4.6用牛顿定律解决问题----动力学中的临界问题

牛顿运动定律的应用----------临界问题一、临界问题在物体的运动变化过程中，往往会出现某个特殊的状态，相关物理量在这个特定状态前后会发生突变，这种运动状态称为临界状态。

临界状态通常分为运动（速度、加速度）变化的临界状态和力（摩擦力、弹力）变化的临界状态。

1、运动变化的临界状态：运动的物体出现最大或最小速度，相互作用的物体在运动中达到共同的速度等。

2、力变化的临界状态：相互作用的物体间静摩擦力达到最大时将要发生相对滑动。

相互接触的物体运动中因为弹力逐渐减小直至减小到零将要发生分离等。

二、分析临界问题的一般步骤1、通过受力分析和过程分析找到临界状态；2、弄清在临界状态下满足的临界条件；如：两相互滑动的物体恰好不脱离、同向运动的两个物体相距最近的临界条件是两物体达到共同的速度。

3、使用物理方法或数学方法求解。

【例1】（弹力变化的临界）如图1所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板．系统处于静止状态．现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ．重力加速度为g ．变式1．如图2所示，一弹簧秤的托盘质量m 1=1.5kg ，盘内放一质量为m 2=10.5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k =800N/m ，开始时系统处于静止状态．现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始做匀加速直线运动，已知在最初0.2s 内F 是变化的，在0.2s 后F 是恒定的，求F 的最大值和最小值各是多少．（取g =10m/s 2）【例2】（摩擦力变化的临界）如图3所示，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上．A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2， F 从10逐渐增大到50N 在此过程中，下列说法准确的是( )．A ．当拉力F <12 N 时，两物体均保持相对静止状态B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动C ．两物体从受力开始就有相对运动D ．当拉力超过48 N 时，开始相对滑动 θ C 图1A B 图2【例3】（临界加速度）如图4所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑斜面体的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球．当斜面体以a =2g 的加速度向左运动时，线中拉力为多大？【例4】（运动变化的临界）如图5所示，长为1.5m 的长木板B 静止放在水平冰面上，小物块A 以某一初速度从木板B 的左端滑上长木板B ．若小物块A 可视为质点，它与长木板B 的质量相同，A 、B 间的动摩擦因数μ1=0.25．木块与冰面的动摩擦因数为0.1．为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上长木板的初速度应满足什么条件？（取g =10m/s 2）变式1．如图6所示，一平板车以某一速度v 0匀速行驶，某时刻一货箱（可视为质点）无初速度地放置于平板车上，货箱离车后端的距离为l =3m ，货箱放入车上的同时，平板车开始刹车，刹车过程可视为做a =4m/s 2的匀减速直线运动．已知货箱与平板车之间的摩擦因数为μ=0.8，g =10m/s 2．为使货箱不从平板上掉下来，平板车匀速行驶的速度v 0应满足什么条件？（变式：若μ=0.2呢）变式2： 如图7所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L ＝8m ，传送带的皮带轮的半径可忽略，现有一个旅行包（视为质点）以v 0＝10m/s 的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ＝0.6．皮带轮与皮带之间始终不打滑。

牛顿运动定律中的临界和极值问题1．动力学中的典型临界问题(1)接触与脱离的临界条件两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝0.(2)相对静止或相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是F＝0.T(4)速度最大的临界条件在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值．2．解决临界极值问题常用方法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．(3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．题型一：接触与脱离类的临界问题例1: 如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速直线运动（a<g），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？例2: 如图，竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上端与质量为3.0 kg的物块B相连接。

另一个质量为1.0 kg的物块A放在B上。

先用竖直向下的力F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上运动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2 m，取g＝10 m/s2，求刚撤去F时弹簧的弹性势能？例3:如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A ，当运动距离为h 时A 与B 分离。

则下列说法正确的是（ ）A ．A 和B 刚分离时，弹簧为原长B ．弹簧的劲度系数等于hmg 23 C ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小D ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，A 物体的机械能一直增大例4:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k ，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A 连接；两物块A 、B 质量均为m ，初始时均静止。

动力学中的临界和极值问题一、动力学中的临界极值问题1．“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力F N＝0。

