精选高一数学下学期期初考试试题理

2021-2022学年吉林省四平市高一下学期期初验收考试数学试题一、单选题1．已知集合， ，则=（ ）{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<A B ⋃A ．B ．{}|13x x <≤{}|04x x ≤<C ．D ．{}|13x x ≤≤{}|04x x <<【答案】B【分析】利用并集的概念求解即可.【详解】由， ，{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<则=.A B ⋃{}|04x x ≤<故选：B2．是的2x >220x x ->A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性．220x x ->【详解】由解得：或，，220x x ->0x <2x >{}{}202x x x x x ⊂>≠ 或因此，是的充分不必要条件，故选A ．2x >220x x ->【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1），则“”是“”的充分不必要条件；A B x A ∈x B ∈（2），则“”是“”的必要不充分条件；A Bx A ∈x B ∈（3），则“”是“”的充要条件．A B =x A ∈x B ∈3．已知函数则（ ）()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()2f f -=A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D【分析】先根据分段函数求出，再根据分段函数，即可求出结果.()2f -【详解】因为，()21224f --==所以.()()12112log 244f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭故选：D.4．函数的零点所在区间是（ ）()212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【分析】根据解析式，结合指数函数、幂函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性定()f x 理判断零点所在区间.【详解】由递增，递增，则递增，又递增，2y x =-1()2xy =-21()2x y -=-y =∴在定义域上递增，()212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭又，，()1111102f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭()210f =>∴零点所在区间是.()1,2故选：B.5．设，，，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ）2log 0.5a =0.5log 0.2b =122c =A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<b a c<<b<c<a【答案】B【分析】由指对数函数的单调性判断a ，b ，c 三个数的大小.【详解】由，120.50.522log 0.5log 10122log 0.25log 0.2c a b =<=<==<=<<∴.a c b <<故选：B.6．函数的部分图象可能是（ ）()e e sin x x y x-=-A ．B ．C．D．【答案】B【分析】根据函数解析式，由奇偶性定义判断函数的对称性，再由上的函数值符号确定可()0,πx ∈能图象.【详解】令，则且定义()y f x =()()1()e e sin()(e )sin (e e )sin ()e x x x x x xf x x x x f x -----=--=--=-=域为R ，易知：该函数是偶函数，排除A ，C ；当时，，排除D.()0,πx ∈()0f x >故选：B ．7．2021年，我国先后发射天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站—“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设.“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为（ ）千米.（参考数据）3.14π≈A ．471.70B ．450.67C ．235.85D ．225.33【答案】A【分析】由题设以千米为轨道半径计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间即可.(388.66371.4)+【详解】由题设，“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为千米.()2388.66371.426760 3.14471.709090π⨯+⨯⨯≈=故选：A.8．已知则（ ）412cos ,cos ,,0,,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos()αβ+=A ．B ．C ．D ．1665336556656365【答案】D【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭式展开代入即可求出cos （α+β）．【详解】∵412cos ,cos ,,0,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴(,),(,0)66366πππππαβ+∈-∈-∴，sin 0sin 066ππαβ⎛⎫⎛⎫+>-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴，35sin sin 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+==-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()cos cos 66ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．4123563cos cos sin sin ()666651351365ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+=⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若，，则B ．若且，则a b >c d <a c b d ->-0ab >a b >11a b<C ．若，，则D ．若，则0a b >>0c d <<ac bd <0a b <<22a ab b<<【答案】ABC【分析】A 、C 、D 应用不等式性质即可判断真假；B 应用作差法，结合不等式性质判断真假.【详解】A ：由题设，且，则，真命题；a b >c d ->-a c b d ->-B ：由且，则，真命题；0ab >a b >110b aa b ab --=<C ：由，，则，即，真命题；0a b >>0c d ->->ac bd ->-ac bd <D ：由，则，假命题.0a b ->->22a ab b >>故选：ABC.10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）．()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数的定义域为()f x 12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．函数的最小正周期为()f x 4T =C ．函数的单调递增区间为，()f x 12π,2π33k k 5⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k ∈Z D ．函数的对称中心为，()f x 2,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 【答案】AD【分析】利用整体代入法，由正切函数的定义域可判断A ；由三角函数的周期公式可判断B ；由正切函数的单调区间可判断C ；由正切函数的对称中心可判断D.【详解】由得，πππ232π+≠+x k ()12,3≠+∈x k k Z 所以函数的定义域为，故A 正确；()f x 12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 函数的最小正周期为，故B 错误；()f x 22T ππ==由得，ππ2232ππππ-+<+<+k x k ()512233-+<<+∈k x k k Z 函数的单调递增区间为，故C 错误；()f x 12,2335⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k k k ∈Z 由得,πππ232+=x k ()23=-∈x k k Z 所以函数的对称中心为，故D 正确.()f x 2,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 故选：AD.11．已知，且满足，，则下列说法正确的是（ ）()0,θπ∈12sin cos 25θθ⋅=-sin cos θθ>A ．B ．C ．D ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4tan 3θ=-4tan 3θ=1sin cos 5θθ+=【答案】ABD【分析】由于，且满足，可得，再结合，()0,θπ∈12sin cos 025θθ⋅=-<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1θθ+=可求出的值，进而可求出的值sin ,cos θθtan θ【详解】因为，且满足，可得，所以A 正确，()0,θπ∈12sin cos 025θθ⋅=-<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，22sin cos 1θθ+=所以，22241sin cos 2sin cos 12525θθθθ++=-=，222449sin cos 2sin cos 12525θθθθ+-=+=所以，，()21sin cos 25θθ+=()249sin cos 25θθ-=因为，，sin cos θθ>sin 0,cos 0θθ><所以，，所以D 正确，1sin cos 5θθ+=7sin cos 5θθ-=所以解得，43sin ,cos 55θθ==-所以，所以B 正确，C 错误，sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD 12．函数的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，，设函数[]y x =[]1.11=[]2.32=则下列说法正确的是（ ）()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩A ．函数的值域为()f x (],0-∞B ．若，则0x ≥()0f x ⎡⎤=⎣⎦C ．方程有无数个实数根()1f x =D ．若方程有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是()f x x a=-+[)0,∞+【答案】BD【分析】由题意可知，当时，，所以，作出函数[),1,x n n n N∈+∈[]x n =()[]f x x x x n =-=-和的图象，由图象即可判断A ，B ，C 是否正确；在同一直角坐标系中作出函数()f x 1y =和函数的图象，由图象即可判断D 是否正确.()y f x =y x a =-+【详解】当时，，所以；[)0,1x ∈[]0x =()[]f x x x x =-=当时，，所以；[)1,2x ∈[]1x =()[]1f x x x x =-=-当时，，所以；[)2,3x ∈[]2x =()[]2f x x x x =-=-当时，，所以；[)3,4x ∈[]3x =()[]3f x x x x =-=-……当时，，所以；[),1,x n n n ∈+∈N[]x n =()[]f x x x x n =-=-作出函数的图形，如下图所示：()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩由图像可知，函数的值域为，故A 错误；()f x (),1∞-由图像可知，若，则，所以，故B 正确；0x ≥()[)0,1f x ∈()0f x ⎡⎤=⎣⎦由图像可知，函数与没有交点，所以方程无实数根，故C 错误；()f x 1y =()1f x =在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：()y f x =y x a =-+由图像可知，若方程有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是，故D 正()f x x a=-+[)0,+∞确.故选：BD.三、填空题13．命题“，”的否定是___________.R x ∃∈210x x -+>【答案】，R x ∀∈210x x -+≤【分析】由特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可写出否定形式.【详解】由特称命题的否定为全称命题，∴原命题的否定为：“，”.R x ∀∈210x x -+≤故答案为：，.R x ∀∈210x x -+≤14．在平面直角坐标系中，已知角的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点，则xOy θ()1,2P -___________.sin θ=【分析】利用终边上的点坐标，结合正弦函数的定义求值.sin θ【详解】由题设，sin θ==.15．已知是奇函数，当时，，则___________.()y f x =0x ≥()()83f x x m m R =+∈()8f -=【答案】256-【分析】先由奇函数的性质求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求得结果(0)0f =m 【详解】因为是奇函数，当时，，()y f x =0x ≥()()83f x x m m R =+∈所以，得，83(0)00f m =+=0m =所以，，()83f x x=0x ≥因为是奇函数()y f x =所以，()8838(8)82256f f -=-=-=-=-故答案为：256-16．已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数在区间上单调递()kf x x x =+0k >()f x (减，在区间上单调递增，若函数的值域为，则实数a 的取值范围∞+）()11a y x x x -=+≥[),a +∞是___________.【答案】(,2]-∞【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当的大小关系，结合1a ≤1a >的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.()kf x x x =+[1,)+∞【详解】1、当时，在上递增，故，满足题设；10a -≤1a y x x -=+[1,)+∞1|x y a ==2、当，即，10a ->1a >，即时，函数在上递减，在上递增，故，1≥2a ≥)+∞|x y a=可得；2a =，即时，函数在上递增，故，满足题设；1<12a <<[1,)+∞1|x y a ==综上，.(,2]a ∈-∞故答案为：.(,2]-∞【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并根据的性质，结合目标函数的解析式及值域()kf x x x =+研究单调性及最值，即可求参数范围.四、解答题17．已知全集为R ，集合，或.{}12A x x =≤≤{B x x m =<}21,0x m m >+>(1)当时，求；2m =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围.R A B ⊆ m 【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；2m =B （2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可.R B R A B ⊆ 1221m m ≤⎧⎨≤+⎩【详解】（1）解：当时，或，2m ={2B x x =<}5x >又，所以；{}12A x x =≤≤{}12A B x x ⋂=≤<（2）因为或，所以，{B x x m=<}21,0x m m >+>{}R 21B x m x m =≤≤+又，所以，解得，即.R A B ⊆ 1221m m ≤⎧⎨≤+⎩112m ≤≤1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以实数m 的取值范围.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．已知.()()()()()sin cos sin 23sin cos 2tan 2f παπαααπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若，求的值.133f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭22cos cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)；()cos αα=f (2).59【分析】（1）利用诱导公式化简即可.()f α（2）由题设有，又、，再由诱导公式、同角1cos()33πα-=()326πππαα-=-+2()33ππαπα+=--三角函数的平方关系求目标式的值.【详解】（1）.()()()()()sin cos sin cos (cos )(sin )2cos 3cos cos (tan )sin cos 2tan 2f παπαααααααπααααπαπα⎛⎫++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭===-⋅⋅-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）由，1cos()333f ππαα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭又，1cos()cos[()]sin()32663ππππααα-=-+=+=，21cos cos[()]cos()3333πππαπαα⎛⎫+=--=--=-⎪⎝⎭π1cos 33α⎛⎫∴-=⎪⎝⎭∴.2225cos cos 1sin cos()63639ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．已知函数（且）．()221f x ax x a =-+-a R ∈0a ≠(1)若函数在区间内为单调函数，求实数的取值范围；()f x []0,1a(2)若，解关于的不等式．0a >x ()()1f x a a x>+【答案】(1)或a<0102a <≤(2)()1,1,a a ⎛⎫-∞++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用二次函数的单调性可得出或，解之即可；102a <112a ≥（2）将所求不等式变形为，比较与的大小关系，利用二次不等式的解()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1a a +1法解原不等式即可.【详解】（1）解：由题设，二次函数的对称轴为且，()f x 12x a =0a ≠所以要使在内为单调函数，则或，解得或．()f x []0,1102a <112a ≥a<0102a <≤因此，实数的取值范围是.a ()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦（2）解：由题设，，()()2221f x ax x a a a x=-++>+所以，()()22211110ax a a x a a x a x a ⎛⎫-++++=---> ⎪⎝⎭由，则，当且仅当时等号成立，所以．0a >12a a +≥=1a =11a a +>解可得或，()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1x <1x a a >+故原不等式的解集为.()1,1,a a ⎛⎫-∞++∞ ⎪⎝⎭ 20．已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式及其对称轴方程；()f x (2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围和这两个根的1111212x ππ<<()2f x m =m 和．【答案】(1)，的对称轴方程为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 1,26x k k Z ππ=+∈(2)的取值范围为： ；当时，两根和为； 时，m 10m -<<1m <<10m -<<43π1m <<两根和为3π【分析】（1）由最值点可得，由可得，由可得；令2A =()01f =6πϕ=2332ππωϕ⨯+=2ω=，可得对称轴方程.2,62x k k Zπππ+=+∈（2）在同一坐标系中画出和的图象，由图可知，当或2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y 2m =220m -<<时，直线与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根.结合三角函22m <<y 2m =数的对称性，分两种情况讨论即可得结果.【详解】（1）显然，又图象过点，即2A =()0,1()01f =所以又，所以 1sin ,2ϕ=2πϕ<6πϕ=由图象结合“五点法”可知，对应函数图象的点，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,即得＝22332ππωϕ⨯+=23326πππω⨯=-ω所以所求的函数的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2,62x k k Z πππ+=+∈1,26x k k Zππ=+∈所以的对称轴方程为()f x 1,26x k k Z ππ=+∈（2）如图所示，在同一坐标系中画出和（）的图象，2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y m =m R ∈由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点，220m -<<22m <<2y m =即原方程有两个不同的实数根.，则的取值范围为：m 10m -<<1m <<当时，两根和为; 时，两根和为10m -<<43π1m <3π21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为24，三月底测得该水生植物的面积为40，2m k 2m 2m 该水生植物的面积y （单位：）与时间x （单位月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同2m 学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2021年元旦()0,1xy ka k a =>>()130,0y px k p k =+>>最初测量时间x 的值为0.(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，）lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)同学甲提出的函数模型更适合，解析式为，2165253xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(2)6【分析】（1）由于三月份面积增量快是二月份的2倍，所以选择，然后利用待()0,1x y ka k a =>>定系数法求解即可，（2）假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则由题意得x ，化简后两边取常用对数可求得结果21652161025315x⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适，()0,1x y ka k a =>>由题意得，解得，232440kaka ⎧=⎨=⎩5321625a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，2165253xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为，216521625315⨯=假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即x ，21652161025315x⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭所以，55033x⎛⎫≥⎪⎝⎭所以，55lg 1lg33x ≥+因为，所以，5lg 03>1111 5.551lg 2lg 3lg 3x ≥+=+≈--所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上22．已知函数为偶函数.()()()3log 31R x f x kx k =++∈(1)求实数k 的值；(2)若方程有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围.()()()31log 3R 2x f x x a a a =+⋅-∈【答案】(1)；12k =-(2).{3(0,)--⋃+∞【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.（2）由题设可得，有且仅有一个实数根，讨论、，结(31)0xa ->23(1)310x x a a ⋅-+-=0a >a<0合指数函数、二次函数的性质求参数范围.【详解】（1）由题设，，即，()()f x f x -=33log (31)log (31)x xkx kx --++=++∴，可得，则.32log 3xkx x -==-21k =-12k =-（2）由题设，，则，()33log (31)log 322x x x xa a -++=+⋅-33log (31)log (31)x xx a +=+-∴，且，整理得，(31)0xa ->2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-23(1)310x x a a ⋅-+-=令，则有且仅有一个零点，，，3xt =2()(1)1g t at a t =-+-(0)10g =-<(1)20g =-<当时，， 此时，且开口向上，0a >0x >(1,)t ∈+∞()g t ∴在上有且仅有一个零点；()g t (1,)+∞当时，，此时，且开口向下且对称轴，a<00x <(0,1)t ∈()g t 11(1)2x a =+∴，即时，仅当，可得符合条件；1012a <+<1a <-22(1)4610a a a a ∆=++=++=3a =--，即时，在上无零点.110a +<10a -<<()g t (0,1)综上，.{3(0,)a ∈--⋃+∞【点睛】关键点点睛：第二问，注意，讨论、对应定义域区间不同，另外结(31)0xa ->0a >a<0合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。

