第5讲 常用解题方法(生)

100－52=48（分）做错：48÷（5＋3）=6（道）做对：20－6=14（道）答：阿派做对了14道题。

练习4：（7分）一次数学竞赛共有20道题,做对一道得8分,做错一道倒扣4分,米德考了112分,他做对了几道题？分析：假设20道题都做对了,则可以得到20×8 =160分,比实际的112分多了48分,多的原因是我们把错的也当成了对的。

因为做对一题得8分,做错一题倒扣4分,所以做对一题比做错一题多得8＋4 =12分。

可以算出做错了48÷12=4道,做对了20－4=16道。

板书：20×8－112=48（分）48÷（8＋4）=4（道）20－4=16（道）答：他做对了16道题。

（三）例题5（选讲）：某场足球比赛售出30元,40元,50元的门票共200张,收入7800元,其中40元和50元的张数相等,每种票各售出多少张？师：读了题目之后,你知道了什么？生1：共卖出门票200张。

生2：共收入7800元。

生3：卖出3种票,其中40元和50元的数量相等。

师：如果我们假设卖出的这两百张票都是30元的,总共收入多少元？生：30乘以200等于6000元。

师：而实际上收入多少元？生：7800元。

师：假设的和实际的相比怎么样？生：少了1800元。

师：为什么会少？生：因为把40元的和50元的都当成了30元的。

师：因为40元的和50元的张数相等,我们可以将它们都看成45元的。

也就是说把45元当成了30元,每张少算了多少元？生：45减30等于15元。

师：每张少算了15元,总共少算了1800元,那么45元的有多少张呢？生：1800除以15等于120张。

师：45元的是120张,说明什么？生：40元的和50元的各有60张。

第5讲分数的意义（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：分数的再认识1.整体“1”的含义:一个物体或一些物体都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数“1”来表示，通常叫作单位“1”。

2.分数的意义:把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。

3.根据分数所表示的数量可以求出所对应的整体数量，分母是几，整体就被分成了几份。

4.同一个分数对应的整体大，表示的具体数量就大;对应的整体小，表示的具体数量就小。

5.分数单位的意义:像12,13…这样的分数叫作分数单位。

6.分数单位的大小:分母越大，分数单位越小;分母越小，分数单位越大。

12>137.分母不同的分数，它们的分数单位不同。

知识点二：真分数、假分数和带分数1.真分数的意义:像12,13，…这样的分数是真分数。

真分数的分子小于分母，真分数小于1。

2.假分数的意义:像98…这样的分数是假分数。

假分数的分子等于或大于分母。

假分数大于或等于1。

3.带分数的意义:像112，212，…这样的分数都是带分数。

带分数由整数(不包括0)和真分数合成。

读带分数时，先读整数部分，再读分数部分，中间加一个“又”字。

写带分数时，先写整数部分，再写分数部分。

知识点三：分数与除法的关系1.分数与除法的关系:分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数，分数线相当于除法中的除号，分数值相当于除法中的商。

用字母表示上面的关系是a÷b=ab(b≠0)。

2.带分数化成假分数时，用整数与分母的积再加上原来的分子作分子，分母不变。

3.假分数化成整数或带分数的方法:分子除以分母，如果没有余数，化成整数;如果有余数化成带分数，所得的商是整数部分，余数作分子，分母不变。

4.求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法:一个数÷另一个数=一个数另一个数，得到的商表示两个数的关系，没有单位名称。

知识点四：分数的基本性质1.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变。

第五讲：几何解题方法总结知识点在这里：一、巧求面积平面图形涉及到两个内容：周长和面积。

在求面积中常用的方法有：平移，割补法，去空法，等积变换法，差不变法，利用线段关系求面积等方法。

二、等积变形 （1）直线AB 平行于CD ，可知S ACD ∆= S BCD ∆；反之，如果S ACD ∆= S BCD ∆，同样可得到直线AB 平行于CD 。

（图1）（2）两个三角形的高相等，面积比就等于它们的底之比；两个三角形的底相等，面积比就等于它们的高之比。

（图2）S ABD ∆： S ACD ∆=BD ：CD（3）三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ①平行线间的距离处处相等；②等底等高的两个三角形面积相等；③共底共顶点的三角形高必定相等；④两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形底（或高）的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；⑤一个平行四边形和一个三角形二者面积相等，如果它们的底相等，那么三角形的高是平行四边形高的2倍，如果它们的高相等，那么三角形的底是平行四边形底的2倍。

