湖北黄冈中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学理试题 word版含答案

湖北省黄冈中学2015年春季高一年级期中考试数学试题（理）

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知，α是第一象限角，则cos（π－α）的值为（ ）

A． B．

C． D．

2．在等差数列{an}中，已知an＝11－2n，则使前n项和最大的n值为（ ）

A．4 B．5

C．6 D．7

3．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，B＝60°，a＝4，其面积，则c＝（ ）

A．15 B．16

C．20 D．

4．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，，则B＝（ ）

A．60° B．60°或120°

C．30° D．30°或150°

5．下列命题中，正确的是（ ）

A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b

C．若，则ab，c>d，则a－c>b－d

6．等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是（ ）

A．28 B．48

C．36 D．52

7．已知等差数列{an}的前15项之和为，则＝（ ）

A． B．

C．－1 D．1

8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，若，则C的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

9．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为（ ）

A．30＋30m B．30＋15m

C．15＋30m D．15＋3m

10．已知数列{an}中，，，则数列{an}的通项公式为（ ）

A． B．

C． D．

11．已知a，b，c为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（ ）

A．a>b>c B．b>c>a

C．b>a>c D．a>c>b

12．已知等差数列{an}满足，公差，当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则该数列首项a1的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知直线AB的方程为，则直线AB的倾斜角为________．

14．若，则cos2x＝__________．

15．已知不等式的解集是（1，2），则a＋b的值为___________．

16．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是由一级分形图的每一条线段末端出发再生成两条长度均为原来的线段，且这两条线段与原来线段两两夹角为120°；依此规律得到n级分形图．

则（1）四级分形图中共有__________条线段．

（2）n级分形图中所有线段长度之和为______________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）已知等差数列{an}满足：． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）请问88是数列{an}中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．

18．（本小题满分12分）已知向量，，设函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）的单调区间．

19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn且；递增的等比数列{bn}满足：．

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）若，求数列{cn}的前n项和．

20．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足（2a－c）cosB＝bcosC．

（1）求角B的值；

（2）若，求的取值范围．

21.（本小题满分12分）已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A、B两种菜可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）.调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2000．

（1）请用an、bn表示与；

（2）证明：数列{an－2000}是常数列．

22．（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切，点都在函数的图象上．

（1）求,归纳数列{an}的通项公式（不必证明）；

（2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，……，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求的值；

（3）设An为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，其中a>0，求a的取值范围．

答案与解析：

1． C

解析：．

2．B

解析：则S5为Sn的最大值．

3．C

解析：．

4．B

解析：由正弦定理可知，

，∵0＜B＜180°，

∴B＝60°或120°．

5．C

解析：由不等式性质易知只有C正确.

6．A

解析：∵{an}为等比数列，∴成等比数列，∵等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，∴4，8，成等比数列，∴4（）＝82，解得．

7．C 解析：，所以.又因为，所以 ．

8．A

解析：，

即，所以.

9．A

解析：在△ABP中，由正弦定理知，所以，所以树高为m．

10．D

解析：，

所以，，

11． C

解析：2bc＝a2＋c2则，在B，C中选．再判断a，c的大小． ，∴b>c且a>c，或b

12．A

解析 ：由得：

，

∴，

整理得：，∴sin（3d）＝－1．∵d（－1，0），∴3d（－3，0），

则3d＝，d＝－．

由题意当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，

∴，解得：．

∴首项a1的取值范围是．

13．

解析：．

14．

解析：．

15．－2 解析： ∵不等式的解集是（1，2），．

∴a＋b＝－2．

16．（1）45；（2）

解析：（1）记n级分形图中共有an条线段，则有a1＝3，，由累加法得

所以．

（2）n级分形图中所有线段的长度和等于

．

17、解析：（1）依题意知－－－－－－－－－－3分

－－－－－－－－－－－－－－－－－5分

（2）令

所以88不是数列{an}中的项.－－－－－－－－－－－－－10分

18、解析：（1）依题意得，－－－－－－－－－－－4分

∴f(x)最小正周期为T＝2π－－－－－－－－－－－－6分 （2）由解得，

从而可得函数f（x）的单调递增区间是：－－－9分

由解得，

从而可得函数f（x）的单调递减区间是：－－ 12分

19、解析：（1）当n≥2时，

，

，所以－－－－－－－－－－－ 3分

是方程的两根，

，所以解得．

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 6分

（2），则，

将两式相减得：

－－－－－－－－－－－－－－－ 10分 所以.－－－－－－－－－ 12分

20、解析：（1）由已知，

得－－－－－3分

化简得－－－－－－－－－－5分

故．－－－－－－－－－－－6分

（2）由正弦定理，得，

－－－－－－－－－ 9分

因为，所以－－－－－－ 10分

所以－－－－－－12分

21、解析：（1）由题意知

－－－－－－－－－－6分

（2）证明：，

，即－－－－－8分 －－－－－－－－－10分

又－－－－－－－12分

22、解析：（1）因为点在函数的图象上，

故，所以．

令n＝1，得，所以a1＝2；－－－－－－－－－－－－ 1分

令n＝2，得，所以a2＝4；－－－－－－－－ 2分

令n＝3，得，所以a3＝6．－－－－－－ 3分

由此猜想：an＝2n－－－－－－－－－－－－ 4分

（2）因为an＝2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．而第25组中第4个括号内各数分别是{an}第247，248，249，250项，所以，又b5＝22，所以b5＋b100＝2010－－－－－－－－－－－－－－－ 8分

所以．

又 故对一切都成立，就是

对一切都成立．－－－ 9分

设，则只需即可．

由于

所以g（n＋1）

于是．所以，

即，又∵a>0，∴a>．

综上所述，实数a的取值范围是．－－－－－－ 12分