十、余数的妙用

余数的妙用余数的妙用（週期问题）我们学会了有余数的除法，还知道余数要比除数小的道理，利用除法与余数的知识，可解决生活中很多有趣的问题。

在研究这些有趣的问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重複出现的规律，也就是找出迴圈的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后，根据余数得出正确的结果。

例1 有一堆围棋，按“二白三黑”排列起来，如下图，想一想，第37个是白子还是黑子？第60个呢？解析：这堆棋子的排列是有一定规律的，即按“二白三黑”5个棋子组成一组，这个组依次不断地重複出现，我们先算出37个棋子可以排成这样的几组：37÷5=7（组）……2（个），余数是2，这两个棋子表示第8组的前2个，所以第37个棋子是白子；同理，60÷5=12（组）没有余数，那幺第60个棋子正好是第12组的最后一个，所以，第60个棋子是黑子。

37÷5=7（组）……2（个）60÷5=12（组）答：第37个是白子，第60个是黑子。

1. 有一堆围棋子，如果按“二白三黑”的顺序依次排列起来（如图），第84颗是白子还是黑子？第53颗和第91颗呢？2. 小朋友按照下面的规律串珠子，从左往右数：红、红、黄、黄、黄、红、红、黄、黄、黄……（1）第19颗珠子是什幺颜色？（2）第42颗珠子是什幺颜色？3. 有一列队伍，按1，2，3，4报数，如果这列队伍共有56有，那幺最后一个人应报多少？第39名队员应报多少？4. 有同样大小的红、白、黑珠共120颗，按先3颗红珠后2颗白珠再1颗黑珠排成一排。

问第68颗是什幺颜色？白株共多少颗？例2 202X年的10月1日是星期一，10月25日是星期几？解析：我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个週期不断地重複，从10月1日到10月25日经过了25－1=24天，24÷7=3（星期）……3天，说明24天中包括3个星期还多3天，所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就是星期四。

余数的妙用（一）知识点：在有余数的除法里：余数要比除数小；被除数=除数×商+余数。

要求平均分给几个小朋友，平均每人种多少棵树等这类问题时，应该首先从总数里去掉多余的部分，使其能够除尽，这样就能符合题意，求出问题的答案。

例1、（1）□÷□=□……4，除数最小是几？（2）□÷6=□……□，余数可以是几？其中最大的一个是几？练习1：1．（）÷（）=（）……6，除数最小是几？2．（）÷（）=6……7，除数取最小时，被除数是几？3．（）÷8=7……（），余数取最大时，被除数是几？例2、（）÷8=3……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？练习2：1．下面各题中被除数最大填几，最小填几？①（）÷6=8……（）②（）÷7=5……（）2．下题中要使除数最小，被除数应为几？①（）÷（）=6......8 ②（）÷（）=9 (1)例3、老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了几位小朋友？练习3：1．在括号里填上合适的数。

48÷（）=9......3 67÷（）=7 (4)2．阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了几个小朋友？3．某数（0除外）除以5，当商和余数相同时，这个数可能是哪些数？例4、有28个梨，最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多？每个小朋友分几个？练习4：1．有37只气球，最少拿走几只，就使得7个小朋友分得一样多？每个小朋友分几只？2．老师做了许多小红花，分给20个小朋友，每人3朵，还剩下2朵，老师共做了多少朵小红花？3．学校体育室要给全校20个班级发乒乓球，现在已知每班分到4只，剩下的只数不够分了，体育室里最多有多少只乒乓球？例5、有一筐梨,总数不到60个,把这筐梨平均分给8个人,还剩2个,这筐梨最多有多少个?练习5：1.一盒饼干，总数不到51块，平均分给8个小朋友，还余下2块，这盒饼干里有多少块？2.有一些练习本,不到35本,平均分给4个孩子或平均分给7个孩子,都剩下3本,想一想，有多少本练习本？3．学校总务主任到文具店买几盒相同价钱的橡皮，付了50元钱，找回10元，你知道总务主任买了多少盒橡皮吗？？课后作业余数的妙用（二）教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。

余数的妙用知识要点1、在进行除法运算时，往往会产生余数，对于有余数的除法，许多同学有时很头疼。

但是有余数的除法也不是一无是处，它还有许多妙用，用好它对于我们解决具体问题时有好处的。

2、除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数经典范例例1 被除数是41，余数是,6，除数和商各是多少？思路解析：被除数-余数=除数×商=41-6=35=1×35或5×7解：41-6=3535=1×35或35=5×7当除数=35时商=1 当除数=7时商是5答：当除数=35时商=1 当除数=7时商是5例2 假如今天是星期二，从今天算起，第29天是星期几？思路解析：因为时间是从今天算起，假如今天是1号，到第29号就是29天，这样就算出总天数。

