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线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l 记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB 的三等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2B ＝13AB(或AB ＝3AO ，＝3O 1O 2＝3O 2B) ③如图③，点O 1，O 2，O 3把线段AB 分成相等的四条线段，则点O 1，O 2，O 3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3B ＝14AB(或AB ＝4AO 1＝4O 1O 2＝4O 2O 3＝4O 3B) (9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB （或∠BOA ）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O ；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC 记作∠a ；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC 记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角． ②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角． ③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB ＝∠AOC －∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC 是∠AOB 的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB （或∠AOB ＝2∠1＝2∠2）． 同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2 线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a 的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3 角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】 3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4 钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5 与线段有关的实际问题例5 摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km) 答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 ( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条) (2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm． 3．50°4．1小时零5511分钟． 5．A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定2．2018年全国消协组织创新维权手段，聚焦维权难点，消费维权能力和水平不断提.2018年，全国消协组织共受理消费者投诉76.2万件，解决55.6万件，为消费者挽回经济损失约9.8亿元；其中，9.8亿可用科学记数法表示为（）A．9.08×108B．9.8×108C．0.98×109D．0.98×1010 3．2019年3月3日至3月15日，中国进入“两会时间”，根据数据统计显示，2019年全国两会热点传播总量达829.8万条，其中数据“829.8万”用科学记数法表示为（）A．8.298×107B．82.98×105C．8.298×106D．0.8298×1074．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数kyx(k≠0)的图象恰好经过点B'，M，则k＝（）A.4B.6C.9D.12 5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为27．下列运算中，正确的是（ ）A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5B ．（x 2y ）3＝x 6yC ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．a 6+a 3＝a 28．如图，点E 、F 是正方形ABCD 的边BC 上的两点（不与B 、C 两点重合），过点B 作BG ⊥AE 于点G ，连接FG 、DF ，若AB ＝2，则DF+GF 的最小值为（ ）A. ﹣1B.C.3D.49．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使BAC=90∠︒，点C 在第一象限。
人教版中考数学全解中考是义务教育阶段最后一次考试，数学中考是对七八九年级数学知识的考察。
内容从七年级第一章的有理数到九年级二十九章的投影与视图。
其中，七年级占百分之二十四，八年级占三十六，九年级占百分之十六，跨年级也就是七八九年级的交叉知识占百分之二十四。
九年级虽然只占了百分之十六，但是九年级的考点是七八年级知识点的延伸和强化，交叉知识考点也是以九年级为主，所以九年级知识是难点，也是高分同学的争夺点，八年级的内容所占的比例最大，而且是九年级知识的基础和铺垫，所以八年级知识是基本盘，是重点。
考察侧重点主要是图形认识与变换，占比约百分之四十，其次是函数，函数约占百分之三十，剩余是是方程与不等式，数与式，统计与概率，合起来占比为百分之三十。
根据考试内容，把学生需要掌握的基本知识分为三个部分。
第一部分为代数包括(1)有理数①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握有理数的相反数与绝对值，知道|a|的含义③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算⑤能运用有理数的运算解决简单的问题．(2)实数①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根②了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求平方根，会用立方运算求立方根③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值④能用有理数估计一个无理数的大致范围．⑤了解近似数⑥了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(3)代数式①理解用字母表示数的意义②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示．③会求代数式的值(4)整式与分式①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学计数法表示数②了解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，会进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法③会推导乘法公式，并能利用公式进行简单的计算④会用提取公因式法、公式法⑤了解分式和最简分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．2．方程与不等式(1)方程与方程组①能够根据具体问题中的数量关系列出方程②掌握等式的基本性质.④会解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程⑤掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组．⑥理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．⑦会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个根之间是否相等.⑧能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．(2)不等式与不等式组①了解不等式的意义，不等式的基本性质②会解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式3．函数(1)函数①常量、变量的意义．