2014年1月青浦区一模数学卷

2014年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）在直角坐标系内，到点（1，0）和直线x＝﹣1距离相等的点的轨迹方程是．2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜a}，B═{x|﹣1＜x＜2}，且A∪∁U B＝R，则实数a的取值范围是．3．（4分）各项为实数的等比数列中a7＝﹣1，a19＝﹣8，则a13＝．4．（4分）已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为．5．（4分）已知cos（+α）＝，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）＝．6．（4分）已知圆锥底面圆的周长为4π，侧棱与底面所成角的大小为arctan2，则该圆锥的体积是．7．（4分）要使函数y＝x2﹣ax+3在区间[2，3]上存在反函数，则实数a的取值范围是．8．（4分）已知（1﹣q n）＝1，则实数q的取值范围是．9．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（）＝2，则不等式f（2x）＞2的解集为．10．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，从A的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率是．11．（4分）点P在＝1上，若|PF1|＝16，则|PF2|＝．12．（4分）已知扇形的周长为定值l，写出扇形的面积y关于其半径x的函数解析式．13．（4分）已知直角坐标平面上任意两点P（x1，y1），QP（x2，y2），定义d（P，Q）为P，Q两点的“非常距离”．当平面上动点M（x，y）到定点A（a，b）的距离满足|MA|＝3时，则d（M，A）的取值范围是．14．（4分）若不等式（﹣1）n•a＜3+对任意自然数n恒成立，则实数a 的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数g （x）＝（a﹣2）x2在R上的单调性（）A．单调递增B．单调递减C．在（﹣∞，o）上递减，在（o，+∞）上递增D．在（﹣∞，o）上递增，在（o，+∞）上递减16．（5分）直线（a2+1）x﹣2ay+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＞0，S16＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．18．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）＝4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A．1﹣≤m≤1+B．1﹣≤m≤2C．﹣2≤m ≤2D．﹣2≤m≤1﹣三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量＝（cos，1），＝（﹣l，sin（A+B）），且⊥．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若•＝，且a+b＝4，求c．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D为B1C1的中点，求异面直线AD与A1B所成的角的大小．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n＝S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．22．（16分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．（1）求椭圆C的方程．（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值．23．（18分）设集合．（1）已知函数，求证：f（x）∈M；（2）对于（1）中的函数f（x），求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意x＞0成立．（3）对于任意f（x）∈M，求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式对任意x＞0成立．2014年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）在直角坐标系内，到点（1，0）和直线x＝﹣1距离相等的点的轨迹方程是y2＝4x．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，到点（1，0）和直线x＝﹣1距离相等的动点的轨迹是以点（1，0）为焦点，以直线x＝﹣1为准线的抛物线，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，故答案为：y2＝4x．2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜a}，B═{x|﹣1＜x＜2}，且A∪∁U B＝R，则实数a的取值范围是a≥2．【解答】解：∵全集U＝R，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁U B＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵A＝{x|x＜a}，A∪（∁U B）＝R，∴a≥2，则a的取值范围为a≥2．故答案为：a≥23．（4分）各项为实数的等比数列中a7＝﹣1，a19＝﹣8，则a13＝．【解答】解：由等比数列的性质得：，解得．∴＝＝﹣．故答案为：．4．（4分）已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为．【解答】解：∵，＝（5，3）．设与夹角为θ，则＝，∴向量在方向上的投影为＝＝．故答案为：．5．（4分）已知cos（+α）＝，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）＝﹣．【解答】解：∵∴∵∴∵，∴＝＝，故答案为：．6．（4分）已知圆锥底面圆的周长为4π，侧棱与底面所成角的大小为arctan2，则该圆锥的体积是．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，侧棱与底面所成角为θ，∵θ＝arctan2，∴tanθ＝2则4π＝2πr，∴r＝2，又tan＝2∴h＝4，∴圆锥的体积为＝．故答案为：7．（4分）要使函数y＝x2﹣ax+3在区间[2，3]上存在反函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，4]∪[6，+∞）．【解答】解：要使函数y＝x2﹣ax+3在区间[2，3]上存在反函数，则函数y＝x2﹣ax+3在区间[2，3]上单调，则或，即a≤4或a≥6．实数a的取值范围是：（﹣∞，4]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，4]∪[6，+∞）．8．（4分）已知（1﹣q n）＝1，则实数q的取值范围是（﹣1，1）．【解答】解：∵（1﹣q n）＝1，∴，故|q|＜1，则q的取值范围为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．9．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（）＝2，则不等式f（2x）＞2的解集为（﹣1，+∞）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，且f（）＝2，所以f（﹣）＝2，又f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，由f（2x）＞2得，2x＞或2x＜﹣（舍），由解得x＞﹣1．所以不等式f（2x）＞2的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．10．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，从A的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率是．【解答】解：∵A中有5个元素，∴其非空子集的个数为25﹣1＝31．该集合中所有元素之和为奇数的情况有5种情况：①集合中含有1个元素的情况有3种；②集合中含有2个元素的情况有种；③集合中含有3个元素的情况有＝4种；④集合中含有4个元素的情况有＝2种；⑤集合中含有5个元素的情况有1种，故该集合中所有元素之和为奇数的概率为：．故答案为：．11．（4分）点P在＝1上，若|PF1|＝16，则|PF2|＝26．【解答】解：双曲线＝1中，a＝5，b＝12，c＝13，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，∵|PF1|＝16，∴点P在双曲线的左支上，根据双曲线的几何性质，得|PF2|﹣|PF1|＝2a＝10，∴|PF2|＝26．故答案为：26．12．（4分）已知扇形的周长为定值l，写出扇形的面积y关于其半径x的函数解析式y＝（l﹣2x）x，x∈（，）．【解答】解：由题意，扇形的半径为x，周长为l，则扇形的弧长为l﹣2x，∴扇形的面积为y＝（l﹣2x）x，又，解得＜x＜，∴所求函数的解析式为：y＝（l﹣2x）x，x∈（，）故答案为：y＝（l﹣2x）x，x∈（，）13．（4分）已知直角坐标平面上任意两点P（x1，y1），QP（x2，y2），定义d（P，Q）为P，Q两点的“非常距离”．当平面上动点M（x，y）到定点A（a，b）的距离满足|MA|＝3时，则d（M，A）的取值范围是[，3]．【解答】解：由题意可知点M在以A为圆心，r＝3为半径的圆周上，如图所示：由“非常距离”的新定义可知：当|x﹣a|＝|y﹣b|时，d（M，A）取得最小值，d （M，A）min＝；当|x﹣a|＝3，|y﹣b|＝0或|x﹣a|＝0，|y﹣b|，＝3时，d（M，A）取得最大值，d （M，A）max＝3，故d（M，A）的取值范围为[，3]．故答案为：[，3]．14．（4分）若不等式（﹣1）n•a＜3+对任意自然数n恒成立，则实数a 的取值范围是[﹣3，2）．【解答】解：当n为奇数时，不等式可化为，即a＞﹣3﹣，要使不等式对任意自然数n恒成立，则a≥﹣3；当n为偶数时，不等式可化为，要使不等式对任意自然数n恒成立，则＝3﹣1＝2，即a＜2．综上：﹣3≤a＜2．故答案为：[﹣3，2）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数g （x）＝（a﹣2）x2在R上的单调性（）A．单调递增B．单调递减C．在（﹣∞，o）上递减，在（o，+∞）上递增D．在（﹣∞，o）上递增，在（o，+∞）上递减【解答】解：∵指数函数f（x）＝a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，∴二次函数g（x）＝（a﹣2）x2的图象开口向下，对称轴是x＝0；∴g（x）在区间（﹣∞，0）上递增，在区间（0，+∞）上递减；故选：D．16．（5分）直线（a2+1）x﹣2ay+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）【解答】解：①当a＝0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k＝，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[）．③当a＜0时，直线的斜率，∴k≤﹣1，即直线的倾斜角的取值范围为（]．综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：C．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＞0，S16＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n }为等差数列，且S 15＞0，S 16＜0， ∴a 8＞0，a 8+a 9＜0，即a 9＜0， 则的前8项为正，第9到15项为负，且前8项中，分子不断变大，分母不断减小 ∴中最大的项为故选：C ．18．（5分）对于函数f （x ），若在定义域内存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），称f （x ）为“局部奇函数”，若f （x ）＝4x ﹣m 2x +1+m 2﹣3为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．