苏教版高中数学选修233.2回归分析学案

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1．线性回归模型

(1)随机偏差

拥有线性有关关系的两个变量的取值 x、y，y的值不可以由 x完整确立，可将 x，y之间

的关系表示为 y＝a＋bx＋ε，此中a＋bx是确立性函数， ε称为随机偏差．

(2)随机偏差产生的主要原由

①所用确实定性函数不适合惹起的偏差；

②忽视了某些要素的影响；

③存在观察偏差．

(3)线性回归模型中 a，b值的求法

y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型．

a，b的预计值为 a∧，b∧，则

n －－

∑xiyi－nxy

i＝1 精选文档

2 b∧＝n 2 2 －n（x） ∑xi

i＝1

－

a∧＝y－b∧x (4)回归直线和线性回归方程 直线y_∧＝a_∧＋b_∧x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程， a∧称为回归

截距，b∧称为回归系数，y∧称为回归值．

2．样真有关系数 r及其性质

n －－

∑xiyi－nxy

(1)r＝ i＝ 1 ． n n 2 2 2 2

（∑＝xi －n（x））（∑＝

1 yi －n（y） ）

i1 i

r拥有以下性质

①|r|≤1．

|r|越靠近于1，x，y的线性有关程度越强．

③|r|越靠近于0，x，y的线性有关程度越弱．

3．对有关系数 r进行明显性查验的基本步骤

(1)提出统计假定 H0：变量x，y不拥有线性有关关系．稈泼预鐒陧頷別赞蠑虾輊缪誕烛騮。 精选文档

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(2)假如以95%的掌握作出判断，那么能够依据 1－0.95＝0.05与n－2在教材附录 2中

查出一个r的临界值r0.05(此中1－0.95＝0.05称为查验水平)．

(3)计算样真有关系数 r．

(4)作出统计推测：若 |r|>r0.05，则否认H0，表示有95%的掌握以为x与y之间拥有线性

有关关系；若|r|≤r0.05，则没有原由拒绝本来的假定 H0，即就当前数据而言，没有充足原由

以为y与x之间有线性有关关系．

1．在线性回归方程中， b既表示回归直线的斜率，又表示自变量 x的取值增添一个单

位时，函数值 y的改变量．

2．经过回归方程 y∧＝a∧＋b∧x可求出相应变量的预计值．

3．判断变量之间的线性有关关系，一般用散点图，但在作图中，因为存在偏差，有时

很难判断这些点能否散布在一条直线的邻近，从而就很难判断两个变量之间能否拥有线性有关关系，此时就一定利用线性有关系数来判断．

誄鹆兒髅娲绯赔韻辄红攄录读灏鏷。

[例1] 假定对于某设施的使用年限 x(年)和所支出的维修花费 y(万元)有以下的统计资料：

x 2 3 4 5 6

y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由数据可知， y对x体现线性有关关系． (1)求线性回归方程； (2)预计使用年限为 10年时，维修花费是多少？ [思路点拨] 代入数值求线性回归方程，而后把 x＝10代入，预计维修花费． [精解详析] (1)列表以下： 縟萨媪墮缈谥洶财铝术擲凤鸲侠異。

i 1 2 3 4 5

xi 2 3 4 5 6

yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0

xi2 4 9 16 25 36

经计算得：x＝4，y＝5，∑5,i＝1x2i＝90，∑5,i＝1xiyi＝112.3，

a∧＝y－b∧·x＝0.08， 精选文档

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所以线性回归方程为 y∧＝a∧＋b∧x＝0.08＋1.23x. (2)当x＝10时，y∧＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)， 即若预计使用年限为 10年时，维修花费为 12.38万元． [一点通] 线性回归剖析的步骤： (1)列出散点图，从直观上剖析数据间能否存在线性有关关系； (2)计算x，y，∑n,i＝1x2i，∑n,i＝1y2i，∑n,i＝1xiyi； (3)代入公式求出 y∧＝b∧x＋a∧中参数b∧，a∧的值； (4)写出线性回归方程，并对实质问题作出预计．

1．某研究机构对高三学生的记忆力 x和判断力 y进行统计剖析，所得数据以下表：

湾钴掳试慑祿櫳骇栖贤觯覲抛鵲澠。

x 6 8 10 12

y 2 3 5 6 则y对x的线性回归方程为_________________________________________________． 窯龔鲶紿锰鵝癘說埡濕阁铺捡订拟。

－ ＝ 6＋8＋10＋12 － ＝ 2＋3＋5＋6

分析：∵x ＝9，y ＝4，

4 4

故y对x的线性回归方程为y∧＝0.7x－2.3.

