高三数学二轮复习(文科数学) 导数在研究函数中的应用(一) 专题卷(全国通用) (5)

摘要：导数是高等数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质、解决实际问题等方面具有广泛的应用。

本文将通过几个具体的实例，详细阐述导数在函数中的应用，包括求切线、研究函数的单调性、求极值和最值等。

一、引言导数是函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点的局部性质。

导数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本文将通过实例，展示导数在函数中的应用，以帮助读者更好地理解导数的概念和意义。

二、导数在求切线中的应用1. 实例一：求函数f(x) = x²在点P(2,4)处的切线方程。

解：首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据求导法则，f'(x) = 2x。

将x=2代入f'(x)，得到f'(2) = 4。

因此，点P(2,4)处的切线斜率为4。

接下来，利用点斜式方程求出切线方程。

点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m为切线斜率，(x₁, y₁)为切点坐标。

将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y- 4 = 4(x - 2)，即y = 4x - 4。

2. 实例二：求函数f(x) = ln(x)在点A(1,0)处的切线方程。

解：求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据求导法则，f'(x) = 1/x。

将x=1代入f'(x)，得到f'(1) = 1。

因此，点A(1,0)处的切线斜率为1。

利用点斜式方程求出切线方程。

将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y - 0 = 1(x - 1)，即y = x - 1。