1﹣≤m ≤1+B ．1﹣≤m ≤2 C ．﹣2≤m≤2D ．﹣2≤m ≤1﹣【解答】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解即可，即f （﹣x ）＝4﹣x ﹣m 2﹣x +1+m 2﹣3＝﹣（4x ﹣m 2x +1+m 2﹣3）， ∴4x +4﹣x ﹣2m （2x +2﹣x ）+2m 2﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣2m ⋅（2x +2﹣x ）+2m 2﹣8＝0有解即可． 设t ＝2x +2﹣x ，则t ＝2x +2﹣x ≥2，∴方程等价为t 2﹣2m ⋅t +2m 2﹣8＝0在t ≥2时有解， 设g （t ）＝t 2﹣2m ⋅t +2m 2﹣8， 对称轴x ＝，①若m ≥2，则△＝4m 2﹣4（2m 2﹣8）≥0， 即m 2≤8， ∴﹣2，此时2，②若m ＜2，要使t 2﹣2m ⋅t +2m 2﹣8＝0在t ≥2时有解， 则，即，解得1﹣，综上：1﹣．故选：B．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量＝（cos，1），＝（﹣l，sin（A+B）），且⊥．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若•＝，且a+b＝4，求c．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得•＝﹣cos+sin（A+B）＝0，化简可得﹣cos+sin C＝﹣cos+2sin cos＝cos（﹣1+2sin）＝0，∵C∈（0，π），∴∈（0，），∴cos＞0，∴﹣1+2sin＝0解得sin＝，∴＝，∴C＝（Ⅱ）∵•＝ab cos C＝ab＝，∴ab＝3，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝42﹣3×3＝7∴c＝20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D为B1C1的中点，求异面直线AD与A1B所成的角的大小．【解答】解：（1）由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1，由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．又A1C1⊥A1B1，得AA1∩A1B1，＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1，又A1C1∩BA1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1（2）设AB1∩BA1＝O，取线段B1D的中点M，连结OM，∵OM∥AD，∴直线OM与A1B所成角即为直线AD与A1B所成的角，设AB＝AC＝AA1＝a，在△OMA1中，OM＝AD＝a，OA1＝a，A1M＝a，由余弦定理可得cos∠A1OM＝＝∴∠A1OM＝arccos，即异面直线AD与A1B所成角的大小为：arccos 21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n＝S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a2a1＝S2+S1＝2a1+a2①当n＝2时，得②②﹣①得，a2（a2﹣a1）＝a2③若a2＝0，则由①知a1＝0，若a2≠0，则a2﹣a1＝1④①④联立可得或综上可得，a 1＝0，a2＝0或或（Ⅱ）当a 1＞0，由（Ⅰ）可得当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴＝令由（Ⅰ）可知＝＝∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b7＝当n≥8时，∴数列的前7项和最大，＝＝7﹣22．（16分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．（1）求椭圆C的方程．（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值．【解答】解：（1）由题意可知a＝2b且，∴a＝2，b＝1，…2分∴椭圆的方程为；（2）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝且△＝16（1+4k2﹣m2）＞0，∵k1、k、k2恰好构成等比数列．∴k2＝k1k2＝∴﹣4k2m2+m2＝0，∴k＝，此时△＝16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，）∴x1+x2＝±2m，x1x2＝2m2﹣2∴|OA|2+|OB|2＝＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2＝5，∴|OA|2+|OB|2是定值为5．…（3）S＝|AB|d＝＝＝＝1，当且仅当m＝±1时，S的最大值为1．23．（18分）设集合．（1）已知函数，求证：f（x）∈M；（2）对于（1）中的函数f（x），求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意x＞0成立．（3）对于任意f（x）∈M，求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式对任意x＞0成立．【解答】证明：（1）由可得，f（）＝＝， (3)分因此f（x）＝f（）．又x＞0，∴f（x）∈M．…4分（2）由f（x）＝＝，设函数g（x）＝（x≥2），当x＞0时，≥2＝2．…8分则g（）＝＝＝f（x）．…10分即存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g（）＝f（x）对任意x ＞0成立．（3）当x＞0时，设＝t，则t≥2，可得x2﹣tx+1＝0，解得x＝，…12分设函数g（x）＝f（）（x≥2），当x＞0时，≥2＝2．…13分则g（）＝f（）＝f（）．…14分当0＜x＜1时，x≤，g（）＝f（）＝f（）＝f（x）…16分当x＞1时，，g（）＝f（）＝f（x）．…18分即存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g（）＝f（x）对任意x ＞0成立．。

2024届上海市青浦区高三一模数学试卷一、填空题1．已知集合[)2,3A =−，{}|16B x x =−<<，则A B =．2．若复数z 满足i 3i z =+，则z =．3．已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（结果用含有m 的式子表示）．4．2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后,园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ． 5．6(32)x −的二项展开式中3x 项的系数是 ．（用数值作答） 6．已知球的表面积是4π，则该球的体积是．7．某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为．8．若函数cos()y x φ=+是奇函数，则该函数的所有零点是．9．已知向量(1,1)d =−垂直于直线l 的法向量，过(1,1)A 、(1,8)B −分别作直线l 的垂线，对应垂足为1A 和1B ，若11A B d λ=，则实数λ的值为．10．已知函数222,0,3,0x x x y ax a x x ⎧−+⎪=⎨++<⎪⎩≥的值域为R ，则实数a 的取值范围为 ．11．已知数列{}n a 的通项公式为18n a n =−，记1nn ii S a==∑，若30225n n S S +−=，则正整数n 的值为 ．12．已知三个互不相同的实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，2223a b c ++=，则abc 的取值范围为 ．13．已知a ，b ∈R ,则“a b >”是“33a b >”的（）.A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．若函数()y f x =在0x x =处的导数等于a ，则000()()limx f x x f x x x ∆→+∆−−∆∆的值为（ ）.A ．0B ．aC ．2aD ．3a15．已知直线m ，n ，平面α，β.给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ； ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥； ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则//αβ. 其中正确的命题的个数是（ ）. A ．1B ．2C ．3D ．416．定义：如果曲线段C 可以一笔画出，那么称曲线段C 为单轨道曲线．．．．．，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段C 由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段C 为双轨道曲线．．．．．．对于曲线()0m m Γ=>有如下命题：:p 存在常数m ，使得曲线为单轨道曲线；:q 存在常数m ，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是().A ．p 和q 均为真命题B ．p 和q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题三、解答题17.已知四棱锥P − ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3, PD ⊥平面ABCD ．（1）求证：BC ⊥平面CDP ；（2）若直线AD 与BP 所成的角大小为60︒，求DP 的长．18.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac −++=． （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 的周长的最大值．二、选择题19.上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处．．．．．．．．．．．．）所用时．间．．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；2.所有人员排成单列行进撤离；3.队列中人员的间隔是均匀的；4.队列匀速地撤离建筑物．（1）上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；（2）如图，设第一间教室（图中右）的人数为11n +，第二间教室（图中左）的人数为21n +，每间教室的长度为l ，其中1n ，2n 都是正整数，0l >，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的20.已知椭圆的离心率是12，长轴长4，椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知A ，B ，C 是椭圆上三个不同的点，F 是椭圆的右焦点，若原点O 是ABC ∆的重心，求FA FB FC ++的值；（3）已知T (1,1)，椭圆Γ四个动点M ，N ，P ，Q 满足MT = 3TQ ，NT = 3TP ,求直线MN 的方程．门门l l安全出口撤离方向21.已知有穷等差数列12{}:,,,(3,)n m a a a a m m ≥∈*N 的公差d 大于零．（1）证明：{}n a 不是等比数列；（2）是否存在指数函数．．．．()y f x =满足：()y f x =在1x a =处的切线的交x 轴于2(,0)a ，()y f x =在2x a =处的切线的交x 轴于3(,0)a ，…，()y f x =在1m x a −=处的切线的交x 轴于(,0)m a ？若存在，请写出函数()y f x =的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；（3）若数列{}n a 中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列{}n b ，求出所有可能的m 的取值．参考答案一、填空题1．(-1,3) 2． 3. m 4．5．-4320 6.7. 39 8．9.10．11．2或3 12.二、选择题13. C 14. C 15. A 16. A三、解答题17.（1）（1）PD⊥平面ABCDDP⊥BC又BC⊥DC 且DC DP=DBC⊥平面CDP．（218.（10（2）当A=300时，△ABC的周长的最大值为4+219.（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：假设1 是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况；假设2 是为了方便模型的建立，与假设 1 相呼应；假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法；假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法．20.（1（2）6（3）3x+4y-2=021.（3）3。

