直线方程的点向式
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直线方程的点向式
谢寒冬
福建省晋江市毓英中学 362251
1 直线方程的各种形式都可以统一为点向式
设直线l经过点P0(x0,
y0),v=(a,b)为其一个方向
向量(ab≠0),P(x,y)是直线
上的任意一点,则向量P0P与
v共线,根据向量共线的充要
条件,存在唯一实数t,使P0P=tv,
即x=x0+at,
y=y0+bt.消去参数t得直线方程为
x-x0a=y-y0b将其变形为
b(x-x0)=a(y-y0).易证当ab=0时直线方程也是b(x-x0)=a(y
-y0),我们称方程b(x-x0)=a(y-y0)为直线的点
向式方程.
1)经过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线方程:斜
率为k的直线方向向量为(1,k),代入点向式得直线
方程为k(x-x0)=(y-y0).即为直线方程的点斜式.
2)直线斜率为k,在y轴的截距为b,代入点向
式得直线方程为k(x-0)=(y-b),也就是直线方程
的斜截式.
3)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方
程:直线方向向量为(x2-x1,y2-y1),代入点向式
得直线方程为(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-
y1),即为两点式.
4)在x轴的截距为a,在y轴的截距为b的直线
方程:直线方向向量为(0,b)-(a,0)=(-a,b),代
入点向式得直线方程为b(x-a)=-a(y-0),即为
截距式.
5)直线的一般形式Ax+By+C=0(B≠0)可以
化为点向式得直线方程A(x-0)=-By+CB,
所以它的方向向量为(-B,A).因为(-B,A)·(A,
B)=,所以(,B)为它的法向量若B=,则直线
点向式得直线方程为x+=(y),它的方向向量为(0,A)=(-B,A).故对任一直线Ax+By
+C=0,它的方向向量为(-B,A),它的法向量是
(A,B).
2 利用直线的点向式方程和直线的法向量可以解
决高二(上)教材中的几个教学难点
2.1 点到直线距离公式的推导
点到直线距离公式的推导历来都是中学数学的
难点,怎么想到构造直角三角形使用面积法求解?
(参见新课程人教版第二册(上))教师很难给学生讲
清楚,对初学者不易突破.若用向量的有关知识来推
导学生就比较容易理解和掌握.
公式 已知点P坐标(x0,y0),直线l的方程是
Ax+By+C=0,P到直线l的距离是d,则d=│Ax0+By0+C│
A2+B2.
证明 设M(x,y)为直线Ax+By+C=0上任
一点,则有Ax+By=-C.向量PM=(x-x0,y-
y0)在直线Ax+By+C=0的法向量n=(A,B)上的
射影为PM·n│n│=A(x-x0)+B(y-y0)
A2+B2
=Ax+By-(Ax0+By0)
A2+B2=-C-Ax0-By0A2+B2,
∴d=PM·n│n│=|Ax0+By0+C|A2+B2.
说明 利用向量的射影
求距离是高二下B教材中主
要方法,故在高二上适当渗透
显得尤为重要.
2.2 两条直线的夹角公式
l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0,夹角为α,若l1和l2的方向
向量夹角为θ,则有
cosα=cos│θ│
=│(B,)·(B,)││(B,)│·│(B,)│52第27卷第1期专辑 2008年6月 数学教学研究
©0A.0
ACA0-0-1A1-2A2-1A1-2A2=│A1A2+B1B2│
A21+B21·A22+B22.
2.3 直线平行与垂直的条件探究
l1:A1+B1y+C1=0,其方向向量为v1=(-B1,
A1).l2:A2x+B2y+C2=0,方向向量v2=(-B2,A2).(1)l1与l2平行或重合Ζv1=mv2,即
B1=mB2A1=mA2消去m得A1B2=A2B1.也可以理解为:
l1的方向向量v1=(-B1,A1)与l2的法向量n2=
(A2,B2)垂直,所以v1·n2=0,即A1B2=A2B1.
(2)l1⊥l2Ζv1·v2=0,即A1·A2+B1·B2=
0.利用直线的方向向量和法向量研究直线平行与
垂直的问题可以不讨论直线斜率不存在的情况,从
而降低了难度.例1 已知直线l1:x+(a-1)y+(a2-1)=0与直线l2:ax+2y+6=0,依下列条件分别求a的
值:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.
分析 若用直线的斜率求解学生经常忘了讨论
直线斜率不存在的情况,从而导致问题解答不完整.若用直线方向向量和法向量求解就可避免这个问题.解 (1)∵l1∥l2 ∴l1的方向向量与l2的法向
量垂直,即(-a+1,1)·(a,2)=0,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,经检验当a=2时l1与l2重
合,所以l1∥l2时a=-1.(2)∵l1⊥l2,∴l1的法向量与l2的法向量垂直
(或l1的方向向量与l2的方向向量垂直)即(1,a-
1)·(a,2)=0,即a+2(a-1)=0,解得a=23.
2.4 求直线方程
例2 三角形ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,
7),求∠A的平分线所在的直线方程.
解 AB=(3,4),其单位向量为n1=35,45.
AC=(-8,6),其单位向量为n2=-45,35.故∠A的平分线的方向向量为n1+n2=-15,75.
由直线方程的点向式得∠A的平分线方程为75(x-
4)=-15(y-1),化简得7x+y-29=0.
例3 (2003年江西、安徽高考试题)已知常数a
>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc为
方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否
存在两个定点E,F,使得│PE│+│PF│为定值,若存在求出E,F坐标,若不存在说明理由.解 ∵c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa),代入
直线的点向式方程得直线OP的方程为ax=λy,直
线AP的方程为-2λa(x-0)=y-a,
∴由ax=λy
-2λax=y-a消去λ得P点坐标满足方
程y(y-a)=-2a2λ2,
整理得x218+y-a22
a22=1.①
∵a>0,∴(1)当a=22时,方程①是圆方程,故
不存在合乎题意的定点E,F;
(2)当0 1212-a2,a2和F-1212-a2,a2为合 乎题意的两定点. (3)当a>22时,方程①也表示椭圆,焦点中E 0,12a+a2-12和F0,12a-a2-12为 合乎题意的两定点.62数学教学研究 第27卷第1期专辑 2008年6月 ©