三、导数在研究函数单调性中的应用1. 实例一：研究函数f(x) = x³在区间(-∞, +∞)上的单调性。

解：求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据求导法则，f'(x) = 3x²。

由于x²≥0，所以f'(x)≥0。

因此，函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。

第二章函数与导数第１２课时导数在研究函数中的应用（对应学生用书（文）、（理）３0～３２页）考情分析考点新知１导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视.２以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用．①理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.②掌握利用导数求函数极值与最值的方法.３会利用导数解决某些实际问题.,１．（选修２２P２8例１改编）函数f（x）＝x３—１５x２—３３x＋6的单调减区间为______________．答案：（—１，１１）解析：f′（x）＝３x２—３0x—３３＝３（x—１１）（x＋１），由（x—１１）（x＋１）<0，得单调减区间为（—１，１１）．亦可填写闭区间或半开半闭区间．２．（选修２２P３４习题３改编）若函数f（x）＝e x—ax在x＝１处取到极值，则a＝________．答案：e解析：由题意，f′（１）＝0，因为f′（x）＝e x—a，所以a＝e.３．（选修２２P３４习题8）函数y＝x＋sinx，x∈[0，２π]的值域为________．答案：[0，２π]解析：由y′＝１＋cosx≥0，所以函数y＝x＋sinx在[0，２π]上是单调增函数，所以值域为[0，２π]．４．（原创）已知函数f（x）＝—错误!x２＋blnx在区间[错误!，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是________．答案：（—∞，４]解析：f′（x）＝—x＋错误!≤0在[２，＋∞）上恒成立，即b≤x２在[２，＋∞）上恒成立．５．（选修２２P３５例１改编）用长为90cm、宽为４8cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．答案：１0解析：设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝（90—２x）（４8—２x）x＝４（x３—69x２＋１080x），0<x<１２，V′＝１２（x２—４6x＋３60）＝１２（x—１0）（x—３6），当0<x<１0时，V′>0；当１0<x<１２时，V′<0．所以V在（0，１0]上是增函数，在[１0，１２）上是减函数，故当x＝１0时，V最大．１．函数的单调性与导数在区间（a，b）内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′（x）>0，那么函数y＝f（x）为该区间上的增函数；如果f′（x）<0，那么函数y＝f（x）为该区间上的减函数．２．函数的极值与导数（１）函数极值的定义若函数f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f（a）叫函数的极小值．若函数f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f（b）叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．（２）求函数极值的方法解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时，１如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f（x0）是极大值．２如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f（x0）是极小值．３．函数的最值（１）最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f（x）≥f（x0），则称f （x0）为函数f（x）在定义域上的最小值．（２）求函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤１求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值．２将函数y＝f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．４．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：错误!错误!错误!错误!题型１导数与函数的单调性例１已知函数f（x）＝x３—ax—１．（１）若a＝３时，求f（x）的单调区间；（２）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（３）是否存在实数a，使f（x）在（—１，１）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解：（１）当a＝３时，f（x）＝x３—３x—１，∴f′（x）＝３x２—３，令f′（x）>0即３x２—３>0，解得x>１或x<—１，∴f（x）的单调增区间为（—∞，—１）∪（１，＋∞），同理可求f（x）的单调减区间为（—１，１）．