2014年上海一模25题集锦1、（2014年一模宝山26题）、如图△ABC 中，0090305cm C A BC ∠=∠==，，；△DEF 中，090D ∠=，045E ∠=，3cm DE =. 现将△DEF 的直角边DF 与△AB C 的斜边AB 重合在一起，并将△DEF 沿AB 方向移动（如图）.在移动过程中，D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合，一直移动至点F 与点B 重合为止）.（1）在△DEF 沿AB 方向移动的过程中，有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化，现设,AD x BE y ==，请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域.（2）请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，E 、B 的连线与AC 平行？ 问题②：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得022.5EBD ∠= ？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？ （本题6+8=14分）2、（2014年一模崇明25题）（本题满分14分，其中第1、2小题各5分，第3小题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，3cos 4C =，2ABC C ∠=∠，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），F 是AC 边上一点，且∠AEF ＝∠ABC ，AE 与BD 相交于点G 。

（1）求证：AB BGCE CF=； （2）设BE ＝x ，CF ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长。

25、（1）证明：∵BD 平分ABC ∠∴2ABC ABD ∠=∠ ∵2ABC C ∠=∠∴ABD C ∠=∠∵AEC ABC BAE ∠=∠+∠ 即AEF FEC ABC BAE ∠+∠=∠+∠ ∵AEF ABC ∠=∠∴BAE FEC ∠=∠∴△ABG ∽△ECF ∴AB BGCE CF=B（2）过点A 作BC 的平行线交BD 的延长线于点M ∵AM ∥BC ∴∠M ＝∠DBC∵∠ABD ＝∠DBC ∴∠M ＝∠ABD ∴AM ＝AB ＝8 过点A 作AN MB ⊥，垂足为N∵3,cos ,4ABD C C AB AC ∠=∠==∴6,12BN MN BM === ∵AM ∥BC ∴AM MG BE BG =∴812BG x BG -=∴128xBG x =+ ∵AB BGCE CF =∴128810x x xy +=- ∴()2303010216x x y x x -=<<+（3）当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时存在以下两种情况： 1°AE AF =，则AEF AFE ∠=∠易证明FE FC y ==， 又∵3cos 4C =易得32EC y =， 又∵10EC x =- ∴2023x y -=又∵2303216x x y x -=+解得()126.4,10x x ==舍去即BE 的长为6.42°EA EF =作线段CF 的垂直平分线交BC 于点H ，交FC 于点K ，联结HF 则易证△ABE ≌△EHF ，HF ＝HC ∴8,AB EH BE FH HC x =====∴2810x += ∴1x =即BE 的长为1综上所述，当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时，BE 的长为6.4或1。

2014年上海一模25题集锦1、（2014年一模宝山26题）、如图△ABC 中，；△DEF 0090305cm C A BC ∠=∠==，，中，，，. 现将△DEF 的直角边DF 与△AB C 的斜边AB 090D ∠=045E ∠=3cm DE =重合在一起，并将△DEF 沿AB 方向移动（如图）.在移动过程中，D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合，一直移动至点F 与点B 重合为止）.（1）在△DEF 沿AB 方向移动的过程中，有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化，现设，请你写出与之间的函数关系式及其定义域.,AD x BE y ==y x （2）请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，E 、B 的连线与AC 平行？ 问题②：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得 ？如果存在，022.5EBD ∠=求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？ （本题6+8=14分）2、（2014年一模崇明25题）（本题满分14分，其中第1、2小题各5分，第3小题4分）如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，，，BD 平分∠ABC 交AC 边3cos 4C =2ABC C ∠=∠于点D ，点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），F 是AC 边上一点，且∠AEF ＝∠ABC ，AE 与BD 相交于点G 。

（1）求证：；AB BGCE CF=（2）设BE ＝x ，CF ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长。

B25、（1）证明：∵BD 平分∴ABC ∠2ABC ABD ∠=∠∵∴2ABC C ∠=∠ABD C∠=∠∵ 即AEC ABC BAE ∠=∠+∠AEF FEC ABC BAE ∠+∠=∠+∠∵∴AEF ABC ∠=∠BAE FEC∠=∠∴△ABG ∽△ECF ∴AB BGCE CF=（2）过点A 作BC 的平行线交BD 的延长线于点M ∵AM ∥BC ∴∠M ＝∠DBC∵∠ABD ＝∠DBC ∴∠M ＝∠ABD ∴AM ＝AB ＝8过点A 作，垂足为NAN MB ⊥∵3,cos ,4ABD C C AB AC∠=∠==∴6,12BN MN BM ===∵AM ∥BC ∴∴∴AM MG BE BG =812BG x BG -=128xBG x =+∵∴AB BG CE CF =128810xx x y +=-∴()2303010216x x y x x -=<<+（3）当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时存在以下两种情况：1°，则AE AF =AEF AFE∠=∠易证明， 又∵FE FC y ==3cos 4C =易得， 又∵32EC y =10EC x =-∴又∵2023x y -=2303216x x y x -=+解得()126.4,10x x ==舍去即BE 的长为6.42°EA EF=作线段CF 的垂直平分线交BC 于点H ，交FC 于点K ，联结HF 则易证△ABE ≌△EHF ，HF ＝HC ∴8,AB EH BE FH HC x=====∴2810x +=∴1x =即BE 的长为1综上所述，当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时，BE 的长为6.4或1。

BA D CO（第6题图）S 1S 2S 3S 4 静安区、青浦区2014学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2015.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列各式中与32)(a -相等的是 （A ）5a ；（B ）6a ； （C ）5a -； （D ）6a -．2．下列方程中，有实数解的是（A ）12-=-x ； （B ）x x -=-2； （C ）0242=--x x ； （D ）0422=--x x ． 3．将抛物线2)1(-=x y 向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为 （A ）2)1(+=x y ；（B ）2)3(-=x y ； （C ）2)1(2+-=x y ；（D ）2)1(2--=x y ．4．如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是 （A ）两条直角边成正比例； （B ）两条直角边成反比例； （C ）一条直角边与斜边成正比例；（D ）一条直角边与斜边成反比例．5．在四边形ABCD 中，AB =AD ，AC 平分∠DAB ，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，那么还需满足下列条件中的 （A ）CD =CB ；（B ）OB =OD ； （C ）OA =OC ；（D ）AC ⊥BD ．6．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ， △AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中， 不正确的是 （A ）S 1=S 3； （B ）S 2=2S 4；（C ）S 2=2S 1；（D ）4231S S S S ⋅=⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）27．计算：02144+-= ▲ ．8．使代数式12-x 有意义的实数x 的取值范围为 ▲ ．9．如果关于x 的方程032=+-m x x 有相等的实数根，那么m 的值为 ▲ ．10．布袋中有两个红球和两个白球它们除了颜色外其他都相同，从中摸出两个球，那么“摸到一红一白两球”的概率为 ▲ ．11．如果抛物线5)3(2-+=x a y 不经过第一象限，那么a 的取值范围是 ▲ ．12．已知二次函数的图像经过点（1，3），对称轴为直线1-=x ，由此可知这个二次函数的图像一定经过除点（1，3）外的另一确定的点，这点的坐标是 ▲ ． 13．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE =2，CE =3，要使DE ∥AB ，那么BC ∶CD 应等于 ▲ . 14．已知点G 是面积为27cm 2的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于 ▲ cm 2.15．已知在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线．设BA a =，BC b =．那么AD = ▲ ．（用向量a 、b 的式子表示）；16．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AB 的中点，如果BC =3， CD =2，那么=∠DCB cos ▲ ． 17．已知不等臂跷跷板AB 长为3米．当AB 的一端点A 碰到地面时（如图1），AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面夹角的正弦值为31，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH = ▲ 米18．把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，放大或缩小后的三角形与原三角形对应边的比称为T-变换比．已知△ABC 在直角坐标平面内，点A （0，-1），B （-3，2），C （0，2），将△ABC 进行T-变换，T-变换中心为点A ，T-变换角为60°，T-变换比为32，那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为 ▲ ． BA CED（第13题图）（第17题图1）（第17题图2）第 3 页 共 8 页三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简：221212222-++++--x x xx x x x ，并求当3=x 时的值．