2019-2020年高一下学期期初考试数学试题一、填空题1．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P 为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是90度．2．（3分）已知向量，若，则x=1．3．（3分）某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论：他任意时间打开电视看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有6分钟插播广告．4．（3分）已知集合A={a1，a2，a3，…a n}，记和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数为M （A）．如当A={1，2，3，4}时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．对于集合B={b1，b2，b3，…，b n}，若实数b1，b2，b3，…，b n成等差数列，则M（B）=2n﹣3．5．（3分）（xx•烟台二模）已知实数x，y满足，则的最大值为2．6．（3分）定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4=14．7．（3分）（xx•黄浦区一模）若0＜α＜＜β＜π，sinα=，sin（α+β）=，则cosβ=．8．（3分）（xx•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．9．（3分）若f（x）=x3+2，则过点P（1，3）的切线方程为3x﹣y=0或3x﹣4y+9=0．10．（3分）（xx•珠海二模）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表．为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因2这种判断出错的可能性最高为5%．11．（3分）定义：，若复数z满足，则z=1+i．12．（3分）如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A'GF⊥平面BCED；③三棱锥A'﹣FED的体积有最大值；④面直线A'E与BD不可能垂直．其中正确的命题的序号是①②③．13．（3分）点P（x，y）满足约束条件，目标函数z=2x+y+10的最小值是18．14．（3分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．二、解答题15．（12分）一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为，用随机变量X表示取2个球的总得分．（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；（Ⅱ）求X的分布列．16．（12分）一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：（1）求证：DA⊥PD；（2）若M为PB的中点，证明：直线CM∥平面PDA；（3）若PB=1，求三棱锥A﹣PDC的体积．17．（12分）设函数f（x）=（1+x）2+ln（1+x）2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣1，e﹣1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．18．（xx•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．（方法一）由题设知，则（方法一）由题设知，则19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x．（I）若a=3，求f（x）的单调区间；（II）已知x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且|x1+x2|≥|x1x2|，若恒成立，求实数b的取值范围．或20．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0经过椭圆的右焦点F及上顶点B．过点M（m，0）作倾斜角为的直线l交椭圆于C、D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m范围．＜。

南开实验学校第二学期期初考试高一数学(理科)本试卷共2页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

说明：1、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

3、答案必须写在答题卡上，收卷时只交答题卡。

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1.sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在2.已知角α的终边经过点(3,4)-，则sin()4πα+=( ) A ．725- B ． 1825- C ．1225- D．103.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.454.为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像( )A ．向右平移65π个长度单位 B ．向左平移65π个长度单位C ．向右平移125π个长度单位 D ．向左平移125π个长度单位 5.下列函数中，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝|tan x |C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝cos 2x6.已知函数f(x) = sin ωx+ 3sin(ωx + 2π) (ω＞0) 的最小正周期为π，则ω的值( )A. 1B. 2C. 12D. 327.已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )．A.π4B.3π4C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 8.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )．A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－1－ 59、若将函数xx x f cos 41sin 43)(-=的图象向右平移(0)m m π<<个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m =( )A ．65π B ．6π C ．32πD ．3π10 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 ( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π611.①α＝2k π＋π3(k ∈Z )则tan α＝ 3 ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形；④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．A 1.3.4B 1.2.3.C 2.3.4.D 1.2 4.12.已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( )A0,2⎡⎢⎣⎦B2⎡-⎢⎣⎦C1,22⎡⎢⎣⎦D1,22⎡-⎢⎣⎦二．填空题：本大题共4题，每题5分，共20分。

2021年高一下学期期初（4月）考试数学（理）试题含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 下列说法正确的是A.第二象限的角比第一象限的角大B.若，则C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2.给出下面四个命题：①；②；③；④其中正确的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个3．已知为第四象限角，且，则等于A. B. C. D.4. 在平行四边形，A. B. C. D.5．函数的一条对称轴可以是直线A．B．C．D．6.函数的单调递减区间为A．B．C．D．7.已知函数则的值为A． B． C． D．8．已知向量且∥，则A. B.﹣C．D．﹣9．若，化简A． B. C． D．10．在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中，则下列所给图象中可能正确的是A. B.C ． D.11.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向右平移 B ．向右平移 C.向左平移 D.向左平移 12.已知点是三角形内部一点，，则的面积与 的面积之比是A. B ．2 C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若一扇形的面积为80π，半径为20，则该扇形的圆心角为 ． 14．若 ，则 ．15. sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序为 ． 16．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分10分）(1)若已知，写出所有与终边相同的角的集合，并指出内的角； (2) 求值2233sintancos sintan cos sin tan 23624346ππππππππ++++ 18．（本小题满分12分）已知向量，．(1)求 ；(2) 若向量与平行，求的值． 19. （本小题满分12分）若函数，（1）求 的定义域和单调区间 （2）求方程的解集. 20. （本小题满分12分） 设函数 ，(1)求的最小正周期；对称轴方程和对称中心的坐标 (2)求 在区间 的最大值和最小值．21. （本小题满分12分） 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数的解析式； (2)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值. 22. （本小题满分12分）已知函数()cos 2(),(0,0,0)222A A f x x A πωϕωϕ=-+>><<的图象过点，相邻两条对称轴间的距离为2，且的最大值为2.（1）求的单调增区间 （2）计算；（3）设函数，试讨论函数在区间[1，4]上的零点情况.13. 72°（或）14. 15. sin4<sin3<sin1<sin2 16．17解(1)1152,,,,3333 S k k zππππββπ⎧⎫⎧⎫==+∈--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭(2)18（1）（2）∵∴∵向量与平行，∴解得：．19.（1）定义域为单调增区间（）（2）20. 解：（1）∵函数f(x)=2cos（﹣），故它的周期为=4π．对称轴方程为，对称中心坐标（（2）当x∈[0，2π]时，﹣∈[﹣，]，∴cos（﹣）∈[﹣，1]，故当﹣=时即x=2π，函数f（x）取得最小值为﹣1，当﹣=0时即x=，函数f（x）取得最大值为2．21.（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因为的对称中心为，.令，解得，.由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，. 由可知，当时，取得最小值.22．解：（1）22,4,02224TTTπππωωω==>∴==∴=，由于的最大值为2且A>0，∴所以即A=2∴，又函数的图象过点(1,2)则xcos 2()1sin 21422,,24024k k k Zπϕϕππϕπϕππϕπϕ+=-∴=∴=+=+∈<<∴=∴ 由得∴的单调增区间是（2）由（Ⅰ）知，∴的周期为4，而xx=4×504 且 ∴原式 （3）()()1cos()sin222g x f x m x m x m πππ=--=-+-=-函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象(如下图所示)，由图象可知: 1． 当或时，函数的图象与直线无公共点，即函数无零点； 2． 当或时，函数的图象与直线有一个公共点，即函数有一个零点； 3． 当时，函数的图象与 直线有两个公共点，即函数有两个零点.w22621 585D 塝28256 6E60 湠 73F0 珰38887 97E7 韧wUD23345 5B31 嬱-。