（２）f′（x）＝３x２—Ａ．∵f（x）在实数集R上单调递增，∴f′（x）≥0恒成立，即３x２—a≥0恒成立，∴a≤（３x２）min.∵３x２的最小值为0，∴a≤0．（３）假设存在实数a使f（x）在（—１，１）上单调递减，∴f′（x）≤0在（—１，１）上恒成立，即a≥３x２.又３x２∈[0，３），∴a≥３．∴ 存在实数a使f（x）在（—１，１）上单调递减，且a≥３．错误!（１）已知函数f（x）＝错误!x２—mlnx＋（m—１）x，当m≤0 时，试讨论函数f（x）的单调性；（２）若函数f（x）＝—错误!错误!错误!＋blnx在（１，＋∞）上是减函数，求实数b的取值范围．解：（１）函数的定义域为错误!，f′（x）＝x—错误!＋（m—１）＝错误!＝错误!.１当—１<m≤0时，令f′（x）>0，得0<x<—m或x>１，令f′（x）<0，得—m<x<１，∴函数f（x）的单调递增区间是错误!和错误!，单调递减区间是错误!；２当m≤—１时，同理可得，函数f（x）的单调递增区间是错误!和错误!，单调递减区间是错误!.（２）由f（x）＝—错误!错误!错误!＋blnx，得f′（x）＝—（x—２）＋错误!，由题意，知f′（x）≤0即—错误!＋错误!≤0在错误!上恒成立，∴b≤错误!错误!，当x∈错误!时，错误!∈错误!，∴b≤１．题型２导数与函数的极值、最值例２设函数f（x）＝（x２＋ax＋b）e x（x∈R）．（１）若a＝２，b＝—２，求函数f（x）的极大值；（２）若x＝１是函数f（x）的一个极值点．１试用a表示b；２设a＞0，函数g（x）＝（a２＋１４）e x＋４.若ξ１、ξ２∈[0，４]，使得|f（ξ１）—g（ξ２）|＜１成立，求a的取值范围．解：（１）∵ f′（x）＝（２x＋a）e x＋（x２＋ax＋b）e x＝[x２＋（２＋a）x＋（a＋b）]e x，当a＝２，b＝—２时，f（x）＝（x２＋２x—２）e x，则f′（x）＝（x２＋４x）e x，令f′（x）＝0得（x２＋４x）e x＝0，∵e x≠0, ∴x２＋４x＝0，解得x＝—４或x＝0，列表如下：x（—∞，—４）—４（—４，0）0（0，＋∞）f′（x）＋0—0＋f（x）极大值极小值∴当x＝—４时，函数f（x）取极大值，f（x）极大值＝错误!.（２）１由（１）知f′（x）＝[x２＋（２＋a）x＋（a＋b）]e x.∵x＝１是函数f（x）的一个极值点，∴f′（１）＝0，即e[１＋（２＋a）＋（a＋b）]＝0，解得b＝—３—２a.２由１知f′（x）＝e x[x２＋（２＋a）x＋（—３—a）]＝e x（x—１）[x＋（３＋a）]，当a＞0时，f（x）在区间（0，１）上的单调递减，在区间（１，４）上单调递增，∴函数f（x）在区间[0，４]上的最小值为f（１）＝—（a＋２）e.∵f（0）＝b＝—３—２a＜0，f（４）＝（２a＋１３）e４＞0，∴函数f（x）在区间[0，４]上的值域是[f（１），f（４）]，即[—（a＋２）e，（２a＋１３）e４]．又g（x）＝（a２＋１４）e x＋４在区间[0，４]上是增函数，且它在区间[0，４]上的值域是[（a２＋１４）e４，（a２＋１４）e8]，∴（a２＋１４）e４—（２a＋１３）e４＝（a２—２a＋１）e４＝（a—１）２e４≥0，∴存在ξ１、ξ２∈[0，４]使得|f（ξ１）—g（ξ２）|＜１成立只须（a２＋１４）e４—（２a＋１３）e ４＜１（a—１）２e４＜１（a—１）２＜错误!１—错误!＜a＜１＋错误!.错误!已知函数f（x）＝ax３＋bx２—３x（a、b∈R）在点x＝—１处取得极大值为２．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若对于区间[—２，２]上任意两个自变量的值x１、x２，都有|f（x１）—f（x２）|≤c，求实数c的最小值．解：（１）f′（x）＝３ax２＋２bx—３．由题意，得错误!即错误!解得错误!所以f（x）＝x３—３x.（２）令f′（x）＝0，即３x２—３＝0，得x＝±１．（—２，—x—２—１（—１，１）１（１，２）２１）f′（x）＋—＋f（x）—２增极大值减极小值增２因为f（—１）＝２，f（１）＝—２，所以当x∈[—２，２]时，f（x）max＝２，f（x）min＝—２．则对于区间[—２，２]上任意两个自变量的值x１、x２，都有|f（x１）—f（x２）|≤|f（x）max—f（x）|＝４，所以c≥４．min所以c的最小值为４．题型３导数在实际问题中的应用例３请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.（１）某广告商要求包装盒侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？（２）某厂商要求包装盒容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：（１）S＝60２—４x２—（60—２x）２＝２４0x—8x２（0<x<３0），所以x＝１５cm时侧面积最大．（２）V＝（错误!x）２错误!（60—２x）＝２错误!x２（３0—x）（0<x<３0），所以V′＝6错误!x（２0—x），令V′＝0，得x＝２0，当0<x<２0时，V递增；当２0<x<３0时，V递减．所以，当x＝２0时，V最大，此时，包装盒的高与底面边长的比值为错误!＝错误!.错误!