（老师可讲“武当山众图形比赛面积大小的‘恐怖’故事”以加深学生记忆。

） 三、“群山模型”每个平行四边形中的阴影可以看做“山”不管几座山，每个平行四边形里“山”的总面积都等于其所在平行四边形面积的一半。

即S 阴影=21S 平行四边形。

四、对等模型一平行四边形或长方形内有任意一点，往四个顶点连线，分成如左图所示四个三角形，则有：S 1＋S 2=S 3＋S 4=21S 平行四边形。

五、共角问题（鸟头模型）ACDABE S S ∆∆=AD AC AEAB ⨯⨯（各线段的份数相乘）六、燕尾模型 S 1：S 2=DE ：EA S 4：S 3= DE ：EA 所以：S 1：S 2= S 4：S 3 即S 1：S 4= S 2：S 3=BD ：DC你看右边的两幅图有相似之处吧。

总结：两翅膀的面积比等于尾部的宽度之比。

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第5讲—列方程解应用题（一）学习目标1、学会列方程解应用题；2、学会数字问题和年龄问题以及和差倍类问题的应用题解题方法。

教学内容1、上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

2、上节课预习内容，教师检查正确率，根据学生做题情况，有适当的积分激励，并且进行讲解。

案例：如图，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问该从A盘内拿出多少盐到B盘内，才能使两者所盛盐的质量相等？【分析】方法：列方程关键：设未知数、找等量关系（1）设应从A盘拿出xg放到B盘（2）分析数量盘A盘B原有盐（g）5145现有盐（g）51－x45＋x【解答】解：设应从A盘拿出xg放到B盘内则根据题意得51－x＝45＋x解方程得x＝3经检验符合题意答：应从A盘拿出3g放到B盘列方程解应用题的一般步骤是：（1）审：审请题意，弄清题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；（3）找：找出题目中的等量关系；（4）列：根据所设未知数和找出的等量关系列方程；（5）解：解方程，求未知数；（6）答：检验所求解，写出答案。

实际问题中，设未知数的方法可能不唯一，要寻找最简捷的设法；解题时，检验过程不可少，但可不写在书面上。

用列方程解应用题的几个注意事项：（1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理.（2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等.（3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义.（4）不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称.（5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真.【知识梳理1】数字问题数字问题是常见的数学问题。

这种列方程解应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：两位数＝10a＋b；三位数帽一样多说明男孩数目比女孩多一个，以此设未知数。

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质【2014年高考会这样考】1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合．2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．【复习指导】1．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力．2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．基础梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．一个关系垂直问题的转化关系 线线垂直面面垂直判定性质线面垂直 判定性质三类证法(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：⎭⎬⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()．A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确．答案 D2．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确．答案 D3．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()．A．①②B．②③C．①④D．③④解析由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a、c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a、b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．答案 C4．(2011·聊城模拟)设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )． A.⎭⎬⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎬⎫b ⊂β，a ⊥bc 是a 在β内的射影⇒b ⊥cC.⎭⎬⎫b ∥cb ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D.⎭⎬⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α 解析 由a ∥α，b ⊥α可得b 与α的位置关系有：b ∥α，b ⊂α，b 与α相交，所以D 不正确． 答案D5．如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________． 解析 由线面垂直知，图中直角三角形为4个． 答案 4考向一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD . 证明：AD ⊥平面P AC .[审题视点] 只需证AD ⊥AC ，再利用线面垂直的判定定理即可． 证明 ∵∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1. ∴∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥AD ，而AC ∩PO ＝O ， ∴AD ⊥平面P AC .(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质． (2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 【训练1】 如图，已知BD ⊥平面ABC ，MC 綉12BD ，AC ＝BC ，N 是棱AB 的中点． 求证：CN ⊥AD .证明 ∵BD ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴BD ⊥CN . 又∵AC ＝BC ，N 是AB 的中点． ∴CN ⊥AB . 又∵BD ∩AB ＝B ， ∴CN ⊥平面ABD . 而AD ⊂平面ABD ， ∴CN ⊥AD .考向二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】►如图所示，在四棱锥P ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD.[审题视点] 证明BD⊥平面P AD，根据已知平面P AD⊥平面ABCD，只要证明BD ⊥AD即可．证明在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝45，所以AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面P AD.又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面P AD.面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．【训练2】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，由已知易得B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.[审题视点] 第(1)问需证明EF∥AD；第(2)问需证明BD⊥平面EFC.证明(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．【训练3】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G.所以CF⊥平面BDE.考向四线面角【例4】►(2012·无锡模拟)如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．[审题视点] (1)转化为证明AC⊥平面PDB；(2)AE与平面PDB所成的角即为AE 与它在平面PDB上的射影所成的角．(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE.由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝12PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.在Rt△AOE中，OE＝12PD＝22AB＝AO，∴∠AEO＝45°.即AE与平面PDB所成的角为45°.求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．【训练4】(2012·丽水质检)如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．(1)证明因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)解如图，连接CQ，DP.因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.阅卷报告11——证明过程推理不严密而丢分【问题诊断】高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档题，大多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致. 【防范措施】解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点.引入数据要明确、要写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯.【示例】►(2011·江苏)如图，在四棱锥P ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.错因在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误．实录(1)在△P AD中，因为E，F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD，所以EF∥平面PCD.(2)△ABD为正三角形，∴BF⊥AD，又平面P AD⊥平面ABCD∴BF⊥平面P AD，∴平面BEF⊥平面P AD.正解(1)在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .【试一试】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD .(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)求证：平面P AB ⊥平面PCD .[尝试解答] (1)连接AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，故在△CP A 中，EF ∥P A ，又∵P A ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .(2)∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥P A .又P A ＝PD ＝22AD ，∴△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即P A ⊥PD .又∵CD ∩PD ＝D ，∴P A ⊥平面PCD .又∵P A ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD .。