一、单选题1．已知R 是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣（ ）A ．B ． {43}xx -<≤∣{41}xx -<<∣C ． D ． {13}x x <≤∣{}4xx ≤-∣【答案】D【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，， {43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣由韦恩图知，阴影部分表示的集合是，而或，R ()ðA B R {|4A x x =≤-ð3}x >所以. {}R 4()x A B x =≤- ∣ð故选：D2．若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（ ） 12x ≤≤2x a ≤A ． B ． {|2}a a ≤{|4}a a ≥C ． D ．{|5}a a ≤{|5}a a ≥【答案】B【分析】由题意可得，然后求出的最大值即可.()2maxxa ≤()2maxx 【详解】因为对任意，有恒成立，12x ≤≤2x a ≤所以，()2maxxa ≤因为，所以， 12x ≤≤204x ≤≤所以， 4a ≥故选：B3．已知函数，则“”是“函数为奇函()()()[)()sin cos 0,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+++>∈34πϕ=()f x 数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先将函数化简为，根据三角函数奇偶性判断即可.()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【详解】根据题意；()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭先判断充分性，因为，所以，34πϕ=()()=f x x x ωπω=+所以函数为奇函数，故充分性成立；()f x再判断必要性，因为为奇函数，所以，()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()+4k k Z πϕπ=∈因为，所以当时，解得，符合题意；[)0,2ϕπ∈1k =34πϕ=当时，解得，符合题意，故必要性不成立. 2k =74πϕ=故选：A.4．已知函数，，的零点分别，，，则，，3()log 3f x x x =+()33x g x x =+3()3h x x x =+1x 2x 3x 1x 2x 3x 的大小关系为（ ） A ． B ．C ．D ．231x x x <<123x x x <<213x x x <<321x x x <<【答案】A【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．【详解】解：因为函数，，， 3()log 3f x x x =+()33x g x x =+3()3h x x x =+所以函数，，均为增函数，()f x ()g x ()h x 当时，恒成立，故的零点小于0，即，0x >()330x g x x =+>()g x 20x <当时，恒成立，当时，，所以，1x >3()log 30f x x x =+>13x =()0f x =113x =当时，，故， 0x =()0h x =30x =故． 231x x x <<故选：A ．5．设函数，已知在上有且仅有4个零点，且图象的对()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x []0,2π()f x 称中心为，则（ ）π,03⎛⎫⎪⎝⎭π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．BC ．D ．1212-【答案】B【分析】根据给定的零点个数求出的取值范围，再由对称性求出的值即可计算作答.ωω【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点， 02x π≤≤πππ2π333x ωω≤+≤+()f x []0,2π则有，解得，当时，，π4π2π5π3ω≤+<11763ω≤<π3x =17πππ10π18339ω≤+<而为图象的对称中心，于是得，解得，，π(,0)3()f x πππ33ω+=2ω=π()sin(2)3f x x =+所以. π2π()sin 63f ==故选：B6．函数的图像最有可能的是（ ）()2sin 2xf x x =A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据给定的函数，判断其奇偶性，再利用奇偶性及在上的零点个数判断作答. (0,π)【详解】函数的定义域为R ，，即函数是奇函()2sin 2xf x x =()2sin[2()]()xf x x f x --=-=-()f x 数，D 不正确；当时，由得：，而，因此，解得， 0πx <<()0f x =sin 20x =022πx <<2πx =π2x =于是得在上有且只有一个零点，B ，C 不正确，A 正确. ()f x (0,π)故选：A7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值x 240ax bx ++>()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭0m <4b a b +为（ ）A ．－4B ．4C ．5D ．8【答案】C【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函240ax bx ++>a b 4b a b +数的单调性求出它的最小值.【详解】由的解集为，240ax bx ++>()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭则，且，是方程的两根， 0a >m 4m240ax bx ++=由根与系数的关系知，444b m m am m a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得，，当且仅当时等号成立，1a =()44b m m ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭2m =-故， 设， 44b b a b b +=+()4f b b b=+()4b ³函数在上单调递增， ()f b [)4,b Î+¥所以 ()()min 44454f b f ==+=所以的最小值为5. 4ba b +故选：C8．设，，，，则（ ） sin 4a =5log 3b =lg 6c =1lg15d =A ． B ．C ．D ．b c d a <<<a b c d <<<a c d b <<<a d b c <<<【答案】B【分析】利用正弦函数性质可得，再利用对数函数结合“媒介“数及均值不等式即可比较作答. a<0【详解】因为，则， 3ππ42<<sin 40a =<，则，5lg 3lg 2(1lg 6)log 3(lg 2lg 3)061lg 21lg 2lg c b ⋅--=-=+-=>--5log 30c b >=>显然，，即， 0d >222lg 6lg1511lg 6lg15()(lg 90)(lg100)1222c d +=⋅<=<=c d <所以. a b c d <<<故选：B二、多选题9．下列选项中的函数是同一个函数的是（ ）A ．B ．24(),()f x x g x ==2213()1,()24f x x xg t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭C ．D ．1(),()f x x g x x ==1()()2f x g x x ==-【答案】BC【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断；【详解】解：对于A ：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不2()f x x =R 4()g x =[)0,∞+是同一函数，故A 错误；对于B ：，两函数的定义域相同均为，且解析式2213()124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭213()24g t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭R 一致，故是同一函数，故B 正确；对于C ：定义域为，定义域为，两函数的定义域相同0()1f x x =={}|0x x ≠01()1g x x =={}|0x x ≠且解析式一致，故是同一函数，故C 正确；对于D ：定义域为，但是()f x ={}|2x x ≠1()2f x x =-定义域为，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故1()2g x x =-{}|2x x ≠D 错误； 故选：BC10．已知非零实数满足且，则下列不等关系一定正确的有（ ） ,,a b c a b c >>0a b c ++=A ．B ．C ．D ．c c a b>2c aa c+≤-()()a a a b b c ->-1(2,)2c a ∈--【答案】BD【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断. 【详解】因为非零实数满足且， ,,a b c a b c >>0a b c ++=所以，的正负不能确定， 0,0a c ><b 对于A ，若，则，则，故A 错误；0a b >>110a b>>c cb a >对于B ，因为，所以，所以，0c a <0ca ->c a c a a c a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为，当且仅当时，2c a a c ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥c a a c-=-即时取到等号，所以，故B 正确； a c =-2c ac a a c a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于C ，当时，，， 2,1,3a b c ===-2()11a a b -==2()416a b c -==显然不满足，故C 错误； ()()a a a b b c ->-对于D ，因为，，所以，又， a b c >>0a >1b ca a>>0a b c ++=所以，解得；c a c a a--<12c a <-因为，，所以，又， a b c >>0c <1a bc c<<0a b c ++=所以，解得，所以； 1a a c a c c c --<=--12a c <-20c a-<<综上，.故D 正确. 1(2,)2c a∈--故选：BD.11．已知函数为奇函数，将函数的图象向右平移个单位()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<()f x 2π后得到函数的图象，若为偶函数，则以下结论正确的为（ ） ()g x ()g x A ． B ．2ϕπ=2,N k k ω=∈C ．直线为图象的一条对称轴 D ．若在上单调递减，则的值为1或5π2x =()g x ()g x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω【答案】AD【分析】根据给定条件，求出及的表达式判断A ，B ；再由函数的对称性、单调性分析判断ϕωC ，D 作答.【详解】因为函数为奇函数，则，有， ()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<π2ϕ=()sin f x x ω=-，因为函数为偶函数，则有，解得ππ()(sin()22g x f x x ωω=-=--()g x πππ,N 22k k ω=+∈，21,N k k ω=+∈对于A ，因为，则A 正确； π2ϕ=对于B ，因为，则B 错误；21,N k k ω=+∈对于C ，当时，，则直线不是图象的对称轴，C 错误；π2x =π()(0)012g f ==≠±π2x =()g x 对于D ，因为在上单调递减，则函数在上单调递增， ()g x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦πsin(2y x ωω=-π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，又正弦函数的递增区间是π06x ≤≤πππ223x ωωωω-≤-≤-sin y x =， ππ[2π,2π](Z)22n n n ---∈因此，，则，， ππππ[,][2π,2π]2322n n ωω--⊆---Z n ∈ππππ2π2π2232n n ωω--≤-<-≤-Z n ∈解得，由得，而，则或， 036412n n ωω>⎧⎪⎨-≤≤+⎪⎩41036412n n n +>⎧⎪⎨-≤+⎪⎩1544n -<≤Z n ∈0n =1n =从而或，又，于是得或，D 正确. 01ω<≤952ω≤≤21,N k k ω=+∈1ω=5ω=故选：AD12．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A 、B 满足：，，则称为的二划分，例如，A B ⋂=∅*N A B = (),A B *N *{|2,N }A x x k k ==∈则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ） *{|21,N }B x x k k ==-∈(),A B *N A ．设，，则为的二划分*{|3,N }A x x k k ==∈*{|31,N }B x x k k ==±∈(),A B *N B ．设，，则为的二划分 {|2,N}n A x x n ==∈{|2,23,,N}n B x x k k m m n ==⋅=+∈(),A B *N C ．存在一个的二划分，使得对于，，，对于，， *N (),A B x ∀y A Îx y B +∈p ∀q B ∈p q B +∈D ．存在一个的二划分，使得对于，，，则，，，*N (),A B x ∀y A Îx y <x y B +∈p ∃q B ∈p q <，则 p q A +∈【答案】BCD【分析】根据若集合A 、B 满足：，，则称为的二划分，按照该定义A B ⋂=∅*N A B = (),A B *N 逐项判断即可.【详解】解：对于A 选项，因为，，所以*{|3,N }A x x k k ==∈*{|31,N }B x x k k ==±∈A B ⋂=∅，则不为的二划分，故A 错误；{}*2,3,4,5,6,7,N A B ⋃=≠ (),A B *N 对于B 选项，因为，{}0123{|2,N}2,2,2,2,,2,n nA x x n ==∈=(){|2,23,,N}{|232,,N}n n B x x k k m m n x x m m n ==⋅=+∈==+⋅∈由于，所以，，则为的二划分，故B 正()2322,,,N n km k m n +⋅≠∈A B ⋂=∅*N A B = (),A B *N 确；对于C 选项，存在，，使得对于，，*{|21,N }A x x k k ==-∈*{|2,N }B x x k k ==∈x ∀y A Î，对于，，，故C 正确；x y B +∈p ∀q B ∈p q B +∈对于D 选项，存在，或，使得对于，{|31,N}A x x k k ==+∈{|3B x x k ==*31,N }x k k =-∈x ∀，，则，，，，则，故D 正确.y A Îx y <x y B +∈p ∃q B ∈p q <p q A +∈故选：BCD.三、填空题13．已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是___________. 【答案】4【分析】根据弧度制下扇形的弧长公式直接求解. 【详解】 224l R α==⨯=故答案为：414．已知函数，则___________.1,10()[(10)],10x x f x f f x x +≤⎧=⎨->⎩()30f =【答案】4【分析】把代入，利用给定的分段函数依次求出，，即可求解作答.30x =(20)f ()11f 【详解】函数，则，1,10()[(10)],10x x f x f f x x +≤⎧=⎨->⎩()30[(20)]f f f =而， (20)[(10)](11)[(1)](2)3f f f f f f f =====所以. ()30(3)4f f ==故答案为：415．已知，，，则的最小值为__________. 0x >0y >35x y xy ++=4x y +【答案】##7-7-+【分析】根据给定条件，用含y 的式子表示x ，再利用均值不等式求解作答. 【详解】由得：，而，，则有， 35x y xy ++=538311y x y y -==-++0x >0y >503y <<于是， 88434(1)44(1)77711x y y y y y +=-++-=++-≥=++当且仅当，即时取等号， 84(1)1y y=++1y =所以当时，取得最小值. 3,1x y ==4x y +7-故答案为：716．已知函数，关于的方程恰有两个实根，()22sin 2663f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ()()210f x mf x -+=⎡⎤⎣⎦求的取值范围____________.m 【答案】5{2,}2【分析】探讨函数在上的性质，并作出函数图象，结合图象确定方程解的情()f x π2π[,63()f x t =况，再借助一元二次方程实根分布求解作答.