某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩（包括两端的桥墩）．经预测，一个桥墩的费用为２５6万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为（１＋错误!）x万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y万元．（１）试写出y关于x的函数关系式；（２）当m＝１２80米时，需要新建多少个桥墩才能使y最小？解：根据题意，需要建错误!个桥墩和错误!段桥面工程．（１）y＝２５6错误!＋错误!（１＋错误!）x＝m错误!＋m＋２５6错误!.（２）当m＝１２80时，y＝１２80错误!＋１５３6，y′＝１２80错误!，令y′＝0，得x＝6４，当0<x<6４时，y′<0；当x>6４时，y′>0．所以当x＝6４时，y有最小值１6 896，此时要建２１个桥墩．答：需要建２１个桥墩才能使y最小．【示例】（本题模拟高考评分标准，满分１４分）已知函数f（x）＝lnx—ax（a∈R）．（１）求函数f（x）的单调区间；（２）当a>0时，求函数f（x）在[１，２]上的最小值．审题引导：１知函数解析式求单调区间，实质是求f′（x）>0，f′（x）<0的解区间，并注意定义域；２先研究f（x）在[１，２]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值；３由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．规范解答：解：（１）f′（x）＝错误!—a（x>0）．（１分）１当a≤0时，f′（x）＝错误!—a≥0，即函数f（x）的单调增区间是（0，＋∞）．（３分）２当a>0时，令f′（x）＝错误!—a＝0，得x＝错误!，当0<x<错误!时，f′（x）＝错误!>0，当x>错误!时，f′（x）＝错误!<0，所以函数f（x）的单调增区间是错误!，单调减区间是错误!.（6分）（２）１当错误!≤１，即a≥１时，函数f（x）在区间[１，２]上是减函数，所以f（x）的最小值是f（２）＝ln２—２a.（8分）２当错误!≥２，即0<a≤错误!时，函数f（x）在区间[１，２]上是增函数，所以f（x）的最小值是f（１）＝—Ａ．（１0分）３当１<错误!<２，即错误!<a<１时，函数f（x）在区间错误!上是增函数，在区间错误!上是减函数，又f（２）—f（１）＝ln２—a，所以当错误!<a<ln２时，最小值是f（１）＝—a；当ln２≤a<１时，最小值是f（２）＝ln２—２a.（１２分）综上可知，当0<a<ln２时，最小值是—a；当a≥ln２时，最小值是ln２—２a.（１４分）１．（２0１３·新课标Ⅱ）若存在正数x使２x（x—a）<１成立，则a的取值范围是________．答案：（—１，＋∞）解析：因为２x（x—a）<１，所以a>x—错误!，令f（x）＝x—错误!，所以f′（x）＝１＋２—x ln２>0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）>f（0）＝0—１＝—１，所以a的取值范围是（—１，＋∞）．２．（２0１３·大纲）若函数f（x）＝x２＋ax＋错误!在错误!上是增函数，则a的取值范围是________．答案：a≥３解析：f′（x）＝２x＋a—错误!≥0在错误!上恒成立，即a≥错误!—２x在错误!上恒成立．令g（x）＝错误!—２x，求导可得g（x）在错误!上的最大值为３，所以a≥３．３．（２0１３·扬州期末）已知函数f（x）＝lnx—错误!（m∈R）在区间[１，e]上取得最小值４，则m＝________．答案：—３e解析：f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!，令f′（x）＝0，则x＝—m，且当x<—m时，f′（x）<0，f （x）单调递减，当x>—m时，f′（x）>0，f（x）单调递增．若—m≤１，即m≥—１时，f（x）min＝f （１）＝—m≤１，不可能等于４；若１<—m≤e，即—e≤m<—１时，f（x）min＝f（—m）＝ln（—m）＋１，令ln（—m）＋１＝４，得m＝—e３（—e，—１）；若—m>e，即m<—e时，f（x）min＝f （e）＝１—错误!，令１—错误!＝４，得m＝—３e，符合题意．综上所述，m＝—３e.４．（２0１３·南京二模）设函数f（x）＝x２—（a—２）x—alnx.（１）求函数f（x）的单调区间；（２）若函数f（x）有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（３）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x１、x２，求证：f′错误!>0．（１）解：f′（x）＝２x—（a—２）—错误!＝错误!＝错误!（x>0）．当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调增区间为（0，＋∞）．当a>0时，由f′（x）>0，得x>错误!；由f′（x）<0，得0<x<错误!.所以函数f（x）的单调增区间为错误!，单调减区间为错误!.（２）解：由（１）得，若函数f（x）有两个零点，则a>0，且f（x）的最小值f错误!<0，即—a ２＋４a—４aln错误!<0．因为a>0，所以a＋４ln错误!—４>0．令h（a）＝a＋４ln错误!—４，显然h（a）在（0，＋∞）上为增函数，且h（２）＝—２<0，h（３）＝４ln错误!—１＝ln错误!