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[核心必知]．斜二测画法的规则()在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，它们分别对应′轴和′轴，两轴交于点′，使∠′′′＝°，它们确定的平面表示水平平面．()已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中分别画成平行于′轴和′轴的线段．()已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的.．立体图形的直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个轴，其直观图中对应于轴的是′轴，平面′′′表示水平平面，平面′′′和′′′表示直立平面，平行于轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．[问题思考]．斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？提示：斜是指坐标轴倾斜，使之成°，二测是指测量与轴平行的线段长度不变，测量与轴平行的线段长度减半．．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗？提示：平行．．空间几何体的直观图一定唯一吗？提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．讲一讲．用斜二测画法画边长为的水平放置的正三角形的直观图．[尝试解答]法一：()如图①所示，以边所在的直线为轴，以边上的高线所在的直线为轴．()画对应的′轴、′轴，使∠′′′＝°.在′轴上截取′′＝′′＝，在′轴上截取′′＝，连接′′，′′，则三角形′′′即为正三角形的直观图，如图②所示．法二：()如图③所示，以边所在的直线为轴，以边上的高所在的直线为轴．()画对应的′轴、′轴，使∠′′′＝°.在′轴上截取′′＝，在′轴上截取′′＝′′＝＝，连接′′，′′，则三角形′′′即为正三角形的直观图，如图④所示．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．练一练．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解：画法：()如图()，取所在直线为轴，以中点为原点，建立直角坐标系，设轴与交于点，画对应的坐标系′′′，使∠′′′＝°.()以′为中点在′轴上取′′＝，在′轴上取′′＝，以′为中点作′′∥′轴，并使′′＝.()连接′′，′′，所得的四边形′′′′就是水平放置的等腰梯形的直观图，如图()．。
§1.1.4 直观图画法教学目标：1．掌握斜二测画法作图的要求及作图规则2．会用斜二测画法画空间图形的直观图教学重点：斜二测画法的规则以及画空间几何体的直观图教学难点：在画直棱柱、正棱锥的直观图中，坐标系的建立、顶点的确定、虚线和实线的确定 教学过程：1．复习引入通过上节课的学习，我们知道，正投影主要用于绘制物体的三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此，绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影。
介绍中心投影和平行投影(斜投影)各自的优缺点，指导学生阅读课本第14页第2、3段内容，了解中心投影和斜投影的有关知识。
这节课我们就来介绍如何根据斜投影来绘制空间物体的直观图？2．新课讲授例l ：画水平放置的边长为2cm 的正三角形的直观图。
画法：按如下步骤完成：第一步：在已知正三角形ABC 中，取AB 所在直线为x 轴，取对称轴CO 为y 轴，画对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=︒(或135︒)；第二步：在x '轴上取O A OA ''=，O B OB ''=，在y '轴上取12O C OC ''=； 第三步：连结A C ''、B C ''，所得A B C '''∆就是正三角形ABC 的直观图。
例2：画长为4 cm ，宽为2 cm ，高为2 cm 的长方体的直观图。
画法：按如下步骤完成：第一步：画轴：画x '轴、y '轴、z '轴，使45x O y '''∠=︒(或135︒)，90x O z '''∠=︒； 第二步：画底面：按x '轴、y '轴画长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形ABCD 的直观图； 第三步：画侧棱：过点,,,A B C D 分别作z '轴的平行线，并在这些平行线上分别截取',AA ',','BB CC DD 都等于长方体的高2cm ；A B C DB'D'C'A''，加以整理，去掉辅助线，把被遮挡部分改为虚线。
2 直观图-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.了解平面直角坐标系及其相关定义；2.掌握直线的斜率和截距的概念以及其应用；3.理解两直线相交情况与求其交点的方法；4.理解直线的解析式及其一般式的概念和两者之间的转换。
教学重难点1.直线的斜率和截距的概念；2.直线的交点和解析式及其一般式的转换。
教学过程导入环节通过简单的导入，引导学生接触直观图的概念及其意义。
1.抛出问题：如何用图形表示数学概念？2.引入平面直角坐标系，让学生了解坐标系的意义和基本构成；3.给出一些坐标，向学生介绍如何在坐标系中表示点。
学习环节1. 直线的斜率和截距1.引入直线的概念，让学生了解直线是由无数个点组成的；2.介绍直线的斜率和截距，让学生能够计算斜率和截距；3.给出几个例题，让学生进行计算练习，进一步掌握斜率和截距的应用。
2. 直线的交点1.引入两条直线相交（平行和重合）的概念，让学生理解两条直线的交点意义；2.讲解如何求两条直线的交点，并给出例题让学生进行练习；3.强调重合的两条直线交点有无穷多个的特殊情况。
