高二数学教案：9.7直线与平面所成的角和二面角(三)_.

《学棋》教学设计教案教学设计来源：admin《学棋》第二课时一、教学目标：1、能正确、流利、有感情地朗读课文。

2、理解课文内容，懂得读书学习要专心致志。

二、教学重点和难点：1、理解“能手、远近闻名、专心致志”等词语的意思。

2、能用“一边……一边……”说一句话。

3、通过朗读，对比两位学生学棋的不同表现，懂得读书要专心致志的道理。

三、教具：挂图，卡片，教学过程：一、复习导入这节课我们继续学习第13课（齐读课题）。

在学习之前我们先复习一下生字，好吗？（好）指名朗读，齐读。

二、精读课文1、回忆课文讲了一件什么事？指名交流，“学棋”2、学习第一自然段（1）请自由读第一自然段，说说你懂了什么？（2）交流：秋是下围棋的能手。

（板书：能手）什么是能手？（3）从哪儿你可以看出他是下围棋的能手？因为他的棋艺远近闻名。

换词理解“远近闻名”（世界文明，非常有名。

）读词语。

（4）秋的棋艺真的是很高超，你们佩服他吗？谁来读第一自然段？3、学习第三自然段（1）过渡：秋的棋艺是这样的高超，那么跟他学下棋会学得怎么样呢？谁来说说看。

（一定也能学到高超的棋艺）有这么两位学生，他们拜秋为师学下棋，他们学得怎么样呢？（2）请默读第三自然段。

指名回答，一个成了出色的棋手，理解“出色”另一个棋艺一直没有多大长进。

理解“没有多大长进”比较：没有长进。

没有多大长进。

这两句话有什么不同？（前面：没有一点进步，后者：有进步但进步不大。

）同学们，他们两个学生同去拜秋为师，秋的棋艺又那么高超，不怕成不了下棋的高手，可学习后的结果却截然不同。

学到这里你们有什么疑问吗？（为什么一个棋手能成为出色的棋手？而另一个却没有多大的长进呢？）4、学习第二自然段是啊，他们同拜秋为师，为什么一个能成为出色的棋手，而另一个却没有多大长进呢？（1）看图，初步了解他们两个学生不同的表现。

他们是怎么学的？交流（一个学得认真，另一个学得心不在焉。

）（2）学习句子，进一步明白两个学生学棋的表现的截然不同。

直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。

教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。

教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。

教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。

2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。

3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。

三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。

2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

3. 分析实例：墙角的直角。

4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。

2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。

教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。

结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。

六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。

CA【课 题】直线和平面所成的角与二面角（2） 【教学目标】1、进一步理解直线和平面所成的角的概念；2、掌握求直线与平面所成的角的方法；3、重点要求学会利用平面的法向量求直线和平面的夹角。

【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角；2、直线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成的角是0︒的角。

直线和平面所成的角范围：[0，2π] 二、 例题讲解【例1】 如图。

在长方体ABC D －A'B'C'D'中，AB=4，BC=3，AA'=5，试求B'D'与平面A'BCD'所以成的角的正弦值。

解：作B'E ⊥A'B ，又因为A'D'⊥平面ABB'A'， 所以A'D'⊥B'E 。

由B'E ⊥A'B 及B'E ⊥A'B 可得B E A BCD '''⊥平面 所以D E '就是D B ''在平面A BCD ''上的射影， 从而B D E ''∠就是D B ''与平面A BCD ''所成的角； 在直角B D E ''∆中，有sin EB B D E D B '''∠=''但是，5D B ''==，又1122A BB S AB EB A B BB ''∆'''''==g gA B '==EB '∴==sin 41B D E ''∴∠==解法2：如图建立空间直角坐标系，则(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5),(3,4,5)B C A D B '''，()()()3,4,0,0,4,5,3,0,0B D A B A D '''''∴=-=-=-u u u u r u u u r u u u u r， 设平面A BCD ''的法向量为(),,1n x y =r则045050,,13040n A B y n x n A D ⎧'⋅=-=⎧⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪-=⎝⎭''⋅=⎩⎪⎩r u u u r r r u u u u r。

的树》教学教案一、教学目标【知识与能力】学会本课4个生字，理解文章所讲的故事。

【过程与方法】学生通过自主读文、讨论、交流等过程，感受课文情感。

【情感态度与价值观】培养学生珍惜友谊，信守承诺的良好品质，体会人和物之间的相互依存、和谐发展。

二、教学重难点【重点】理解课文内容，感受童话的趣味以及体会鸟与树的友谊。

【难点】感受鸟儿对树的真挚情谊，体会鸟儿对树的情感。

三、教学过程(一)创设情境，导入新课导入时，让学生们畅所欲言，讲一讲他们熟悉或喜欢的童话故事，这样做一方面是为了激发学生学习童话故事的兴趣;另一方面是为了锻炼学生的口语表达能力。

