山东省聊城市第一中学高三数学理模拟试题含解析
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山东省聊城市第一中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体， 使平面平面，若四面体 顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
参考答案：
B
略
2. 设是等差数列{an}的前n项和，，则的值为( )
A. B.
C.
D.
参考答案：
D
3. 过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为
A． B． C． D．2
参考答案： C
4. 若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
参考答案：
C
试题分析：.
5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A．72 B．66 C．60 D．30
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图判断出该几何体为一个直三棱柱，求出它的高是5，底面为直角边长分别为3和4，斜边长为5的直角三角形，求出各个面得面积和，即所求的表面积．
【解答】解：由所给三视图可知该几何体为一个直三棱柱，且底面为直角三角形，
直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，
∴表面积为3×4+（3+4+5）×5=72，
故选A．
6. 已知函数f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）为[﹣4，4]上的奇函数，且，设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m、n、t，则m+n+t=（ ） Word文档下载后（可任意编辑）
A．9 B．13 C．17 D．21
参考答案：
D
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据x∈[﹣π，π]时函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，
由函数g（x）的图象与性质得出其值域为[﹣4，4]，
由方程f（x）=0的根得出方程f（f（x））=0根的个数m；
求出方程f（g（x））=0的实根个数n；
由方程g（x）=0的实根情况得出方程g（g（x））=0的实根个数t；
从而求出m+n+t的值．
【解答】解：因x∈[﹣π，π]，所以函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，
函数g（x）=的图象如图示，
由图象知，其值域为[﹣4，4]，
注意到方程f（x）=0的根为0，﹣π，π，
所以方程f（f（x））=0的根为方程f（x）=0或f（x）=﹣π，f（x）=π的根，
显然方程f（x）=0有3个实根，
因﹣π，π?[0，1]，所以f（x）=﹣π，与f（x）=π均无实根；
所以方程f（f（x））=0的实根的个数为3，即m=3；
方程f（g（x））=0的实根为方程g（x）=0或g（x）=﹣π，g（x）=π的根，
方程g（x）=﹣π，g（x）=π各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，
从而方程f（g（x））=0根的个数为9，即n=9；
方程g（x）=0有三个实根﹣3、0、3，
方程g（g（x））=0的实根为方程g（x）=﹣3或g（x）=0或g（x）=3的根，
方程g（x）=﹣3或g（x）=3各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，
从而方程g（g（x））=0根的个数为9，即t=9；
综上，m+n+t=3+9+9=21．
故选：D．
7. 设函数f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣1，0），（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，1）
参考答案：
C
考点： 利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： 先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，即可求出函数f（x）=x2﹣2x﹣4lnx的递增区间．
解答： 解：∵f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，x＞0
∴f'（x）=2x﹣2﹣
令f'（x）=2x﹣2﹣ ＞0，（x＞0）
解得x＞2
∴函数f（x）=x2﹣2x﹣4lnx的递增区间是（2，+∞）
故选C．
点评： 本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．
8. 函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（ ） Word文档下载后（可任意编辑）
A．(0,4) B．(－∞,0)∪(1,4) C. D．(0,1)∪(4,+∞)
参考答案：
D
根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
由图象可知，
当时，函数的图象在图像的下方，满足；
当时，函数的图象在图像的下方，满足；
所以满足的解集为或，故选D.
9. 函数的零点个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
参考答案：
A
略
10. 已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点是两曲线的一个公共点，若，则等于( ) A． B． C． D．3
参考答案：
【知识点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．H5 H6
C 解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|=m，|PF2|=n，且不妨设m＞n，由m+n=2a1，m﹣n=2a2得m=a1+a2，n=a1﹣a2．
又，∴，
∴，即，解得，故选：C．
【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|，|PF2|，结合∠F1PF2=，利用余弦定理，建立方程，即可求出e．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 . 参考答案：
因为函数为偶函数，所以，所以。要使函数在区间上存在唯一零点，则有，即，所以，解得，即实数的取值范围是。
12.
已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，△ABD与△ADC的面积之比为2:1，，则△ABC面积的最大值为 ．
参考答案：
根据题意与的面积之比为，可得到AB是AC的二倍，设AB=2x,AC=x,由余弦定理得到Word文档下载后（可任意编辑）
三角形面积为 上式在出取得最大值，代入得到.
13. 已知无穷数列具有如下性质：①为正整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.在数列中，若当时，，当时，，则首项可取数值的个数为__________
参考答案：
14. 已知，，的夹角为60°，则
．
参考答案：
略
15.
设向量，其中为实数，若，则的取值范围为 。 参考答案： 试题分析：因为,所以, , . ,,解得.
,
,即.
考点：1三角函数的化简,值域;2向量.
16. 若，则 ；
参考答案：
17. 若直线始终平分圆的周长，则的值为 ________．
参考答案：
1
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （1）设，试比较与的大小；
（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故函数有最小值，则恒成立；
（2）取进行验算：
，
， Word文档下载后（可任意编辑）
，
，
猜测：①，，
②存在，使得恒成立．
证明一：对，且，
有
．
又因，故，
从而有成立，即．
所以存在，使得恒成立．
证明二：由（1）知：当时，，
设，，
则，所以，，，
当时，再由二项式定理得： ，
即对任意大于的自然数恒成立，
从而有成立，即．
所以存在，使得恒成立．
19. 在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．
【解答】解：（Ⅰ）由得，，则，
∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，…（2分）
由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ
又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x
∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，…（5分） Word文档下载后（可任意编辑）
（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）
两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0
∴a的取值范围是．…（10分）
【点评】本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．
20. （12分）已知椭圆C：x2+=1，直线l：y=2x+m（m∈R），点M（1，0）．
（1）若直线l与椭圆C恒有公共点，求m的取值范围；
（2）若动直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P，求|PM|的最小值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程，由△≥0，即可求得m的取值范围；
（2）由（1）可知：利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得P点坐标，根据两点之间的距离公式，及二次函数的性质即可求得|PM|的最小值．
【解答】解：（1），整理得：8x2+4mx+m2﹣4=0，
由△=（4m）2﹣4×8×（m2﹣4）≥0，解得：﹣2≤m≤2，
则m的取值范围[﹣2，2]；
（2）动直线l与椭圆C相交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）可知：x1+x2=﹣，x1x2=，
则y1+y2=2（x1+x2）+2m=m，
则AB的中点坐标P（﹣，），
∴|PM|2=（1+）2+（﹣0）2=m2+m+1，﹣2≤m≤2，
由二次函数的性质可知：m=﹣时，丨PM丨取最小值， 则丨PM丨的最小值为：，
∴|PM|的最小值．
【点评】本题直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．
21. 已知数列满足，，．
（1）若函数（，）在处取得最大值，求函数在区间上的值域；
（2）求数列的通项公式．
参考答案：
（1）；（2）.
试题分析：（1）由递推公式可得，、两式相比得，逐项相求可得，即，又时，可得，从而求得，由三角函数的性质可得函数在区间上的值域；（2）由可知，该数列的奇数项与偶数项分别构成一个等比数列，公比均为，奇数项的首项为，偶数项的首项为，分别写出通项公式即可.