3. 直线的解析式和一般式的转换1.讲解直线的一般式和解析式，并比较两者之间的差异；2.介绍如何将解析式转换为一般式，以及反之；3.给出几个例题，让学生进行实操练习。
拓展环节1.引导学生思考平面内两条直线的关系，如平行、垂直等；2.让学生自己寻找与自己生活、学习相关的例子，进一步理解和巩固所学内容；3.引导学生参考相关资料，拓展与平面直角坐标系相关知识。
教学总结通过本次教学，学生能够初步了解和掌握平面直角坐标系、直线的斜率和截距、直线的交点、直线的一般式和解析式的转换等概念和知识，能够在实践中运用所学知识分析和解决与平面直角坐标系相关的问题。
教学准备1. 教学目标1．知识与技能1掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受。
（2）体会对比在学习中的作用。
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
2. 教学重点/难点重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
3. 教学用具4. 标签教学过程四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱把实物圆柱放在讲台上让学生画。
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。
（二）研探新知1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。
强调斜二测画法的步骤。
练习反馈根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。
2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。
3．探求空间几何体的直观图的画法（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是100px、75px、50px的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
4．巩固练习三、归纳整理学生回顾斜二测画法的关键与步骤四、作业。
《直观图》教学设计本课时编写：崇文门中学高巍巍教材分析:三视图的直观图是空间几何体的重要的起始课，是学习立体几何的基础之一．学好三视图的直观图有利于培养学生空间想象能力、几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，为高中的后续学习打下基础．因此将从投影的角度加深对三视图概念的理解和会画简单几何体的三视图作为本节课的重点.可以培养学生的直观感受能力、作图能力、空间想象能力，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用，所以在人们的日常生活中有着重要义，所以直观图也不可忽视.教学目标：【知识与能力目标】1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.2.通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力.【过程与方法】学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.【情感态度与价值观】1.提高空间想象力与直观感受能力，培养探究精神和意识；2.体会对比转化在学习中的作用，以及化归的数学思想方法；3.感受几何作图在生产活动中的应用.教学重难点：【教学重点】空间几何体直观图的画法--斜二测画法：能由直观图想出其对应的几何体，并能由几何体的三视图画出其直观图，顺利由三视图到空间几何体再到直观图的互化.【教学难点】用斜二测画法画空间几何值的直观图时，如何选择合适的坐标系.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：三视图能从细节上刻画空间几何体的结构，我们可以得到一个精确的几何体，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，且作图方法比较复杂，又不易度量.那么有没有一种画法，既能对空间几何体整体刻画，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图.因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.二、新课探究：1. 斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．。
课题：直观图☆学生版☆
学习目标:理解斜二测画法步骤,学会用斜二测画法会画水平放置的平面图形和立体图形图形的直观图,为学好立体几何打好基础
学习重点：用斜二测画空间几何体的直观图.
学习难点：圆柱的直观图的画法
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习
.
问题：一个水平放置的平面图形，如果是正方形，那么它的直观图还是正方形吗？问题:一条线段在直观图中还保持同样的长度吗？
、斜二测画法规则：
()在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，它们分别对应′轴和′轴，两轴交于点′，使，它们确定的平面表示水平平面．
()已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成′轴和′轴的线段．()已知图形中平行于轴的线段，在直观图中；
平行于轴的线段， .
、立体图形的直观图的画法：立体图形与平面图形相比多了一个轴，其直观图中对应于轴的是′轴，平面′′′表示水平平面，平面′′′和′′′表示直立平面．平行于轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．
.三、合作探究
★探究一、画水平放置的正六边形的直观图
.
★★探究二、画正五棱锥的直观图
★★探究三、画一个底面边长为个单位，高为个单位的正六掕柱的直观图.