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是F T＝0。

(4)速度达到最值的临界条件：加速度为0。

2. 解题指导（1）直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、F N＝0.（2）靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.（3）极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程（4）数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．3.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．4. 解题方法二、针对练习1、（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间的动摩擦因数为4μ，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ．现对物块施加一水平向右的拉力，则木板加速度a 大小可能是（ ）A ．0a =B ．4ga μ=C ．3g a μ=D ．23ga μ=2、（多选）如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( ) A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。

牛顿运动定律的应用之临界极值问题一、临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。

学#科网(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。

二、几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示临界状态 临界条件 速度达到最大 物体所受的合外力为零 两物体刚好分离 两物体间的弹力F N ＝0绳刚好被拉直 绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力三、 解决临界问题的基本思路(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。

挖掘临界条件是解题的关键。

如例5中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度a 。

【典例1】如图所示，θ＝37°，m ＝2 kg ，斜面光滑，g 取10 m /s 2，斜面体以a ＝20 m /s 2的加速度沿水平面向右做匀加速直线运动时，细绳对物体的拉力为多大？【答案】【解析】 设m 处在这种临界状态，则此时m 对斜面体的压力为零．由牛顿第二定律可知，临界加速度a 0＝g c otθ＝10×43 m /s 2＝403 m /s 2.将临界状态的加速度a 0与题设给出的加速度进行比较，知a>a 0，所以m已离开斜面体，此时的受力情况如图所示，由平衡条件和牛顿第二定律可知： T c o s α＝m a ，T s i n α＝mg .注意：a≠0， 所以【典例2】如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球。

图1—1 牛顿运动定律运用中的临界问题在应用牛顿定律解题时常遇到临界问题，它包括：1. 平衡物体（a=0）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间；2. 动态物体（a ≠0）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。

临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。

加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。

抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。

对于此类问题的解法一般有以下三种方法：一．极限法在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到尽快求解的目的。

例1.如图1—1所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求： （1）物体在水平面上运动时力F 的值； （2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

例2．（和静摩擦力相联系的临界情况）如图，质量为m=1Kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg ，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F ，要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2）例3．（和弹力相联系的临界条件）如图2—1所示，质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A 与B 的接触面光滑，且与水平面的夹角为60° ，求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围。

图2—1例4 如图所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A ，槽的半径为R ，且OA 与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m ，木块的质量为M ，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。

牛顿运动定律中的临界问题在应用牛顿定律解题时常遇到临界问题，它包括：平衡物体（a=0）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间；动态物体（a≠0）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。

临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。

加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。

抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。

一、和绳子拉力相联系的临界情况例1. 小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30°角）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：（1）加速度；（2）加速度。

解析：小车处于平衡态（a=0）对小球受力分析如下图所示。

当加速度a由0逐渐增大的过程中，开始阶段，因m在竖直方向的加速度为0，角不变，不变，那么，加速度增大（即合外力增大），OA绳承受的拉力必减小。

当时，m存在一个加速度，物体所受的合外力是的水平分力。

当时，a增大，（OA绳处于松弛状态），在竖直方向的分量不变，而其水平方向的分量必增加（因合外力增大），角一定增大，设为a。

当时，。

当，有：（1）（2）解得当，有：。

点评：1. 通过受力分析和对运动过程的分析找到本题中弹力发生突变的临界状态是绳子OA拉力恰好为零；2. 弹力是被动力，其大小和方向应由物体的状态和物体所受的其他力来确定。

二、和静摩擦力相联系的临界情况例2. 质量为m=1kg的物体，放在=37°的斜面上如下图所示，物体与斜面的动摩擦因数，要是物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？解析：当物体恰不向下滑时，受力分析如下图所示，解得当物体恰不向上滑时，受力分析如下图所示，解得因此加速度的取值范围为：。

点评：本题讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：1. 抓住静摩擦力方向的可能性。

2. 最大静摩擦力是物体即将由相对静止变为相对滑动的临界条件。

牛顿运动定律的应用-牛顿运动定律的应用之临界极值问题接触的物体是否会发生分离等等，这类问题就是临界问题。

在应用牛顿运动定律解决临界问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象，此时要采用假设法或极限分析法，看物体以不同的加速度运动时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。

2. 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态；3. 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；4. 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。

F N＝0。

2. 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。

3. 绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T＝0。

4. 加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度。

当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的加速度为零或最大。

题设中若出现“最大”“最小”“刚好”等这类词语时，一般就隐含着临界问题，解决这类问题时，常常是把物理问题(或物理过程)引向极端，进而使临界条件或临界点暴露出来，达到快速解决有关问题的目的。