【详解】当时，，则当时，函数递增，函数值从1增大到π2π[,]63x ∈ππ7π2[,]666x -∈ππ[,63x ∈()f x 2，当时，函数递减，函数值从2减小到，在坐标平面内作出函数在上π2π[,33x ∈()f x 1-()f x π2π[,]63的图象，如图，令，观察图象知，当或时，方程无解，当或时，方程()f x t =1t <-2t >()f x t =11t -≤<2t =有1解，()f x t =当时，方程有2个不同的解，12t ≤<()f x t =关于的方程化为，依题意，方程有解，x 2[()]()10f x mf x -+=210t mt -+=210t mt -+=24m ∆=-，当，即或时，若，则，方程有一解，不符合题意， Δ0=2m =-2m =2m =-1t =-()f x t =若，则，方程有2个不同的解，即有方程恰有两个实根，因2m =1t =()f x t =2[()]()10f x mf x -+=此；2m =当，即或时，方程有两个不等实根，0∆>2m <-m>22()10g t t mt =-+=1212,()t t t t <当时，方程无解，有两解，方程恰有两个实121,12t t <-≤<1()f x t =2()f x t =2[()]()10f x mf x -+=根，于是得，无解，(1)20(1)20(2)520g m g m g m -=+<⎧⎪=-≤⎨⎪=->⎩当时，方程有一解，有两解，方程恰有1211,11t t -≤<-<<1()f x t =2()f x t =2[()]()10f x mf x -+=两个实根，于是得，解得，与矛盾，无解，(1)20(1)20112g m g m m ⎧⎪-=+≥⎪=->⎨⎪⎪-<<⎩22m -<<0∆>当时，方程有一解，有一解，方程恰有两个1211,2t t -≤<=1()f x t =2()f x t =2[()]()10f x mf x -+=实根，于是得，解得，满足，则，(1)20(1)20(2)520g m g m g m -=+≥⎧⎪=-<⎨⎪=-=⎩52m =0∆>52m =当时，方程有两解，无解，方程恰有两个实1212,2t t ≤<>1()f x t =2()f x t =2[()]()10f x mf x -+=根，于是得，无解，(1)20(2)520g m g m =-≥⎧⎨=-<⎩综上得：或， 2m =52m =所以的取值范围是.m 5{2,}2故答案为：5{2,}2四、解答题17．（1）若，求的值； 3sin cos 0αα+=2cos 2sin cos ααα+（2）设，求的值. ()222sin(π)cos(π)cos(π)3ππ1sin cos sin 22f ααααααα+--+⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=)12si (n 0α≠＋23π6f ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2310【分析】（1）由同角关系得，然后化求值为关于的齐次式，再弦化切代入计算； tan αsin ,cos αα（2）由诱导公式、同角关系化简后代入计算．【详解】（1） ，则，，3sin cos 0αα+=cos 0α≠1tan 3α=-. 2cos 2sin cos ααα+222cos 2sin cos cos sin ααααα+=+212tan 1tan αα+==+201213311()3-=+（2）∵22(2sin )(cos )cos ()1sin sin cos f ααααααα--+=++-， 22sin cos cos 2sin sinααααα+=+cos (12sin )sin (12sin )αααα+=+1tan α=∴． 23π111()23πππ6tan()tan(4π)tan 666f -====--+18．集合，集合，集合． {}212320A x x x =-+≤603x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭(){}()210M x x a a a =-+<>(1)求集合；()A B ⋂R ð(2)若，求实数的取值范围． M B ⊆a 【答案】(1)()3,4-(2) 50,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合，由补集和交集定义可求得结果； ,A B （2）解绝对值不等式可求得集合，分别在和的情况下，根据包含关系构造不等M M =∅M ¹Æ式组求得结果.【详解】（1）由得：，即，； 212320x x -+≤48x ≤≤[]4,8A =()(),48,A ∴=-∞+∞R ð由得：，解得：，即； 603x x -<+()()360x x +-<36x -<<()3,6B =-.()()3,4A B ∴=-R ð（2）由得：，解得：； ()()210x a a a -+<>()21a x a a -<-+<131a x a +<<+当时，满足，此时，解得：（舍）；M =∅M B ⊆131a a +≥+0a ≤当时，由得：，解得：；M ¹ÆM B ⊆13131316a a a a +<+⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩503a <≤综上所述：实数的取值范围为.a 50,3⎛⎤⎝⎦19．已知函数.())π4sin cos R 3f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)若且，求的值； ()12f α=5π2π,123α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos 2α(2)记函数在上的最大值为，且函数在上单调递增，求实数的最()f x ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦b ()f x []()ππ,a b a b <a 小值.【答案】(1) (2). 2312【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，由已知求得，再利用和角的()f x cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭余弦公式求解作答.（2）由正弦函数的性质求得b ，再根据正弦函数的单调性可求得实数a 的最小值. 【详解】（1）依题意，， ())21π4sin cos sin 22cos 1sin 222sin 223f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，即，则，而，有， ()12f α=π12sin(232α-=1sin(423πα=-5π2π,123α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2[,π]32α-∈因此πcos(23α-=所以3c πos πππππ2(s n 2(2)332cos(co o 33c s s 3in si αααα-=+-=--1124=-=（2）当时，，当，即时，，则，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ππ232x -=5π12x =()max 2f x =2b =由得，， πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈因此函数的单调递增区间是，，因为函数在上()f x π5π,ππ1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈()f x []()π,2π2a a <单调递增，当时，的递增区间是，，不符合要求， 1k =()f x 1117π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦17π2π12<时，的递增区间是，，因此，则2k =()f x 23π29π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦23π29π2π<1212<[]23π29ππ,2π,1212a ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦， 23212a ≤<所以实数a 的最小值是. 231220．设函数．()()1log 212x a x f x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(1)判断函数的奇偶性；(2)证明函数在上是增函数；()f x ()0,∞+(3)若是否存在常数，，使函数在上的值域为()()1log 2112x a x g x a ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭m ()0,n ∈+∞()g x [],m n ，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．[]1log 2,1log 2a a m n ++【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析【分析】(1)利用偶函数的定义判断即可；(2)证明内层函数的单调性，再根据复合函()122xxu x =+数的单调性判断求解； (3)将问题转化为是方程的两个根，根据二次函数图象,m n 12122xx x a ++=的性质证明求解.【详解】（1）由题意，∵，∴函数是偶函数；x ∈R ()()21log 22x x f x f x --⎡⎤⎛⎫-=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）令，设，且， ()122xxu x =+1x ∀()20,x ∈+∞12x x < ()()1212121212111122222222x x x x x x x x u x u x -=+--=-+-， ()21121212122212222122x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭∵，∴，∴，，120x x +>1221x x +>12220x x -<121102x x +->∴，∴在上单调递增， ()()12u x u x <()u x ()0,∞+又∵在上单增，log a y x =()0,∞+∴在上是增函数；()1log 22x a f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,∞+（3）由第（2）问可得在上是增函数，()()1log 2112x a x g x a ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭()0,∞+∴，∴，1log (21)1log 221log (21)1log 22ma a m n a a nm n ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩1212212122m m m n nn a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩即是方程的两根， ,m n 12122x x x a ++=∴，()()212210x x a ---=当时，令，则，0x >()21xt t =>()()211v t a t t =---若方程有两个大于零的不等实数根，()()212210x x a ---=即方程存在两个大于1的不等实根，()2110a t t ---=∵，，()010v =-<1a >方程是有一个大于0和一个小于0的实根，()2110a t t ---=∴方程不存在两个大于1的不等实根，()2110a t t ---=∴不存在常数m ，n 满足条件．21．已知函数的部分图象如图所示.()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<（1）求的解析式()f x（2）设若关于的不等式恒成立，()()216g x f x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭x 2()(32)()230g x m g x m -+--≤求的取值范围.m 【答案】（1）；（2）. ()2cos(2)3f x x π=+[11]2-，【解析】（1）由图求出、、和的值，即可写出的解析式；A T ωϕ()f x （2）由（1）可得的解析式，设，问题等价于在，上恒成立，列出不等()g x ()t g x =()0h t …[3-5]式组求出的取值范围．m 【详解】解：（1）由图可知，，2A =35346124T πππ=-=解得，所以，所以； T π=22Tπω==()2cos(2)f x x ϕ=+因为的图象过点，，所以，解得，； ()f x 5(6π2)52cos(2)26πϕ⨯+=523k πϕπ=-Z k ∈因为，所以，0ϕπ<<3πϕ=所以； ()2cos(2)3f x x π=+（2）由（1）可得()2cos(2)cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2136x ππ=+++；4cos 21x =+设，因为，所以； ()t g x =1cos21x -……3()5g x -……又因为不等式恒成立， 2()(32)()230g x m g x m -+--…即在，上恒成立，2()(32)230h t t m t m =-+--…[3-5]则，即，(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩……93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩……解得，112m -……所以的取值范围是．m 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐2Tπ标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22．已知函数在时有最大值和最小值，设. ()221g x ax ax b =-++(),0a b ≥[]1,2x ∈10()()g x f x x=(1)求实数的值；,a b (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；()22log 2log 0f x k x -≤11,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. x ()22131021xx mf m -+--=-m 【答案】(1) 1,0a b ==(2)8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦(3)12m >-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值.,a b （2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的()22log 2log 0f x k x -≤k取值范围.（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的()22131021xxmf m -+--=-图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.m 【详解】（1）函数时不合题意， ()()222111,0g x ax ax b a x b a a =-++=-++-=所以为，所以在区间上是增函数，0a >()g x []1,2故，解得. ()()211110g b g b a ⎧=+=⎪⎨=+-=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩（2）由已知可得，则， ()221g x x x =-+()()12g x f x x x x==+-所以不等式， ()22log 2log 0f x k x -≤转化为在上恒成立， 2221log 22log 0log x k x x +--≤11,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设，则，即，在上恒成立，2log t x =[]3,2t ∈--1220t kt t+--≤[]3,2t ∈--即，[]22121111211,3,2,,23k t t t t t ⎛⎫⎡⎤≤+-=-∈--∴∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，取得最小值，最小值为，则，即. ∴113t =-211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭2116139⎛⎫--= ⎪⎝⎭1629k ≤89k ≤所以的取值范围是.k 8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦（3）方程可化为：，， ()22131021xxmf m -+--=-()()2213321120x x m m --+-++=210x -≠令，则方程化为，，21x t -=()()233120t m t m -+++=()0t ≠∵方程有三个不同的实数解， ()22131021xx mf m -+--=-∴画出的图象如下图所示，21xt =-所以，，有两个根､，且或，.()()233120t m t m -+++=()0t ≠1t 2t 1201t t <<<101t <<21t =记，()()()23312h t t m t m =-+++则，即，此时， ()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=--<⎪⎩121m m ⎧>-⎪⎨⎪>-⎩12m >-或得，此时无解， ()()()012011033012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=--=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩121113m m m ⎧>-⎪⎪=-⎨⎪⎪-<<-⎩m 综上.12m >-【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.。

