高中数学(人教A版)必修5同步练习题：必修5 第3章 3.4 学业分层测评21

学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1­2­9，测得下面四组数据，较合理的是( )图1­2­9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是( )A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．【答案】 B3．如图1­2­10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B间距离是( )图1­2­10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m，则建筑物高度为( )A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB ＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】 C5．如图1­2­11所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )图1­2­11A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m【解析】 设建筑物的高度为h ，由题图知， PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理， 得cos∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ， ①cos∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos∠PBA ＋cos∠PBC ＝0. ③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.【答案】 D 二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长 千米．【解析】 如图，∠BAO ＝75°，C ＝30°，AB ＝1，∴∠ABC ＝∠BAO －∠BCA ＝75°－30°＝45°. 在△ABC 中，AB sin C ＝ACsin ∠ABC，∴AC ＝AB ·sin ∠ABCsin C ＝1×2212＝2(千米)．【答案】27．如图1­2­12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m，则河的宽度是 m.图1­2­12【解析】 tan 30°＝CDAD ，tan 75°＝CD DB， 又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1­2­13所示，已知AB＝4 2 dm，AD ＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球. 【导学号：05920061】图1­2­13【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD －CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝373.∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．【答案】7三、解答题9．A，B，C，D四个景点，如图1­2­14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距(32－6)km，求A，B两景点的距离．图1­2­14【解】 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°， 由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，即BD ＝CD ·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋15°＝60°，BD ＝AD ， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB ＝2.答：A ，B 两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45°.∵AB ＝30(m)， ∴BC ＝30(m)，在Rt△ABD 中，BD ＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900， ∴CD ＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1＝d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小【解析】 如图，B ，C ，D 分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.在△PBC 中，d 1sin α＝PBsin∠PCB，在△PCD 中，d 2sin β＝PDsin∠PCD，∵sin α＝sin β，sin∠PCB ＝sin∠PCD ，∴d 1d 2＝PBPD.∵PB <PD ，∴d 1<d 2. 【答案】 C2．如图1­2­15，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3＝1.732)( )图1­2­15A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m【解析】 在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE.∴AE ＝CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE，∴AE ＝CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C3.如图1­2­16所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC .小明在山脚B 处看索道AC ，此时视角∠ABC ＝120°；从B 处攀登200米到达D 处，回头看索道AC ，此时视角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登300米到达C 处．则石竹山这条索道AC 长为 米．图1­2­16【解析】 在△ABD 中，BD ＝200米，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin∠DAB ＝ADsin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．【答案】100394．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1­2­17)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．图1­2­17【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM .由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN .由余弦定理MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN α1－β1.方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d .②第一步：计算BM .由正弦定理BM ＝d sin α1α1＋α2；第二步：计算BN .由正弦定理BN ＝d sin β1β2－β1；第三步：计算MN .由余弦定理MN ＝BM 2＋BN 2－2BM ·BNβ2＋α2.。