②函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例③能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析④能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值⑤能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系(2)一次函数①体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式②利用待定系数法确定一次函数的表达式③能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式理解图象的变化情况④理解正比例函数.⑤一次函数与二元一次方程的关系⑥用一次函数解决简单实际问题(3)反比例函数①反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数表达式②能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式理解图象的变化情况③能用反比例函数解决实际问题二次函数①二次函数的意义②用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质③会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为对称轴表达形式，得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题④利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解第二部分是几何1．图形的认识(1)点、线、面、角①了解几何体、平面、直线和点等．②会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义③掌握两点确定一条直线④两点之间线段最短⑤理解两点间距离的意义，能度量两点间距离⑥理解角的概念，能比较角的大小⑦认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单换算，并会计算角的和、差。
2019年中考数学专题复习(完整版）第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。
如：2π是 数，不是 数， 722是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
专题八 期中复习典例讲解一. 有理数例 1 下列说法: ①有理数可分为整数和分数两类; ② 有理数可以分为正有理数, 负有理数和零三类; ③ 有理数可分为正整数, 负整数, 正分数, 负分数四类; ④ 有理数可分为整数, 分数, 正有理数, 负有理数和零五类, 其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【思路点拔】③中缺“0”； ④中的分类标准混乱，正确的有①，②解： B【方法规律】有理数分类有两个标准, 一是按整数, 分数分, 二是按性质分二. 数轴与绝对值借用数轴可分析绝对值的计算, 化简问题例2 如图, 已知数轴上点,,A B C 所对应的数为,,a b c 都不为0，且C 是AB 的中点, 如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=，试确定原点O 的大致位置. A B C【思路点拔】分O 点在点A 左边, 线段AC 上, 线段BC 上, 点B 右边四种情况考虑解: 若O 点在AC 之间, 设BC 为x, a+b>0, a -2c<0, b -2c>0, a+b -2c=(a -c)+(b -c)=-x+x=0 因为2222220a b a c b c a b c a b a c b c a b c +--+--+-=++-+-=+-=,符合题意.用同样的方法可分析其余的三种情况, 故不成立.所以原点O 在AC 之间, 不包括点A, 点C A B C O【方法规律】数轴上两点的距离总可以用两点表示的数的差的绝对值来表示，也可直接用右边点表示的数减左边点表示的数例3 有理数,,a b c 在数轴上对应的点的位置如图所示，以下结论：① 0abc < ② a b b c c a -+-=- ③ (1)(1)0b a -+> ④ 1a bc <-其中结论正确的个数有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 0b 1c -1a【思路点拔】分别确定a,b,c 的性质, 0,0,0a b c <>>, ①正确; a b b c -+-=数a 表示的点到数c 表示的点之间的距离c a =-,②正确; 10,10,(1)(1)0,b a b a -<+>-+>③正确; 1,0,1,a bc a bc >>+>所以1a bc >-, ④不正确解: B【方法规律】比较大小可以计算与估算结合三. 数轴上找点例4 己知A,B 在数轴上对应的数分别用a,b 表示, 且21(100)200,2ab a P ++-=是数轴上的一个动点 (1) 在数轴上标出A,B 的位置, 并求出A,B 之间的距离;(2) 数轴上一点C 距A 点24个单位长度, 其对应的数C 满足ac ac =-,当P 满足PB=2PC 时, 求P 点对应的数–10–20–30–40–5010203040500【思路点拔】(1) 由非负性可知a,b 的值; (2) 由ac ac =-确定c 的性质, 由C 距A 点24个单位确定C 的大小解: (1) 21(100)2002ab a ++-=Q 且21(100)0,2002ab a +≥-≥ 21(100)0,200,20,102ab a a b ∴+=-===-则20(10)30AB =--=; 表示略 (2) ,0,20,ac ac ac a =-∴≤=Q 则0c ≤又24,4AC c =∴=-Q由题意可分析,P 点分在BC 之间或C 点右边两种情况①P 点在BC 之间, 且PB=2PC,设P 点表示的数为x, 则(10)2(4),6x x x --=--=-②P 点在C 点右边, PB=2PC,设P 点表示的数为x, 则(10)2[(4)],2x x x --=--=-综上，P 点对应的数为-6或2【方法规律】在数轴上, 已知两点间的距离, 找点的位署, 通常要分析这个点所有的位置四.“混而有序” 的有理数运算(1) 分组有序例5 计算: 3314130.58(13)0.584747-⨯-⨯+⨯--⨯【思路点拔】将3134-⨯,1(13)4⨯-做一组; 30.587-⨯,40.587-⨯做一组, 分别计算比较简便 解: 原式3134[13(13)][0.580.58]4477=-⨯+⨯-+-⨯-⨯ 3134(13)()(0.58)()130.5813.584477=-⨯++-⨯+=--=- 【方法规律】有理数混合运算中, 能简便的尽可能简便(2) 级别有序例6 计算: 22111134413(12)(0.5)[(2)2]2412433-⨯-÷-÷⨯-⨯-- 【思路点拔】先算乘方, 再算乘除, 最后算加减, 有括号的先算括号里的.解: 原式271535444()(2)021212334=-⨯-⨯-⨯⨯-⨯ 27544()(2)802333=-⨯-⨯-⨯⨯=- 【方法规律】同级计算, 从左到右, 如“3443÷⨯” 不能先算“⨯”， 应先算“÷” (3) 分配有序例7 计算: 5253522()(242424)12368993-+-+⨯⨯-⨯+⨯ 【思路点拔】先将后面括号里的用分配律计算，再与前面括号里的数分别相乘.解: 原式5253522()[24()]12368993=-+-+⨯⨯-+ 5253()2412368=-+-+⨯ 52532424242412368=-⨯+⨯-⨯+⨯ 10162095=-+-+=-【方法规律】有时正用乘法分配律使计算简便，有时逆用乘法分配律可使计算简便.五、整式的加减运算例8 先化简，再计算：（1）(4a －2b) －[5a －(8b －2a －a －b)]＋a ，其中a ＝2,b ＝1.（2）12x －2(x －13y 2)＋(﹣32x ＋13y 2),其中x ＝－2,y ＝23. 【思路点拨】应先去括号，然后合并同类项，再将字母的值代入化简，求值.解：（1）原式＝4a－2b－[5a－8b＋2a＋a＋b]＋a＝4a－2b－5a＋8b－2a－a－b＋a＝－3a＋5b. 当a＝2,b＝1时，原式＝﹣3×2＋5×1＝﹣1.（2）原式＝12x－2x＋23y2－32x＋13y2＝﹣3x＋y2.当x＝﹣2,y＝23时，原式＝﹣3×(﹣2)＋(23)2＝649.例9 小红家的收入分为农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，二其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加还是减少？【思路点拨】由题意可知要想知道明年总收入是增加还是减少，需将今年总收入和明年的总收入比较.由题意可设今年其他收入为a元，则今年农业收入为1.5a元，预计明年农业收入为(1－20%)×1.5a元，明年其他收入为(1＋40%)a元.解：设小红家今年其他收入为a元，则今年总收入为1.5a＋a＝2.5a(元).预计明年总收入：（1－20%）×1.5a＋(1＋40%)a＝2.6a（元）.因为2.6a＞2.5a，所以预计小红家明年的总年收入增加.六、新运算读懂新运算法则，然后进行运算.