四、课堂检测
.画水平放置的正方形和正三角形的直观图。
2直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则(重点)；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图(重、难点).知识点一用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面.2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.【预习评价】相等的角在直观图中还相等吗？提示不一定，例如正方形的直观图为平行四边形，则原相等的角，直观图中不相等.知识点二空间几何体直观图的画法1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个轴，直观图中与之对应的是′轴.2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′′和x′O′′表示直立平面.3.画侧棱：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.【预习评价】空间几何体的直观图唯一吗？提示不唯一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.题型一画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法(1)例1巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.【训练1】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示.题型二简单几何体的直观图【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD －A′B′C′D′的直观图.解 画法步骤：(1)画轴.如图，画x 轴、y 轴、 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xO ＝90°.(2)画底面.以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱.过A ，B ，C ，D 各点分别作 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图.顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.规律方法 直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、 ′轴的线段；(2)平行于x 轴、 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.【训练2】 画出底面是边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图.解 (1)画轴.画x 轴、y 轴、 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xO ＝90°，如图①.(2)画底面.以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm ，EF ＝0.6 cm.(3)画顶点，在O 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.(4)成图.顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.【探究1】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.【探究2】如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长.解如图为原平面图形.由斜二测画法可知，OB＝2O′B′＝2 2 cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1 cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°. 所以四边形OABC为平行四边形，且BC＝OC2＋OB2＝1＋8＝3(cm)，故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8(cm).【探究3】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()A.32a2 B.34a2C.62a 2D.6a 2解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：则A ′D ′＝32a ，又∠x ′O ′y ′＝45°，∴A ′O ′＝62a .画△ABC 的实际图形，如图(2)所示，AO ＝2A ′O ′＝6a ，BC ＝B ′C ′＝a ，∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝62a 2.答案 C【探究4】 求证：对于三角形，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S ′＝24S .由于其他多边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立.证明 如图(1)，在△ABC 中，AD ⊥BC ，其面积S ＝12AD ×BC ，在其直观图(如图(2))中，作A ′M ⊥B ′C ′，则直观图的面积为S ′＝12B ′C ′×A ′M ＝12B ′C ′×A ′D ′sin 45°＝24×12×BC ×AD ＝24S .规律方法 (1)由直观图还原平面图形关键有两点：①平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍；②对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.(2)由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y 轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点：①直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的12sin 45°＝24倍；②S直观图＝24S原图.由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换.课堂达标1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案 C2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.答案 B3.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC是三角形.解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形.答案直角4.有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，其直观图的面积为 cm 2.解析 由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20(cm 2)，所以其直观图的面积为S ′＝24S ＝24×20＝52(cm 2).答案 5 25.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2cm ，∠A ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图.解 (1)如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图②所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图①中，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝332≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图.课堂小结1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为：S 直S 原＝24. 2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.基础过关1.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()解析根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.答案 C2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()A.16B.64C.16或64D.无法确定解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.答案 C3.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.答案 C4.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是 (填序号).解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. 答案 ①②5.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为 .解析 将直观图△A ′B ′C ′复原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为52.答案 526.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC 如图所示，其中AC ＝1，∠ABC ＝30°，试求原三角形的面积.解 如图所示，作AD ⊥BC 于点D ，在BD 上取一点E ，使DE ＝AD .由AC ＝1可知，BC ＝2，AB ＝3，AD ＝32，AE ＝62.由斜二测画法，知B ′C ′＝BC ＝2，A ′E ′＝2AE ＝6，所以S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝12×2×6＝ 6.7.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，＝AC·AD＝2 2.∴S四边形ABCD能力提升8.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形解析由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形.答案 B9.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.答案 D10.如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为 .解析 由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.答案 1011.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为 .解析 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2，∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 答案 2＋2212.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为3 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此机器部件的直观图.解 (1)如图①，画x 轴、y 轴、 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xO ＝90°.(2)画圆柱的两底面.在xOy 平面上画出底面圆O ，使直径为3 cm ，在 轴上截取OO ′，使OO ′＝3 cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面圆O ′，使其直径为3 cm.(3)画圆锥的顶点.在 轴上画出点P ，使PO ′等于圆锥的高3 cm.(4)成图.连接A ′A ，B ′B ，PA ′，PB ′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.13.(选做题)如图所示，有一对角为45°的菱形A ′B ′C ′D ′，它是一个平面图的直观图，请画出它的平面图.并求其直观图与还原图形的面积比.解 如图①所示，先建立坐标系x ′D ′y ′，再建立一个直角坐标系xDy ，如图②所示.在x 轴上截取线段DC ，使DC ＝D ′C ′，在y 轴上截取线段AD ，使AD ＝2A ′D ′. 过点A 作AB ∥CD ，过点C 作CB ∥AD ，使AB ，BC 交于点B ，则四边形ABCD 就是菱形A ′B ′C ′D ′的实际平面图，如图③所示.在直观图中，作A ′H ′⊥D ′C ′于H ′，设菱形边长为a ，则在Rt △A ′D ′H ′中可得A ′H ′＝22a ，∴S 菱形A ′B ′C ′D ′＝C ′D ′·A ′H ′＝22a 2.在平面图形中，CD ＝a ，AD ＝2A ′D ′＝2a ，∴S 矩形ABCD ＝CD ·AD ＝2a 2，∴S 菱形A ′B ′C ′D ′S 矩形ABCD ＝22a 22a 2＝24.。