—１>0，所以存在a0∈（２，３），h（a0）＝0．当a>a0时，h（a）>0；当0<a<a0时，h（a）<0．所以满足条件的最小正整数a＝３．又当a＝３时，f（３）＝３（２—ln３）>0，f（１）＝0，所以a＝３时，f（x）有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为３．（３）证明：因为x１、x２是方程f（x）＝c的两个不等实根，由（１）知a>0．不妨设0<x１<x２，则x错误!—（a—２）x１—alnx１＝c，x错误!—（a—２）x２—alnx２＝Ｃ．两式相减得x错误!—（a—２）x１—alnx１—x错误!＋（a—２）·x２＋alnx２＝0，即x错误!＋２x１—x错误!—２x２＝ax１＋alnx１—ax２—alnx２＝a（x１＋lnx１—x２—lnx２）．所以a＝错误!.因为f′错误!＝0，当x∈错误!时，f′（x）<0，当x∈错误!时，f′（x）>0，故只要证错误!>错误!即可，即证明x１＋x２>错误!，即证明x错误!—x错误!＋（x１＋x２）（lnx１—lnx２）<x错误!＋２x１—x错误!—２x２，即证明ln错误!<错误!.设t＝错误!（0<t<１）．令g（t）＝lnt—错误!，则g′（t）＝错误!—错误!＝错误!.因为t>0，所以g′（t）≥0，当且仅当t＝１时，g′（t）＝0，所以g（t）在（0，＋∞）上是增函数．又g（１）＝0，所以当t∈（0，１），g（t）<0总成立．所以原题得证．１．如果关于x的方程ax＋错误!＝３在区间（0，＋∞）上有且仅有一个解，那么实数a的取值范围为________．答案：a≤0或a＝２解析：由ax＋错误!＝３，得a＝错误!—错误!.令t＝错误!，则f（t）＝３t—t３，t∈（0，＋∞）．用导数研究f（t）的图象，得f max（t）＝２，当x∈（0，１）时，f（t）递增，当x∈（１，＋∞）时，f（t）递减，所以a≤0或a＝２．２．已知函数f（x）＝lnx—错误!，若函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，则a的取值范围是________．答案：a≤２解析：f′（x）＝错误!≥0在（0，＋∞）上恒成立，易得a≤２．３．设直线y＝a分别与曲线y２＝x和y＝e x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为________．答案：错误!解析：由题意，M（a２，a），N（lna，a），故MN的长l＝|a２—lna|＝a２—lna（a>0），由l′＝２a—错误!＝错误!＝错误!，令l′>0，得l＝a２—lna在错误!上单调递增；令l′<0，得l＝a２—lna在错误!上单调递减，所以当a＝错误!时，线段MN的长取得极小值，也是最小值．４．已知函数f（x）＝（ax２＋x）e x，其中e是自然数的底数，a∈R.（１）当a<0时，解不等式f（x）>0；（２）若f（x）在[—１，１]上是单调函数，求a的取值范围；（３）当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f（x）＝x＋２在[k，k＋１]上有解．解：（１）因为e x>0，所以不等式f（x）>0即为ax２＋x>0．又a<0，所以不等式可化为x错误!<0，所以不等式f（x）>0的解集为错误!.（２）f′（x）＝（２ax＋１）e x＋（ax２＋x）e x＝[ax２＋（２a＋１）x＋１]e x，１当a＝0时，f′（x）＝（x＋１）e x，f′（x）≥0在[—１，１]上恒成立，当且仅当x＝—１时取等号，故a＝0符合要求；２当a≠0时，令g（x）＝ax２＋（２a＋１）x＋１，因为Δ＝（２a＋１）２—４a＝４a２＋１>0，所以g（x）＝0有两个不相等的实数根x１、x２，不妨设x１>x２，因此f（x）有极大值又有极小值．若a>0，因为g（—１）·g（0）＝—a<0，所以f（x）在（—１，１）内有极值点，故f（x）在[—１，１]上不单调．若a<0，可知x１>0>x２，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[—１，１]上单调，因为g（0）＝１>0，必须满足错误!即错误!所以—错误!≤a≤0．综上可知，a的取值范围是错误!.（３）当a＝0时，方程即为xe x＝x＋２，由于e x>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x—错误!—１＝0．令h（x）＝e x—错误!—１，因为h′（x）＝e x＋错误!>0对于x∈（—∞，0）∪（0，＋∞）恒成立，所以h（x）在（—∞，0）和（0，＋∞）内是单调增函数，又h（１）＝e—３<0，h（２）＝e２—２>0，h（—３）＝e—３—错误!<0，h（—２）＝e—２>0，所以方程f（x）＝x＋２有且只有两个实数根，且分别在区间[１，２]和[—３，—２]上，所以整数k的所有值为{—３，１}．１．在已知函数f（x）是增函数（或减函数），求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′（x）不恒为0，则参数范围确定．２．理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．３．用导数求解实际问题中的最大（小）值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．请使用课时训练（A）第１２课时（见活页）．[备课札记]。