2023—2024学年度下学期四校期初联考高一数学试题（答案在最后）本试卷满分150分，共4页。

考试时间120分钟。

考试结束后，只交答题卡。

第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

—、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}122,lg(1)2x A x B x y x ⎧⎫=<<=+⎨⎬⎩⎭∣，则()R A B = ð（）A ．(,1)-∞B ．∅C ．(1,)-+∞D ．(,1)(1,1)-∞-- 2．设((5)),510,()215,10,f f x x f x x x +<<⎧=⎨-≥⎩则(9)f 的值为（）A ．9B ．11C ．28D ．143．“关于x 的不等式2(23)(23)40a x a x ---+≥的解集为R ”是“392a <<”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．函数3()1ln ||x f x x =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．设0.623log 6,log 12,2a b c ===，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．c b a<<6．已知函数()cos()0,0,||2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中,024A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,0,(0,2)24B C π⎛⎫⎪⎝⎭，现先将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，再向左平移24π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则5144g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．-C D 7．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=．若(())0g f x a -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞8．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（）A ．22,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．22814,,9399⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22814,,9399⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．22814,,9399⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列命题为真命题的有（）A ．若,a b ∈R ，则222a b ab +≥B ．若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C ．若0a b <<，则11a b>D ．若22ac bc >，则a b>10．对于函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的是最小正周期是πB ．函数()f x 的图象的对称中心是,0()48k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．函数|()|y f x =的图象的对称轴是()48k x k Z ππ=+∈D ．不等式()f x ≥的解集是73,248 x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭11．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()11f x f x +=--，且()()22f x f x +=-，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+，若(0)(3)6f f +=，则以下正确的是（）A ．(4)()f x f x +=B ．2a =-C ．2b =D ．1722f ⎛⎫=⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知幂函数()122()32m f x m m x=-满足(2)(3)f f <．则m =______．13．已知0,0,3x y x y xy >>++=，且不等式2()()10x y a x y +-++≥恒成立．则实数a 的取值范围是______．14．已知函数()()()2154087lo 7g x f x m x x m ⎛⎫--<⎪⎝⎭-≤=恰有3个零点，则m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）求下列各式的值．（11220.25316(8)849-⎛⎫+-+⨯ ⎪⎝⎭；（2）()3log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯+-16．（15分）已知函数2()2cos cos (0,R)f x x x x a a ωωωω=++>∈．已知()f x 的最大值为1，且()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求()f x 在[0,]π的单调递增区间；（3）将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移12π单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]m 上的最小值为(0)g ，求m 的最大值．17．（15分）已知,0,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2sin ,tan()1011αβα=--=-．（1）求cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭；（2）求角2αβ+的大小．18．（17分）心理学家根据高中生心理发展规律，对离中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力（()f x 的值越大，表示接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min ），满足以下关系：20.1 2.838,010,()56,1020,296,2040.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩（1）上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）有一道数学难题，需要54的接受能力及15min 的讲授时间：老师能否及时在学生处干所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？19．（17分）已知函数2()log 1,()22xf x xg x =+=-．（1）求方程|()||()|f x g x =的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）；（2）求函数()22()[()]2F x f x af x =-+在区间［2，4]上的最大值；（3）若函数()()()h x g f x =，且函数1(|()|)12y h g x =-的图象与函数3241|()|b y b g x +=--的图象有3个不同的交点，求实数b 的取值范围．2023—2024学年度下学期四校期初联考高一数学答案一．选择题（每小题5分，共8题，共40分）12345678ABCADCBD二．多选题（每小题6分，共3题，共18分）91011ACD BCABC1．A 【详解】1222x <<，得11x -<<，所以{11}A xx =-<<∣，函数()lg 1y x =+中，10x +>，即1x >-，所以{1}B xx =>-∣，{}R ð1B x x =≤-∣，所以()()R ð,1A B =-∞ ．故选：A 2．B【详解】()()()()()91421415132131511f f f f f ==⨯-==⨯-=．故选：B ．3．C【详解】当230a -=即32a =时，不等式20040x x ⨯-⨯+≥的解集为R ，符合题意；当230a -≠即32a ≠时，若不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R ，可得()2230(23)16230a a a ->⎧⎨---≤⎩，解得31922a <≤，所以不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R 可得31922a ≤≤，充分性不成立，若392a <<，则不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R ，必要性成立，所以不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R 是“392a <<”的必要不充分条件．故选：C ．4．A【详解】对于函数()f x ，有01ln 0x x ≠⎧⎨+≠⎩，解得0x ≠且1e x ≠±，所以，函数()f x 的定义域为1111,,00,,e ee e⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()33()1ln 1ln x x f x f x x x --===-+-+，函数()f x 为奇函数，排除CD 选项，当10ex <<时，1ln 0x +<，则()301ln x f x x =<+，排除B 选项．故选：A ．5．D【详解】由6<，得225log 6log 2a =>=，由912<<，得333log 9log 12log <<，即522b <<，而0.61222c =<=，所以c b a <<．故选：D 6．C【详解】记函数()f x 的最小正周期为T ，由题意知7224244T πππ=-=，得2T π=，所以24Tπω==，故()()cos 4f x M x ϕ=+．因为()f x 的图象过点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以()42242k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，得()23k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，故()cos 43f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象过点()0,2C ，所以cos23M π=，解得4M =，所以()4cos 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，得到4cos 123y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向左平移24π个单位长度，得到函数()54cos 124cos 12236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以554cos 4cos 4cos cos sin sin 14412464646g ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C ．7．B【详解】因为()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-，因为()()2xf xg x +=，①所以()()2xf xg x --+-=，所以()()2xf xg x --=，②①+②得()()2222,22x x x xf xg x --+-==，因为2xy =在定义域R 上单调递增，2xy -=在定义域R 上单调递减，所以()222x xg x --=在R 上单调递增，又()00g =，若()()0g f x a -≥恒成立，则()()()0g f x a g -≥恒成立，所以()0f x a -≥恒成立，所以()f x a ≥恒成立，所以只需min ()a f x ≤，因为20,20xx->>，所以222x x -+≥=（当且仅当22x x -=，即0x =时取等号），所以()2212x xf x -+=≥（当且仅当0x =时，取等号），所以1a ≤，所以a 的取值范围为(],1-∞．故选：B ．8．D【详解】当,0,,1231233x x πππππωω⎛⎫⎛⎫∈--∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在,012π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故1232πππω--≥-，则02ω<≤；当33,,,2232323x x πππππππωωω⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2,2333ππππω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，38,2333ππππω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，又因为()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①022323393023πππωωππωπ⎧-<-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-≤⎪⎩，②20814233399223πππωωπππωπ⎧≤-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪<-≤⎪⎩，综上：ω的取值范围为22814,,9399⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎝⎭⎝，故选：D ．9．ACD【详解】对于A ，因为2222()0a b ab a b +-=-≥，所以222a b ab +≥，故A 正确；对于B ，()()()b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+++，因为0,0a b m >>>，所以()()0,0b a m b b m -+，所以0a m a b m b +-<+，所以a m a b m b+<+，故B 错误；对于C ，若0a b <<，则110b a a b ab --=>，所以11a b>，故C 正确；对于D ，若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故D 正确．故选：ACD ．10．BC【详解】函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π，A 错误；由2,Z 42k x k ππ-=∈，解得,Z 48k x k ππ=+∈，则函数()f x 的图象的对称中心是(),0Z 48k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，B 正确；由于()tan 2tan 24444f x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则8x π=是()y f x =图象的一条对称轴，又()tan 2tan 24444f x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则8x π=-是()y f x =图象的一条对称轴，而函数()y f x =的最小正周期是2π，则,Z 28k x k ππ=+∈及,Z 28k x k ππ=-∈都是()y f x =图象的对称轴，所以函数()y f x =图象的对称轴是()Z 48k x k ππ=+∈，C 正确；不等式()tan 24f x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，则2,Z 342k x k k πππππ+≤-<+∈，解得73,22428k k x k Z ππππ+≤<+∈，即不等式()f x ≥的解集是()73,22428k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，D 错误．故选：BC 11．ABC【详解】因为()()11f x f x +=--，所以()][()1111f x f x ⎡⎤+-=---⎣⎦，即()()2f x f x =--，又()()22f x f x +=-所以()()2f x f x =-+，所以()()()()2224f x f x f x f x ⎡⎤=-+=++=+⎣⎦，A 正确；因为()()()()()032146f f f f a b a b +=-+=-+++=，所以2a =-，B 正确；在()()11f x f x +=--中，令0x =，得()()11f f =-，即()a b a b +=-+，解得2b =，C 正确；1711395822222242f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=--⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：ABC 12．13-【详解】由幂函数的定义可知，2321m m -=，即23210m m --=，解得1m =或13m =-．当1m =时，()12f x x-=在()0,+∞上单调递减，不满足()()23f f <；当13m =-时，()56f x x =在()0,+∞上单调递增，满足()()23f f <．综上，13m =-．故答案为：13-．13．37,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】令t x y =+，则223412062x y x y xy t t t +⎛⎫++=≤⇒--≥⇒≥ ⎪⎝⎭，()21()10, x y a x y a t t+-++≥∴≤+ 在6t ≥恒成立，1y t t =+ 在[)6,+∞单调递增，min1376t t ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，37,6a ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：37,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14．()()150,11,22,7⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由()0f x =，得2log x m =或15477x m -=，函数()f x 在(]0,8上有3个零点，当且仅当直线y m =与函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象有3个交点，函数2log y x =在(]0,1上单调递减，函数值集合为[)0,+∞，在[]1,8上单调递增，函数值集合为[]0,3，函数15477x y =-在(]0,1上单调递减，函数值集合为1715,77⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，显然直线15477x y =-与2log y x =的图象交于点1,24⎛⎫⎪⎝⎭和()2,1，在坐标系内作出直线y m =和函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象，如图，观察图象知，当1507x <<，且1m ≠且2m ≠时，直线y m =与函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象有3个交点，所以m 的取值范围是()()150,11,22,7⎛⎫ ⎪⎝⎭ ．故答案为：()()150,11,22,7⎛⎫⎪⎝⎭15．（1）9（2）196（1）原式()1231122333443134(2)22(2)47ππ-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++-+⨯+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦()131244134(2)22247ππ-⎛⎫=-++-+⨯+- ⎪⎝⎭1374944=++=．（2）()2log 31431lg25lg2log 9log 822-++-⨯+-23log 2lg9lg814lg5lg22lg4lg33=++-⨯+-2lg33lg2314lg102lg2lg323=+-⨯+-3141323=+-+-196=．16．（1）()22sin 21;0,,,663f x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（2）3π【详解】（1）()22cos cos f x x x x aωωω=++cos212sin 216x x a x a πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，31a +=，解得2;22T a π=-=，即22T ππω==，解得1ω=；()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；令222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；所以()f x 在[]0,π的单调递增区间为20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到2sin 416y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，再向右平移12π单位，得到函数2sin 412sin 411266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；因为[]0,x m ∈，所以4,4666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以74660m m ππ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得03m π<≤．所以m 的最大值为3π．17．（1）50（2）74π【详解】（1）1,0,sin sin,,0210266πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=->-=-∴∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos10α∴===，2124cos212sin12525αα∴=-=-=，7sin22sin cos25ααα==-，247cos2cos2cos sin2sin44425225250πππααα⎛⎫∴+=-=⨯+⨯⎪⎝⎭；（2）()2,,tan211πβπβα⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，()()()21tan tan1117tan tan211tan tan31117βααββααβαα⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭=-+===---⎛⎫⎛⎫--⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1355tan tan,3366ππββπ⎛⎫=->-=∴∈ ⎪⎝⎭，由倍角公式得222tan33tan211tan419βββ-===---，由（1）得1cos,tan107αα=∴=-，()13tan tan274tan21131tan tan2174αβαβαβ--+∴+===--⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21,0,sin sin,,0210266πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=->-=-∴∈-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭372,2,224ππαβπαβ⎛⎫∴+∈∴+=⎪⎝⎭．18．（1）上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟19．（2）老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题【详解】（1）解：由题知()20.1 2.838f x x x=++在(]0,10上单调递增，所以()max ()1056f x f ==又(]10,20x ∈时，()56f x =()296f x x =-+在(]20,40x ∈上单调递减，()(]16,56f x ∈，所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟．（2）当(]0,10x ∈时，令()54f x ≥，即20.1 2.83854x x -++≥，化简得2281600x x -+≤，解得820x ≤≤，又(]0,10x ∈，所以810x ≤≤，此时有效时间为2分钟当(]10,20x ∈时，()56f x =，有效时间为10分钟，当(]20,40x ∈时，令()54f x ≥，解得2021x <≤，有效时间为1分钟，由于讲授时间需15分钟，但有效时间210113++=分钟，1315<，所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题．19．（1）3个（2）max 5115,2()563,2a a F x a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（3）4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】（1）如图，由翻折变换分别作出函数22x y =-与函数2log 1y x =+的图象，因为两函数图象有3个不同的交点，所以方程()()f x g x =的解的个数3；（2）()()()22[]2F x f x af x =-+()222log 21log 3x a x a =+-+-，令][2log ,2,4,1,2t x x t ⎡⎤=∈∴∈⎣⎦，()F x 化为()()2213p t t a t a=+-+-()22[1]2t a a a =---++则函数()p t 的图象开口向上，且对称轴为1t a =-，当312a -≤即52a ≤时，()max max ()()2115F x p t p a ===-；当312a ->即52a >时，()max max ()()163F x p t p a ===-，max 5115,2();563,2a a F x a a ⎧-≤⎪⎪∴=⎨⎪->⎪⎩（3）()()()2log 12222x h x g f x x +==-=-，令(),(0)m g x m =>，()()()11222y h g x g x m =-=-=-，()32324141b b y b b m g x ++=--=--，令32241b m b m +-=--，即()214320m b m b -+++=①，函数()22x m gx ==-的图象如图，因为函数1(|()|)12y h g x =-的图象与函数3241|()|b y b g x +=--的图象有3个不同的交点，所以①式有2个不等的实根，且一根在(0,2)内，另一根为0或在[2,)+∞内；因为0m ≠所以方程①的两根一根在(0,2)内，另一根在[2,)+∞内．设2()(14)32m m b m b ϕ=-+++，当一根在(0,2)内，另一根在(2,)+∞内时，由(0)0(2)0ϕϕ>⎧⎨<⎩，即320450b b +>⎧⎨-<⎩，解得45b >；当一根为2时，由(2)0ϕ=解得45b =，验证：此时方程①为22122055m m -+=，解得2m =或11(0,2)5m =∉，故不合题意，舍去；综上所述，b 的取值范围是4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。