例10 定义一种新运算：观察下列式子：1⊙3＝1×4＋3＝7,3⊙(﹣1)＝3×4－1＝11，5⊙4＝5×4＋4＝24,4⊙(－3)＝4×4－3＝13，（1）请你想一想：a⊙b＝ ;(2)若a≠b,则a⊙b b⊙a(填“＝”或“≠”);(3)若a⊙(－2b)＝4,请计算(a－b)⊙(2a＋b)的值.【思路点拨】找出新运算的法则，然后由新运算的法则列出式子，再计算.解：(1)因为1⊙3＝1×4＋3＝7,3⊙(－1)＝3×4－1＝11,5⊙4＝5×4＋4＝24,4⊙(－3)＝4×4－3＝13，所以a⊙b＝4a＋b(2) a⊙b＝4a＋b, b⊙a＝4b＋a,(4a＋b)－(4b＋a)＝3a－3b＝3(a－b),因为a≠b,所以3(a－b) ≠0，即(4a＋b)－(4b＋a)≠0，所以a⊙b≠b⊙a.(3)因为a⊙(－2b)＝4a－4b＝4,所以2a－b＝2，所以(a－b)⊙(2a＋b)＝4(a－b)＋(2a＋b)＝3(2a－b) ＝3×2＝6.七、找规律例11 (1)如图①所示，在某年6月份的月历里，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a,则用含a的代数式分别表示这三个数（从小到大）是；(2)现将连续的自然数1~2019按图②中的方式排成一个长方形阵，用一个正方形框出16个数.①框中16个数的和为；②在图②中，框出的16个数是否可能等于2000或2019，若不可能，试说明理由；若可能，请求出该正方形框中的16个数的最小数和最大数.【思路点拨】(1)观察图①可发现，左右相邻的两数相差1，上下相邻的两数相差7.(2)①框中的16个数关于正方形的中心点对称，找出每组对称数的和及对称数的组数，可求出结果；②在前面问题的基础上，用字母表示数，再求和，在字母取整数的情况下满足题意.解：(1)a－7,a,a＋7(2)①352②可能.理由：设最小的数为a.则由16个数组成的正方形如图③：每两个关于正方形的中心点对称的数的和均为2a＋24，则这16个数的和为：(2a＋24)×8＝16a＋192.当16a＋192＝2000时，a＝113.当16a＋132＝2019时，a＝1135 16.故存在和为2000的16个数，不存在和为2019的16个数,和为2000的16个数中，最小数是113，最大数是137.113在第二列.【方法规律】先看出的a是否为整数，其次，还要看这样的方框能不能“框出”这些数，也就是要注意这个最小的数在第n行、n列.1.若|a－1|＝5，则a的值为( )A.6B.﹣4C.6或﹣4D.﹣6或42.下列计算结果是负数的是（）A.(－1)×(－2019)B.(﹣1)2019C.(－2019)÷(－1)D.|－2019|3.地球的半径为6400000米，用科学记数法表示为（）A.0.64×10B.6.4×106C.64×105D.640×1044.若有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列式子表示错误的是（）A.|m|＞﹣nB.|n|＞mC. |n|＞|m|D.n＞m5.化简﹣2a＋(2a－1)的结果是( )A.－4a－1B. 4a－1C.1D.﹣16.化简2a－[3b－5a－(2a－7b)]的结果是( )A.－7a＋10bB.5a＋4bC.－a－4bD.9a－10b7.下列各组整式：①a－b与－a－b；②a＋b与－a－b；③a＋1与1－a；④－a＋b与a－b.其中互为相反数的有（）A.①②④B. ②④C.①③D. ③④8.某商店进了一批商品，每件商品的进价为a元，若要获利20%，则每件商品的零售价为（）A.20%aB.(1－20%)a元C.a1＋20%D. (1＋20%)a元9.用“＜”将﹣π，－3.14，－313,1连接起来，正确的是（）A.﹣π＜－3.14＜－313＜1 B. ﹣π＜－313＜－3.14＜1C. －313﹣π＜－3.14＜1 D. －3.14＜－313＜﹣π＜110.如图所示，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达B，再向右移动5个单位到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A.7B.3C.－3D.﹣211.计算：①－(－3)＝ ;②(－2)3＝ ;③|－212|＝ .12.把多项式x3－xy2＋x2y＋x4－3按x的降幂排列，正确的是 .13.|a|＝7,|b|＝5,且ab＞0,则a－b的值是 .14.k＝时，－14x3y2k＋1与23x3y9的和还是单项式.15.若|a＋4|＝|b＋4|，且a≠b,则3a＋3b＝ .16.已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍小4岁，小华的年龄比小红年龄的12还多一岁，求这三名同学的年龄之和.17.计算：(1)－32×(－13)2＋(34－16＋38)×(－24)；(2)(－32)×[(－1)2019－(1－0.5×18 )];(3)(13－15)÷(15)2÷|－13|＋（－0.25）2019×42019(4) [(－313)2－(－612)×(－413)＋(－4)2÷(－2)3＋2]×(－1)201918.按下列程序计算，把答案填写在表格中，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这样的规律？(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是；(3)为什么会有这个规律？请你说明理由.B 冲刺中考19.若|a|＝3,|b|＝1,且ab＜0，则a＋b的值是( )A.±4B.±2C. ±4或±2D.420.在－2,3，－4，－5这四个数中任取两个数相乘，所得的积最大的是（）A.20B.－20C. 10D.821.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列的关系式：①a－b＞0；②a＋b＞0；③1a＞1b;④|b|－|a|＞0.其中结论正确的个数有( )A.1个B.2个C. 3个D.4个22. 一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD中,AB＝2BC,AB是8cm. 以点A为圆心，AD为半径的圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积等于（）A.（4π＋8）cm 2B.(4π＋16)cm 2C. (3π＋8)cm 2D. (3π＋16)cm 223.已知x 2＋3x －7的值是－5，那么代数式3x 2＋9x －2的值是（ ）A ．0 B.2 C.4 D.624.已知a －b ＝3,c ＋d ＝2,则(b ＋c)－(a －d)的值是( )A.－1B.1C.－5D.1525.若“△”是新规定的某种运算符号，设a △b ＝3a －2b,则（x ＋y)△（x －y)运算后的结果为 ．26.已知3x －4y ＝2,则整式10－6x ＋8y －2(－3x ＋4y)2的值为 ．27.若使用竖式做有理数加法运算的过程如图所示，则代数式z －y ＝ .28.规定一种运算：a b ad bc c d =-，例如232534245=⨯-⨯=-，请你按照这样的运算规定，计算1320.5-=- . 29.根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值是 ．30.一列数按如下的规律排列:1,－12，5，－14,9,－16,13，－18,….则第2019个数是 . 31.已知a,b 互为相反数，且a≠0,c,d 互为倒数，e 的绝对值等于6，求2a ＋2b －6cd ＋b a＋e 2的值. 32.已知|m ＋n －2|＋(mn ＋3)2＝0, 求2(m ＋n)－2［mn ＋(m ＋n)］－3［2(m ＋n)－3mn ］的值.(提示：把mn,m ＋n 看着一个整体)33.给出三个多项式X ＝2a 2＋3ab ＋b 2, Y ＝3a 2 ＋3ab,Z ＝a 2＋ab,请你任选两个进行加（或减）法运算.34.已知a －b ＝3,ab ＝－3,求代数式(－a －4b －ab)－(2ab －2a －3b)－(3ab ＋3b －2a)的值. 35.已知x ＝－2,y ＝23，求kx －2(x －13y 2)＋(－32x ＋13y 2)的值，以为同学在做题时把x ＝－2看着x ＝2,但结果也值钱，已知计算过程无误，求k 的值.36.若1a b c a b c ++=，求20152016abc abc 的值. 37.(1)已知|a －2019|＋|b －2|＝0，求a ＋b 的值；(2) 已知|a|＋|b 2＋2019|＝2019,求a ＋b 的值.C 决战中考38.如图，正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆，所围成图形（阴影）的面积是多少？39.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：⑴比较a 、b 、c 的大小（用<号连接）； ⑵若1m a b b a c =+----，求()201512012m c -+的值；⑶若22,3,3a b c =-=-=，且a 、b 、c 对应点分别为A 、B 、C,问在数轴上是否存在一点P ，使得P 与A 的距离是P 与C 的距离的13，若存在，请求出P 点对应的有理数；若不存在，请说明理由.40.