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球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2（R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝错误!πR3（R为球半径）球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球,内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A.错误!B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（)A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ）A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ )A ．πa 2B 。
球的表面积与体积球，在我们的日常生活中随处可见，小到孩子们玩耍的弹珠，大到体育场上的篮球、足球，甚至是宇宙中的行星，都可以看作是球的形态。
而球的表面积和体积，是描述球的两个重要的几何量。
首先，咱们来聊聊球的表面积。
想象一下，一个皮球的表面，如果要给它裹上一层布，那需要多少布呢？这就涉及到球的表面积的计算。
球的表面积公式是4πr²，其中 r 是球的半径，π呢，约等于 314。
为什么会是这个公式呢？咱们可以试着这样理解。
把一个球沿着经线和纬线切成很多小块，就像切西瓜一样。
然后把这些小块展开铺平，就会发现它们近似于一个个小的矩形。
这些小矩形的面积之和就接近球的表面积。
当切的块数越来越多，越来越细，就会越来越接近球的真实表面积。
那这个公式有啥用呢？比如说，我们要给一个球形的建筑物做外表面的装修，知道了球的半径，就能算出需要多少材料来覆盖它的表面。
又或者在化学实验中，要计算一个球形容器的外表面积，以确定某种物质能在其表面发生反应的量。
接下来，再说说球的体积。
球的体积公式是4/3πr³。
这又代表着什么呢？想象一下一个充满水的气球，里面水的总量就是球的体积。
咱们还是来尝试理解一下这个公式。
可以把一个球看作是由无数个很薄的同心球壳组成的。
每个球壳的体积可以近似看作是一个很薄的圆柱体的体积，其底面面积是圆的面积πr²，高度呢就是这个球壳的厚度 dr。
对所有这些球壳的体积进行积分，就能得到球的体积公式。
球的体积公式在实际生活中的应用也非常广泛。
比如，在计算一个球形水箱能装多少水的时候，就用得上这个公式。
在工程领域，要知道一个球形零件所占的空间大小，也需要通过这个公式来计算。
再进一步想想，球的表面积和体积之间有没有什么关系呢？其实是有的。
当球的半径增大时，表面积和体积都会增大，而且体积增大的速度比表面积快。
这也反映了一个有趣的现象，就是随着球的变大，其内部所包含的空间增长得比表面的面积更快。
球的体积与表面积球是一种立体几何体，具有很多特点和属性。
其中，体积和表面积是球的两个重要参数，用于描述球的大小和形态。
本文将详细介绍球的体积和表面积的计算方法，并探讨一些与球相关的实际问题。
一、球的体积球的体积表示了球所占据的空间大小。
对于一个给定的球，其体积可以通过以下公式计算得出：V = (4/3)πr³其中V表示球的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的体积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的体积为：V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.6cm³二、球的表面积球的表面积表示了球的外部覆盖面积。
同样，对于一个给定的球，其表面积可以通过以下公式计算得出：A = 4πr²其中A表示球的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的表面积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的表面积为：A = 4π(5)² ≈ 314.16cm²三、球体积与表面积的关系从球的体积和表面积的计算公式可以看出，球的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
这意味着球的体积和表面积都与球的半径密切相关。
当球的半径增大时，其体积和表面积也会增大。
例如，当半径由5cm增加到10cm时，根据上述公式计算可以得到新球的体积为：V = (4/3)π(10)³ ≈ 4188.8cm³同时，新球的表面积为：A = 4π(10)² ≈ 1256.64cm²可以看出，新球的体积和表面积较原来的球都有所增大。
这一点在实际应用中十分重要，例如在建筑设计、物体容器容量计算等方面都会涉及到。
四、实际应用举例球的体积和表面积在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子说明其重要性：1. 建筑设计：在建筑设计中，对于球形结构（如球形穹顶、球形体育馆等），需要计算球的体积和表面积，以合理规划结构和空间。
§1.3.2 球的表面积与体积
教学目标：
1．掌握球的表面积与体积公式
2．能运用球的表面积与体积公式解决一些简单问题
教学重点：
球的表面积与体积公式
教学难点：
球的表面积与体积公式的应用
教学过程：
1．球的基本概念及性质：
2．球的体积公式343
球V R π=
． 3．球的面积公式24球S R π=． 例题讲解
例1．已知两球的体积之和为12π，两球的大圆周长之和为6π，求此两球的半径．
例2．一个正方体内接于半径为R 的球内，求正方体的体积．
例3．一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是1，求它的外接球的表面积、体积。
变式。
一个正三棱锥的侧棱两两垂直且边长都是1，求它的外接球的表面积、体积。
例4．已知球的两个平行截面的面积分别为25cm π和28cm π，且截面位于球心的同一侧，
它们相距1cm ，求该球的球面面积．。