20．（本题满分10分）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+.022,4222y x y xy y x21．（本题满分10分）已知直线)0(>=m m x 与双曲线xy 6=和直线2--=x y 分别相交于点A 、B ，且AB =7， 求m 的值． 22．（本题满分10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ．小明在离旗杆下方的大楼底部E 点24米的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°，上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度．（结果精确到0.1米． 参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 到点F ，使得EF =DE ，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF ．（1）求证：CG EGAC AE =； （2）如果FB FG CF ⋅=2，求证：DE BC CE CG ⋅=⋅．ADBCF E G（第23题图）（第22题图）424．（本题满分12分，其中每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数bx ax y +=2的图像经过点（1,-3）和点（-1,5）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，请用m 的代数式表示平移后函数图像顶点M 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P 的坐标为（2,3），CM 平分∠PCO ，求m 的值．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得∠ABE =∠CBP ．如果AB =2，BC =5，AP =x ，PM =y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当AP =4时，求∠EBP 的正切值；（3）如果△EBC 是以∠EBC 为底角的等腰三角形，求AP 的长．C D （第25题图）（第24题图）第 5 页 共 8 页静安区、青浦区2014学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试卷参考答案及评分说明2015.1一、选择题：1．D ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．C ； 6．B ． 二、填空题：7．23； 8．21≥x ； 9．49； 10．32；11．a <-3； 12．（-3,3）； 13．35； 14．9； 15．b a 21+-； 16．43；17．53； 18．（-3,0）．三、解答题： 19．解：原式＝)1)(2()2()1()1)(1(2-+++-+-x x x x x x x ……………………………………………（4分） ＝111-+-+x x x x ＝112-+x x ．…………………………………………………（1+1分） 当3=x 时，原式＝2337)13)(13()13)(132(13132+=+-++=-+．………………（1+1+2分）20．解：由（2）得0)1)(2(=--y y x , 0102=-=-y y x 或,……………………………（4分）原方程可化为⎩⎨⎧==+⎩⎨⎧=-=+.1,4,02,42222y y x y x y x …………………………………………（2分） 解得原方程的解是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,552,55411y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,552,55422y x ⎪⎩⎪⎨⎧==,1,333y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,333y x ……………（4分）621．解：点A 、B 的坐标分别为（mm 6,）、（2,--m m ）．……………………………（2分） 7)2(6=---m m，…………………………………………………………………（3分）0652=+-m m ，……………………………………………………………………（2分）3,221==m m .………………………………………………………………………（2分）经检验它们都是原方程的根，且符合题意，………………………………………（1分） 所以m 的值为2或3.22．解：过点B 的水平线交直线CD 于点H ．由题意，得BH =AE =24，∠CBH =40°，∠DBH =45°，∴CH =24tan40°，DH =BH =24．……………………………………………………（6分） ∴CD =24-24tan40°≈3.8．…………………………………………………………（3分） 答：旗杆CD 的长度约为3.8米．…………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵DE ∥BC ，∴BC DE AC AE =，BCEFCG EG =．…………………………（各2分） ∵EF =DE ，∴CGEGAC AE =．…………………………………………………………（1分） （2）∵FB FG CF ⋅=2，∴FBCFCF FG =．…………………………………………（1分） ∵∠CFG =∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ．…………………………………………（1分） ∴∠FCG =∠FBC ．…………………………………………………………………（1分） ∵DE ∥BC ，∴∠FEC =∠ECB ．∴△CEF ∽△BCG ．…………………………………………………………………（1分）∴CGEFBC CE =．………………………………………………………………………（1分） 而EF =DE ，∴CGDEBC CE =．…………………………………………………………（1分） ∴DE BC CE CG ⋅=⋅．……………………………………………………………（1分）第 7 页 共 8 页24．解：（1）∵二次函数bx ax y +=2的图像经过点（1,-3）和点（-1,5），∴⎩⎨⎧-=+=-.5,3b a b a ………………………………………………………………………（1分）解得⎩⎨⎧-==.4,1b a …………………………………………………………………………（2分）∴这个二次函数的解析式是x x y 42-=．………………………………………（1分） （2）∵将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，∴这个二次函数的解析式是m x x y +-=42．……………………………………（1分）4)2(422-+-=+-=m x m x x y ．………………………………………………（2分）∴这个二次函数图像的顶点M 的坐标为（2，m –4）．…………………………（1分） （3）∵点P 的横坐标与顶点M 的横坐标都为2，∴PM ∥y 轴．………………（1分） ∴∠PMC =∠OCM ．∵CM 平分∠PCO ，∴∠PCM =∠OCM ． ∴∠PMC =∠PCM ．∴PC =PM ．…………………………………………………………………………（1分） ∴222)7()3(2-=-+m m ．………………………………………………………（1分） 解得m =29．…………………………………………………………………………（1分） 25．解：（1）在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠APB =∠CBP ．∵∠ABE =∠CBP ，∴∠APB =∠ABE ．∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△AMB ．…………………………………………………（1分）∴APABAB AM =． ∵AB =2，AP =x ，PM =y ，∴x y x 22=-．…………………………………………（1分） ∴所求函数的解析式为xx y 4-=．………………………………………………（1分）定义域为52≤<x ．…………………………………………………………………（1分） （2）∵AP =4，∴MP =3．…………………………………………………………（1分） ∵AP =4，AD =5，∴PD =1．∴CDPDAP AB =． ∵∠A =∠D ，∴△ABP ∽△DPC ．8∴∠APB =∠DCP ．∵∠DPC+∠DCP =90°，∴∠DPC+∠APB =90°．∴∠BPE =∠BPC =90°．……………………………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，∴BC MPEC EP =，即535=+EP EP ． 解得523=EP ．……………………………………………………………………（1分） 又∵AP =4，AB =2，∴52=BP ． ∴43tan ==∠BP EP EBP ．……………………………………………………………（1分） 另解：作MH ⊥BP ，垂足为点H ．∵AP =4，∴MP =3．…………………………………………………………………（1分）∵AP =4，AB =2，∴52=BP ．由△BPM 的面积，可得AB M P M H BP ⋅=⋅，即2352⨯=⋅MH ． 解得553=MH ．…………………………………………………………………（1分） ∵AM =1，AB =2，∴5=BM ．∴554=BH ．………………………………………………………………………（1分） ∴43tan ==∠BH MH EBP ．…………………………………………………………（1分）（3）（i ）当∠EBC =∠ECB 时，可得∠AMB =∠DPC ，△AMB ≌△DPC ．∴AM =DP ．…………………………………………………………………………（1分） ∴x +x -y =5，即54=+xx ．…………………………………………………………（1分） 解得x =4或x =1（不符合题意，舍去）．…………………………………………（1分） （ii ）当∠EBC =∠BEC 时，可得EC =BC =5，PE =PM =y ．………………………（1分） ∴2222)5()5(+-=-x y ．整理，得3x 2-10x -4=0．……………………………………………………………（1分）解得3375+=x 或3375-=x （不符合题意，舍去）． ………………………（1分） 综上所述，AP 的长为4或3375+．。