一周是7天，看看这29天中有几个7天，然后再数数余数的天数就可以了。

因为今天是星期二，是前面几个整周的开头第一天，所以余数的第一天也是星期二。

解：29÷7=4 ---- 1答：第29天是星期二。

例3 幼儿园阿姨给小朋友们准备了又红又大的苹果。

7个7个数，也余1个。

你能算出至少有多少个苹果吗？思路解析：5个5个数，余1个，就是苹果数倍5除余1,有5、10、15、20、25、30、35、40---；7个7个数，也余1个，是苹果数7除余1,有7、14、21、28、35、42---；所以苹果数既要能被5除余1，也要能被7除余1.从上面的列出数看，它们共同的最小数是35.解：能被5整除5、10、15、20、25、30、35、40---；能被7整除7、14、21、28、35、42---；35+1=36（个）答：共有苹果36个。

例4 豆豆和丁丁玩报数游戏，每次每人报1 - 4个数，即不能超过4个数。

谁报到88个数谁胜。

丁丁先报，豆豆后报。

可不管怎么报，都是丁丁胜。

豆豆很奇怪。

丁丁说：“那是因为我知道余数的妙用。

三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三我是这样解的在解答一些实际问题时，我们可以把重复出现的部分看作一组，再想总数里有几个这样的一组，用除法计算。

余数的妙用方案设计：天门市蒋场小学张华波方案说明适用年级：小学二年级活动类别：小课题研究设计意图：（1）素质教育的理念已经深入人心。

用余数的除法解决问题是在学生初步理解了有余数除法的意义、有余数除法算式的写法和读法、余数与除数的关系之后安排的，主要学习用有余数的除法解决生活中的实际问题。

它是除法学习的一个重要的认识拐点，深化了学生对除法意义的理解，极大的丰富了除法的应用背景。

在解决有余数除法的问题中，学生的观察、分析和推理等数学能力也得到发展。

但是，如何将数学联系实际，运用有余数除法来解决生活中的实际问题，学生们的思维过程还不是很清晰。

（2）本课题是通过一些联系学生生活实际的典型例题，通过小组合作，让学生经历观察、比较、分析、归纳、推理、运算的思维过程，分析问题从而得出解决问题的方法。

并让学生学会用除法来解决周期性的问题。

（3）本课题既有利于提高学生对有余数的除法的进一步认识，加深对除法本质意义的理解，培养学生解决实际问题的能力，还可以让学生认识到“数学即生活”，从而提高学生学习数学的积极性。

正文部分课题名称：余数的妙用活动目标：（1）本活动安排在完成余数与除数的关系的学习之后，目的在于培养学生学会用除法解决周期性的问题。

（2）培养学生首先要仔细审题，判断其重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后，根据余数得出正确的结果。

进一步理解有余数除法的意义，加深余数和除数关系的理解。

（3）引导学生从数学的角度观察生活，用数学知识分析生活问题，真正体会数学源于生活且服务与生活，培养学生的应用知识与能力。

活动过程：一、创设问题情境，激发解决问题的欲望。

1、师生做音乐律动教师带领学生随着音乐节拍周期性地重复拍手、跺脚、拍肩三个动作。

刚才我们都做了哪些动作？（课件：拍手、跺脚、拍肩）提问：照这样做下去，你知道第22拍是什么动作吗？（生猜测）2、巧猜激趣刚才同学们猜的时候遇到了一点困难，老师有一个神奇的本领，不管你说第几拍我都能很快说是哪个动作。

余数与因数的应用在数学中，余数和因数都是重要的概念。

余数是指一个数除以另一个数所得的不尽的部分，而因数则是能够整除给定数的数。

这两个概念在日常生活和数学问题中都有着广泛的应用。

本文将探讨余数和因数的一些常见应用，并举例说明。

一、余数的应用1. 时钟问题在时钟问题中，余数的概念被广泛运用。

假设现在是下午3点，我们想知道在20小时后是几点。

这个问题可以通过计算20÷12得到商数1和余数8，意味着20小时后的时刻比当前时间多8个小时。

因此，在下午3点的基础上，加上余数8个小时，得到答案是晚上11点。

2. 日历问题在日历问题中，余数也能帮助我们计算特定日期，如某个星期的某一天是几号。

例如，我们知道某年的1月1日是星期一，我们希望知道12月31日是星期几。

首先，我们需要计算出一年有多少周，然后计算余数。

如果一年有52个星期，那么余数是365除以7得到的余数，即1。

所以，12月31日就是星期一。

3. 数字校验在数字校验中，余数也起到重要的作用。

例如，银行卡号、身份证号等都采用了基于余数的校验算法。

以银行卡号为例，最后一位通常是校验位，由前面的数字通过一定的算法计算得出。

当输入银行卡号时，系统会自动计算出校验位，如果计算出的校验位与输入的校验位相同，则说明输入的银行卡号是正确的。

二、因数的应用1. 分解质因数质因数分解是指将一个数分解成一系列质数的乘积。

对于一个正整数n，它的质因数分解形式可以写成n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pn^an，其中p₁、p₂...pn都是质数，a₁、a₂...an都是正整数。