高一数学试题（考试时间120分钟，满分150分）一、单选题1. 已知集合，，则（ ）{}12A x x =-<<{}0B x x =<A B = A. B.C.D.{}10x x -<<{}02x x <<{}20x x -<<{}12x x -<<【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义求解.【详解】, 12{|12}{|0}{|10}0x A B x x x x xx x x ⎧⎫-<<⎧⎪⎪⋂=-<<⋂<==-<<⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭故选：A.2. 命题“”的否定是（ ）[)320,,320x x x ∞∀∈+-+≥A.[)320,,320x x x ∞∃∈+-+<B. ()320,,320x x x ∞∃∈+-+≥C.()32,0,320x x x ∞∀∈--+<D.()32,0,320x x x ∞∀∈--+≥【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定分析判断.【详解】命题“”的否定是“”.[)320,,320x x x ∞∀∈+-+≥[)320,,320x x x ∞∃∈+-+<故选：A.3. 已知一次函数满足，则（ ） ()f x ()()2196f x f x x ++=+()4f =A. 12 B. 13C. 14D. 15【答案】B 【解析】【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得.【详解】设，则,()()0f x ax b a =+≠()()()2122133f x f x ax b a x b ax a b ++=++++=++因为，()()2196f x f x x ++=+所以，解得，3936a ab =⎧⎨+=⎩3,1a b ==所以，. ()31f x x =+()413f =故选：B.4. 函数的单增区间为（ ） ()|2|f x x x =-A. B.(,1][2,)-∞⋃+∞(1,2)C. D.(2,)+∞(,1),(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】【分析】得出分段函数解析式，即可得解.【详解】. 222,2()22,2x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩因为，，()22211y x x x =-=--()22211y x x x =-=--+所以的增区间是． ()f x (,1),(2,)-∞+∞故选：D5. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 与B. 与2y x =4y =3y x =-y =C. 与D. 与x y x=1(0)1(0)x y x ≥⎧=⎨-<⎩2y x =2S a =【答案】D 【解析】【分析】利用当两函数的定义域相同，对应关系相同时是相同的函数逐个分析判断即可.【详解】对于A ，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以2y x =R 4y =[0,+)∞不是相同函数，故A 错误；对于B ，的定义域为，，两函数的定义域相同，3y x =-R y =R因为，所以两函数的对应关系不相同，3y x ==-所以两函数不是相同的函数，故B 错误，对于C ，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相xy x =(,0)(0,+)-∞⋃∞1(0)1(0)x y x ≥⎧=⎨-<⎩R 同，所以不是相同函数，故C 错误；对于D ，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相2y x =R 2S a =R 同，所以两函数是同一个函数，故D 正确； 故选：D6. 函数的单调递增区间是（）()212log 6y x x=+-A.B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理得解. 【详解】解：由题得，解得. 260x x +->23x -<<因为在定义域内单调递减，所以当函数在定义域内单调递减时，函数12log y x =2y -x +x 6=+单调递增.()212log 6y x x =+-函数的单调递减区间为，2y -x +x 6=+1[,3)2故函数的单调递增区间是.()212log 6y x x =+-1[,3)2故选：D7. 若关于x 的不等式恒成立，则实数a 的取值范围为( ) 2220ax ax --<A. B. {}10a a -≤≤{}20a a -<≤C. D. 或{}21a a -<<{2a a <-0}a ≥【答案】B 【解析】【分析】分a ＝0和a ≠0两种情况讨论，a ≠0时，根据二次函数图像性质即可求出a 的范围．【详解】当a ＝0时，不等式变为－2＜0恒成立，故a ＝0满足题意； 当a ≠0时，若恒成立，2220ax ax --<则，即，解得．0Δ0a a ≠⎧⎪<⎨⎪<⎩20480a a a <⎧⎨+<⎩20a -<<综上，． 20a -<≤故选：B ．8. 若，则下列各式恒成立的是（ ） 13,24a b -<<<<A. B. 1214a b <-+<4211a b -<-+<-C. D.9211a b -<-+<-8210a b -<-+<【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质可得，进而即得. 8210a b -<-+<【详解】因为，24b <<所以，又， 824b -<-<-13a -<<则. 8210a b -<-+<故选：D.二、多选题9. 下列各图是函数图象的是（ ）A.B.C.D.【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应， x y 因此不能出现一对多的情况，所以B 不是函数图象，AC D 是函数图象. 故选：ACD.10. 若（，且）在上单调递增，则的值可能是（ ）()22,24,2x a x f x x ax a x ⎧<=⎨-+≥⎩0a >1a ≠R a A.B.C. 2D.1252【答案】BC 【解析】【分析】结合分段函数的单调性即可求解.【详解】根据题意，（，且）在上单调递增，()22,24,2x a x f x x ax a x ⎧<=⎨-+≥⎩0a >1a ≠R 则有，解得，21222424a a a a a>⎧⎪⎪≤⎨⎪≤-+⎪⎩12a <≤故选：BC ．11. 下列不等关系中一定成立的是（ ） A. B.3log 2<2log 321551152⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ,D. >，()12112nn +<+*n ∈N 2n 2n *n ∈N 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由不等式的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】选项A ，因为，所以，即A 正确；32log 21,log 31<>32log 2log 3<选项B ，若成立，则，即，显然与实际矛盾，即B 错误； 21551152⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21152⎛⎫> ⎪⎝⎭11252>选项C ,，所以，即，故C 正确；()22111024n n n ⎛⎫+-+=-< ⎪⎝⎭2112n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭12(1)12n n +<+选项D ，取，则，即D 错误. 2n =22n n =故选:AC.12. 已知函数的图像经过点，则下列说法正确的是（ ）()f x x α=()4,2A. 函数为偶函数()f x B. 函数在其定义域内为增函数 ()f x C. 当时， 1x >()1f x >D. 当时，120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意先求得函数的解析式为()f x =【详解】由于函数的图像经过点，()f x x α=()4,2故有，，故 42α=12α∴=()f x =显然，函数为非奇非偶函数，故A 错误； ()f x 函数在其定义域内为增函数，故B 正确； ()f x当时，，故C 正确；1x >()1f x =>由于函数为上凸型函数，故有当时，，故D 正确．()f x 120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：BCD ．三、填空题13. 已知函数，若，则________()221,1,1x x f x xx -≤-⎧=⎨>-⎩()4f x =x =【答案】2 【解析】【分析】分两种情况，当时和当时，解方程即可. 1x ≤-1x >-【详解】当时，，可得，不成立， 1x ≤-()214f x x =-=52x =当时，，可得或（舍去）， 1x >-()24f x x ==2x =2x =-所以.2x =故答案为：2.14. 已知是定义在R 上的奇函数，当时，，则当时，______． ()f x 0x <()13x f x =0x >()f x =【答案】 3x -【解析】【分析】由题意设，则，利用题中所给解析式求出，再由奇函数的定义即可得出答案.0x >0x -<()f x -【详解】当时，则，则， 0x >0x -<()133xx f x --==又函数是定义在R 上的奇函数， ()f x 所以当时，.0x >()()3xf x f x =--=-故答案为：.3x -15. 已知是R 上的偶函数，且在上是严格增函数，若，则a 的取值范()f x ()f x (],0-∞()()2f a f ≥围是______． 【答案】 []22-,【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式.【详解】因为是R 上的偶函数，所以的图像关于轴对称. ()f x ()f x y 因为在上是严格增函数，所以在上是严格减函数. ()f x (],0-∞()f x ()0,∞+所以可化为，解得：. ()()2f a f ≥2a ≤22a -≤≤故答案为：[]22-,16. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是______．()22,2,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩()()g x f x k =-k 【答案】 ()1,4【解析】【分析】根据分段函数解析式，确定函数图象，将函数零点转化为方程的根，结合函数图象即可得实数k 的取值范围.【详解】解：已知函数，则函数图象如下：()22,2,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩故函数有两个零点即方程的根有两个，结合函数图象即可得，故实数()()g x f x k =-()f x k =14k <<的取值范围是.k ()1,4故答案为：.()1,4四、解答题17. 已知函数. ()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<（1）求函数的定义域；()f x （2）若函数的最小值为，求的值. ()f x 2-a 【答案】（1）()3,3-（2）13【解析】【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域； x ()f x （2）求得，求出的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数的等式，()()2log 9a f x x=-29x-a 结合可求得实数的值. 01a <<a 【小问1详解】解：对于函数，有，解得，()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<3030x x ->⎧⎨+>⎩33x -<<因此，函数的定义域为. ()f x ()3,3-【小问2详解】解：因为，且，则，()()2log 9a f x x=-33x -<<2099x<-≤因为，则函数为上的减函数， 01a <<log a y u =()0,∞+故，可得，，解得. ()min log 92a f x ==-29a -=01a << 13a =18. 已知函数 ()()2f x x x =-（1）作出函数的图象； ()f x （2）写出函数的单调区间； ()f x （3）当时，求的值域. []0,1x ∈()f x 【答案】（1）见解析 （2）单调增区间为，单调减区间为()[),0,1,-∞+∞[)0,1（3） []1,0-【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象作图即可； （2）根据函数图象写出单调区间即可；（3）根据函数在上的单调性，即可得出答案. []0,1x ∈【小问1详解】解：，()()222,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩作出函数图象，如图所示：【小问2详解】解：由图可得：函数的单调增区间为， ()[),0,1,-∞+∞单调减区间为； [)0,1【小问3详解】解：因为函数在上递减，[]0,1x ∈所以， ()()()()max min 00,11f x f f x f ====-所以的值域为.()f x []1,0-19.设函数(a ≠0)．2()8f x ax bx =+-（1）若不等式，的解集为，求a ，b 的值；()0f x <(2,4)-（2）若，，求的最小值． (1)7=-f 0,0a b >>14a b+【答案】（1）a =1，2b =-（2）9 【解析】【分析】（1）由不等式的解集得一元二次方程的解，由韦达定理可求得； ,a b （2）由基本不等式求得最小值． 【小问1详解】因为不等式f (x )<0的解集为(－2，4)， 所以－2和4是方程的两个实根，()0f x =从而由韦达定理，解得，；24824b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩1a =2b =-【小问2详解】由，得， (1)7=-f 1a b +=又a >0，b >0， 所以＝(a ＋b )＝5＋＋≥5＋＝9， 14a b +14()a b +b a 4a b 当且仅当且，即时等号成立， 4b a a b =1a b +=12,33a b ==所以的最小值为9. 14a b+20. 已知幂函数(Z )的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．()223mm f x x --=m ∈y ()0,+∞（1）求的值；m （2）解不等式．()()122f x f -≥【答案】（1）1m =（2） 1113,,2222⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】（1）先利用幂函数在上是单调递减函数，得到，再验证其图象关于轴()0,+∞2230m m --<y 对称进行求值即可；（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解即可．【小问1详解】因为幂函数(Z )的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，()223m m f x x --=m ∈y ()f x 为偶数，为奇数，223m m ∴--22m m ∴-因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，()0,+∞2230m m --<13m -<<因为Z ，则，，，m ∈0m =12当时，为偶数，舍去；0m =220m m -=当时，为奇数，1m =221m m -=-当时，为偶数，舍去；2m =220m m -=故；1m =【小问2详解】由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数， ()4f x x -={|0}x x ≠()0,+∞()f x 又，即，且，解得且， ()()122f x f -≥122x -≤120x -≠1322x -≤≤12x ≠所以不等式的解集为． 1113,,2222⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦21. 已知函数. ()321x f x a =-+（1）判断函数的单调性，并证明你的结论；()f x （2）若函数在区间（，1）上有零点，求a 的取值范围.()f x 1-【答案】（1）在上单调递增，证明见解析.()f x R （2）.()1,2【解析】【分析】（1）根据函数的单调性的定义可得证； （2）根据函数的单调性和零点存在定理建立不等式，由此可求得a 的范围.()()110f f -⋅<【小问1详解】解：在上单调递增，证明如下：()f x R 的定义域为任取且，()f x ,R ∴12,x x R ∈12x x <则， ()()()()()121212123223321211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++在上单调递增且， 2x y = R 12121212,022,220,210,210x x x x x x x x <∴<<∴-<+>+>，即在上单调递增.()()120f x f x ∴-<()()()12,f x f x f x <∴R 【小问2详解】解：由（1）知在上单调递增.又函数在区间（，1）上有零点，所以，()f x R ()f x 1-()()110f f -⋅<即，解得.()()120a a --<()2a ∈22. 已知函数，. ()22441f x ax x =+-a ∈R （1）若，恒成立，求实数的取值范围；x ∀∈R ()0f x <a （2）证明关于的方程有唯一的实数根；a ()0f a =（3）若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.()f x ()1,1-a 【答案】（1） 16a <-（2）证明见解析 （3） 151,8246⎛⎫⎧⎫-⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【解析】 【分析】（1）讨论与结合判断式即可求解；0a =0a ≠（2）问题等价于函数有唯一的零点，又因为且()32441f a a a =+-()()010f f <在是增函数，即可证明；()32441f a a a =+-R （3）当时有唯一零点，符合题意；当时，讨论与结合零点定理即可求解． 0a =140a ≠Δ0=0∆>【小问1详解】当时，，不成立；0a =()41f x x =-当时，恒成立，则，解得； 0a ≠()0f x <0Δ0a <⎧⎨<⎩016960a a <⎧⎨+<⎩16a <-【小问2详解】关于的方程有唯一的实数根等价于函数有唯一的零点a ()0f a =()32441f a a a =+-因为，，所以()010f =-<()12441270f =+-=>()()010f f <所以在有零点，()32441f a a a =+-()0,1又在是增函数，()32441f a a a =+-R 所以函数有唯一的零点，即方程有唯一的实数根；()32441f a a a =+-()0f a =【小问3详解】当时，，有唯一零点，符合题意；0a =()41f x x =-14当时，令，得，此时，有唯一的零点； 0a ≠Δ0=16a =-()()2244121f x x x x =-+-=--12当时，若函数在区间内恰有一个零点，有0∆>()f x ()1,1-，解得或 ()()()()0112452430a f f a a ≠⎧⎨-=-+<⎩108a -<<5024a <<综上，实数的取值范围． a 151,8246⎛⎫⎧⎫-⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭。

精品文档长春市十一高中xx 学年度高一下学期期初考试数 学 试 题本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分120分，测试时间100分钟。

第一部分（选择题）2021年高一下学期期初考试 数学理 含答案1.的值为 （ ）A ． 0B ．C ．D ． 2.在中，的取值范围是 ( )A B C D3．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 为( )A.153 B ．－53 C.53 D ．－1534．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值为 ( )A ．－ 3B ． 3C ．3D ．335．如果|cos θ|=,＜θ＜3π,那么sin 的值等于 ( ) A ． B ． C ． D ． 6．函数的最小正周期为 （ ）A ．1 B. C. D.7．.函数f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π3]上的最大值为 ( )A ． 12B ． 1＋32C ．1D ． 32体验 探究 合作 展示8．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )A ．20(1＋33) mB ．20(1＋32) mC ．20(1＋3) mD ．30 m9. 当时,函数的最小值是 （ ）A B C D 10.函数的最小正周期为 （ ）A B C D11.已知数列{}对任意的、∈，满足，且=-6，那么等于（ ） A.-165 B.-33 C.-30 D.-2112．已知数列{a n }满足a 1＝0，＝a n －33a n ＋1 (n ∈N *)，则a 20等于 ( )A ．0B ．－ 3C ． 3D ．32二、填空题（每题4分，共16分） 13．求值：=_______________14.若是方程的两根，且则等于 ________．15.已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．16. 关于函数，下列命题： ①若存在，有时，成立； ②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合． 其中正确的命题序号________．（注：把你认为正确的序号都填上） 三、解答题（本大题共4小题，共44分）17．(本小题满分10分) 已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,).若·=，求的值.18．(本小题满分10分)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π)．求2α－β的值．19.（本小题满分12分）已知向量()(sin ,sin()),(12sin )2A B A B π=--=，m n ，且，其中A 、B 、C 分别为的三边所对的角.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求边的长. 20．（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为．已知． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.附加题（10分）（计入总分）：若·＜，恒成立，求实数m 的取值范围.xx 学年度高一下学期期初考试数 学 答 题 纸第二部分（非选择题）二、填空题（每题4分，共16分）体验 探究 合作 展示13. . 14. .15. . 16. .三、解答题（本大题共六小题，17、18题10分，19、20、每小题12分共44分，每小题都要写出必要的推理过程，只写出结果不得分）17．（Ⅱ）20．（Ⅰ）二、填空题（本题共4个小题。