利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n +=的形式； ④当0n ≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．一般一元二次方程的解法及韦达定理知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲内容分析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式242b b ac x a-±-=，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 填空：（1）221_______(____)2x x x -+=-；（2）221_______(_____)25x x -+=-； （3）22_______(____)bx x x a-+=-； （4）22224_______(2_____)b x x a-+=-．【答案】116，14；25x ，15；224b a ，2b a ；4b a x ，b a ．【解析】通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行解答． 【总结】本题考查通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行配方．【例2】 如果24x ax ++是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．都不对【答案】D【解析】通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平方两种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍．【总结】本题考查通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行配方，要考虑两种情形．【例3】 若0m <且2x =时，等式2270x mx m -+-=成立，则m 值为________． 【答案】1-．例题解析【解析】当2x =时，可得2230m m --=，得13m =，21m =-，因为0m <，则1m =-． 【总结】本题考查一元二次方程的解及其应用．【例4】 如果一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________． 【答案】2430x x -+=等．【解析】一元二次方程根为1，则必有()200ax bx c a ++=≠中，0a b c ++=．【总结】一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，当0a b c ++=时，1x =；当0a b c -+=时， 1x =-；当0c =时，0x =．【例5】 解下列方程(配方法)：（1）2340x x +-=；（2）20.040.410x x ++=； （3）22240x mx m ++=；（4）20(0)ax bx c a ++=≠．【答案】（1）124,1x x =-=；（2）125x x ==-；（3）12,x x =； （4）略．【解析】（1）对原方程配方，得：232524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3522x +=±，得14x x ==-或，所以原方程的根为：1214x x ==-，；（2）对原方程配方，得：()250x +=，得5x =-，所以原方程的根为：125x x ==-；（3）对原方程配方，得：()222m x m +=，则x m +=，所以原方程的根为：12x x ==，； （4）由20 (0)ax bx c a ++=≠，得20 b c x x a a++=，配方得：2222244b b c b x x a a a a ++=-+，即2224()24b b acx a a -+=，①当240b ac ->时，解得：x =；②当240b ac -=时，解得：2bx a=-； ③当240b ac -<时，解得：x 无实根．综上，①当240b ac ->时，解得：1x =，2x =②当240b ac -=时，解得：122b x x a==-； ③当240b ac -<时，解得：x 无实根．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例6】 解下列方程（求根公式法）：（1）22(1)x x =-；（2）20.20.11x x -=；（3）21)0x x +++；（4）22220x mx m n -+-=．【答案】（1）原方程无解；（2）122.52x x ==-，；（3）1213x x =-=-- （4）12x m n x m n =+=-，．【解析】（1）2220x x -+=，122a b c ==-=，，，得：2440b ac -=-<，所以方程无解； （2）20.20.110x x --=，0.20.11a b c ==-=-，，，得：240.81b ac -=，则0.10.90.4x ±==，所以原方程的根122.52x x ==-，；（3）)121a b c ===，，2416b ac -=，得：x所以原方程的根1213x x ==-（4）2212a b m c m n ==-=-，，，得2244b ac n -=，得：x =，所以原方程的根12x m n x m n =+=-，．【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．【例7】 解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）20(0)mx nx p m --=≠；（2）(5)(3)(6)145x x x x --++=．【答案】（1）略；（2）12x x ==（1）a m b n c p ==-=-，，，得：2244b ac n mp -=+，①当240n mp +≥时，解得：x =②当240n mp +<时，解得：x 无实根．