抛物线与特殊的四边形

- 1 - 抛物线硬解定理

抛物线硬解定理是一种基于四边形条件的定理，它由俄罗斯数学家阿里科夫斯基在1914年提出，经过多年研究而发展出来。表明，如果一个抛物线满足四边形条件，那么它的轨迹上一定存在一个特殊点，使得该点的切线和抛物线形状大致相同。

四边形条件是什么？

四边形条件是指抛物线的满足四个有限条件，即抛物线的顶点位于圆的首尾点，且圆的首尾点之间的距离是抛物线的两条边的总和。如果抛物线满足四边形条件，那么这个抛物线称为硬解抛物线。

抛物线硬解定理的定义是什么？

抛物线硬解定理可以定义为：如果一个抛物线满足四边形条件，那么它的轨迹上一定存在一个特殊点，使得该点的切线和抛物线形状大致相同。

抛物线硬解定理的特殊点是怎样的？

抛物线硬解定理的特殊点是抛物线轨迹上的一个特殊点，其切线的斜率与抛物线的斜率大致相同。这个特殊点的位置可以用两个方法来求得：一是使用前文提出的四边形条件，找出封顶点；二是使用切线的斜率方程对抛物线上的点进行等高曲线约束，然后使用数值方法求出特殊点。

抛物线硬解定理有什么应用？

抛物线硬解定理在现实世界中有许多应用，比如：

（1）在火车车辆定位系统中，抛物线硬解定理可以帮助控制火 - 2 - 车车辆的轨迹，避免发生跑偏的状况；

（2）在铁路技术中，抛物线硬解定理也可以用来计算轨道变化的位置，以便制定合理的铁路布局；

（3）在用来求解船只轨迹的航海技术中，抛物线硬解定理可以帮助我们控制船只的航行方向，从而更加准确地求解船只轨迹；

（4）在飞机飞行技术中，抛物线硬解定理也可以帮助我们控制飞机的轨迹，从而使飞行更加平稳；

（5）在电子设备电路制作中，抛物线硬解定理也可以用来保证电路的可靠性，从而保证信号的传输精度。

从以上可以看出，抛物线硬解定理在现实生活中有着重要的应用，它可以帮助我们控制移动物体的轨迹，保证信号传输的安全性和精度，从而使我们的生活更加便利。

中考数学几何模型

第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题

422.二次函数正方形存在性问题(初三)

在平面直角坐标系中,抛物线y=―1

3x2

+bx+c

交x

轴于A(―3,0),B(4,0)

两点,交y

轴于点C

.

(1)求抛物线的表达式,

(2)如图,直线y=3

4x+9

4与抛物线交于A,D

两点,与直线BC

交于点E

.若M(m,0

)是线段AB

上的动点,过点M

作x

轴的垂

线,交抛物线于点F

,交直线AD

于点G

,交直线BC

于点H

.

①当点F

在直线AD

上方的抛物线上,且S

△EFG=5

9S

△OFG时,求m

的值;

②在平面内是否存在点P

,使四边形EFHP

为正方形?若存在,请直接写出点P

的坐标;若不存在,请说明理由.

423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2

+2x+c(a≠0)

与x

轴交于点A

、B

,与y

轴交于点C

,连接BC,OA=1

,对称

轴为直线x=2

,点D

为此拋物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式

(2)抛物线上C、D两点之间的距离是_______

(3)点E

是第一象限内抛物线上的动点,连接BE

和CE

,求△BCE

面积的最大值;

(4)点P

在抛物线对称轴上，平面内存在点Q

，使以点B

、C

、P

、Q

为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q

的坐

标.

424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)

如图,抛物线y=ax2

+bx+c

与x

轴交于点A(―1,0)

,点B(―3,0)

,且0O=

OC.

(1)求抛物线的解析式

(2)点P

在抛物线上,且∠POB=∠ACB

,求点P

的坐标;

(3)抛物线上两点M,N

,点M

的横坐标为m

,点N

的横坐标为m+4

.点D

是抛物线上M,N

之间的动点,过点D

作y

轴的平

行线交MN

于点E

.

①求DE的最大值

②点D

关于点E

的对称点为F

,当m

为何值时,四边形MDNF为矩形.

425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)

如图,已知直线y=―2x+4

分别交x

轴、y

轴于点A

、B

,抛物线过A,B

两点,点P

1 专题5 抛物线与三角形、特殊四边形的综合题

1、 （2009益阳）阅读材料：

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；

(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

2、（2009烟台）如图，抛物线23yaxbx与x轴交于AB，两点，与y轴交于C点，且经过点(23)a，，对称轴是直线1x，顶点是M．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点PACN，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 设直线3yx与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与BD，重合），经过ABE，，三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF△的形状，并说明理由；

（4） 当E是直线3yx上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．

O B x y

A

M C 1

3

x C

O y

A B

D

1

1 2 3、(2009湖北荆门)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；

难点攻关 抛物线与平行四边形

近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，

1. 在平面直角坐标系xoy中，点C，B的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO是平行四边形，抛物线过A，B，C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

(3)当t为何值时，以P，B，O为顶点的三角形与以点Q，B，O为顶点的三角形相似？

解：(1)∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB=4．

∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．

∵抛物线y=ax2+bx+c过点B(0,2)，∴c=2．

由题意，有16a−4b+2＝016a+4b+2＝2 解得:

a=－116b=14

∴所求抛物线的解析式为y＝−116x2+ 14x+2；

(2)将抛物线的解析式配方，得y＝−116(x−2)2+214

∴抛物线的对称轴为x=2．

当y=0时，x1=-4，x2=8

∴D(8，0)，E(2，2)，F(2，0)．

欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，BO=EF．

∴△POB≌△QEF

∴BP=FQ．

∴t=6-3t，即t=32

(3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，

∵∠PBO=∠BOQ=90°，

∴△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ，

∴BP:OB=OQ:BC 或 BP:OB=BC:OQ

即PB=OQ或OB2=PB•QO．

①若P、Q在y轴的同侧．

当PB=OQ时，t=8-3t，∴t=2．

当OB2=PB•QO时，t(8-3t)=4，即3t2-8t+4=0．解得t1＝2，t2＝23