2014年中考适应性考试数学参考答案和评分标准说明：本评分标准每题一般只提供一种解法，如有其他解法，请参照本标准的精神给分． 一、选择题1.A2.C3.D4.C5.B6.A7.D8.B9.B 10.D 二、填空题11. 4 12.5x ≠- 13.35 14.14 15.1π2 16.5 17.660 18.12y x=-三、解答题 19.解：（1）原式＝3912++- ··········································································· 4分 ＝11 ······················································································ 5分（2）原式＝2+1(1)(1)(1)m m m m m -⋅+- ································································ 3分 ＝1m m- ················································································· 5分20. 解：（1）原式=22448a ab b ab -++ ································································ 1分=2244a ab b ++ ········································································ 2分=2(2)a b +··············································································· 4分 （2）2(2)3(1)x x -=- ············································································ 1分2433x x -=- 解得1x =- ······························································ 2分 检验：当1x =-时，(1)(2)0x x --≠， ·············································· 3分 所以原方程的解为1x =-. ······························································· 4分21. 解：（1）25，90° ·················································································· 4分（2）···································································································· 6分 （3）∵“活动时间不少于5天”的学生人数占75%，20000×75%=15000∴该市 “活动时间不少于5天”的大约有15000人． ································ 9分22. 解：连接AE ， ·························································································· 1分∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90o，∴AE ⊥BC ······································································· 2分 ∵BE ＝CE ∴AB ＝AC ····································································· 4分∴∠B ＝∠C ＝70o，∠BAC ＝2∠CAE ························································· 5分∴∠BAC ＝40o······················································································ 6分∴∠DOE ＝2∠CAE ＝∠BAC ＝40o···························································· 8分 23.解：当∠BAD ＝30°时，吊杆端点B 离机身AC 的水平距离最大；当∠B’AD ＝80°时，吊杆端点B ’离地面CE 的高度最大． ···························· 1分 作BF ⊥AD 于F ，B´G ⊥CE 于G ，交AD 于F ’ ． ······································ 2分在Rt △BAF 中，cos ∠BAF ＝AFAB，∴AF ＝AB ·cos ∠BAF ＝40×cos30°≈34.6（m ）． ··········································· 4分7天和7天以上B在Rt △B’AF’中，sin ∠B´AF’＝B'F'AB'，∴B’F’＝AB’·sin ∠B’AF’＝40×sin80°≈39.2（m ）． ······································· 6分 ∴B’G ＝B’F ’+F’G ≈39.2+21=60.2（m ）． ·················································· 7分答：吊杆端点B 离地面CE 的最大高度约为60.2m ，离机身AC 的最大水平距离约34.6m ．···································································································· 8分24.解：① 树状图 ··························································································· 4分或列表法② 由图可知：只有卡片B 、D 才是中心对称图形。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三模拟理科数学试卷（带解析）1．在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是（ ）. A.[0,2] B. [2,1)(1,0]--- C. [0,1)(1,2] D.[2,0]-【答案】D 【解析】试题分析：依题意()0x x a *->可得(1)0x x a -+>.由于解集为{|11}x x -≤≤，所以011a <+≤或110a -≤+<，即10a -<≤或21a -≤<-.当1a =-时，解集为空集，所以成立.故选D.考点：1.新定义问题.2.不等式的解法.3.集合间的关系.2．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的（ ）. A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因为x x x f ωω22cos sin)(-=可化为()cos 2f x x ω=-.所以可得1=ω是函数()f x 最小正周期为π的充分条件.由于函数的最小正周期为π,则2,12T ππωω==∴=±.所以必要性不成立.故选B.考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.3．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =（ ）.A.1:1B.2:1C.3:2D.4:1 【答案】C 【解析】试题分析：假设球的半径为r .则圆柱的底面半径为r .高为2r .所以圆柱的表面积为216S r π=.球的表面积为224S r π=.所以12:3:2S S =.故选C.考点：1.圆柱的表面积.2.球的表面积.3.方程的思想.4．函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.O xyA.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2. 由在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，即函数()f x mx m =+在[1,3]-上有四个不同的零点.即函数()y f x =与函数()h x mx m =+在[1,3]-有四个不同的交点.所以0(3)1h <≤.解得1(0,]4m ∈.故选D. 考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.5．已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .【解析】试题分析：由2i j +=.考点：向量的模的含义. 6．二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）【答案】2【解析】 试题分析：由ii i ++-1101可得(1)(1)2i i -+=.考点：1.行列式的运算.2.复数的运算.7．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________. 【答案】35 【解析】试题分析：717r rr T C x -+=.依题意可得73,4r r -=∴=.所以展开式中含3x 项的系数值为35.考点：1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.8．已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π) 【答案】12π 【解析】试题分析：由圆锥的母线长为5,侧面积为π15.则根据12s lr =.即可求出圆锥的底面周长6π.从而解出底面半径3r =.再求出圆锥的高4h =.根据体积公式213V r h π= 12π=.考点：1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化. 9．已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B = .【答案】{1,0,1}- 【解析】试题分析：依题意可得集合{11}A y y =-≤≤，集合{,1,0,1,}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅.所以A B ={1,0,1}-.考点：1.集合描述法表示.2.三角函数的值域.10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 . 【答案】30x y +-= 【解析】试题分析：假设1122(,),(,)A x y B x y .AB 的中点坐标为00(,)x y .所以可得22112222(1) 4(1) 4 x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②.由①-②可得001AB x k y =-.即1AB k =-.所以:30AB l x y +-=. 考点：1.点差法的应用.2.直线与圆的位置关系.3.直线方程的表示. 11．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.【答案】【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 可得2log ()1,2xy xy =∴=.又y x +≥=.当且仅当x y =时取等号. 考点：1.对数的知识.2.基本不等式.12．已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ． 【答案】14【解析】试题分析：首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈，设公比为q ,由各项和等于 4.即341q=-.解得14q =.考点：无穷等比数列的求和公式.13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .【答案】4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）【解析】试题分析：设点(,)P x y .由2OP OM =，可得4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩.即2C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）. 考点：1.参数方程的知识.2.向量相等.14．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .【答案】138【解析】 试题分析：由程序框图可知，x=1,y=1,z=2;当x=2,y=3,z=5;当x=3,y=5,z=8;当x=5,y=8,z=13;当x=8,y=13,z=21.由21>20.所以退出循环.即可得138y x =. 考点：1.程序框图.2.数的交换运算. 15．从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ． 【答案】98【解析】试题分析：由8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动共有3856C =种情况.所以3510(0)5656C P ξ===.215330(1)5656C C P ξ===.125315(2)5656C C P ξ===.03531(3)5656C C P ξ===.所以ξ的数学期望是30151639()23565656568E ξ=+⨯+⨯==. 考点：1.概率问题.2.数学期望.16．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 . 【答案】3【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，所以11a =.当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-.所以42912525n n b n n -=-=--.