综上，①当240n mp +≥时，解得：12x x = ②当240n mp +<时，解得：x 无实根．（2）2650x x --=，1165a b c ==-=-，，，得：24261b ac -=，所以原方程的根为12x x =． 【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．【例8】 用指定的方法解下列方程： （1）2123x x -=（配方法）；（2）()232175x -=（开平方）；（3）2(1(1x x =+（因式分解）； （4）231270x x ++=（公式法）．【答案】（1）1266x x ==；（2）1232x x ==-，；（3）1203x x ==-，；（4）12x x ==．【解析】（1）对原方程配方，得：()2639x -=，所以6x -=所以原方程的解为：1266x x ==；（2）开平方，得：215x -=±，所以原方程的解为：1232x x ==-，；（3）((2110x x -+=，((110x x ⎡⎤-=⎣⎦，所以原方程的解为：1203x x ==-，；（4）∵3127a b c ===，，，∴2460b ac -=，∴x ==所以原方程的根为12x x =【总结】本题主要考查用适当方法求解一元二次方程的根．【例9】 已知：202(21)22x x x x ++=--，求x 的值． 【答案】3x =【解析】由题知2210x x ++≠得1x ≠-，由2221x x --=得123,1x x ==-，所以3x =． 【总结】本题主要考查()010a a =≠，且考查求解一元二次方程的根．【例10】 x 为何值时，代数式22102191x x x -++的值等于零．【答案】123325x x ==，．【解析】由题知2102190x x -+=，得()()23530x x --=，得：123325x x ==，．【总结】本题主要考查分式为零且考查求解一元二次方程的根．【例11】 阅读下面的例题：解方程2||20x x --=解：当0x ≥时，原方程化为220x x --=，解得：1221x x ==-，（舍） 当0x <时，原方程化为220x x +-=，解得：1221x x =-=，（舍） ∴原方程的根是1222x x ==-， 请参照例题解方程2|1|10x x ---=． 【答案】1212x x ==-，．【解析】当10x -≥，即1x ≥时，原方程化为20x x -=，解得：()1201x x ==舍，； 当10x -<，即1x <时，原方程化为220x x +-=，解得：()1221x x =-=，舍； 所以原方程的根为1212x x ==-，．【总结】本题考查绝对值方程及一元二次方程的解法．【例12】 解下列关于x 的方程方程：（1）22(2)(3)0kx k x k +-+-=； （2）(5)(3)(2)(4)49x x x x -++-+=；（3）2222(3)230x a b x a ab b +--+-=．【答案】（1）略；（2）1266x x ==-，；（3）1222a bx b a x -=-=，． 【解析】（1） ①当0k =时，原方程化为：430x --=，解得：34x =-；②当0k ≠时，方程是一元二次方程，()223a k b k c k ==-=-，，，得：24416b ac k -=-+，1若4160k -+>，即4k <时，()()2222k k x k k--±--±==，2若，4160k -+=即4k =时，()122k x x k--==，3若4160k -+<，即4k >时，x 无实根．综上， ①当0k =时，34x =-；②当0k ≠时，若4k <时，()()1222k k x x k k ----==；若4k =时，122k x x k-+==；若4k >时，x 无实根．（2）原方程化为一般式，得：22720x -=，所以6x =±，故1266x x ==-，；（3）原方程可化为()()220x a b x a b +---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得：1222a bx b a x -=-=，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，注意对含字母系数的方程的分类讨论．【例13】 已知：2212231447y x x y x x =-+=++，，求x 为何值时，12y y =．【答案】12322x x =-=-，．【解析】由12y y =，得：22231447x x x x -+=++，整理得：22760x x ++=，分解因式，得：()()2230x x ++=，所以12322x x =-=-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法．【例14】 解关于x 的一元二次方程24(3)x x mx -=-，其中m 是满足不等式310320m m +>⎧⎨->⎩的整数．【答案】1241x x =-=，．【解析】由310320m m +>⎧⎨->⎩，得1332m -<<，又由于24(3)x x mx -=-，整理得：()21340m x x -+-=，它是一元二次方程，得1m ≠，又m 是整数，所以0m =， 即一元二次方程为2340x x +-=，解得1241x x =-=，． 【总结】本题考查一元二次方程及不等式组的解法及其应用．【例15】 求关于x 的方程：225582220x y xy y x +++-+=的实数解． 【答案】1x =．【解析】由225582220x y xy y x +++-+=，得()()()22222110x y x y ++-++=，得：1x =． 【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．【例16】已知152a b c +-=-，求a b c ++的值．【答案】20．【解析】由152a b c +--，得：)))222112302++=，所以102030-===，解得：2612a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以20a b c ++=．