大一线性代数必过知识点

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《线性代数》知识点 归纳整理 诚毅

学生 编

01、余子式与代数余子式- 2 -

02、主对角线- 2 -

03、转置行列式- 2 -

04、行列式的性质- 3 -

05、计算行列式- 3 -

06、矩阵中未写出的元素- 4 -

07、几类特殊的方阵- 4 -

08、矩阵的运算规则- 4 -

09、矩阵多项式- 6 -

10、对称矩阵- 6 -

11、矩阵的分块- 6 -

12、矩阵的初等变换- 6 -

13、矩阵等价- 7 -

14、初等矩阵- 7 -

15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -

16、逆矩阵- 7 -

17、充分性与必要性的证明题- 8 -

18、伴随矩阵- 9 -

19、矩阵的标准形：- 9 -

20、矩阵的秩：- 9 -

21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -

22、线性方程组概念- 10 -

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -

25、线性方程组的向量形式- 12 -

26、线性相关与线性无关的概念- 12 -

27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -

29、线性表示与线性组合的概念- 12 -

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -

32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -

33、线性方程组解的结构- 13 -

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01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D＝333231232221131211aaaaaaaaa，则

线性代数知识点梳理

一、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)

还具有两种形式：

(1)矩阵形式

(2)向量形式。

齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：

①有唯一零解;

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩 → 线性相关无关 → 线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下： 1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

大一新版线性代数知识点

线性代数是大一学生必修的一门数学课程，它是数学的一个重要分支，也是许多其他学科的基础。在大一新版线性代数课程中，有一些重要的知识点需要我们掌握和了解。本文将介绍一些大一新版线性代数的知识点。

1. 向量和矩阵

在线性代数中，向量是一个有向有标的线段，可以表示为n维空间中的一个点。向量的加法、数量乘法和内积是线性代数中常见的运算。矩阵是由数字按照一定规律排列成的矩形阵列。矩阵的加法、数量乘法和乘法是矩阵运算中的重要操作。

2. 线性方程组和矩阵的行变换

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。在线性代数中，我们需要掌握解线性方程组的方法，包括高斯消元法和矩阵求逆法。矩阵的行变换可以通过初等行变换来表示，它们可以改变矩阵的行空间和列空间。

3. 向量空间和子空间 向量空间是由一组向量组成的集合，满足加法和数量乘法的封闭性，以及零向量和向量的加法逆元存在性。子空间是一个向量空间的子集，并且本身也是一个向量空间。我们需要了解向量空间和子空间的基本性质和判断方法。

4. 线性相关性和线性无关性

在向量空间中，若存在一组非零向量的线性组合等于零向量，则称这组向量线性相关。线性无关是指向量组中任意向量不能表示为其他向量的线性组合。线性相关性和线性无关性是判断向量组是否能表示整个向量空间的关键概念。

5. 矩阵的秩和对角化

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或者列的最大数目。秩的概念是判断矩阵是否可逆的重要工具。对角化是指将一个矩阵相似变换为一个对角矩阵的过程，对角化后的矩阵具有一些特殊的性质。

6. 特征值和特征向量

在线性代数中，特征值是指矩阵对于某个向量的线性变换所起的作用，特征向量则是这个特征值所对应的向量。对于一个n阶矩阵，我们可以求解其特征值和特征向量，并利用特征值和特征向量可以对矩阵进行简化。

7. 内积空间和正交性

内积空间是一个具有内积运算的向量空间，内积可以用来衡量向量之间的夹角和长度。正交性是指两个向量的内积等于零，可以将内积空间中的向量进行正交分解。

1、行列式

1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM

4. 设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则(1)21(1)nnDD；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则(1)22(1)nnDD；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则3DD；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则4DD；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；

⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6. 对于阶行列式，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中为阶主子式；

7. 证明0A的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；

④、利用秩，证明()rAn；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1. 是阶可逆矩阵：

0A（是非奇异矩阵）；

()rAn（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组0Ax有非零解；

nbR，Axb总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

TAA是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于阶矩阵：**AAAAAE无条件恒成立；

3. 1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA ***111()()()TTTABBAABBAABBA