(板书标题)(二)初读课文，整体感知1.初读课文，解决生字词。

(屏幕出示生字词，指名学生读)(一两个即可)2.学生朗读课文思考：主要讲了一件什么事?可以分为几部分?每部分主要讲了什么内容?明确：①写了一只鸟儿为了实现自己去年的诺言，去寻找好朋友“树”并为它歌唱的事情。

②可分为三个部分，第一部分(第1自然段)树与鸟儿是好朋友，鸟儿天天为树唱歌;第二部分(第2~4自然段)鸟儿离开树到南方过冬，答应明年春天继续为树唱歌;第三部分(第5~17自然段)写鸟儿飞回时不见树的踪影，四处寻找，最终实现了自己的诺言。

(三)抓住重点，理解道理1.这篇童话一共有几次对话?怎样通过对话推动故事的发展的?(小组讨论)明确：共出现四次对话。

第一次对话，鸟与树，约定明年春天相见时鸟再唱歌给树听，第二次对话是鸟与树根，鸟向树根询问树到什么地方去了，树根告诉鸟“伐木人用斧子把他砍倒了，拉到山谷里去了”。

第三次对话是鸟向门打听树的去处，门先生告诉她树根切成细条条儿做成火柴卖到村子里去了。

第四次对话是鸟与小姑娘打听火柴的下落，小姑娘告诉她“火柴已经用光了”，只剩下用火柴点燃的灯光。

这四次对话，分别就是本篇童话的起因、经过和结果。

2.在小鸟与大门的对话中出现了哪些动词?表达了作者怎样的感情?明确：作者运用了“切、做、运、卖”四个动词描述了树的动向。

直线和平面所成的角与二面角（第三课时）面面垂直1. 进一步巩固二面角的概念．2. 掌握两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用．➢ 教学重点、难点：两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用．➢ 教学过程： 一、复习1．二面角的平面角的范围和二面角平面角的作法； 2．求二面角的步骤：作——证——算——答．二、新课讲解1．两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面．2．两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ，求证：αβ⊥． 证明：如图所示，令CD αβ=I ，则B CD ∈，在β内过B 作BE CD ⊥， ∵,AB CD ββ⊥⊂， ∴AB CD ⊥，∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥， ∴ABE ∠是直角，所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．ED CB Aβα实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直．3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥I 于点B ，求证：AB β⊥． 证明：在β内过B 作BE CD ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角，∵αβ⊥知AB BE ⊥， 又∵AB CD ⊥， ∴AB β⊥．三、例题分析例1．如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可．解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，又∵PA 垂直于O e 所在的平面， ∴PA BC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中， 所以，平面PAC ⊥平面PBC ．说明：由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法．例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥I ，求证：a γ⊥． 证明：设,AB AC αγβγ==I I ，在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ，∵αγ⊥， ∴PM α⊥， 又∵a αβ=I ， ∴PM a ⊥，NM PCBA aγβαPOABC同理可得PN a ⊥，∴a γ⊥．例3．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值．分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角．解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角，∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ， ∴AB DF ⊥，AB CD ⊥， ∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥， ∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥， 设BD a =，则2AB BC a ==， 在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =， 同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --的正弦值为5．四、本课小结1．面面垂直的判定和性质定理． 2．面面垂直性质和判定定理的应用．五、作业补充1．过点P 引三条长度相等但不共面的线段,,PA PB PC ，且60APB APC ∠=∠=o，90BPC ∠=o ，求证：平面ABC ⊥平面BPC ．2．如图，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=o，,E F 分别是,PB PC 上的点，且AE PB ⊥，求证：AEF ∆是直角三角形．ABCDEFBACPABCPEF（第1题图）（第2题图）。

【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间图9−36*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 讲解 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解通过例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】第9。