【新课标人教A版】高中数学必修5同步练习+单元测试试卷全套目录目录 (I)第一章解三角形 (1)1.1.1正弦定理作业 (1)1.2 正弦定理余弦定理的应用1 (3)1.2 正弦定理、余弦定理的应用2 (13)第一章解三角形单元测试1 (14)第一章解三角形单元测试2 (20)第一章解三角形单元测试3 (24)第二章数列 (28)2.1数列的概念与简单表示法 (28)2.1.2递推公式作业 (31)2.2.1等差数列作业 (34)2.3《等差数列前n项和》作业（第一课时） (37)2.4《等比数列的性质》作业 (40)2.5《等比数列前n项和》（第二课时）作业 (43)第二章数列单元测试1 (46)第二章数列单元测试2 (50)第二章数列单元测试3 (54)第三章不等式 (63)3.1不等关系与不等式同步测试 (63)3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 (66)《基本不等式》同步测试 (76)《基本不等式》综合检测 (78)第三章不等式同步测试 (79)第一章 解三角形1.1.1正弦定理作业1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A.30 B.60 C.30或150 D.60或120 2、在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A.226- B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A.30,14,7===A b a ，有两解 B.150,25,30===A b a ,有一解 C.45,9,6===A b a ，有两解 D.60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中， 60=A ,3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ）A.338 B. 3392 C. 3326 D. 32 6、在ABC ∆中，已知30=A ,45=C 20=a ，解此三角形。

综合质量评估第一～三章 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.如果a<0,b>0，那么，下列不等式中正确的是（ ）()(()()2211A B C a b D a b a b< < >2.在△ABC 中，∠A=60°，a =b=4，那么满足条件的△ABC （ ） (A)有一个解 (B)有两个解 (C)无解 (D)不能确定3.已知数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n +2n ，那么a 2 012的值是（ ） (A)2 0122 (B)2 011×2 010 (C)2 012×2 013 (D)2 011×2 0124.（2011·辽宁高考）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，2asinAsinB bcos A +=则ba=（ ） ()()((A B C D 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=（ ）()()()()A B 7C 6D6.设a,b, c ∈(-∞,0)，则111a ,b ,c bca+++（ ） (A)都不大于-2(B)都不小于-2 (C)至少有一个不大于-2 (D)至少有一个不小于-27.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若(a 2+c 2-b 2则角B 的值为（ ）()()()()52A B C D 636633ππππππ 或或 8.已知x>0,y>0，2x+y=2,c=xy,那么c 的最大值为（ ）()()()()11A 1BCD 2249.在△ABC 中，关于x 的方程(1+x 2)sinA+2xsinB+(1-x 2)sinC=0有两个不相等的实根，则A 为（ ） (A)锐角 (B)直角 (C)钝角 (D)不能确定10.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5=（ ）(A)35 (B)33 (C)31 (D)2911.已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 3·a 18的最大值是（ ）(A)50 (B)25 (C)100 (D)12.已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0,则使等差数列{a n }前n 项和S n 取最大值的正整数n 是（ ）(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请把答案填在题中的横线上）13.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时,n 等于__________.14.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a,b,c 三条边的对角，如果b=2a,B=A+60°，那么A=________.15.若负数a,b,c 满足a+b+c=-1,则111a b c++的最大值是__________. 16.不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，并且sinA ·sinC=cos 2B ，三角形的面积ABC S =求三边a,b,c.18.(12分）（2011·福建高考）已知等差数列{a n }中，a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项的和S k =-35,求k 的值.19.（12分）（2011·山东高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知cosA 2cosC 2c a.cosB b--=(1)求sinCsinA的值； （2）若1cosB ,4=b=2，求△ABC 的面积S.20.(12分）已知f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab,当x ∈(-3,2)时，f(x)>0；x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时，f(x)<0. （1）求y=f(x)的解析式；（2）c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R.21.(12分）某公司计划在2012年内同时出售空调机和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？22.（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7,a5+a7=26.{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令n2n1ba1=-(n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n.答案解析1.【解析】选A.如果a<0,b>0，那么110,0,ab<>11,a b∴<故选A. 2.【解析】选C.根据正弦定理得bsinA sinB 1,a ===>故无解.故选C.3.【解析】选D.由已知a n+1-a n =2n,∴a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,a 4-a 3=2×3,…,a n -a n-1=2(n-1),以上各式两端分别相加得：()()()n 1n 2 012a a 2123n 1n n 1.a n n 1.a 2 011 2 012.-=++⋯+-=-=-∴=⨯［］即故选D.4.【解析】选D.2asinAsinB bcos A +=2sinAsinAsinB sinBcos A b sinBsinB a sinA∴+=∴=∴==故选D. 5.【解析】选A.18789123a a a q 2.a a a== ()99456123q a a a a a a q ∴===故选A.6.【解题提示】解答本题关键是分析111a b c bca+++++的最大值.【解析】选C.111a b c 6,b c a+++++≤- 三者不能都大于-2.故选C.7.【解析】选D.在△ABC 中，根据b 2=c 2+a 2-2cacosB 得a 2+c 2-b 2=2cacosB ，代入已知得sinB 2∴=2B B ,33ππ∴==或故选D.8.【解析】选B.由已知，22x y =+≥=1c ,2∴≤故选B.9.