【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．【例17】 已知a b c ，，是有理数，试证明关于x 的方程： 2222220x ax a b c bc -+--+=的根也是有理数． 【答案】略．【解析】由2222220x ax a b c bc -+--+=，可得：()()220x a b c ---=，所以12x a b c x a b c =+-=-+，，由于a b c ，，是有理数， 所以a b c a b c +--+、也是有理数，所以即证． 【总结】本题考查一元二次方程的解法的应用．【例18】 已知关于x 的方程：224(1)3240x m x m m k --+-+=，当m 取任意有理数 时，方程的根都是有理数，求k 的值或者是k 的取值范围．【答案】54k =-．【解析】解：()2141324a b m c m m k ==--=-+，，， 得()()22241614324b ac m m m k =-=---+24241616m m k =-+-， 当m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，∴24b ac -是完全平方式，∴161636k -=，∴54k =-．【总结】本题综合性较强，主要考查学生对方程的根是有理数的理解．韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a -+=≠的两个根,由解方程中的公式法得, 22124422b b ac b b acx x a a-+----==，． 那么可推得1212b cx x x x a a +=-⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．【例19】 若方程2(1)0x m x m -++=有解，利用适当的方法解这两个根，分别是___________________________；若这两个根互为相反数则m 的值是_______________；若两个根互为倒数，则m 的值是_______________． 【答案】121x m x ==，；1-；1．【解析】利用十字相乘法因式分解得到方程的两根，后依据相反数和倒数的概念得出相应m例题解析知识精讲模块二：韦达定理的值．【总结】本题考查一元二次方程的解法．【例20】 如果1x ，2x 是方程22360x x +-=的两个根，那么12x x +=_____________；12x x ⋅=_______________．【答案】32-；3-．【解析】由韦达定理，可得：1232x x +=-，123x x =-．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的应用．【例21】 若方程：2980kx x -+=的一个根为1x =，则k =________；另一个根为________． 【答案】1；8x =．【解析】将1x =代入方程，可得：1k =，再由韦达定理可得：128x x =，得另一根为8x =．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的应用．【例22】 ．【答案】2102x +=．【解析】由12bx x a +==-，1212c x x a ==，可得方程为：2102x +=． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a=的应用．【例23】 是关于x 的方程210(0)ax bx a ++=≠的两根，求b 的值． 【答案】1-．【解析】由韦达定理，得：121bx x a+==-=-，121cx x a=-=，而1c =，所以得：1a =-，代入可得：1b =-． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a=的应用．【例24】 已知12x x ，是方程2133022x x --=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x -；（3）2212x x +；（4）12||x x -．【答案】（1）2-；（2）-或3）42；（4）． 【解析】解：由韦达定理，得：126x x +=，123x x =-．（1）原式=12122x x x x +=-； （2）原式()()()1212126x x x x x x =+-=-=±6=±=±•=±（3）原式=()21212242x x x x +-=； （4）原式12x x -．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用．【例25】 已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x -+=两个根，求这个直角三角形的周长． 【答案】7．【解析】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ，且c 是斜边长，由题知，4a b +=，72ab =， 由勾股定理，可得：222c a b =+，所以3c =，所以直角三角形的周长7a b c ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．【例26】 已知方程：240x x a -+=的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围． 【答案】3a <．【解析】解：设方程的两根为1x ，2x ，由13x >，23x <，可得：()()12330x x --<，即()1212390x x x x -++<，而由韦达定理可得124x x +=，12x x a =， 所以3490a -⨯+<，即3a <．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用．【例27】 已知2212510520.1m m n n mn n m--=+-=≠+，，求的值． 【答案】5-．