导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。

在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。

切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。

利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。

2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。

在函数的极值点上，导数等于零。

根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。

此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。

3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。

4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。

通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。

5.近似计算：导数还可以用于近似计算。

在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。

通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。

总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。

通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。

导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． 3．函数的极大值在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值． 4．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．二、自我查验1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.函数ln xy x=的最大值为（ ） A ．1e - B ．e C ．2e D ．103【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．考点二 利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R . （1）当1a =时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间.【变式训练2】(2011·安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数.当a ＝43时，求f (x )的极值点；考点三 利用导函数求函数最值问题【例3】已知a 为实数，.（1）求导数； （2）若，求在[]2,2-上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数ln y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．](1,1- B ．)(0,+∞ C ．[)1,+∞ D ．](0,1()))(4(2a x x x f --=()xf '()01=-'f ()x f2.函数()e x f x x -=的单调递减区间是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞ 3.函数()()3e x f x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()0,3 B ．()1,4C ．()2,+∞D ．(),2-∞4.设函数()2ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为()f x 的极小值点5．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．5 D ．6【复习与巩固】A 组 夯实基础一、选择题1．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f c f d >>B ．()()()f b f a f e >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f e f d >>2.函数()2ln f x x a x =+在1x =处取得极值，则a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3.函数()e xf x x =-（e 为自然对数的底数）在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.1B.1C.e ＋1D.e －1二、填空题4.若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，则实数m 的取值范围是________________．5.若函数()23exx axf x +=在0x =处取得极值，则a 的值为_________. 6.函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是_____________. 三、解答题 7.已知函数()21ln ,2f x x x =-求函数()f x 的单调区间8.已知函数(),1ln xf x ax x x=+>． （1）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若2a =，求函数()f x 的极小值.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数()213ln 22f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1a a -+内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.若函数32y x ax a =-+在()0,1内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.若函数()3232f x x x a =-+在[]1,1-上有最大值3，则该函数在[]1,1-上的最小值是（ ） A ． B ．0 C ．D ．1二、填空题4．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题7．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )．(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围；(2)求g (x )的最大值．12-128．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(其中k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当k∈[0，＋∞)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点．《导数在研究函数中的应用》标准答案一．自主归纳1.（1）f ′(x )>0 （2）f ′(x )<0 （3）f ′(x )＝0 3. 小于 4. 大于 极值 5.不超过 不小于 二．自我查验1.解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2.解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞3.解析：导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，故选A.答案：A4.解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.答案：D5..A 当(0,e)x ∈时函数单调递增，当(e,)x ∈+∞时函数单调递减， A. 三．典型例题【例题1】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．【变式训练1】（1）当1a =时，()322f x x x x =+-+，∴()2321f x x x '=+-， ∴切线斜率为()14k f '==，又()13f =，∴切点坐标为()1,3，∴所求切线方程为()341y x -=-，即410x y --=．（2）()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-，由()0f x '=，得x a =-或3ax =.0,.3a a a >∴>-Q 由()0f x '>，得x a <-或3a x >，由()0f x '<，得.3aa x -<<∴函数()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【例题2】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()()1110xf x x x x-'=-=>， 令()0f x '>，解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增； 令()0f x '<，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减； 所以当1x =时取极大值，极大值为()12f =，无极小值. （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，1()0f x a x'=->在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，解得1x a >，所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【变式训练2】解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax 1＋ax 22. 当a ＝43时，若f ′(x )＝0， 则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x (－∞，12) 12 (12，32) 32 (32，＋∞) f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点.