【解析】选A.4sin 2B-4(sin 2A-sin 2C)>0, 即sin 2B+sin 2C>sin 2A,由正弦定理得b 2+c 2>a 2, 再由余弦定理得cosA>0,所以A 为锐角，故选A. 10.【解析】选C.设公比为q,由题意知2323113647113133311a a a q 2a .5a 2a a q 2a q 2a q 25a q 2a q q 2⎧==⎪⎨+=+=⎪⎩⎧=⎪⎨+=⎪⎩即 解得11q .2a 16⎧=⎪⎨⎪=⎩故55116(1)2S 31 .112⨯-==-故选C.11.【解析】选B.由题可知()3181202031820a a 20a a )S 100,a a 10,22++===∴+=（2318318a a a a ()25.2+∴≤=故选B.12.【解题提示】解答本题的关键是分析出数列{a n }第几项开始有符号发生变化.【解析】选B.由|a 3|=|a 9|得()()()22111n 1a 2d a 8d .a 5d.a a n 1d n 6d,d 0,+=+∴=-=+-=-<（）∴当n ≤6时，a n ≥0，当n>6时，a n <0, ∴前5项或前6项的和最大，故选B. 13.【解析】∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2，由()n n 1a 2n 490,a 2n 1490-=->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，解得n=25. ∴从第25项开始为正，前24项都为负数，即前24项之和最小. 答案：24【方法技巧】求等差数列前n 项和最值的方法：对于等差数列，当公差不等于零时，则其为单调数列，所以其前n 项和往往存在最大值或最小值，常用的方法有：(1)通项公式法：先求出通项公式，通过通项公式确定等差数列的单调性，再求其正项或负项为哪些项，从而确定前n 项和的最值. (2)二次函数法：根据等差数列的前n 项和S n 是关于项数n 的一元二次函数，从而可直接配方，求其最值，但应注意项数n 为正整数，由此，本题还可有以下解法：方法二,a n =2n-49，a 1=-47<0,公差d=2>0,∴数列{a n }为递增等差数列. 令a n =0，得1n 24.2=∴该数列中，a 1,a 2,…,a 24<0，a 25>0,…… ∴数列{a n }的前24项和最小，故n=24. 方法三，可知数列{a n }为等差数列，a 1=-47.()()1n n 222n a a n 472n 49S 22n 48n n 2424,+-+-∴===-=--（）∴当n=24时，S n 取最小值，故n=24. 14.【解析】∵b=2a,B=A+60°,∴sinB=2sinA, sinB=sin(A+60°),∴2sinA=sin(A+60°).12sinA sinA tanA 223=+∴=又∵0°<A<180°,∴A=30°. 答案：30°15.【解题提示】解答本题一方面要注意常值代换的应用，另一方面要注意利用不等式的性质化“负”为“正”. 【解析】∵a+b+c=-1,∴1=-a-b-c.111a b c a b c a b ca b c a b cb ac a c b3()()()a b a c b c32229.---------∴++=++=--+-+-+≤----=-当且仅当a=b=c=13-时取等号. 答案：-916.【解析】不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立，即（a+2)x 2+4x+a-1>0对一切x ∈R 恒成立，若a+2=0，则4x-3>0,显然不恒成立；若a+2≠0,则a 200+>⎧⎨∆<⎩，即()()2a 2044a 2a 10+>⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，解得a>2. 答案：(2,+∞)17.【解析】∵角A ，B ，C 成等差数列， ∴A+C=2B ，A+B+C=180°，∴B=60°， 所以21sinAsinC cos 60.4=︒= ①又ABC 1S acsinB,2==得ac=16. ② 由①②及a csinA sinC=得：22ac a c ()()64,sinAsinC sinA sinCa c 8.sinA sinC asinBb 8sinB 8sin60sinA ========︒=所以又222a c b 1cosB ,2ac 2+-== ()()222222a cb ac,ac b 3ac,a c 484896,a c ∴+-=+-=∴+=+=∴+=③联立③与②得a 2,c 2,a 2,c 2.====或18.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,由a 1=1,a 3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2. 从而a n =1+(n-1)×(-2)=3-2n ，n ∈N *. （2）由（1）可知a n =3-2n.()2n n 132n S 2n n .2+-∴==-［］由S k ＝-35可得2k-k 2=-35. 即k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k ∈N *，故k=7.19.【解析】（1）由正弦定理设a b ck,sinA sinB sinC=== 则2c a 2ksinC ksinA 2sinC sinA ,b ksinB sinB ---==cosA 2cosC 2sinC sinAcosB sinB--∴=即（cosA-2cosC ）sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C)， 又A+B+C=π，∴sinC=2sinA.因此sinC2.sinA= （2）由sinC2sinA=得c=2a.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accosB 及1cosB ,b 2.4==22214a 4a 4a .a 1.c 2.4=+-⨯==得解得从而又∵cosB=14且0<B<π,sinB 4∴=因此11S acsinB 122244==⨯⨯⨯= 20.【解析】（1）由x ∈(-3,2)时，f(x)>0;x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时，f(x)<0知：-3，2是方程ax 2+(b-8)x-a-ab=0的两根且a ＜0,()2b 832a 3,a a ab b 5.32a f x 3x 3x 18.-⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⎨⎨--=⎩⎪-⨯=⎪⎩∴=--+得（2）由a<0，知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下.要使-3x 2+5x+c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0,即25+12c ≤0,得25c .12≤-∴当25c 12≤-时，ax 2+bx+c ≤0的解集为R. 21.【解析】设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 台,y 台，总利润是z ，则z=6x+8y由题意有30x 20y 3005x 10y 110x 0y 0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x, y 均为整数. 作出可行域如图.由图知直线31y x z 48=-+过M （4，9）时，纵截距最大.这时z 也取最大值z max =6×4+8×9=96(百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元.22.【解题提示】第（1）题可以列方程组求出首项和公差,从而易求a n ,S n .第（2）题要注意对b n 的化简变形和裂项求和法的应用.【解析】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由于a 3=7,a 5+a 7=26,∴a 1+2d=7,2a 1+10d=26.解得a 1=3,d=2.由于a n =a 1+(n-1)d,()1n n n a a S .2+=∴a n =2n+1,S n =n(n+2),n ∈N *.(2)∵a n =2n+1,()2n a 14n n 1.∴-=+()n 1111b ().4n n 14n n 1∴==-++ 故T n =b 1+b 2+…+b n()111111(1)4223n n 111n (1).4n 14n 1=-+-+⋯+-+=-=++ ∴数列{b n }的前n 项和()*n n T n N .4n 1=∈+，。