一、单选题1．已知集合，，则 {}|21xA y y x R ，==-∈{}2|20B x x x =--<A ． BC ．D ．1A -∈B ()R A C B A ⋂=A B A ⋃=【答案】D【详解】分析：利用指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，逐一验A B 证选项即可.详解：， {}|21xA y y x R ，==-∈{}()11,y y =-=-+∞， {}2|20B x x x =--<{}()|121,2x x =-<<=-，故选D.A B A ∴⋃=点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2．下列命题中的假命题是（ ）A ．，B ．， x ∃∈R sin x x ∃∈R ln 1x =-C ．，D ．，x ∀∈R 20x >x ∀∈R 30x >【答案】C【分析】根据全称命题和特称命题的含义，结合三角函数、指数函数、对数函数的知识依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，，A 正确； 1sin 1x -≤≤ x ∴∃∈R sin x 对于B ，当时，，B 正确； 1ex =ln 1x =-对于C ，当时，，C 错误；0x =20x =对于D ，值域为，，，D 正确. 3x y = ()0,∞+x ∴∀∈R 30x >故选：C.3．设，则的大小关系为（ ） 0.30.30.40.3,0.4,0.3a b c ===,,a b c A ． B ．C ．D ．c a b <<a c b <<b<c<a c b a <<【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在上单调递增，且，0.3y x =(0,)+∞0.30.4<所以，即，0.30.30.30.4<a b <因为在上单调递减，且， 0.3x y =R 0.30.4<所以，即， 0.30.40.30.3>a c >所以， c a b <<故选：A.4．函数的零点所在的区间为（ ）2()log (1)f x x x =+-A ．B ．C ．D ．1(,1)253(,423(,2)25(2,)2【答案】B【分析】求出的定义域为，然后把区间端点代入，根据函数零点存在定理进行判断． ()f x ()1,+∞【详解】的定义域为， ()f x ()1,+∞，，，255153()log 2044444f =+=-=-<233131log 1022222f ⎛⎫=+=-=> ⎪⎝⎭(2)20f =>， 2553()log 0222f =+>因为，由函数零点存在定理得：零点所在的区间为． 53(042f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B ．5．下列化简正确的是（ ） A ． B ． 1cos82sin52sin82cos522︒︒-︒︒=1sin15sin 752︒︒=C ．D ． tan 48tan 721tan 48tan 72︒+︒=-︒︒22cos 15sin 15︒+︒=【答案】C【分析】逆用差角正弦公式求值可判断A ；倍角正弦公式化简求值可判断B ；和角正切公式化简求值可判断C ；同角三角函数的平方关系可判断D.【详解】对于A ，，故A 不正确；1cos82sin 52sin 82cos52sin(5282)sin(30)2-=-=-=-对于B ，，故B 不正确；11sin15sin 75sin15cos15sin 3024︒︒=︒︒=︒=对于C ，C 正确；tan 48tan 72tan(4872tan1201tan 48tan 72+=+)==-对于D ，，故D 不正确； 22cos 15sin 151+= 故选：C.6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） ()()()()21,11log ,013a a x x f x x x ⎧->⎪=⎨-<≤⎪⎩()0,∞+a A ．B ．C ．D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由分段函数的单调性列不等式组求解. 【详解】由题意可列，解得011log 1213210a a a a ⎧⎪⎪-≥-⎨⎪-⎪⎩＜＜＜103a ≤＜所以实数的取值范围是.a 10,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：B7．将函数，的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则（ ）8π()g x A ．图象的一条对称轴为B ．图象的一个对称中心为()g x 4x π=()g x ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的最小正周期D ．在区间上为增函数 ()g x 2π()g x 13,2424ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据图象变换得到，然后求对称轴、对称中心、最小正周期和单调()72sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭区间即可.【详解】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8π()g x ，所以函数的最小正周期为，故C 项错误； ()72sin 22sin 28312g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()g x π由，，得的图象的对称轴为，，当72122x k πππ+=+k ∈Z ()g x 1224x k ππ=-k ∈Z 时，得，故A 项错误；12244x k πππ=-=712k =由，，得，，即图象的对称中心为，7212x k ππ+=k ∈Z 17224x k ππ=-k ∈Z ()g x 17,0224k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，当时，得，故B 项错误；k ∈Z 172244x k πππ=-=1312k =由，，得，，当时，得722122k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 1131224224k x k ππππ-≤≤-k ∈Z 0k =，即为的增区间，故D 正确. 132424x ππ-≤≤-13,2424ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()g x 故选：D ．8．定义在R 上的偶函数满足，且当]时，()f x ()()22f x f x -=+,2[0x ∈，若关于x 的方程至少有8个实数解，则实数m 的取值21,01()π2sin 1,122x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩()ln ||m x f x =范围是（ ）A ．B ． 11,00,ln 6ln 5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦11,ln 6ln 5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ． D ． 11,00,ln 6ln 5⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,ln 6ln 5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根()f x ()y f x =ln y m x =据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可. 0x ≥【详解】因为，且为偶函数 ()()22f x f x -=+()f x 所以，即， (2)(2)f x f x -=+()(4)f x f x =+所以函数是以4为周期的周期函数，()f x 作出，在同一坐标系的图象，如图，()y f x =ln y m x=因为方程至少有8个实数解， ()ln m x f x =所以，图象至少有8个交点，()y f x =ln ||y m x =根据，的图象都为偶函数可知，图象在y 轴右侧至少有4个交点， ()y f x =ln ||y m x =由图可知，当时，只需，即， 0m >ln 51m ≤10ln 5m <≤当时，只需，即， 0m <ln 61m ≥-10ln 6m -≤<当时，由图可知显然成立，0m =综上可知，. 11ln 6ln 5m -≤≤故选：B【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若函数的定义域为，则函数的定义域为()f x []0,2()2f x []0,1B ．函数的单调递增区间是()()2lg 45=--f x x x [)2,+∞C ．函数的单调递减区间是1y x=()(),00,∞-+∞U D ．幂函数在上为减函数，则的值为1()()23433m f x m m x -=-+()0,∞+m 【答案】AD【分析】计算抽象函数定义域得到A 错误；根据对数型复合函数单调性法则，先求定义域，再判断单调性判断B ；计算单调区间得到C 错误；根据幂函数的定义结合单调性计算得到D 正确 ，得到答案.【详解】解：对选项A ：函数的定义域为，则函数的定义域为满足，解()f x []0,2()2f x 022x ≤≤得，故定义域为，正确；01x ≤≤[]0,1对选项B ：的定义域为，()()2lg 45=--f x x x ()(),15,∞∞--⋃+故根据复合函数单调性得函数的单调递增区间是，错误；()()2lg 45=--f x x x ()5,+∞对选项C ：函数的单调递减区间是和，错误；1y x=(),0∞-()0,∞+对选项D ：幂函数，则，解得或，()()23433m f x m m x -=-+2331m m -+=1m =2m =当时，在上为增函数，排除；2m =()2f x x =()0,∞+当，，满足条件，故，正确.1m =()1f x x -=1m =故选：AD10．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ． B ． ()4sin 0sin y x x xπ=+<<()40y x x x =+>C ． D ． 3log log 81x y x =+4e e xxy =+【答案】BD【分析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可．【详解】对于A ，当时，，当且仅当时，即时0πx <<4sin 4sin y x x=+≥=4sin sin x x =sin 2x =取得等号，而，所以函数，不满足题意，故A 不正确； sin 2x ≠4y >对于B ，当时，，当为仅当，即时取等，故B 正确；0x >44y x x =+≥=4x x =2x =对于C ，时，，所以，不满足题意，故C 不正01x <<3log 0,log 810x x <<3log log 810x y x =+<确；对于D ，由，所以，当且仅当时，即， e 0x >4e 4e x x y =+≥=4e e x x =e 2x=即取得等号，所以的最小值为4，满足题意，故D 正确.ln 2x =4e exx y =+故选：BD.11．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为.O Q 现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．点距离水平地面的高度与时间（分钟）的函数为Q t ()ππ50sin 60152h t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．点距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 Q ()()15,60,k k ∈Z C ．经过10分钟点距离地面35米Q D ．摩天轮从开始转动一圈，点距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 Q 【答案】ACD【分析】根据题意，由条件求得，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结()h t 果.【详解】由题意可知，在分钟转过的角度为， π2xOQ ∠=OQ t 2ππ3015t t =所以以为终边的角为， OQ ππ152t +所以点距离水平地面的高度与时间的关系为，故A 正Q ()πππ50sin 6050cos 6015215h t t t ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭确； 由，得，所以不是对称中心，故B 错误； πππ,152t k k =+∈Z 1515,2t k k =+∈Z ()()15,60,k k ∈Z 经过10分钟，，故C 正确； ()10π1050cos 603515h =+=由，解得，得，解得， π50cos608515t +≤π1cos 152t ≤ππ5π3153t ≤≤525t ≤≤共20分钟，故D 正确. 故选:ACD12．设函数，集合，则下列命题正确的是()41,14,1xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩()(){}220,M x f x f x k k R =++=∈（ ）A ．当时， 0k ={}0,4,6M =B ．当时1k >M =∅C ．若集合M 有三个元素，则k 的取值范围为 ()15,3--D ．若（其中），则 {},,,M a b c d =a b c d <<<4412a b c d +++=【答案】ABD【分析】解一元二次方程直接求解集即可判断A ，由题设易知集合中方程无解即可判断B ，画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断CD 正误即可.()f x ()()22y fx f x k =++()f x 【详解】A ：时，或，结合解析式：时有或，0k ={|()0M x f x ==()2}f x =-()f x ()0f x =0x =4x =时有，所以，正确；()2f x =-6x ={}0,4,6M =B ：时，由，知方程无解，则，正确；1k >2240k ∆=-<()()220f x f x k ++=M =∅由解析式可得其函数图象如下图示：()f x令，开口向上且对称轴为，()()22y f x f x k =++()1f x =-若，则，即，有以下情况： {},,M a b c =440k ∆=->1k <1、，：()f x m =(13)m ≤<()f x n =(0)n <此时，令，则在上有一个零点，2()2g x x x k =++()g x [1,3)x ∈∴，可得， (1)(3)(15)(3)0(3)01g g k k g k =++≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩153k -<≤-2、，，由A 知：. ()0f x =()2f x =-0k =综上：，故C 错误；(15,3]{0}k ∈--⋃若，由函数的性质及图象知：必有，.{},,,M a b c d =y ()f x ()f x m =(01)m <<()f x n =(23)n -<<-此时，，，()4141a b-=--()()()442f c f d c d +=-++-+=-所以，，所以，故D 正确. 442a b +=10c d +=4412a b c d +++=故选：ABD【点睛】关键点点睛：C 、D 选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对()f x M 应的的可能取值，再结合图象判断正误.()f x三、填空题13．已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________. :p x a <:3q x <p q a 【答案】()3,+∞【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为，，因为是的必要不充分条件， :p x a <:3q x <p q 所以.3a >所以实数的取值范围为. a ()3,+∞故答案为：.()3,+∞14．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽.名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是.几何图形面积AD 1l BC 2l ABCD 为，扇形面积为，若，则___________. 1S BOC2S 123l l =12S S =【答案】8【分析】设，根据，得到，再利用扇形面积公式求解. 12,,AOD OA r OB r θ∠===123l l =11223r l r l ==【详解】解：如图所示：设， 12,,AOD OA r OB r θ∠===则，1212,l l r r θθ==因为，123l l =所以，则， 11223r l r l ==123r r =由扇形面积公式得，222221212119,222S r S S r r θθθ=+==所以， 2124S r θ=则， 128S S =故答案为：815．已知函数，则不等式在上的解集为______.()22x f x x =+()2cos 3f x <[]0,2π【答案】π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，列出不等式，解之即可. 【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称， 2()2x f x x =+R 又，所以函数为偶函数， 22()2()2()x x f x x x f x --=+-=+=()f x 当时，函数在上单调递增，且， 0x >2()2x f x x =+(0,)+∞(1)3f =所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()f x (,0]-∞(0,)+∞又因为不等式，也即， ()2cos 3f x <()2cos (1)f x f <所以，则，因为， 2cos 1x <11cos 22x -<<[0,2π]x ∈所以，π2π4π5π,,3333x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．已知函数，是定义在R 上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且()f x ()g x ()f x ()g x .若对于任意，都有，则实数的取值范围是()()22f x g x ax x +=-+1212x x <<<()()12124g x g x x x ->--a ___________. 【答案】[)1,-+∞【分析】由函数的奇偶性可得，从而可求得函数的解析式，再根()()()(),f x f x g x g x -=--=()g x 据，可得，令，则()()12124g x g x x x ->--()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-()()2442h x g x x ax x =+=++函数在上递增，再根据函数的单调性分和结合二次函数的单调性即可得出答()h x ()1,20a =0a ≠案.【详解】解：因为是奇函数，是偶函数， ()f x ()g x 所以，()()()(),f x f x g x g x -=--=又，则，()()22f x g x ax x +=-+()()()()22f x g x f x g x ax x -+-=-+=++两式相加可得，()22g x ax =+若对于任意，都有，1212x x <<<()()12124g x g x x x ->--可变形为， ()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-令，则函数在上递增，()()2442h x g x x ax x =+=++()h x ()1,2当时，在上递增，符合题意，0a =()42h x x =+()1,2当时，则函数为二次函数，对称轴为，0a ≠()242h x ax x =++2x a=-因为函数在上递增，()h x ()1,2所以或，解得或，021a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩022a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩0a >10a -≤<综上所述，. [)1,a ∈-+∞故答案为：.[)1,-+∞四、解答题17．（1）计算求值：；()23ln33227e log 322019-+-⋅+-（2）解不等式：. ()()0.50.5log 2log 4x x ->-【答案】(1)7；(2).{}23x x <<【分析】(1)根据指数幂运算和对数运算，即可求得答案；(2)因为是减函数，结合对数函数定义域，即可求得答案. 0.5log yx =【详解】(1)()23ln33227e log 322019-+-⋅+-324336lg 3lg 2(3)2311lg 2lg 32⎛⎫=-+-⋅+ ⎪⎝⎭94321=-+-+7=(2)0.50.5log (2)log (4)x x ->-又是减函数0.5log y x =则， 即 ，解得：, 242040x xx x -<-⎧⎪->⎨⎪->⎩324x x x <⎧⎪>⎨⎪<⎩23x <<故原不等式的解集为.{}23x x <<18．已知，.π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求的值；()2sin 22cos f ααα=-(2)若，且的值.π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭αβ+【答案】(1)；45-(2). π4【分析】(1)先利用两角差的正切公式求得角的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍α角公式和同角三角函数的基本关系，进行弦化切，代入即得结果；(2)由，结合所给的角的范围，利用两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的3π3π44ββ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭基本关系，求得，再利用和角的正切公式求解即可.1tan 3β=【详解】（1）∵，π1πtan 0434αα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴，解得. 1tan 11tan 3αα-=+1tan 2α=∴； ()2222sin 22cos 2sin cos 2cos 1cos sin f αααααααα-⋅-==+21222tan 2211tan 5144αα⨯--===-++（2）∵，且，∴， π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3πsin 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭3π3π5π444β<+<∴，3π3πcos 0,cos 44ββ⎛⎫⎛⎫+<+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴3π3π3π3π3π3πsin sin sin cos cos sin444444ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，⎛=-=⎝π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴，∴.cosβ=1tan3β=∴，()11tan tan23tan1111tan tan123αβαβαβ+++===-⋅-⨯又∵，3π4αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴.π4αβ+=19．已知函数.()21sin cos2y f x x x x==-(1)求函数在区间的值域；()y f x=2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范()π6h x f x⎛⎫=-⎪⎝⎭()cos0x h x m-->π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦m围.【答案】(1)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)(),1-∞-【分析】(1)首先化简,再根据范围求出范围，即可得到其值域；()πsin26f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭xπ26x-(2)利用诱导公式和二倍角余弦公式结合分离参数得，再结合22192cos cos12cos48m x x x⎛⎫<+-=+-⎪⎝⎭范围，即可求出右边最小值，即得到答案.x【详解】（1）21()sin cos2f x x x x=-1cos21222xx-=+-12cos22x x=-，πsin26x⎛⎫=-⎪⎝⎭当时，，2π0,3x⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ7π2,666x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，1()sin2,162πf x x⎛⎫⎡⎤=-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故函数在区间的值域为.()y f x=2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）因为()ππsin 2cos 262h x f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()cos 0,cos cos 20x h x m x x m -->+->所以2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48m x x x x x ⎛⎫<+=+-=+- ⎪⎝⎭设()2192cos 48g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若不等式在上恒成立，只需.()cos 0x h x m -->π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min m g x <当时，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈所以当，即时，cos 0x =π2x =()2min π1921248g x g ⎛⎫⎛⎫==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.1m <-实数的取值范围为. m (),1-∞-20．已知函数 ()122x x f x =-(1)判断函数的单调性与奇偶性，并证明结论；()f x (2)当时，解关于的不等式0m >x ()()()()22sin sin πf mx m x f m x f x f x -+->++⎡⎤⎣⎦【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析【分析】（1）根据函数奇偶性与单调性的定义判断即可；（2）利用奇偶性定义可知为奇函数；利用诱导公式可化简所求不等式右侧部分为()f x ，结合奇偶性得到；根据单调性可得自变()()sin sin π0f x f x ++=⎡⎤⎣⎦()()22f mx m x f x m ->-()f x 量大小关系，通过对于范围的讨论，解一元二次不等式求得结果. m 【详解】（1）解：定义域为，， ()f x R ()()212212x x x x f x f x --=--=-=-为定义在上的奇函数，即；()f x \R ()()0f x f x -+=设，且，12x x <12,x x ∈R 则； ()()()12211212211212211122122222212222x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++-⎛⎫-=--+=+-=-+ ⎪⎝⎭，，，1222x x < 12102x x +>()()210f x f x ∴-<在上为减函数.()f x \(),-∞+∞综上，函数在上为减函数，且为奇函数.()f x (),-∞+∞（2）解：由（1）知为定义在上的奇函数，即； ()f x R ()()0f x f x -+=∴，()()()()sin sin πsin sin 0f x f x f x f x ++=+-=⎡⎤⎣⎦原不等式可化为，即；∴()()220f mx m x f m x -+->()()()22f mx m x f m x f x m ->--=-由（1）知：在上为减函数，()f x (),-∞+∞，即；22mx m x x m ∴-<-()()()22110mx m x m mx x m -++=--<①当时，由得：； 01m <<()()10mx x m --<1m x m<<②当时，由得：；1m =()()()2110mx x m x --=-<x ∈∅③当时，由得：； 1m >()()10mx x m --<1x m m <<综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不01m <<1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭1m =∅1m >等式解集为.1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭21．某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随时间（单位：小时）的变化关系为：当时，y x 04x ≤≤；当时，.若多次喷洒（或一次喷洒多个单位），则某一时刻空气中1618y x =--410x <≤152y x =-该消毒剂的浓度为每次投放的消毒剂（或每个单位的消毒剂）在该时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中该消毒剂浓度不低于4（毫克/立方米）时，才能起到有效杀毒的作用. (1)若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久?(2)若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒个单位的该消毒剂，要使第()14a a ≤≤二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求的最小值.（最后结果精确到0.1，参考数据：a） 1.4≈【答案】(1)小时 103(2)1.6【分析】（1）根据喷洒2个单位的净化剂后浓度为，由求()322,042810,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩()4f x ≥解；（2）分别求出第一次喷洒2个单位消毒剂和第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个()14a a ≤≤小时的浓度，则接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为12164,8ay x y a x=-=--，化简利用基本不等式求解. ()12164048am y y x a x x=+=-+-≤≤-【详解】（1）一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为，()322,042810,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，即；当时，，即， 04x ≤≤32248x -≥-843x ≤≤410x <≤104x -≥46x <≤则当时，能起到有效杀毒的作用，863x ≤≤故若一次喷洒2个单位的该消毒剂，有效杀毒时间可达小时； 103（2）由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为，14y x =-第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为， ()14a a ≤≤2168ay a x=--故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为， ()12164048am y y x a x x=+=-+-≤≤-令，则，因为，所以当[]84,8t x =-∈()16448am t a t t=+--≤≤[]4,8t =接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度最小，为，m4a -要符合题意，则，即，解得， 44a -≥80a -+≤2424a -≤≤+又，则，故的最小值为.14a ≤≤244a -≤≤a 24 1.6-≈22．已知函数(常数)． ()22()log 2log 8axf x x =R a ∈(1)当时，函数的最小值为−1，求a 的值；1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x (2)当时，设，若对任意，不等式恒成立，求1a =1m >[)2,x ∞∈+()()()22441x xxx f m f ---<+-实数m 的取值范围． 【答案】(1)－1； (2). 241(1,)60【分析】(1)依题意，令，原函数转化为，其对称轴方程为2log t x =2()(3)3g t t a t a =+--，根据，，与对称轴的位置关系分类讨论，可求得的值； 3322a at --=-=[2t ∈-3]a (2)当时，，令，由，运用换元法，参数分离，得1a =22()(1log )(log 3)f x x x =+-2log t x =21x t ⇒……m ，再利用二次函数和对勾函数的单调性，可求得实数的范围． 44122x x xxm --+-<-m 【详解】（1），()()()()()222222log 2log log log 8log log 3af x x x x a x --＝＋＝＋可令，当，时，，，2log t x =1[4x ∈8][2t ∈-3]则，其对称轴方程为， 2()()(3)(3)3y g t t a t t a t a ==+-=+--32at -=①当，即时，在，上递增，，解322a--…7a …()g t [2-3]min ()(2)42(3)35101g t g a a a =-=---=-+=-得，不符合题意； 115a =②当，即时，在，上递减， 332a-…3a -…()g t [2-3](3)，不符合题意；min ()g t g =(3)(33)01a =+-=≠-③当，即时，，解得． 3232a --<<37a -<<min 333()(()(3)1222a a ag t g a ---==+-=-1a =-综上，a ＝－1；（2）当时，， 1a =22()(log 1)(log 3)f x x x =+-令，∵，则， 2log t x =2x …1t …∵的对称轴为，223y t t =--1t =∴在，递增，即在，递增， 223y t t =--[1)∞+()f x [2)∞+∵和在时均为增函数，22x x y -=-441x x y -=+-2x …∴，，152224x x-->…4412x x -+->∵，∴，1m >(22)2x x m -->∵，∴，即， ((22))(441)xxxxf m f ---<+-(22)441xxxxm ---<+-44122x x x xm --+-<-∵，∴，2441(22)1x x x x --+-=-+12222x xx xm --<-+-∵，在x ＞1时为增函数， 15224x x--…1y x x=+∴根据复合函数的单调性知在x ≥2时为增函数，12222x xxxy --=-+-∴，故， 1154241222241560x xx x ---++=- (24160)m <∵，∴的取值范围是． 1m >m 241(1,)60。

