0.500000 y(.1000E+01) 2y ≈=1.142013 y(.1500E+01)
3
y ≈=2.501154
y(.2000E+01) 4y ≈=7.245022
6、欧拉预报--校正公式求解初值问题 0
(0)0
y y x y '+-=??
=? ,如取步长h=0.1,计算y(0.1)的
近似值为 0.005000 ,此方法是 2 阶方法。
7、若 ()y x 为 (,)
()dy
f x y dx y a ?=???=?η
（a x b ≤≤）的解，而k y 为Euler 法
111(,)k k k k y y hf x y ---=+
在
k
x 处的解， 证明 ()
0||
|()|||L k k k k E x a y y x e
L εε-?
?-≤+????
这里假定(,)f x y 满足Lipschitz 条件，L 为(,)f x y 在{}
(,),S x y a x b y =≤≤<∞上关于y 的Lipschitz 常数，k x a kh ,且k a
x b ,E=||max 1h e j k
j ≤≤,j e 为从1j x 到j x `这
一步的局部截断误差。
证明 因为()k k k y x y ε=-
=111111()(,())(,)k k k k k k k y x hf x y x e y hf x y ------++-- ≤1(1)k k hL e ε-++
从而有：1||(1)||k k hL Eh εε-≤++
依次类推得：Eh
Eh hL Eh hL hL k k k +++++++≤-)1()1(||)1(||1
0 εε
=0(1)1
(1)||k k
hL hL Eh hL
ε+-++
由于h=
k
a
x k -从而可证：)
()1(a x e
hL k L k
-≤+，从而有(
)
0||(||)k L k a E e
L
x εε-≤+
8、用Euler 法求初值问题在区间[0，0.5]上的数值解见下表(取步长h=0.1)，
1
(0)1
dy
y x dx
y ?=-++???=? 这里为k y 数值解，()k y x 为准确解，则从x =0.2到x =0.3这一步迭代时的局部截断误差为 ,从0x
计算到0.3x
时的整体截断误差 0.041818
9、用
梯形方法解初值问题
(0)1y y y '+=??
=?
证明 其近似解为 22n
n h y h -??
= ?+??
并证明当0h
时,它收敛于原初值问题的准确解x y e -=
证明 用梯形公式 ()11,1,,,2k k k k h x
y y y y k n h n --=+
--== 近似解的表达式1112222212k k k k h h h y y y h h h --??- ?--????
=== ? ? ?++???? ?
+??
因此22n
n h y h -??= ?+??2221/
2221122x
n x n x
n n x
x
x x e n x n x -?
-++-??--???
???=+=+→??
? ?++????
???
?
k x
0.1
0.2
0.3 0.4 0.5 )x (y k
1.004837 1.018731 1.070818 1.070320 1.106531 k y
1.000000 1.010000
1.029000 1.056100 1.090490 k k y )x (y - 0.004837 0.008731
0.041818
0.014220
0.016041
(0)h →
10.解初始值问题(,)y f x y '=，00()
y x y 近似解的梯形公式是 1
k
y
11．考虑常微分方程初值问题(,),
()y f x y a x b y a η'=?≤≤?
=?.取正整数n ，记
,,0
i b a
h
x a
ih i
n n
。试分析预测校正公式
[]1111113(,)(,)2
(,)(,)2p
k k k k k k p k k k k k k h y y f x y f x y h y y f x y f x y +--+++?=+-???
???
=++?
??? 的局部截断误差，并指出它是几阶公式。
12.叙述解常微分方程初值问题数值方法的绝对稳定的定义；证明Euler 法的绝对稳定区间为（-2，0）
解 如果y k 是某方法第k 步的准确值，k y ~
为其近似值，其绝对误差为k δ，即k k k y ~
y δ=-。假定第k 步后的计算中不再有舍入误差，只是由k δ引起的扰动m δ(m>k,m m m y ~
y -=δ)，都有|m δ|<|k δ|，则称此方法是绝对稳定的
设y k 有一扰动k δ，此时 1()k k k k k y y h y δλδ+=+++
=k k k )h 1(hy y δλ++λ+
即 1k y +=k 1k )h 1(y δλ+++，从而 |||1|||1k k h δλδ+=+
要使||||k 1k δ<δ+，则必有1|h 1|<λ+，即h (-2,0)时，Euler 法是绝对稳定的
13.证明隐式中点方法 11
(,)22
n n n n n
y y h y y hf x 是二阶的，并求其绝对稳定区间。
证明 局部截断误差111
()n n k y x y +++=-ε
()(()(,()(,())))n n n n n n y x h y x hf x ah y x hbf x y x
112n n n n y y y y h δδλ++??++ ?=++ ? ???
得 111221122n n h h y y h h λλδλλ+????
++ ? ?
????=
+????-- ? ?
???
? 即 111212n n h y y h λδ
λ++??+ ?
??-=??- ?
??
由
1
211
2
h
h λλ得绝对稳定区间为（-∞，0）
14.选取参数使下述形式的RK 公式为二阶公式
1212
1(,)(,)
n n n n n n y y hK K f x y K f x ah y hbK +=+??
=??=++?
解 局部截断误差111()n n k y x y +++=-ε
()(()(,()(,())))n n n n n n y x h y x hf x ah y x hbf x y x =+-+++ ()(,()(,()))n n n n n y x hf x ah y x hbf x y x +++
[]3
12()(,())(,())(,())()()n n n n n n n n y x h f x y x f x y x ah f x y x hby x h '''=++++O
[]312()()(,())(,())()()n n n n n n n y x h y x f x y x ah f x y x hby x h ''''=++++O []23121
()()2(,())2(,())()()2
n n n n n n n y x y x h af x y x bf x y x y x h h ''''=++
++O