答案：y∧＝0.7x－2.3

2．某班5名学生的数学和物理成绩如表：

学生学科 A B C D E

数学成绩(x) 88 76 73 66 63

物理成绩(y) 78 65 71 64 61

(1)画出散点图；

(2)求物理成绩 y对数学成绩 x的线性回归方程；

(3)一名学生的数学成绩是 96，试展望他的物理成绩．

解：(1)散点图如图．

(2)∵x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.

y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.纫啞僥橥擬澀飆寿怃鐒坏飭绗訖縟。 精选文档

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5

∑i＝1xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.

5

又∑i＝1x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.曉栏羨锥靥涟崍铺禪赔旷徑簍贽秆。

∴y对x的线性回归方程是

y∧＝0.625x＋22.05.

(3)当x＝96时，y∧＝0.625×96＋22.05≈82.

能够展望他的物理成绩是 82.

[例2]现随机抽取了某中学高一 10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次

考试的数学成绩(y)以下：

学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108

y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71

请问：这 10名学生的两次数学成绩能否拥有线性关系？

[思路点拨] 可先计算线性有关系数 r 的值，而后与r0.05 比较，从而对 x与y的有关性

作出判断．

1 1

[精解详析 ] x＝10(120 ＋108＋＋99＋108)＝107.8，y＝10(84 ＋64＋＋57＋71)＝68. 所以有关系数为

r＝ 73796－10×107.8×68

（116584－10×107.82）（47384－10×682）

0.751.

由查验水平 0.05及n－2＝8，

在附录2中查得r0.05＝0.632，

因为0.751>0.632，

由此可看出这 10名学生的两次数学成绩拥有较强的线性有关关系．钲犷黨銅體嬌裣縞脏虑厕頹風叹畴。 精选文档

6 [一点通] 利用有关系数 r进行判断有关关系，需要应用公式计算出 r的值，因为数据 较大，需要借助计算器，但计算时应当特别仔细，防止出现计算错误． 3．对于回归剖析，有以下表达： (1)在回归剖析中，变量间的关系假如非确立性关系，则因变量不可以自由变量唯一确立． (2)线性有关系数能够是正的或是负的． (3)回归剖析中，假如 r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完整线性有关． (4)样真有关系数 r∈(－∞，＋∞)． 判断其说法能否正确． 解：由回归模型及其性质易知(1)，(2)，(3)是正确的．有关系数的取值范围应为|r|≤1，所以(4)是错误的． 4．一台机器因为使用时间较长，但还能够使用，它按不一样的转速生产出来的某机械零 件有一些会有弊端，每小时生产有弊端的部件的多少，随机器运行的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

鮚滿謳揀诎擼襲項岚缂郟谋炼绷滾。

转速x(转/秒) 16 14 12 8

每小时生产有弊端的部件数 y(件) 11 9 8 5

对变量y与x进行线性有关性查验．

－ － 4

解：由题中数据可得x ＝12.5，y＝8.25，∑xiyi＝438，

－－ 4 4

＝412.5，∑xi2＝ 660，∑yi2＝291 ，所以

4xy

438－412.5 ＝

660－625）×（291－272.25）

25.5 ＝ ≈0.995.

656.25

由查验水平0.05及n－2＝2在教材附录表2中查得r0.05＝0.950，因为r>r0.05，所以y与x拥有线性有关关系．

对两个有关变量进行线性回归剖析时，第一判断两个变量能否线性有关，能够经过散点图和有关系数判断，而后再求线性回归方程，对问题进行展望，不然求出的回归方程无心义，展望也无价值．訖缀锼跹卢苏痈辭鳇塋蓯獸縟銪径。