【例题3】1）.（2）由得，故， 则43x =或，由，，41641205504.39329627f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故，.【变式训练3】1）当0a ≥时，函数()e 20x f x a '=+>，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()e 2x f x a '=+，令e 20x a +=，得ln(2)x a =-，所以当(,ln(2))x a ∈-∞-()423)4()(2'22--=-+-=ax x x a x x x f ()01=-'f 21=a 2421)21)(4()(232+--=--=x x x x x x f ()34,143'2=-=⇒--=x x x x x f 或0)2()2(==-f f 29)1(=-f 29)(max =x f 2750)(min -=x f时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()e 20x f x ax =+>，不符合题意. 当0a <时，()f x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增.①当ln(2)1a -≤()f x 最小值为(1)2e f a =+.解2e 0a +=，得.②当ln(2)1a ->()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-，解22ln(2)0a a a -+-=，得2ea =-，不符合题意.应用体验： 1.D【解析】函数的定义域为)(0,+∞，令1110x y x x-'=-=≤，解得](0,1x ∈，又0x >，所以](0,1x ∈，故选D. 考点：求函数的单调区间. 2.A【解析】导数为()()()e e 1e x x x f x x x ---'=+⋅-=-，令()0f x '<，得1x >，所以减区间为()1,+∞.考点：利用导数求函数的单调区间． 3.C【解析】()()()e 3e e 2x x x f x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． 4.【解析】()22212x f x x x x-'=-+=，由()0f x '=得2x =，又函数定义域为()0,+∞，当02x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，()f x 递增，因此2x =是函数()f x 的极小值点．故选D ． 考点：函数的极值点． 5.D【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-Q ，令()0,f x '= 可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==. 考点：函数的导数与极值. 复习与巩固 A 组 1.C【解析】由()f x '图象可知函数()f x 在(),c -∞上单调递增，在(),c e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，又(),,,a b c c ∈-∞，且a b c <<，故()()()f c f b f a >>． 考点：利用导数求函数单调性并比较大小． 2.B【解析】()2a f x x x '=+，由题意可得()121201af a '=⨯+=+=，2a ∴=-.故选B.考点：极值点问题. 3.D【解析】()e 1x f x '=-，令()0,f x '=得0x =.又()()()010e 01,1e 11,111,e f f f =-==->-=+>且11e 11e 2e e ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭＝2e 2e 10e--=>，所以()()max 1e 1,f x f ==-故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得()0f x '≥在R 上恒成立，则()2320f x x x m '=++≥，即232m x x ≥--恒成立.令()232g x x x =--，则()max m g x ≥⎡⎤⎣⎦，因为()g x232x x =--为R 上的二次函数，所以()2max11333g x g ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭11233⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.5.0【解析】()()()()()2226e 3e 36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==， 由题意得()00f a '==． 考点：导数与极值． 6.1【解析】因为()e 1x f x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=.考点：函数的最值与导数.7.【解析】()21ln 2f x x x =-的定义域为()0,+∞，()211x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，则1x =或1-（舍去）.∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 递增， ∴()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,+∞．考点：利用导数求函数的单调区间． 8.（1）14a ≤-（2）【解析】（1）函数(),1ln x f x ax x x =+>，则()2ln 1ln x f x a x-'=+，由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立，∴2211111ln ln ln 24a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭， ∵()1,x ∈+∞，()ln 0,,x ∴∈+∞021ln 1=-∴x 时，函数2111ln 24t x ⎛⎫=--⎪⎝⎭取最小值41-，41-≤∴a ，（2）当2a =时，()2ln x f x x x =+，()22ln 12ln ln x x f x x -+'=， 令()0f x '=，得22ln ln 10x x +-=，解得21ln =x 或ln 1x =-（舍去），即x =当1x <<()0f x '<，当x >()0f x '>， ∴()f x的极小值为f =.B 组 1.D【解析】因为函数()213ln 22f x x x =-+在区间()1,1a a -+上不单调，所以()2141222x f x x x x-'=-=在区间()1,1a a -+上有零点，由()0f x '=，得12x =，则10,111,2a a a -≥⎧⎪⎨-<<+⎪⎩得312a ≤<，故选D ． 考点：函数的单调性与导数的关系．2.C【解析】232y x a '=-，①当0a ≤时，0y '≥，所以32y x ax a =-+在()0,1上单调递增，在()0,1内无极值，所以0a ≤符合题意；②当0a >时，令0y '=，即2320x a -=，解得12,33x x =-=，当,x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，0y '>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<，所以32y x ax a =-+的单调递增区间为,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为⎛ ⎝⎭，当x =数取得极大值，当x =原函数取得极小值，要满足原函数在()0,1内无极值，1≥，解得32a ≥.综合①②得，a 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U ，故选C.考点：导函数，分类讨论思想. 3.C【解析】()()23331f x x x x x '=-=-，当()0f x '>时，1>x 或0<x ，当()0f x '<时，10<<x ，所以()f x 在区间[]1,0-上函数递增，在区间[]1,0上函数递减，所以当0=x 时，函数取得最大值()30==a f ，则()32332f x x x =-+，所以()211=-f ，()251=f ，所以最小值是()211=-f ． 考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0得x 1＝a3，x 2＝a .又∵x 1<2<x 2，∴⎩⎨⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)6.解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)7.解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)．因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)g ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋2ln x －x ，由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.8.解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：0]，[ln 2，＋∞)．f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①若k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e 2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．②若k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞，则f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上单调递增．f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ，g ″(t )＝e t －2，∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g(t)>g(2)＝e2－4>0.∴f(k＋1)>0.∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．。