当10i i bb +<（正整数i ）时，即292702523i i i i --⋅<--.所以3522i <<或7922i <<.所以i=2,4又因为1235150bb =-⨯=-<，所以i=1.所以数列{}n b 的变号数为3.考点：1.数列的求和公式.2.数列与不等式交汇.3.分类归纳的思想.4.递推的数学思想. 17．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）【答案】32【解析】试题分析：依题意可得函数2222 [0,2)1(68) [2,4)3()1(1024) [4,6)9x x x x x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪-+-∈⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎪⋅⋅⋅⎩.所以11a =，213a =，319a =，…，113n n a -=.所以数列}{n a 是一个首项为1，公比为13的等比数列.所以31(1)23n n S =-.所以=∞→n n S lim 32.考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.18．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .ABCDEFS 1 αABCPNF S 2αMQ【答案】110【解析】试题分析：依题意可得4411=S ，所以21FD =，4402=S ,所以MQ =.所以21cos sin AF αα=，所以即21cos 21sin AC αα=+.AM CM α==，所以AC α=.即可得21c o s2110c o s s i n ααα+=+.即21(sin cos )cos αααα+=.令sin cos tαα+=.则22sin cos 1t αα=-.所以可得2210t -=.解得t =或t =（由于1sin 2011α=-<，所以舍去.），所以21sin 2110t α=-=. 考点：1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.ADCFPB（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）5【解析】试题分析：（1）需证明DA ⊥平面PAC ，转化为证明AD ⊥AC,AD ⊥PA.因为PA 垂直平面ABCD ，由题意可得AD ⊥AC,AD ⊥PA 显然成立，即可得结论.（2）如图建立空间直角坐标系，因为)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，所以求出平面PAF的法向量(1,2,0)m =u r，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，试题解析： 1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A C B D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.20．某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案】（1）10210x x θ+=+；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）由于花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度.所以AD 的弧长为10θ，BC 的弧长为x θ.所以可得102(10)30x x θθ++-=.即可得结论.（2）由花坛两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．即可得所需费用的关系式. 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即可，再利用基本不等式即可求得结论.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.21．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】试题分析：（1）由椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，即1c =.又短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-，即可求出a ，b 的值.从而得到椭圆的方程.（2）由（1）可得假设直线AB 的方程联立椭圆方程消去y 即可得到一个关于x 的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k 的关系式.写出线段AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程.即可得到点D 的坐标.即可求得线段PD 的长，根据弦长公式可得线段MN 的长度，再通过最的求法即可得结论.试题解析：（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-. 由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k -++.所以MN == 2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力. 22．设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++（3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2=x ；（2）参考解析；（3）2<k 【解析】试题分析：（1）由于函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，所以解方程0)1()(8)(=--h x g x h .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于3)()()(+=x g x g x p 即得到()x P x =.所以()(1)1p x p x +-=.所以两个一组的和为1，还剩中间一个21323)21()20141007(===p p .即可求得结论. （3）由bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，可求得1,3=-=b a .又由于0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数()f x 的单调性可得.函数()f x 在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 考点：1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.23．设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．【答案】（1）142n n b -=；（2）参考解析；（3）存在5【解析】试题分析：（1）由于数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，所以通项公式为12 (*)n n a n N -=∈.由于数列{}n a 为递增数列，所以都符合1+<n n a a .即可得到数列{}n b 的通项公式.（2）由于各项都是正整数的无穷数列{}n a ，所以利用反正法的思想，反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈即可得到证明.（3）由{}n a 各项都是正整数，所以由1n n a a +>可得到11n n a a +≥+.所以可得到1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++≥++-+.从而可得到{}n a 是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论. 试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得 14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．考点：1.数列的性质.2.反证法的知识.3.放缩法证明相等的数学思想.4.数列求和.5.数列与不等式的知识交汇.。

青浦区2014学年第二学期六年级期末质量抽查考试一、选择题：（本大题共6题，每小题2分，满分12分）1、下列大小关系中，正确的是…………………………………………………………（ ） （A ）4143>-（B ）3241> （C ）31135->- （D ）8797->- 2、两个有理数之和等于零，那么这两个有理数必须是………………………………（ ） （A ）都是零 （B ）相等 （C ）互为相反数 （D ）有一个数是零3、不等式042≥－－x 的解集在数轴上表示正确的是 ………………………………（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）4、下列方程组中，属于二元一次方程组的是…………………………………………（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+13z x y x （B ）⎩⎨⎧==+23y y x （C ）⎩⎨⎧=-=+332y x y x （D ）⎩⎨⎧==+23xy y x5、如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是 ………………………………………………………………………………（ ） （A ）AC AB 2= （B ）AB DB CD AC =++ （C ）AB AD CD 21-= （D ）)(21AB CD AD +=6、小杰在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法：（1）两点之间线段最短； （2）如果8353'︒∠＝α，那么α∠余角的度数为2236'︒ ； （3）互补的两个角一个是锐角一个是钝角； （4）一个锐角的余角比这个角的补角小︒90． 你认为小杰以上说法正确的个数为……………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2－02－02－02－二、填空题：（本大题共12题，每小题3分，满分36分）7、在数轴上，到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的有理数是 ． 8、计算：）（－54531÷＝ . 9、将方程45=-y x 变形为用含y 的式子表示x ，那么=x . 10、“x 的一半减去5所得的差不小于3”，用不等式表示 ． 11、已知不等式的解集是12<≤x －，则该不等式的整数解是____________．12、在2008年北京奥运会国家体育场“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首先使用了我国科研人员自主研制的强度约为460 000 000帕的钢材，这个数据用科学记数法表示为 帕． 13、一家商店将某种衣服按成本价加价40%作为标价，又以8折卖出，结果每件服装仍可获利 15元，如设这种服装每件的成本价为x 元，则根据题意可列方程为_____________． 14、如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果︒∠421＝，那么＝2∠ 度. 15、在长方体ABCD －EFGH 中，与棱EF 和棱EH 都异面的棱是 ．16、如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地面（水平面）垂直，可以用 方法检验．17、一个二元一次方程的一个解是⎩⎨⎧==21y x －，这个二元一次方程可以是 ．（只要写出一个符合条件的方程即可）．21ABCDEFGH 题第14题第15题第1618、根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为2－，则输出y 的值为 ． 三、解答题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 19、计算：()[]3432311－－－－⨯．20、解方程：285416++=x x ．21、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥++>312121502x x x －，并把解集在数轴上表示出来．