精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线ax ＋by ＋1＝0 ,假设ax ＋by ＋1>0表示的区域如选项中所示 ,其中正确的区域为( )【解析】 边界直线ax ＋by ＋1＝0上的点不满足ax ＋by ＋1>0 ,所以应画成虚线 ,故排除B 和D ,取原点(0,0)代入ax ＋by ＋1 ,因为a ×0＋b ×0＋1＝1>0 ,所以原点(0,0)在ax ＋by ＋1>0表示的平面区域内 ,排除A ,应选C.【答案】 C2．点A (－2 ,b )不在平面区域2x －3y ＋5≥0内 ,那么b 的取值范围是( ) A ．b ≤13 B ．b <1 C ．b >13D ．b >－9【解析】 由题意知2×(－2)－3b ＋5<0 , ∴b >13. 【答案】 C3．点(a,2a －1)既在直线y ＝3x －6的上方 ,又在y 轴的右侧 ,那么a 的取值范围是( )A ．(2 ,＋∞)B ．(5 ,＋∞)C ．(0,2)D ．(0,5)【解析】 ∵(a,2a －1)在直线y ＝3x －6的上方 , ∴3a －6－(2a －1)<0 ,即a <5. 又(a,2a －1)在y 轴右侧 ,∴a >0 , ∴0<a <5. 【答案】 D4．完成一项装修工程 ,木工和瓦工的比例为2∶3 ,请木工需付工资每人50元 ,请瓦工需付工资每人40元 ,现有工资预算2 000元 ,设木工x 人 ,瓦工y 人 ,x ,y 满足的条件是( )A.⎩⎨⎧2x ＋3y ≤5 x y ∈N *B.⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000 x y ＝23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x y ∈N*D.⎩⎨⎧5x ＋6y <100 x y ＝23【解析】 ∵木工和瓦工各请x ,y 人 , ∴有x ∶y ＝2∶3 ,50x ＋40y ≤2 000 ,即5x ＋4y ≤200 ,且x ,y ∈N *. 【答案】 C5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0 x －y ＋5≥00≤x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0 x －y ＋5≤0 0≤x ≤3.分别画出其平面区域(略) ,可知选C. 【答案】 C 二、填空题6．表示图3-3-3中阴影局部所示平面区域的不等式组是________．图3-3-3【解析】 由所给的图形容易知道 ,点(3,1)在相应的平面区域内 ,将点(3,1)的坐标分别代入3x ＋2y －6、2x －3y －6、2x ＋3y －12中 ,分别使得3x ＋2y －6>0、2x －3y －6<0、2x ＋3y －12<0 ,再注意到包括各边界 ,故图中阴影局部所示平面区域的不等式组是⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －12≤02x －3y －6≤03x ＋2y －6≥0.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －12≤0 2x －3y －6≤0 3x ＋2y －6≥07．x ,y 为非负整数 ,那么满足x ＋y ≤2的点(x ,y )共有________个．【解析】 由题意点(x ,y )的坐标应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N y ∈N x ＋y ≤2由图可知整数点有(0,0) ,(1,0) ,(2,0) ,(0,1) ,(0,2) ,(1,1) ,共6个． 【答案】 68．假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域为Ω ,那么当a 从－2连续变化到1时 ,动直线x ＋y －a ＝0扫过Ω中的那局部区域的面积为________.【解析】 如下列图 ,Ω为△BOE 所表示的区域 ,而动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那局部区域为四边形BOCD ,而B (－2,0) ,O (0,0) ,C (0,1) ,D⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 32 ,E (0,2) ,△CDE 为直角三角形 ,∴S 四边形BOCD ＝S △BOE －S △CDE ＝12×2×2－12×1×12＝74.【答案】 74 三、解答题9．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最||低标准是240元 ,又知其他费用最||少需支出180元 ,而每月可用来支配的资金为500元 ,这名新员工可以如何使用这些钱 ?请用不等式(组)表示出来 ,并画出对应的平面区域.【解】 不妨设用餐费为x 元 ,其他费用为y 元 ,由题意知x 不小于240 ,y 不小于180 ,x 与y 的和不超过500 ,用不等式组表示就是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤500 x ≥240y ≥180.对应的平面区域如图阴影局部所示．10．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域． 【解】 (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0 , 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0x －y ＋4＜0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0x －y ＋4＞0 ② 那么所求区域是①和②表示区域的并集．不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0右上方的点的集合 , 不等式x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0左上方的点的集合． 所以所求不等式表示区域如下列图．[能力提升]1．假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0 y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形 ,那么a 的取值范围是( )A ．(5,7)B ．[5,7)C ．[5,7]D ．(5,7]【解析】 不等式组表示的平面区域如下列图 ,当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形 ,即△ABC ,当5<a <7时 ,表示的平面区域为三角形 ,综上 ,当5≤a <7时 ,表示的平面区域为三角形．【答案】 B2．假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0 x ＋2y －2≥0x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形 ,且其面积等于43 ,那么m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3【解析】 作出可行域 ,如图中阴影局部所示 ,易求A ,B ,C ,D 的坐标分别为A (2,0) ,B (1－m,1＋m ) ,C⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4m 3 2＋2m 3 ,D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43 ,解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．【答案】 B3．