小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”、这个箱子的尺寸如图①所示（其中0b a c >>>），售货员分别可按图②、图③、图④三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长，请说明理由.41.小华在电脑上设计了一个有理数运算程序:输入a加※键,再键入b,得到运算a※()()22b a b a b=-÷-.⑴求()2-※12的值；⑵小华在运用此程序的时候，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据是，可能出现什么情况？为什么？42.有理数a b c、、均不为0.且0a b c++=，设a b cxb c a c a b=+++++,试求代数式20152016x x-+的值.43.A、B分别是数轴上的两点，点A对应的数是-20，点B对应的数是100.⑴请直接写出与.A、B两点距离相等的点M所对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇,你知道C点对应的数是 .⑶若当电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4单位/秒的速度也向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇,你知道D点对应的数是 .44.⑴吉姆同学在某月的日历上圈出22⨯个数,正方形的方框内的四个数的和是32,那么第一个数是；⑵玛丽也在上面的日历上圈出22⨯个数,斜框内的四个数的和是42,则它们分别是；⑶莉莉也在日历上圈出5个数,呈十字框形,它们的和是50,则中间的数是；⑷某月有5个星期日的日期之和是75，则这个月最后一个星期日是；⑸若干个偶数按每行8个排成下图：①图a中方框9个数的和与中间的数有上面关系？②如图b，汤姆所画的斜框9个数的和为360，求斜框的中间数；③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和能为270？说明你的理由.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列运算中，正确的是（ ） A ．x 8÷x 2＝x 4 B ．2x ﹣x ＝1C ．（x 3）3＝x 6D ．x+x ＝2x2．分式方程216111x x x +-=--的解是（ ） A ．x ＝﹣2B ．x ＝2C ．x ＝3D ．无解3．如图，小明站在自家阳台上A 处观测到对面大楼底部C 的俯角为α，A 处到地面B 处的距离AB ＝35m ，则两栋楼之间的距离BC （单位：m ）为（ ）A ．35tan αB ．35sin αC ．35sin αD ．35tan α4．如图，是小明作线段AB 的垂直平分线的作法及作图痕迹,则四边形ADBC 一定是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AC=4，CE=6，BD=3，则DF 的值是( ).A.4.5B.5C.2D.1.56．下列式子计算正确的是（ ）.A.B.C.D.A．4B．43C．33D．68．甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：班级人数中位数方差平均字数甲 55 149 191 135乙 55 151 110 135某同学根据上表分析得出如下结论：①甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③9．如图，在⊙O中，已知弦AB长为16cm，C为AB的中点，OC交AB于点M，且OM∶MC＝3∶2，则CM长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm10．王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．若王老师下班时，还沿着这条路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间是A．15分钟B．14分钟C．13分钟D．12分钟11．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则BC的长是( )A ．πB ．13π C ．12πD ．16π12．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，还需知道这9名同学成绩的（ ） A ．众数 B ．中位数C ．平均数D ．方差二、填空题13．十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万人以上，一千三百万人用科学计数法表示为__________人.14．某商店为尽快清空往季商品，采取如下销售方案：将原来商品每件m 元，加价50%，再做降价40%．经过调整后的实际价格为_____元．（结果用含m 的代数式表示） 15．在函数y=1x 2-中，自变量x 的取值范围是_________ 16．如图，在矩形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．连接DH ，如果BC=13，BF=4，AB=12，则tan ∠HDG 的值为______________．17．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，若3AC =，4BC =，则线段CD 的长为_______.18．小明有5根小棒，长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，6cm ，7cm ，现从中任选3根小棒，怡好能搭成三角形的概率是______ 三、解答题 19．计算：（1）22128+|-5|(1)()3-⨯⨯---20．由于部分医疗机构药品储存规范落实不到位，近年来药品抽查不合格率不断上升．药监局对三家制药厂的某一种药品进行检测，抽样和检测结果的数据如表：（1）将不合格率填在表内（用百分数表示）； （2）绘制条形统计图表示这三种药品的不合格率．21．已知；如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90度．F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE ＝BF ，连接AE 、EF 和CF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若∠CAE ＝30°，求∠EFC 的度数． 22．计算:20220193tan 3032⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭︒.23．如图，一次函数y ＝x ﹣2的图象与反比例函数y ＝kx（k ＞0）的图象相交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，连接OA 、OB ，且tan ∠AOC ＝13． （1）求反比例函数的解析式；（2）D 是y 轴上一点，且△BOD 是以OB 为腰的等腰三角形，请你求出所有符合条件的D 点的坐标．24．先化简，再求值221212121--⎛⎫-+÷+⎪+++⎝⎭m m m m m m ，其中m 是使得一次函数y ＝（m ﹣3）x+m+1不经过第三象限的整数值．25．△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，⊙O 是△ABC 的外接圆． （1）如图①，过A 作MN ∥BC ，求证：MN 与⊙O 相切；（2）如图②，∠ABC 的平分线交半径OA 于点E ，交⊙O 于点D ．求⊙O 的半径和AE 的长．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D B A D D A B A BB二、填空题 13．3×107 14．9m 15．16．12 17．7818．35.三、解答题19．（1）0；（2）﹣4a ﹣4． 【解析】 【分析】根据实数运算法则和整式运算法则分别计算即可,要注意负指数幂的意义. 【详解】解：（1）22128+|-5|(1)()3-⨯⨯--- ＝4+5×1﹣9 ＝4+5﹣9 ＝0；（2）a （a ﹣8）﹣（a ﹣2）2 ＝a 2﹣8a ﹣a 2+4a ﹣4 ＝﹣4a ﹣4．本题考查实数运算和整式运算，负指数幂的意义，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键. 20．(1)见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据不合格率=不合格数÷抽样数，进行计算，即可得到第1问的结论； （2）根据直方图的绘制方法，以纵坐标为不合格率画出直方图． 【详解】（1）A 厂的不合格率＝110÷110＝100%， B 厂的不合格率＝66÷110＝60%， C 厂的不合格率＝55÷110＝50%， 产品名称 抽样数 不合格数 不合格率 A 药厂 110 110 100% B 药厂 110 66 60% C 药厂1105550%（2）如图所示：【点睛】本题主要考查频数直方图的知识,准确理解频数分布直方图中几个等量关系: ①各小组的频数之和等于数据总数; ②各组组距相等;③各长方形的高与该组频数成正比; 21．