2018年四川省成都实验外国语学校自主招生数学试卷

2018年四川省成都实验外国语学校自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）

1．（4分）下列四个实数中，为有理数的是（ ）

A． B．3.14 C．sin20° D．

2．（4分）已知代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）

A．x＞2 B．0≤x≤2 C．0＜x≤2 D．0＜x＜2

3．（4分）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

4．（4分）（﹣2）101+（﹣4）50+833等于（ ）

A．450 B．﹣5•299 C．﹣299 D．832

5．（4分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示），那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（ ）

A．在t1时刻，甲车在乙车前面

B．t1时刻后，甲车在乙车后面

C．在t0时刻，两车的位置相同

D．t0时刻后，乙车在甲车前面

6．（4分）满足一元二次不等式ax2+bx+2＞0的x范围是﹣＜x＜，则a+b的值为（ ）

A．﹣14 B．﹣10 C．﹣7 D．7

7．（4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数“．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）

A．1035 B．75 C．369 D．365

8．（4分）不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是（ ）

A．a≤ B．a≤5 C．a≤2 D．a≤3

9．（4分）设P1，P2，…Pn为直角坐标系平面xOy内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，则有下列命题：

①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；

③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．

其中的真命题有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．（4分）对于函数y＝ax|x|+bx+c（其中，a、b为任意实数，c为整数），选取a、b、c的一组值计算：当x＝1时对应的函数值y1和当x＝﹣1时对应的函数值y2，所得出的正确结果一定不可能是（ ）

A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．3和2

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将答案直接填在答题卷对应的横线上）

11．（4分）计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝

．

12．（4分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ．

13．（4分）如图，图中小正方形的边长为1，现随机地向该矩形EFGH框内掷一枚小针，针尖落在梯形ABCD内的概率为 ．

14．（4分）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝ ．

15．（4分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和两个蓝球，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中摸出一个球，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 ．

16．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥最长棱的棱长为 ．

17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b对应的直线与反比例函数y═对应的曲线相切，一次函数y＝kx+b对应的直线分别与x轴和y轴相交于A、B两点，则S△AOB＝

．

18．（4分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过k次滚动（注：如图所示，实线正方形到虚线正方形．为滚动一次），点A第一次回到点P的位置且此时的正方形与初始位置重合，则k＝ ；若正方形滚动四次就停止，则点A走过的路径的长度为 ．

19．（4分）若4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，则sin18°＝ ．

20．（4分）如图，AC⊥CB，AC＝CB，在BC上取一点D连接AD，∠ACB的平分线交AD于E点，连接BE．若S△ACE＝4，S△EBD＝1，则CD＝ ．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或推演步骤）

21．（10分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m．

（1）利用公式tan＝，求tan15°的值；

（2）求河流的宽度BC．

22．（12分）已知二次函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，求a的值．

23．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线C，一次函数y＝﹣x的图象为直线l．

（1）求平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式；

（2）求直线与曲线相切的切点到直线l的距离．

24．（12分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，C、D为上半圆上两点，AC＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E（点E在线段AO上），CE＝4．

（1）求四边形ACDB的面积；

（2）取CB的中点F，连接DF并延长交⊙O于点G，求DG的长．

25．（12分）已知抛物线方程y＝ax2+bx，其顶点坐标为（3，﹣9）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线y＝k（x﹣3）﹣与抛物线交于P，Q两点，点B（3，﹣），求证：+为定值（参考公式，已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则A，B两点间的距离|AB|＝．

26．（12分）勾股定理是数学史上非常重要的定理之一，两千多年来，人们对它进行了大量的研究，给出了多达数百种证明方法．请你叙述勾股定理，并用欧几里德在《几何原本》中的证明方法进行构图并证明．

叙述勾股定理：

已知：

求证：

证明：

图形：

参考答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）

1．选：B．

2．选：C．

3．选：D．

4．选：C．

5．选：A．

6．选：B．

7．选：C．

8．选：A．

9．选：B．

10．选：D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将答案直接填在答题卷对应的横线上）

11．（4分）计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝ 1 ．

12．（4分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 3% ．

13．（4分）如图，图中小正方形的边长为1，现随机地向该矩形EFGH框内掷一枚小针，针尖落在梯形ABCD内的概率为 ．

14．（4分）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝ 0 ．

15．（4分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和两个蓝球，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中摸出一个球，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是

．

16．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥最长棱的棱长为

2

．

17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b对应的直线与反比例函数y═对应的曲线相切，一次函数y＝kx+b对应的直线分别与x轴和y轴相交于A、B两点，则S△AOB＝ 8 ．

18．（4分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过k次滚动（注：如图所示，实线正方形到虚线正方形．为滚动一次），点A第一次回到点P的位置且此时的正方形与初始位置重合，则k＝ 12 ；若正方形滚动四次就停止，则点A走过的路径的长度为 π ．

19．（4分）若4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，则sin18°＝ ．

20．（4分）如图，AC⊥CB，AC＝CB，在BC上取一点D连接AD，∠ACB的平分线交AD于E点，连接BE．若S△ACE＝4，S△EBD＝1，则CD＝

．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或推演步骤）

21．（10分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m．

（1）利用公式tan＝，求tan15°的值；

（2）求河流的宽度BC．

【解答】解：（1）由公式tan＝可得：

tan15°＝＝＝＝2﹣；

（2）由题意得：AD为气球的高，

∴AD＝60m，AD⊥BC，

在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°﹣75°＝15°，tan∠BAD＝，

∴BD＝AD×tan15°＝60（2﹣）m，

在Rt△ACD中，∵∠CAD＝90°﹣30°＝60°，tan∠CAD＝，

∴CD＝AD×tan60°＝60m，

∴BC＝CD﹣BD＝60﹣60（2﹣）＝120﹣120（m），

即河流的宽度BC为（120﹣120）m．

22．（12分）已知二次函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，求a的值． 【解答】解：∵y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2＝4（x﹣）2+（2﹣2a），

∴函数对称轴为直线x＝a，

∵当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，

∴①＜﹣1时，x＝﹣1函数取得最小值，4+4a+a2﹣2a+2＝5，即（a+1）2＝0，

解得a＝﹣1，不合理，舍去；

②﹣1≤≤3时，x＝函数取得最小值，2﹣2a＝5，

解得a＝﹣，合理；

③＞3时，x＝3函数取得最小值，36﹣12a+a2﹣2a+2＝5，即a2﹣14a+33＝0，

解得a1＝11，a2＝3（舍去），

综上所述，a的值为﹣或11．

23．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线C，一次函数y＝﹣x的图象为直线l．

（1）求平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式；

（2）求直线与曲线相切的切点到直线l的距离．

【解答】解：（1）∵所求直线平行于直线l：y＝﹣x，

∴设所求直线解析式为y＝﹣x+b．

又∵所求直线与曲线C：y＝相切，

∴，

即﹣x+b＝有两个相等实数根．

整理，得：x2﹣bx+2＝0，

∴△＝（﹣b）2﹣4××2＝0，