【解析】由22510m m --=，可得：25120m m --=，整理得：21520m m+-=， 又由于2520n n +-=，所以可知1m、n 是方程2520x x +-=的两根， 由韦达定理，可得：15n m+=-． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．【例28】 已知αβ，是方程：2240x x --=的两根，求代数式3+8+6αβ的值． 【答案】30．【解析】由题及韦达定理可得：2240αα--=，2αβ+=，得：224αα=+． 3+8+6αβ=286ααβ⋅++=()2486ααβ+++=22486ααβ+++ =()224486ααβ++++=()81430αβ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，运用了降次等的思想方法．【习题1】 完成下列填空：（1）2222_____(__)x x x -+=-； （2）2(2_____)______________1y -=+； （3）223_______93(____)x x ++=+．【答案】（1）2，2；（2）1，244y y -；（3）63x ，3． 【解析】略【总结】本题考查了完全平方式的应用．【习题2】 完成下列填空： （1） 对于方程232x x =，用____________法解比较好，其根为______________； （2） 对方程2(21)4x -=，用____________法解比较好，其根为______________； （3）对方程22360x x --=，用___________法解比较好，其根为_______________．【答案】（1）因式分解，12203x x ==，；（2）直接开平方，121322x x =-=，； （3）公式法，1235735744x x +-==，． 【解析】略【总结】本题考查了一元二次方程的解法，要灵活运用．【习题3】 已知2+20x ax a +-=的两根互为倒数，则a 的值为________． 【答案】3．【解析】由韦达定理得，121x x =，即21a -=，得：3a =． 【总结】本题考查了韦达定理的应用．【习题4】 用指定的方法解下列方程：（1）20(0)ax bx a -=≠（因式分解）；（2）2249610()x a a a -+-=为已知数（直接开平方）；随堂检测（3）25690x x +-=（配方法）；（4）2340x -=（求根公式）．【答案】（1）120b x x a ==，；（2）12311322a ax x --==，；（3）12x x =；（4）12x x ==【解析】（1）由题知()0x ax b -=，所以原方程的解为：120bx x a==，；（2）原方程可变形为：()()22231x a =-，得()231231x a x a =--=-或，所以原方程的解为：12311322a ax x --==，；（3）26955x x +=，22263935555x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2354525x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，35x +=，所以原方程的解为：12x x ==；（4）由题知23,4,450a b c b ac ===--=，得：x =，所以原方程的解为：12x x == 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【习题5】 用适当的方法解下列方程：（1）21x x -=；（2）22(23)3(23)0x x ---=；（3）2320x -+=； （4）2(35)5(35)40x x +-++=．【答案】（1）12x x =；（2）123924x x ==，；（3）12x x =（4）124133x x =-=-，．【解析】（1）由题知211145a b c b ac ==-=-=-=，，， 所以，所以原方程的解为：12x x ==； （2）由题知()()2322330x x ---=⎡⎤⎣⎦，()()23490x x --=，所以原方程的解为：123924x x ==，；（3）由题知)220-+=，得：20=，所以原方程的解为：12x x ==（4）由题知()()3513540x x +-+-=，得：()()34310x x ++=，所以原方程的解为：124133x x =-=-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【习题6】 解关于x 方程：（1）2221x ax a -+=； （2）20x px q -+=． 【答案】（1）1211x a x a =+=-，；（2）略．【解析】（1）()21x a -=，1x a -=±，所以1211x a x a =+=-，；（2）由20x px q -+=，配方得：22222p p x px q ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得：22424p p q x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．①当240p q ->时，解得：x =②当240p q -=时，解得：122p x x ==； ③当240p q -<时，原方程无实数根．综上， ①当240p q ->时，解得：12x x ==； ②当240p q -=时，解得：122p x x ==-； ③当240p q -<时，原方程无实数根．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意对含字母系数的方程的分类讨论．【习题7】 如果2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，求n 的值． 【答案】2．【解析】令2296(1)5x n x n -+++=0，则()29615a b n c n ==-+=+，，， 得：()()222436136572144b ac n n n -=+-+=-， 因为2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，所以240b ac -=，即721440n -=，所以2n =．