22、解方程组：252130x y z x y z x z -+=⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩①②③平方四、（本大题共3题，第23题6分，23、如图，点A 表示A 城，点D 表示D 城． （1）如果B 城在A 城的南偏西60º方向,请画出从A 城到B 城方向的射线； （2）如果C 城在A 城的北偏东30º方向，在D 城的南偏东60º方向，请确定C 城的位置.（用点C 表示）要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论.24、如图，已知线段AB 的长为cm 8.2．（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点C 在线段BA 的延长线上，且AB CA ； （2）在上题中，如果在线段BC 上有一点M ，且线段AM 、BM 长度之比为3:1，求线段CM 的长．A B南东西25、如图，点A 、O 、C 在一直线上，OE 是BOC ∠的平分线，︒=∠90EOF ，︒+=∠)204(1x ，︒-=∠)10(2x ．（1）求：1∠的度数；（请写出解题过程）（2）如以OF 为一边，在COF ∠的外部画COF DOF ∠∠＝，问边OD 与边OB 成一直线吗？请说明理由．五、（本大题满分10分）26、在“爱心传递”活动中，我区某校积极捐款，其中六年级的3个班级的捐款金额如下表所示：小杰在统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款数额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元； 请根据以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： 问题一：求出（2）班和（3）班的捐款金额各是多少元？ 问题二：求出（1）班的学生人数．21AOCED FB2014学年第二学期期末质量抽查数学试卷参考解答及评分要求一、（每小题2分，共12分）1、D2、C3、A4、B5、D6、C二、（每小题3分，共36分） 7、4± 8、2－ 9、54+y 10、3521≥-x 11、2-、1-、0 12、8106.4⨯ 13、1510080)100401(=-⋅+x x 14、42 15、CG 16、铅垂线 17、略 18、1三、（每小题5分，共20分）19、解：原式＝[])27(2311-⨯－－－ （2分） 3291--= （2分）332-= （1分）20、解： 32)54(2++=x x （1分） 32108++=x x （1分） 427=-x （2分） 6-=x 所以原方程的解是6-=x （1分）21、解： 由（1）得：2<x （1分） 由（2）得：1-≥x （2分） 所以不等式的解集是21<≤x －，（1分） 数轴表示略 （1分）22、解：（1）＋（2）得：63=+z x （4） （1分） （3）＋（4）得：66=x 解得：1=x （1分）分别代入（3）和（1），得：3=z （1分） 2=y （1分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧===321z y x （1分）四、（满分22分） 23、（本题6分）解：(1)图略（2分） (2) 图略（各2分，共4分）24、（本题8分）解：（1）图略 （2分）（2）因为AB CA =，8.2=AB ，所以8.2=CA （1分）当点M 在线段AB 上时，设x AM =，x BM 3=， 所以8.23=+x x ，7.0=x所以cm AM CA CM 5.37.08.2=+=+= （2分）当点M 在线段AC 上时，设x AM =，x BM 3=， 所以8.23=-x x ，4.1=x所以cm AM CA CM 4.14.18.2=-=-= （2分）所以CM 的长为5.3厘米或4.1厘米 （1分）25、（本题8分）（1）解：因为OE 是BOC ∠的平分线 所以22∠=∠BOC ， （1分） 因为点A 、O 、C 在一直线上 所以︒∠∠1801＝＋BOC （1分）因为︒+=∠)204(1x ，︒-=∠)10(2x ，所以180)102)204(=-+x x （＋ （1分）解得：30=x ︒=∠1401 所以1∠的度数为︒140 （1分） （2）边OD 与边OB 成一直线因为︒=∠+∠=∠90COF EOC EOF (1分) 又因为BOC EOC ∠=∠21，DOC FOC ∠=∠21︒=∠+∠902121DOC BOC 即︒=∠+∠180DOC BOC （2分） 所以点D 、O 、B 在一直线上，即边OD 与边OB 成一直线 （1分）五、（本题10分）26、解：（1）解设（2）班的捐款金额为x 元，（3）班的捐款金额为y 元根据信息一、二可得：⎩⎨⎧=-=++30077002000y x y x （2分） 解得⎩⎨⎧==27003000y x （2分）答：（2）班的捐款金额是3000元，（3）班的捐款金额是2700元 （1分） （2）设（1）班学生人数为x 人根据信息三得：⎩⎨⎧><200051200048x x （2分） 解得：3241511139<<x （2分）因为x 是正整数，所以x 取40人或41人答：（1）班的学生人数为40人或41人。

第5题图上海市青浦区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列图形中，一定相似的是（）.A 两个等腰三角形；.B 两个菱形；.C 两个正方形；.D 两个等腰梯形．2.在Rt ABC 中，90C ，如果5AC ，12BC ，那么cot A 等于（）.A 512；.B 125；.C 513；.D 1213．3.如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，ADE C ，则下列判断错误．．的是（）.A .C AD BC4..A a .B 如果e 是单位向量，那么.C .D 如果a 是非零向量，且5.如图，//AC ，.A EF AB ACEG．6.如图，二次函数2y ax bx c （0a ）的图像的顶点在第一象限，且过点 0,1和 1,0 ，下列结论：①1c ；②0ab ；③0a b c ；④当1x 时，0y ．其中正确结论的个数是（）.A 1个；.B 2个；.C 3个；.D 4个．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.如果43a b ，那么a b b．8.已知线段2AB ，点P 是AB 的黄金分割点，且AP BP ，那么BP．第13题图第18题图①9.已知向量a 与单位向量e方向相同，且3a ，那么a ．（用向量e的式子表示）10.如果两个相似三角形的周长比为1:3，那么它们的面积比为．11.如果抛物线22y x bx 的对称轴是直线2x ，那么b 的值等于．12.如果点 12,A y 和点 23,B y 是抛物线2y x m （m 是常数）上的两点，那么1y 2y ．（填“ ”、“ ”、“ ”）13.如图，某人沿着斜坡AB 方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡AB 的坡比i ．14.215.CG 16.17. 于点18.规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①，当190PMN 时，线段1PM 的长度是点1P 到线段MN 的距离；当290P GN 时，线段2P G 的长度是点2P 到线段MN 的距离；如图②，在ABC 中，90C ，AC ，tan 2B ，点D 为边AC 上一点，2AD DC ，如果点Q 为边AB 上一点，且点Q 到线段DC 的距离不超过5，设AQ 的长为d ，那么d 的取值范围为．15第16题图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）2sin 45cos30．20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）1 ．（1）（2）21.，点E 在边AC 上，且EC （1）（2）第21题图第23题图22.（本题满分10分）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22 ，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37 ，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，//BD EF ，DE EF ，AF EF ），求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin 220.37 ，cos 220.93 ，tan 220.40 ；sin 370.60 ，cos370.80 ，tan 370.75 ）23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，AD 与CE 相交于点F ，CD CF ，2AC AE AB ．（1）求证：ABD ACF ∽；（2）如果2CFD ACF ，求证：AB EF AD AE ．浦仓路桥第22题图第24题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx 经过点 1,2A 和点 2,1B ，与y 轴交于点C ．（1）求a 、b 的值和点C 的坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），当PCB ACB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA 上，设平移后的抛物线的顶点为点D ，当CDP 与CAP 相似时，求平移后的抛物线的表达式．第25题（1）图第25题（2）图第25题（3）图在ABC 中，90ACB ，6AC ，8BC ．点D 、E 分别在边AB 、BC 上，联结ED ，将线段ED ，绕点E 按顺时针方向旋转90 得到线段EF ．（1）如图，当点E 与点C 重合，ED AB 时，AF 与ED 相交于点O ，求:AO OF 的值；（2）如果5AB BD （如图），当点A 、E 、F 在一条直线上时，求BE 的长；（3）如图，当DA DB ，2CE 时，联结AF ，求AFE 的正切值．九年级数学第1页2023学年第一学期九年级期终学业质量调研参考答案及评分说明2024.01一、选择题：1．C ；2．A ；3．B ；4．D ；5．D ；6．C ．二、填空题：7．13；81 ；9．3 e ；10．1:9；11．4 ；12． ；13．；14． 21 y x ；15．2；16．5；17．32；18．2065d ．三、解答题：19．解：原式222··································（4分）11 ．······················································（4分）=···················································································（2分）20．解：（1）∵AD//BC ，∴ AD OD BC OB．·························································（2分）∵BC=2AD ，∴12OD OB ．···························································（1分）∵OD=1，∴OB=2．···································································（1分）∴BD=3．···············································································（1分）（2）∵AD//BC ，BC=2AD ，BC b ，∴12AD b ．·········································································（1分）∵12 OD OB ，∴23OB BD ．∴23OB DB ．········································································（1分）九年级数学第2页∵ DB AB AD ，∴12DB a b ．···········································（2分）∴21213233OB a b a b ．·················································（1分）21．解：（1）∵AB =AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BC =2CD ．