（1）见解析；（2）∠EFC=30°． 【解析】 【分析】（1）根据已知利用SAS 判定△ABE ≌△CBF ，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF ；（2）根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC 的度数． 【详解】（1）证明：在△ABE 和△CBF 中，∵090BE BF ABC CBF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE＝CF．（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∠CAE＝30°，∴∠CAB＝∠ACB＝12（180°﹣90°）＝45°，∠EAB＝45°﹣30°＝15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠FCB＝15°．∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BFE＝∠FEB＝45°．∴∠EFC＝180°﹣90°﹣15°﹣45°＝30°．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22．12.【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值和绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝31 13332 -⨯+-＝1 1332 -+-＝12．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）3yx=；（2）点D坐标为（0，10）或（0，﹣10）或（0，﹣6）．【解析】【分析】如图，作AE⊥OC于E, 由13AEtan AOCOE∠=＝，可以假设3AE a OE a==，，可得3A a a（，），再利用待定系数法即可解决问题.（2）分两种情况分别求解即可解决问题.解：（1）如图，作AE ⊥OC 于E ．∵13AE tan AOC OE ∠=＝， ∴可以假设3AE a OE a ==， ，∴3A a a （，）， ∵点A 在直线2y x=﹣上， ∴32a a =﹣ ， ∴a ＝1， ∴A （3，1）， 把A （3，1）代入ky x=上， ∴3k = ， ∴3y x=． （2）由23y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3113x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 ， ∴13B （﹣，﹣） ， ∴=10OB ，① 当OD OB ＝时，12010(001)D D （，），，- ， ② 当BO BD =时，6OD ＝， ∴3)(06D ，- ，综上所述，满足条件的点D 坐标为12010(001)D D （，），，-或3)(06D ，-． 【点睛】本题主要考查了反比例函数综合题，反比例函数的应用，一次函数的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题关键. 24．2或0或﹣4 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解确定出m 的值，代入计算即可求出值．解：原式＝222m(m2)m2m(m2)(m1)22m m2 m1(n1)m1m2---+-=+=-⋅+=--+ +++-，∵m是使得一次函数y＝（m﹣3）x+m+1不经过第三象限的整数，∴m﹣3＜0①，m+1≥0②由①得：m＜3；由②得：m≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤m＜3，即整数解为m＝﹣1，0，1，2，则原式的值为：2或0或﹣4．【点睛】此题考查了分式的化简求值，一次函数的性质以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（1）详见解析；（2）5【解析】【分析】（1）作直径AD，连接DC，证明∠D＝∠NAC，根据∠D＋∠DAC＝90°，可证∠OAN＝90°；（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC，由角平分线的性质可得EG＝EH，BG＝BH＝6，求出AH，在Rt△OBH中由勾股定理列出方程求出半径，再根据△AGE∽△AHB可求出AE.【详解】解：（1）作直径AD，连接DC，∵AB＝AC且MN∥BC，∴∠B＝∠ACB＝∠NAC，∵∠D＝∠B，∴∠D＝∠NAC，∵AD是直径，∴∠D＋∠DAC＝90° ，∴∠NAC＋∠DAC＝90°，∴∠OAN＝90°，又∵点A 在⊙O上，∴MN与⊙O相切；（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC,∵OB＝OC，AB＝AC∴O、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，∵BD平分∠ABC， EG⊥AB，FH⊥BC，在Rt△ABH中，∵AB＝10，BH＝6，∴由勾股定理得AH＝8，设⊙O的半径为x，在Rt△OBH中，由勾股定理得： (8－x)2＋6２＝x2，∴x＝254，即⊙O的半径为254，∵AB＝10，BG＝6，∴AG＝4 ，由△AGE∽△AHB得：AG AE AH AB，代入解得：AE＝5.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识点，涉及知识点较多，有一定难度，根据题意作出常用辅助线是解题关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．以下多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．正五边形B ．矩形C ．等边三角形D ．平行四边形 2．已知抛物线2(0)y ax bx c a b =++>> 与x 轴最多有一个交点.现有以下四个结论：①24b ac ≥ ；②该抛物线的对称轴在y 轴的左侧；③关于x 的方程210ax bx c +++=有实数根；④0a b c -+≥ .其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．某种病菌的直径为0.00000471cm ，把数据0.00000471用科学记数法表示为( )A ．47.1×10﹣4B ．4.71×10﹣5C ．4.71×10﹣7D ．4.71×10﹣64．如图所示的几何体是将一圆锥截去一部分后所得到的，则它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是A ．B ．C ．D ．6．二次函数y ＝ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的x 与y 的部分对应值如下表：有下列结论：①a ＞0；②4a ﹣2b+1＞0；③x ＝﹣3是关于x 的一元二次方程ax 2+(b ﹣1)x+c ＝0的一个根；④当﹣3≤x≤n 时，ax 2+(b ﹣1)x+c≥0．其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 7．如图，O 与正八边形OABCDEFG 的边OA ，OG 分别相交于点M 、N ，则弧MN 所对的圆周角MPN ∠的大小为（ ）A ．30°B ．45︒C ．67.5︒D ．75︒8．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点（0,m ）、（4、m ）、（1，n ），若n ＜m ，则（ ）A ．a ＞0且4a+b=0B ．a ＜0且4a+b=0C ．a ＞0且2a+b=0D ．a ＜0且2a+b=09．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．10．在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为BD 上一点，且BE ＝2DE ．若△DEC 的面积为2，则△AOB 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）A.甲超市的利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市12．分式方程1232x x =-的解为（ ） A ．25x =- B ．1x =- C ．1x = D ．25x = 二、填空题13．写出一个满足317α<<的整数a 的值为_____．14．当a ＜0，b ＞0时．化简：2a b ＝_____．15．在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是_____．16．平面直角坐标系中，点P(﹣2，4)关于x轴对称的点的坐标为_____．17．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为_____．18．