【总结】本题考查一元二次方程240b ac -=时，代数式()20ax bx c a ++≠是完全平方式．【习题8】 用配方法说明：不论x 为何值，代数式257x x -+的值总大于0，再求出当x 为何值时，代数式257x x -+有最小值，最小值是多少？ 【答案】略．【解析】22222555357572224x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于任意的x ，都有2502x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以2533244x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即253024x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以257x x -+的值总大于0；当52x =时，代数式257x x -+有最小值，且最小值为34． 【总结】本题考查用配方法解决一些最大值最小值问题，是后面学习二次函数最大值最小值的基础．【习题9】 已知关于x 的方程2(1)(21)30()m x m x m m -+-+-=为实数有两根12x x ，，其中1200x x ><，且12||||x x >，求m 的取值范围．【答案】112m <<． 【解析】因为方程有两根，所以10m -≠，即1m ≠；由韦达定理，可得：12121mx x m -+=-， 1231mx x m -=-，因为1200x x ><，且12||||x x >，所以120x x +>，120x x <， 即1230011m m m m --><--且，解得：112m <<． 【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．【习题10】 解方程||3||20x x x -+=．【答案】1212x x ==，，3x =． 【解析】由题知：0x ≠，分两种情况讨论：（1）当0x >时，原方程转化为2320x x -+=，解得：1212x x ==，，都符合；（2）当0x <时，原方程转化为2320x x --=，解得()120x x =>=舍，．综上，原方程的根为1212x x ==，，3x ． 【总结】本题结合一元二次方程和绝对值方程，分类讨论解方程．【习题11】 已知关于x 的方程2(1)0k x px k --+=有两个正整数根，求整数k 和p 的值． 【答案】23k p ==，．【解析】设12x x 、是原方程的两根，因为12x x 、是正整数根，所以121200x x x x +>>，且都是正整数，由韦达定理，得：121211p k x x x x k k +==--，，所以1k k -是正整数， 所以111111k k k -+=+--是正整数，即11k -是正整数，所以2k =， 代入原方程可得：220x px -+=，方程的两根为1212x x ==，，所以3p =． 【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合．【习题12】 已知实数a b ≠，且满足2(1)33(1)a a +=-+，23(1)3(1)b b +=-+，求 【答案】23-．【解析】因为a 、b 是方程()()21331x x +=-+，即2510x x ++=的两根， 所以由韦达定理，可得：51a b ab +=-=，，所以00a b <<，．所以2b a a b ⎛--=-+= ⎝ 代入可得：原式=23-．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察，另外化简二次根式时注意符号的变化．【作业1】 已知代数式239x x m -+是一个完全平方式，则m =_____________．【答案】274．【解析】因为代数式是一个完全平方式，所以2481120b ac m -=-=，解得：274m =． 【总结】本题考查了完全平方式的知识，可用配方法，也可用根的判别式来解决问题．【作业2】 以下说法正确的有几个：（1）方程20x =，有两个根；（2）方程24x x =两边同除以x ，解得方程的解为4x =；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程21()2x x -=-无解；（4）对于方程22(1)(3)x x -=+，因为无论x 取何值，1x -和3x +都不可能相等，所以方程无解．【答案】只有（1）正确．【解析】（1）120x x ==；（2）方程的解为1240x x ==，；（3）方程化简整理，得：214x =-，虽然此方程无解，但是题目中给出的原因是错误的；（4）原方程可化为1313x x x x -=+-=-+或（），所以方程有解． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法及根的情况．课后作业【作业3】 如果12x x ，是方程25750x x -+=的两根，求下列各式的值： （1）1211x x +；（2）2212x x +． 【答案】（1）75；（2）125-．【解析】由韦达定理得1212715x x x x +==，．（1）原式=121275x x x x +=；（2）原式=()212121225x x x x +-=-．【总结】本题考查了韦达定理的应用．【作业4】 用适当的方法解下列方程：（1）249x =；（2）23210x x -=； （3）22350x x --=； （4）2(4)5(4)x x -=-； （5）23420x x --=；（6）2(1)5(1)40y y -+-+=．【答案】（1）1277x x ==-，；（2）1270x x ==，；（3）12512x x =-=，；（4）1249x x ==，；（5）12x x =6）1203y y ==-，． 