·······························································（2分）∵3tan 4C ，∴4cos 5C ．··········································································（1分）∴45CD AC ．∵AC =5，∴CD =4．····································································（1分）∴BC =2CD =8．·········································································（1分）（2）过点E 作EH//BC ，交AD 于点H ．···········································（1分）∵HE//BC ，∴EF HE BF BD ， HE AEDC AC．·····················································（2分）∵BD =DC ，∴EF HEBF CD．∴EF AEBF AC．········································································（1分）∵EC =2AE ，∴13AE AC ．∴13EF BF ．···········································································（1分）九年级数学第3页22．解：延长BD 交AF 于点H ．·····································································（1分）由题意，得∠ABC =22°，∠ACD =37°，BC =17米．∵BD ∥EF ，DE ⊥EF ，AF ⊥EF ，∴四边形DEFH 是矩形，∴AH ⊥BH ，DE =HF ．∵DE =1.2米，∴HF =1.2米．······························································（1分）在Rt △ABH 中，∵tanAH ABH BH ，∴5tan 222 AH BH AH ．··········（3分）在Rt △ACH 中，∵tanAH ACH CH ，∴4tan 373AH CH AH ．··········（3分）∵BC =BH -CH ，∴52AH -43AH =17．∴AH≈14.6（米）························（1分）∴AF =AH +HF≈14.6+1.2=15.8（米）．···················································（1分）答：浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF 约为15.8米．23．证明：（1）∵2AC AE AB ，∴AC ABAE AC．···········································（1分）又∵∠BAC =∠CAE ，∴△ACB ∽△AEC ．······································（1分）∴∠B =∠ACE ．········································································（1分）∵CD =CF ，∴∠CDF =∠CFD ．···················································（1分）∵∠CDF+∠BDA =∠CFD+∠CFA ，∴∠BDA =∠CFA ．····················（1分）∴△ABD ∽△ACF ．·································································（1分）（2）∵△ABD ∽△ACF ，∴AB AC AD AF，∠BAD =∠CAF ．···················（1分）∵∠CFD =2∠ACF ，∠CFD =∠ACF+∠FAC ，∴∠ACF =∠FAC ．···································································（1分）∴∠ACF =∠BAD ．···································································（1分）又∵∠AEF =∠CEA ，∴△EAF ∽△ECA ．······································（1分）∴AC AE FA FE ．∴ AB AEAD FE．·················································（1分）∴ AB EF AD AE ．···························································（1分）九年级数学第4页24．解：（1）将A （1，2）、B （2，1）代入2++1 y ax bx ，得12421 1.，a b a b ···································································（2分）解得：12.，a b ∴a 的值为-1，b 的值为2．································（1分）当x =0时，1 y ．∴点C 的坐标为（0，1）．·································（1分）（2）∵C （0，1）、B （2，1），∴BC ∥x 轴．∵C （0，1）、A （1，2），∴∠ACB =45°．∵∠PCB =∠ACB ，∴∠PCB =45°．················································（1分）设该抛物线与x 轴的正半轴交于点Q ，可知∠BCQ =∠CQO<45°．∴点P 在第四象限．过点P 作PH ⊥CB ，垂足为点H ．设HC=HP=m ．则点P 的坐标为（m ，1-m ）．·································（1分）∵a =-1，b =2，∴2+2+1 y x x ．将点P 代入，得21+2+1 m m m ．···········································（1分）解得13 m ，20 m （舍）．∴点P 的坐标为（3，-2）．··························································（1分）（3）可得该抛物线的顶点为（1，2），所以点A 为其顶点．①当点D 在线段CA 上时，∵∠CDP >∠CAP>∠CPA ，∴不存在△CDP 与△CAP 相似．············（1分）②当点D 在线段CA 的延长线上时，得△CPA ∽△CDP ．∴CP CACD CP．∵A （1，2）、C （0，1）、P （3，-2），∴218 CP， CA．∴ CD ···································（1分）过点D 作DM ⊥y 轴，垂足为点M ．可得MD =9，MC =9．∴点D 的坐标为（9，10）．··························（1分）∴平移后的抛物线的表达式为2+1871 y x x ．························（1分）25．解：（1）∵CD ⊥AB ，∴∠CDA=90°．∵∠DCF=90°，∴∠CDA=∠DCF ．∴AB ∥CF ．······························（1分）∴ AO AD OF CF ．∵DC =CF ，∴ AO AD OF CD．····································（1分）∵cot ∠CAB=34 AC BC ，∴cot ∠CAB=34 AD DC ．···························（1分）∴34AO OF ．············································································（1分）（2）过点D 作DG ⊥BC ，垂足为点G ．∵∠ACB=90°，AC =6，BC =8，∴AB =10．∵AB =5BD ，∴BD =2．∵DG ∥AC ，∴ DG BG BD AC BC BA ．∴DG=65，BG=85．···················（1分）设BE =x ，则GE =85x ．····························································（1分）∵点A 、E 、F 在一条直线上，∴∠AED=90°．∵∠AEG =∠AED+∠DEG ，∠AEG =∠C+∠CAE ，∴∠DEG =∠CAE ．····································································（1分）∴tan ∠DEG =tan ∠CAE ．∴ DG CE EG AC ．∴685865x x ．·················································（1分）得25481000 x x．解得245x ．所以，BE的长为245或245．··································（1分）（3）过点D 、F 作DM ⊥BC 、FN ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ．可得△DME ≌△ENF ．∴DM =EN ，EM =FN ．···································（1分）∵DM ∥AC ，DA =DB ，∴MD =3，MC =4．∴EN =3，ME =2，FN =2，CN =5．设AF 与NC 交于点Q ．∵AC ∥FN ，∴26NQ FN QC AC ．∴31544 QC CN ．∴157244QE ．··································（1分）过点Q 作QH ⊥EF ，垂足为点H ．可得，△EQH ∽△EFN ．∴ EH EQ HQ EN EF NF．∴732 EH HQ ．∴52 EH，26QH ．················································（1分）∴5252 HF ．···············································（1分）∴tan ∠AFE=142631QH HF ．····································（1分）。

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编数列2014.01.26（长宁区2014届高三1月一模，理）5、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a . 5、⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n （嘉定区2014届高三1月一模，理）4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________． 4．15（普陀区2014届高三1月一模，理）8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a .8.32； （长宁区2014届高三1月一模，理）11、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______. 11、85（浦东新区2014届高三1月一模，理）3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.3. 32n -（普陀区2014届高三1月一模，理）22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.已知数列{}n a 中，13a =，132nn n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.解：（1）将已知条件132nn n a a ++=⋅变形为()1122n n n n a a ++-=--……1分由于123210a -=-=≠，则12211-=--++nn n n a a （常数）……3分 即数列{}2nn a -是以1为首项，公比为1-的等比数列……4分所以1)1(12--⋅=-n nn a 1)1(--=n ，即n n a 2=1)1(--+n （*N n ∈）。