如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．三、解答题19．如图，甲楼AB高20米，乙楼CD高10米，两栋楼之间的水平距离BD＝30m，为了测量某电视塔EF的高度，小明在甲楼楼顶A处观测电视塔塔顶E，测得仰角为37°，小明在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求该电视塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，2 1.4）20．为响应我市中考改革，我市第四中学组织了一次全校2000名学生参加的“中考模拟”测试，测试结束后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次模拟测试的成绩分布情况，学校随机抽取了其中100名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60 5 0.0560≤x＜70 10 0.1070≤x＜80 a 0.1580≤x＜90 30 b90≤x≤10040 0.40请根据所给信息，解答下列问题：(1)a=___，b=___；(2)请补全频数分布直方图；(3)这次比赛成绩的中位数会落在___分数段；(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的概率为多少?21．如图，数轴上有点A、B，且点A表示﹣4，AB＝10．(1)点B表示的有理数为．(2)一只小虫从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向爬行到点C，点M、N分别是AC、BC 的中点．①若爬行4秒，则M表示数；N表示数；MN＝．②若爬行16秒，则M表示数；线段MN＝．③若爬行t秒，则线段MN＝．发现：点A、B、C在同一直线上，点M、N分别是AC、BC的中点，已知MN＝a，则AB＝(用含a的式子表示)22．（1）计算：21126cos30 3-︒⎛⎫--+⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1．23．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．24．为提升城市品味、改善居民生活环境，我省某市拟对某条河沿线十余个地块进行片区改造，其中道路改造是难度较大的工程如图是某段河道坡路的横截面，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，CM与水平地面AN的距离为12米．已知山坡路AB的路面长10米，坡角BAN＝15°，山坡路BC与水平面的夹角为30°，为了降低坡度，方便通行，决定降低坡路BC的坡度，得到新的山坡AD，降低后BD与CM相交于点D，点D，A，B在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D 的位置，求整个山坡路AD的长和CD的长度（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58结果精确到0.1米）25．如图1，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为D，连接AC，BC，CD，BD，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，作PM⊥x轴于点M，设点M的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）试探究是否存在这样的点P，使得以P，M，B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，PM交线段BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交线段BC于点F，请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出当m为何值时QF有最大值．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A D D A B C A C A D A二、填空题13．答案不唯一：2、3、414．a b15．416．(﹣2，﹣4)17．2 218．x≠3三、解答题19．EF约为140m【解析】【分析】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，根据正切的定义求出CN，得到AM，根据正切的定义列式计算即可．【详解】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，垂足为M、N，设EM为xm，则EN为（10+x）m．在Rt△CEN中，tan45°＝EN CN，∴CN＝10+x，∴AM＝40+x，在Rt△AEM中，tan37°＝EMAM，即0.7540xx≈+，解得，x≈120，则EF＝x+20＝140（m）答：电视踏高度EF约为140m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．(1)a=15，b=0.30；(2)如图所示；见解析；(3)80≤x＜90；(4)40％.【解析】【分析】（1）用抽取的总人数减去其它各段成绩的人数，即可求出a；用频数除以被抽取的总数即可求出频率；（2）根据（1）求出的a的值，可直接补全统计图；（3）根据中位数的定义即可判断；（4）利用样本估计总体的思想求出参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的人数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】(1)样本容量是：5÷0.05=100，a=100×0.15=15，b=30÷100=0.30；(2)补全频数分布直方图，如下：(3)一共有100个数据，按照从小到大的顺序排列后，第50个与第51个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80⩽x<90分数段；(4) ∵该校参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的有：2000×0.4=800（人），∴该校参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的概率为：8002000=40%．【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题．21．(1)6；(2)①﹣2，3，5；②4，5；③2a.【解析】【分析】（1）由已知可知B在A的右侧10个单位处，根据平移即可求出A坐标，（2）根据已知，分别求出C的位置，进而确定M，N的点表示的数，然后求解；在③时，要分两种情况分别讨论AB表示的式子；【详解】(1)∵点A表示﹣4，AB＝10．∴﹣4+10＝6，∴B点表示6，故答案为6；(2)①爬行4秒，此时C点表示0，∵M是AC的中点，∴M表示﹣2；∴BC＝6，∴N表示3；∴MN＝2+3＝5；故答案为﹣2，3，5；②爬行16秒，此时C点表示12，∵M是AC的中点，∴M表示4；∴BC＝6，∴N表示9；∴MN＝9﹣4＝5；故答案为4，5；③当C在B的左侧时，MN＝a，∴MN＝12AC+12BC＝12AB，∴AB＝2a；当C在B的右侧时，MN＝a，∴MN＝12AC﹣12BC＝12AB，∴AB＝2a；∴发现：AB＝2a；。
专题7动点问题探究一【专题解析】动点问题研究的是在几何图形的运动中，一些图形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题.常用的数学思想是方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法、数形结合法等.解答动点问题的题目要学会“动中找静”，即把动点问题变为静态问题来解决，寻找动点问题中的特殊情况.(1)等腰三角形的存在性问题如果问题中△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况.已知腰长，画等腰三角形用圆规画圆；已知底边，用刻度尺、圆规画垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题，有几何法与代数法，把几何法与代数法相结合，可以使得解题又快又好.几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长、分类列方程、解方程并检验.(2)直角三角形的存在性问题解决直角三角形的存在性问题，一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.一般情况下，按照直角三角形直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或三角函数列方程；在平面直角坐标系中，常常利用两点间的距离公式列方程；有时候根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简捷.