江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2023-2024学年高一下学期2月期初考试数学试卷一、单选题1．已知集合{A xy ==∣，集合(){}2lg 1B y y x ==+，则A B =I （ ） A ．()0,3 B ．(]1,3-C ．[]0,3D ．[)0,∞+2．比较202412023a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120232024b =，12023log2024c =的大小（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>3．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ） A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．()cos f x x =D ．()()tan f x x =-4．已知π1sin 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C ．12D ．12-5．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44xxf x x -=-B ．()44x xf x x--=C ．()()244log x xf x x -=-D ．()()244log x xf x x -=+6．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水温经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过min x 后茶水的温度为y ℃，且()0.9085250,R x y k x k =⋅+≥∈，当茶水温度降至70℃时，此时茶水泡制时间大约为（ ）（结果保留整数，参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln0.90850.0960≈-）． A ．2minB ．3minC ．4minD ．5min7．下列选项中是“[]1,2x ∃∈，2260x mx -+>”成立的一个必要不充分条件的是（ ）A ．8m ≤B ．8m >C ．m ≤D ．8m <8．已知()f x 是定义在R 上的函数在()0,∞+上单调递减，且()20f =，函数()2y f x =+的图象关于点()2,0-对称，则不等式()()110x f x +-≥的解集为（ ） A ．(][),13,-∞-+∞U B ．[]1,3-C ．[][)1,13,-+∞UD ．(][),13,-∞⋃+∞二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合ππππ,Z ,,Z 4224k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M N ⊆B ．终边落在y 轴上的角的集合可表示为{}90π,Z k k αα=+∈o ∣ C ．若sin cos 0x x ->，则π5π2π2π,Z 44x x k x k k ⎧⎫∈+<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．在ABC V 中，若sin2sin2A B =，则ABC V 为等腰三角形 10．已知正实数x ，y 满足21x y +=，则（ ）A ．18xy ≤B C ．29y x xy +≥ D ．221x y +<11．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 图像对称中心为ππ,0,Z 62k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 的单调递增区间为5ππππ,,Z 122122k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．若()1f x ≥，则5ππππ,,Z 12242k k x k ⎛⎫∈-+-+∈ ⎪⎝⎭12．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为函数()f x 的“k 倍伴随区间”，另函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“伴随区间”，下列结论正确的是（ ）A ．若[]2,b 为函数()246f x x x =-+的“伴随区间”，则3b =B ．函数()21f x x=+存在“伴随区间”C ．若函数()f x m =“伴随区间”，则1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍伴随区间”三、填空题13．已知||1a →=，||2b →=，a →与b →的夹角为60︒，c a b λ→→→=+与2d a b →→→=+的夹角为锐角，则λ的取值范围．14．已知扇形的圆心角为2，其所对弦长也为2，该扇形的面积为.15．已知函数()e ,02,0x a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩()R a ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是.16．已知函数()24,510,5x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,,,a b c d e 满足a b c d e <<<<，且()()()()()e ====f a f b f c f d f ，则()()()()()af a bf b cf c df d ef e ++++的取值范围为.四、解答题 17．计算：5412log 323110.255log 11log 27-⨯+-⋅； (2)已知11222a a--=，求()331222a a a a --⎛⎫++- ⎪⎝⎭.18．已知函数()()()()3sin πcos πsin π25πsin πcos πsin 22f θθθθθθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求11π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()2f θ=，求23sin 2sin cos 1θθθ-+的值．19．筒车（chinese noria ）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m ，筒车直径为8m ，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24s ，如图，盛水筒A （视为质点）的初始位置0P 距水面的距离为4m ．(1)盛水筒A 经过s t 后距离水面的高度为h （单位：m ），求筒车转动一周的过程中，h 关于t 的函数()h f t =的解析式；(2)盛水筒B （视为质点）与盛水筒A 相邻，设盛水筒B 在盛水筒A 的顺时针方向相邻处，求盛水筒B 与盛水筒A 的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t ． （参考公式：sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sinsin22θϕϕθθϕ+--=）20．如图，在ABC V 中，点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，过点P 的直线与,AB AC 所在的直线分别交于点,M N ，若,,(0,0)AM AB AN AC λμλμ==>>u u u u r u u u r u u u r u u u r.(1)λ与μ的关系； (2)求λμ+的最小值21．已知函数()1333x x af x +-=+的图象经过点11,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求a 的值，判断()f x 的单调性并说明理由；(2)若存在[]2,1x ∈--，不等式()()2240f x mx f x +++>成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()()9log 91,R xf x kx k =++∈是偶函数.(1)求k 的值；(2)若()102b x x f ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭对于任意x ∈R 恒成立，求b 的取值范围.。