9.7直线与平面所成的角和二面角(三)教学目的：1．两个平面垂直的定义、画法． 2．两个平面垂直的判定定理．3．两个平面垂直的性质定理．理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题. 教学重点：两个平面垂直的判定和性质. 教学难点：两个平面垂直的判定及应用.授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程： 一、复习引入：1．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角. 一直线垂直于平面，所成的角是直角.一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角 直线和平面所成角范围：[0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.2．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=3.二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：A B CDFGHIKL第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα4．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角.（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--ϕ2ϕ1cbaθPαO ABED CB AβαaβαPOABC的平面角.说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]oo；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直. 二、讲解新课：1.两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. 2．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ， 求证：αβ⊥．（线面垂直⇒面面垂直） 证明：如图所示，令CD αβ=I ，则B CD ∈，在β内过B 作BE CD ⊥，∵,AB CD ββ⊥⊂，∴AB CD ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角，又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直.3．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. 已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥I于点B ，求证：AB β⊥．（面面垂直⇒线面垂直）证明：在β内过B 作BE CD ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角， ∵αβ⊥知AB BE ⊥，又∵AB CD ⊥，∴AB β⊥． 三、讲解范例：例1.如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可.解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，又∵PA 垂直于O e 所在的平面，∴PA BC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中， 所以，平面PAC ⊥平面PBC ．说明：由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法. 例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥I ，求证：a γ⊥．βαlP CB图1AαHDCBADCBA证明：设,AB AC αγβγ==I I ，在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ， ∵αγ⊥，∴PM α⊥，又∵a αβ=I ，∴PM a ⊥，同理可得PN a ⊥，∴a γ⊥．例3．已知在一个60o的二面角的棱长有两点,A B ，,AC BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ，又知4,6,8AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长.解：由已知,,,18060120CA AB AB BD CA BD ⊥⊥<>=-=o o ou u u r u u u r ，∴22||()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||268cos120CA AB BD =+++⨯⨯⨯o u u u r u u u r u u u r 22216482682=++-⨯⨯⨯68=，||)CD cm =u u u r四、课堂练习：1．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45oo，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值.解：过点C 作CH α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，则30CAH ∠=o，45CBH ∠=o，CDH ∠为所求CD 与α所成角，记为θ， 令CH a =，则2,AC a BC ==，则在Rt ABC ∆中，有3AC BC CD AB ⋅== 在Rt CDH ∆中，sin CH CD θ==∴CD 与平面α2．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,. 分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理.解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时，ED'B'C'A'O D AC B∵PA α⊥∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥而面PAC I 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1sin 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠=o在Rt BPC ∆中，sin 2PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠=o故304575ACB ∠=+=ooo（图1）或453015ACB ∠=-=ooo（图2） 即二面角l αβ--的大小为75o或15o.说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角.3．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求： （1）AO 与A C ''所成角；（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角. 解：（1）∵//A C AC ''∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ ∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC '∴OC OA ⊥（三垂线定理）在Rt AOC ∆中，,2OC AC ==30OAC ∠=o （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角 在Rt OAE ∆中，1,2OE AE ===∴tan 5OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90o.说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角(0,]2π，直线和平面βαlPCB图2A所成角[0,]2π，二面角[0,]π三种；求角度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案. 五、小结：1．两个平面垂直的定义、画法2．两个平面垂直的判定方法（判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．） 3．应用两个平面垂直的判定定理的关键是将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题； 4．两个平面垂直的性质. 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(二)教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法 教学难点：二面角的平面角的一般作法及其寻求 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角.直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.二、讲解新课：1二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：J第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角DC BAE1A 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 三、讲解范例：例1在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小 解：取BC 的中点E，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角， 方法一：设正四面体的棱长为1， 则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠=方法二：（向量运算）令AB a =，,AC b AD c ==，棱长为1， ∵1111[()][]2224EA ED a b c a b ⋅=-+⋅--=， 又∵3||||EA ED ==，∴1cos 3AED ∠=即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3． 例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ， ∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，1A在AOC ∆中，112AO CO AC ===， 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3．（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为说明：求二面角的步骤：作——证——算——答例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角lBOAβαD CBPAB ACD --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴2DF =， 同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin DF FED DE ∠=== 所以，二面角B AC D --四、课堂练习： 1如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A--的平面角为θ， 求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=A BC D E FD CFHBAE 又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CDB --的大小解：过A 作AH BD ⊥于H∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角 令ABa =，则,2AH a BE a ===∴HF a =∴在Rt AHF ∆中tan AH AFH HF ∠==∴AFH ∠= 即二面角A CD B --的大小为arctan33．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD的中点O ，1,AC BC CD ===1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 的大小解：（1）∵AO ⊥面BCD ∴AO CO ⊥ ∴ACO ∠为AC 与面BCD所成角∵1,BC CD ==∴BD∴12CO BD ==∴cos ACO ∠=O EDCFBA∴6ACO π∠=即AC 与平面BCD 所成角的大小为6π（2）取BC 中点E ，连接,OE AE ∴//OE CD ∵CD BC ⊥ ∴OE BC ⊥ 又∵AO ⊥面BCD ∴AE BC ⊥∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角又∵1122OE CD AO === ∵AO OE ⊥∴tan AO AEO OE ∠==∴arctan AEO ∠=即二面角A BC D --的大小为arctan2（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=即异面直线AB 和CD 所成角为45 五、小结 ：1.二面角的定义、画法.2.二面角的平面角的定义、作法.3.求简单的二面角的大小. 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。