2. 假设法：有些物理问题在变化过程中可能会出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般要用假设法。

假设法是解物理问题的一种重要方法。

用假设法解题，一般依题意从某一假设入手，然后运用物理规律得出结果，再进行适当讨论，从而找出正确答案。

牛顿运动定律的应用 ---------- 临界问题一、临界问题在物体的运动变化过程中，常常会出现某个特别的状态，有关物理量在这个特定状态前后会发生突变，这类运动状态称为临界状态。

临界状态往常分为运动（速度、加快度）变化的临界状态和力（摩擦力、弹力）变化的临界状态。

1、运动变化的临界状态：运动的物体出现最大或最小速度，互相作用的物体在运动中达到共同的速度等。

2、力变化的临界状态：互相作用的物体间静摩擦力达到最大时将要发生相对滑动。

互相接触的物体运动中由于弹力渐渐减小直至减小到零将要发生疏别等。

二、剖析临界问题的一般步骤1、经过受力剖析和过程剖析找来临界状态；2、弄清在临界状态下知足的临界条件；如：两互相滑动的物体恰巧不离开、同向运动的两个物体相距近来的临界条件是两物体达到共同的速度。

3、使用物理方法或数学方法求解。

【例 1】（弹力变化的临界）如图 1 所示，在倾角为θ的圆滑斜面上有两个用轻质弹簧相连结的物块A、B，它们的质量分 A别为 m A、m B，弹簧的劲度系数为k，C 为一固定挡板．系C 统处于静止状态．现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A使之向上运动，求物块 B 刚要走开 C 时物块 A 的加快度 a 和从开始到此时物块 A 的位移 d．重力加快度为 g．Bθ图 1变式 1．如图 2 所示，一弹簧秤的托盘质量 m1=1.5kg ，盘内放一质量为m2=10.5kg 的物体 P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m ，开始时系统处于静止状态．现给P 施加一个竖直向上的力 F ，使 P 从静止开始做匀加快直线运动，已知在最先0.2s 内 F 是变化的，在 0.2s 后 F 是恒定的，求 F 的最大值和最小值各是多少．（取 g=10m/s2）图 2【例 2】（摩擦力变化的临界）如图3所示，物体A叠放在物体 B 上，B 置于圆滑水平面上． A、B 质量分别为m A＝6 kg、m B＝ 2 kg， A、 B 之间的动摩擦因数μ＝，F从10渐渐增大到50N 在此过程中，以下说法正确的是( )．A ．当拉力F<12 N 时，两物体均保持相对静止状态B．两物体开始没有相对运动，当拉力超出12 N 时，开始相对滑动C．两物体从受力开始就有相对运动D．当拉力超出48 N 时，开始相对滑动【例 3】（临界加快度）如图 4 所示，一细线的一端固定于倾角为45°的圆滑斜面体的顶端 P 处，细线的另一端拴一质量为 m 的小球．当斜面体以 a=2g 的加快度向左运动时，线中拉力为多大？Pam45°图 4【例 4】（运动变化的临界）如图 5 所示，长为 1.5m 的长木板 B 静止放在水平冰面上，小物块 A 以某一初速度从木板 B 的左端滑上长木板B．若小物块 A 可视为质点，它与长木板 B 的质量同样， A、 B 间的动摩擦因数μ．木块与冰面的动摩擦因数为．为了保证小物块不从木板的右端滑落，1小物块滑上长木板的初速度应知足什么条件？（取g=10m/s2）A vB图 5变式 1．如图 6 所示，一平板车以某一速度v0匀速行驶，某时辰一货箱（可视为质点）无初速度地搁置于平板车上，货箱离车后端的距离为l=3m，v0 货箱放入车上的同时，平板车开始刹车，刹车过程可视为做la=4m/s 2的匀减速直线运动．已知货箱与平板车之间的摩擦因数为μ，g=10m/s2．为使货箱不从平板上掉下来，平图 6板车匀速行驶的速度v0应知足什么条件？（变式：若μ 呢）变式 2：如图 7 所示为车站使用的水平传递带的模型，它的水平传递带的长度为L＝ 8m，传递带的皮带轮的半径可忽视，现有一个旅游包（视为质点）以v0＝ 10m/s 的初速度水平川滑上水平传递带．已知旅游包与皮带之间的动摩擦因数为μ＝．皮带轮与皮带之间一直不打滑。