(3)平行四边形的存在性问题解决平行四边形的存在性问题一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.难点在于寻找分类标准.寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快.如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交产生三个顶点；如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或角分为两种情况.灵活应用中心对称的性质，可以使得解题简便.【专题剖析】类型一：等腰三角形的存在性问题【例题】（2018重庆）（12.00分）抛物线y=﹣x2﹣x+与x 轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长；（2）令y=0，可求得A（﹣3，0），B（，0），利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），表示PE的长，利用勾股定理计算AC的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF=，计算PE+EC，利用配方法可得当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），确定要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，将点P向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P 1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），可得结论；（3）先确定对折后O2C落在AC上，△AMN是以MN为腰的等腰三角形存在四种情况：①如图4，AN=MN，证明△C1EC≌△B2O2M，可计算O2M的长；②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O 2M=O2C=；③如图6，AM=MN，N和H、C1重合，可得结论；④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E证明四边形C1EO2B2是矩形，根据O2M=EO2+EM可得结论．【解答】解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，当x=0时，y=，∴C（0，），y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，∴D（﹣，），∴DK=，CK=﹣=，∴CD===；（4分）（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，解得：x 1=﹣3，x2=，∴A（﹣3，0），B（，0），∵C（0，），易得直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，Rt△ACO中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x﹣x，=﹣（x+2）2+，（5分）∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O 1B1=OB=，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P 1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，∴PO1+B1C=P2B1+B1C，∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∴B1（﹣，0），将B 1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C=P2C==，对应的点O1的坐标为（﹣，0），（7分）∴四边形PO 1B1C周长的最小值为+3；（8分）（3）O 2M的长度为或或2+或2．（12分）理由是：如图3，∵H是AB的中点，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，∴∠B2CA=∠CAB=30°，∴B2C∥AB，∴B 2（﹣2，），①如图4，AN=MN，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，过C1作C1E⊥B2C于E，∵B 2C=B2C1=2，∴=B 2O2，B2E=，∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，∠B2O2M=∠C1EC=90°，∴△C1EC≌△B2O2M，∴O 2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣；②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O 2M=O2C=，③如图6，AM=MN，∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，∴O2M=AO2=；④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E，∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，∴C1B2∥AC，∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，∵∠C1EC=90°，∴四边形C1EO2B2是矩形，∴EO 2=C1B2=2，，∴EM=，∴O 2M=EO2+EM=2+，综上所述，O 2M的长是或或2+或2．【方法总结】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．类型二：直角三角形的存在性问题【例题】（2018山东烟台）（14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x 轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y 轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF 上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D ⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y=，∵过点B的直线y=kx+，∴代入（1，0），得：k=﹣，∴BD解析式为y=﹣；（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴=，即=，解得t=，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得=，即=，解得：t=；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴=，即=，解得：t=，∴t的值为、、．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．则△EOF∽△NHD′设点N坐标为（a，﹣），∴=，即=，解得：a=﹣2，则N点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=x+1，当x=﹣时，y=﹣，∴M点坐标为（﹣，﹣），此时，DM+MN的值最小为==2．【方法总结】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．类型三：平行四边形的存在性问题【例题】（2018年山东省威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法问题可解；（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；（3）由题意画示意图可以发现由两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及点P坐标；（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线距离相等．