质因数分解在数学和密码学等领域都有着重要的应用。

2. 最大公因数和最小公倍数在计算最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）的问题中，因数也扮演着重要的角色。

最大公因数是指两个或多个数中能够整除所有数的最大数，而最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的数。

第十讲余数的妙用例1 按规律继续画下去，第25个图应该画什么？□,○,△,□,○,△……分析由题意可知，这些图形的排列规律是按□、○、△顺序为一组，即一个周期排列的，我们要先算出25个图形中有多少个周期，再看余下几个图形。

解答 25÷3=8……1 则第25个图形是□。

例2新年联欢会同学们要在教室的四周挂气球。

按红、黄、蓝、绿、紫的顺序挂，一共挂了49只气球。

(1)想一想，第49只气球是什么颜色的？(2)这49只气球中，每种颜色的气球各有多少只？分析 (1)这49只气球按照红、黄、蓝、绿的顺序每5只气球为一组，先算出49只气球中有几组，再看余数辨别颜色。

(2)每组中每种颜色的气球有1只，看有多少个这样的组就有多少只气球，别忘记再加上余下的几只气球啊！解答 (1)49÷5=9 (4)答：第49只气球是绿颜色的。

(2)红色：1×9+1=10(只) 黄色：1×9+1=10(只)蓝色：1×9+1=10(只) 绿色：1×9+1=10(只)紫色：1×9=9(只)例3今天是星期二，再过21天是星期几？再过48天呢？分析每星期有7天，21天正好是3个星期，今天是星期二，再过3个星期也正好是星期二。

再过48天是6个星期余6天，再过6天正好是星期一。

解答 21÷7=3答：再过21天是星期二。

48÷7=6 (6)答：再过48天是星期一。

智力训练营1.※○□◇※○□◇※○□◇……这组图形中第30个是什么图形？2.王老师把48朵花发给A,B,C,D,E,F,G这7个同学。

(1)第24朵花发给了哪位同学？(2)每位同学分到几朵花？3.运动场上有一排彩旗，按照3面红旗、一面蓝旗、2面粉旗、1面绿旗的顺序排列。

想一想，第45面是什么颜色的旗？第50面呢？4.有一列数：3，2，4，3，2，4，3，2，4……(1)这列数中第22个数是多少？(2)这22个数字的和是多少？5.大象伯伯给动物们分水果，一共有25个桃子，按照山羊、松鼠、小牛、兔子、小狗、小猴的顺序分发，每次发1个桃子。

余数的妙用教学设计与教案教学目标：1. 理解余数的概念，掌握求余数的方法。

2. 能够运用余数解决实际问题，体会余数的妙用。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 余数的概念及其求法。

2. 运用余数解决实际问题。

教学难点：1. 余数的求法。

2. 灵活运用余数解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件或黑板，展示一些图片，如时间、温度等，引导学生观察这些图片中的余数现象。

2. 提问：你们能找出这些图片中的余数吗？它们有什么用处呢？二、新课导入（15分钟）1. 讲解余数的概念：在整数除法中，除数不能整除被除数时，剩下的数叫做余数。

2. 演示求余数的方法，如36除以5，余数是1。

3. 举例说明余数的求法，并让学生尝试求解。

三、余数的妙用（15分钟）1. 讲解余数在实际问题中的应用，如时间计算、温度转换等。

2. 出示练习题，让学生运用余数解决实际问题。

四、课堂练习（10分钟）1. 出示练习题，让学生独立完成。

2. 选几位学生上台演示解题过程，并讲解思路。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的学习内容，让学生明确余数的概念和求法，以及余数在实际问题中的应用。

2. 出示一些拓展题目，让学生课后思考和练习。

教学反思：本节课通过导入、新课、练习和总结等环节，让学生掌握了余数的概念和求法，以及余数在实际问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。

六、案例分析：余数在生活中的应用（15分钟）1. 展示生活中常见的余数应用案例，如购物找零、制作蛋糕等。

2. 引导学生分析案例中的余数是如何产生的，以及如何利用余数解决问题。

3. 让学生尝试解决类似问题，并进行交流分享。

七、互动游戏：余数大挑战（15分钟）1. 设计一个关于余数的互动游戏，如“余数接龙”。