【解析】（1）直接开平方，得：1277x x ==-，；（2）由题知()3210x x -=，得：1270x x ==，； （3）由题知()()1250x x +-=，得：12512x x =-=，； （4）由题知()()490x x --=，得：1249x x ==，；（5）由题知2342440a b c b ac ==-=--=，，，则，得：12x x ==； （6）由题知()30y y +=，得：1203y y ==-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业5】 用适当的方法解下列方程：（1）224(2)(31)0x x ---=；（2）2(31)3(31)20x x ---+=；（320-=； （4）212205250x x --=．【答案】（1）1213x x ==-，；（2）12213x x ==，；（3）12x x =（4）12153526x x ==-，．【解析】（1）因式分解得：()()()()223122310x x x x -+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()5530x x ---=， 所以原方程的解为：1213x x ==-，；（2）由题知()()32330x x --=，所以原方程的解为：12213x x ==，；（3）由题知2450a b c b ac ===--=则，得x =，所以原方程的解为：12x x ==（4）由题知()()2156350x x -+=，所以原方程的解为：12153526x x ==-，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业6】 用适当的方法解下列关于x 方程：（1）22+21()x ax a a +=为已知常数；（2）2220()x ax a a +-=为已知常数； （3）22320()x xb b b --+=为已知常数．【答案】（1）1211x a x a =-=--，；（2）122x a x a ==-，；（3）1223bx b x =-=，． 【解析】（1）由题得：()21x a +=，所以1x a +=±，所以原方程的解为：1211x a x a =-=--，； （2）因式分解，得：()()20x a x a -+=，所以原方程的解为：122x a x a ==-，； （3）因式分解，得：()()320x b x b +-=，所以原方程的解为：1223bx b x =-=，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业7】 若2+317=0x x αβ-，是方程的两个根，求2+2ααβ-的值． 【答案】20．【解析】由韦达定理，得：317αβαβ+=-=-，． 原式=()()231717320αααβαβ+--=-+=--=． 【总结】本题考查了韦达定理的应用以及整体代入思想的运用．【作业8】 已知关于x 的方程2(1)31(1)x m mx x mx -+=+-（）（）有一个根是0，求另一个根及m 的值．【答案】另一根为1x =，m 的值1-．【解析】原方程可整理为()()110mx x m +---=，得：1211x x m m=-=--，．因为10m-≠，所以10m --=，解得：1m =-，代入可得方程的另一根为1x =． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程，并考查了分式的意义．【作业9】 已知22620(0)mm mn n n n--=≠，求的值． 【答案】1223-或．【解析】由0n ≠可将原方程化简为：2620m mn n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，令m x n =，可得：()()21320x x +-=，解得：121223x x =-=，，即121223m m n n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 【总结】本题考查一元二次方程的应用，合理利用可节省解题时间．【作业10】 解关于x 的方程25||30x x --=．【答案】12x x == 【解析】原方程可变为2530x x --=，由题知2513461a b c b ac ==-=--=，，，则，得x =，所以x，得：12x x == 【总结】本题考查一元二次方程的解法，还有绝对值方程的解法．【作业11】 已知方程22120x x --=的两根是αβ，，设1=+C αβ，222=+C αβ，．．．，=+n n n C αβ（n 是正整数）．（1） 求3C 的值；（2） 求证：11=2C 12n n n C C +-+ ． 【答案】（1）80；（2）略．【解析】由题知：212αβαβ+==-，．（1）()()33223212212C αβααββααββ=+=+=+++()222212αβαβ=+++()()22212αβαβαβ⎡⎤=+-++⎣⎦()222212122⎡⎤=-⨯-+⨯⎣⎦80=；（2）()11122n n n n n n C C αβαβ+++-=+-+()2121112n n n n ααββααββ----=+-+ ()()212122n n αααβββ--=-+-111121212n n n C αβ---=+=，得证． 【总结】本题考查了一元二次方程的根与一元二次方程之间的关系，要灵活应用，并要掌握降次的方法．。

第五讲倒推法的应用知识导航在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例1：一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？解析:这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56［（□－8）＋10]÷7＝56÷4=14（□－8）＋10=14×7=98□－8=98-10=88□=88+8=96答：于昆这次数学考试成绩是96分.【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____.解析：{［（□ + 6）×6］- 6}=6解：运用倒推法知这个数为（6×6+6）÷6-6=1【解题技巧】解答此类问题的方法规律是：原题加，逆推为减；原题减，逆推为加；原题乘，逆推为除；原题除，逆推为乘。