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）把C（0，4）带入得4=a（0+4）（0﹣2）∴a=﹣∴抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4 （2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D∴点D在对称轴上设点D坐标为（﹣1，m）过点C做CG⊥l于G，连DC，DB[来∴DC=DB在Rt△DCG和Rt△DBH中∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2解得：m=1∴点D坐标为（﹣1，1）（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）∴BC=∵EF为BC中垂线∴BE=在Rt△BEF和Rt△BOC中，cos∠CBF=∴∴BF=5，EF=，OF=3设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切如图：①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°∴四边形P1Q1ER1是正方形∴ER1=P1Q1=r1在Rt△BEF和Rt△FR1P1中tan∠1=∴∴r1=∵sin∠1=∴FP1=，OP1=∴点P1坐标为（，0）②同理，当圆心P2在直线BC右侧时，可求r 2=，OP2=7∴P2坐标为（7，0）∴点P坐标为（，0）或（7，0）（4）存在当点P坐标为（，0）时，①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP当x=时，y=﹣∴DN=MP=∴点N坐标为（﹣1，）②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等则点M横坐标为﹣则M纵坐标为﹣由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离当点N在D点上方时，点N纵坐标为此时点N坐标为（﹣1，）当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣）当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．故答案为：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）【方法总结】本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想．【真题训练】1.（2018山东枣庄）（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a ≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N 作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2.（2018泸州）如图11，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB 上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．3.（2018内蒙古通辽）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．4.（2018内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH 的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．【参考答案】1.（2018山东枣庄）（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a ≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N 作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S=S△ABN﹣S△BMN△AMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵MN∥AC∴=，∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2.（2018泸州）如图11，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB 上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．【分析】（1）把点A坐标代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，应用待定系数法可求直线AB的解析式；（2）用m表示DE、AC，易证△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE与AE 的数量关系可以构造方程；（3）用n表示GH，由平行四边形性质DE=GH，可得m，n之间数量关系，利用相似用GM表示EG，表示▱DEGH周长，利用函数性质求出周长最大时的m值，可得n值，进而求G点坐标．【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得0=a•42﹣（2a﹣）×4+3解得a=﹣∴函数解析式为：y=设直线AB解析式为y=kx+b把A（4，0），B（0，3）代入解得∴直线AB解析式为：y=﹣（2）由已知，点D坐标为（m，﹣）点E坐标为（m，﹣）∴AC=4﹣mDE=（﹣）﹣（﹣）=﹣∵BC∥y轴∴∴AE=∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA∴△DEF∽△AEC∵S1=4S2∴AE=2DE∴解得m1=，m2=4（舍去）故m值为（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M由（2）DE=﹣同理HG=﹣∵四边形DEGH是平行四边形∴﹣=﹣整理得：（n﹣m）[]=0∵m≠n∴m+n=4，即n=4﹣m∴MG=n﹣m=4﹣2m由已知△EMG∽△BOA∴∴EG=∴▱DEGH周长L=2[﹣+]=﹣∵a=﹣＜0∴m=﹣时，L最大．∴n=4﹣=∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）当点G、E位置对调时，依然满足条件∴点G坐标为（，）或（，）【点评】本题以二次函数图象为背景，综合考查三角形相似、平行四边形性质、二次函数最值讨论以转化的数学思想．3.（2018内蒙古通辽）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．【分析】（1）应用待定系数法；（2）①求出直线BC解析式，表示PF．当PF=DE时，平行四边形存在．②利用△PFH∽△BCO，应用相似三角形性质表示△PFH周长，应用函数性质讨论最值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5解得∴y=x2﹣4x﹣5∴顶点坐标为D（2，﹣9）（2）①存在设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）把B（5，0），C（0，﹣5）代入得∴BC解析式为y=x﹣5当x=m时，y=m﹣5∴P（m，m﹣5）当x=2时，y=2﹣5=﹣3∴E（2．﹣3）∵PF∥DE∥y轴∴点F的横坐标为m当x=m时，y=m2﹣4m﹣5∴F（m，m2﹣4m﹣5）∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m ∵E（2，﹣3），D（2，﹣9）∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6如图，连接DF∵PF∥DE∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形即﹣m2+5m=6解得m1=3，m2=2（舍去）当m=3时，y=3﹣5=2此时P（3，﹣2）∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形．②由题意在Rt△BOC中，OB=OC=5∴BC=5∴C △BOC=10+5∵PF∥DE∥y轴∴∠FPE=∠DEC=∠OCB∵FH⊥BC∴∠FHP=∠BOC=90°∴△PFH∽△BCO∴即C△PFH=∵0＜m＜5∴当m=﹣时，△PFH周长的最大值为4.（2018内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH 的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H 的坐标，进而求出GH，即可得出结论；（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y=kx+1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，∴C（0，﹣3），∴x2+2x﹣3=﹣3，∴x=0或x=﹣2，∴D（﹣2，﹣3），∵A（﹣3，0）和点B（1，0），∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=4，∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），∴CD=2，∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，∵S1：S2=4：5，∴S1=4，如图，设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，∴k=【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．。