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0所确定的平面区域 ,那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．【解析】 作出区域D 及圆x 2＋y 2＝4如下列图 ,图中阴影局部所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求 ,易知图中两直线的斜率分别为12 ,－13即tan α＝12 ,tan β＝13 ,tan θ＝tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1 ,所以θ＝π4 ,故弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2. 【答案】 π24．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0 x ＋y ≥0x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)假设点M (t,1)在平面区域Q 内 ,求整数t 的取值集合．【解】 (1)作出平面区域Q ,它是一个等腰直角三角形(如下列图)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0 x ＝4 解得A (4 ,－4) , 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋8＝0 x ＝4 解得B (4,12) , 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0 x ＋y ＝0 解得C (－4,4)． 于是可得|AB |＝16 ,AB 边上的高d ＝8. ∴S ＝12×16×8＝64.(2)由得⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0t ＋1≥0t ≤4t ∈Z即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7t ≥－1t ≤4 t ∈Z亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4t ∈Z得t ＝－1,0,1,2,3,4.故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}.精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0， ∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19【解析】 由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC→|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3 【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π 【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B <π， ∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.【答案】 A 二、填空题6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝________【解析】 由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，又cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0， 解得b ＝3或b ＝－13(舍去)． 【答案】 37．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________． 【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ， ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3.【答案】 π38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．【解析】 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ， ∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c2＝－34c 23c 2＝－14. 【答案】 －14 三、解答题9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【解】 (1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径． 又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B . 又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3. 又因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋4a 2－2a 2＝9， 解得a ＝3，故c ＝2 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长.【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得， a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0， 所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A. 【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(5，5) B ．(1, 5) C ．(5，13)D ．(13，5)【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13.【答案】 C3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.【解析】 由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.【答案】 14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝7 9.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值.【解】(1)由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b＝2，a＋c＝6，cos B＝7 9，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝42 9，由正弦定理得sin A＝a sin Bb＝223.因为a＝c，所以A为锐角，所以cos A＝1－sin2A＝1 3，因此sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝102 27.。

3.4基本不等式:√ab≤a+b2第1课时基本不等式课时过关·能力提升基础巩固1若x>0,则x+4x的最小值为().A.2B.3C.2√2D.4答案:D2若x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是().A.400B.100C.40D.20解析:xy≤(x+y2)2=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.答案:A3若0<x<13,则x(1−3x)取最大值时x的值是().A.13B.16C.34D.23解析:∵0<x<13,∴0<1−3x<1.∴y=x(1-3x)=13×3x(1−3x)≤13×(3x+1-3x 2)2=112. 当且仅当3x=1-3x ,即x =16时取等号.答案:B 4设a ,b ∈R ,若a ≠b ,a+b=2,则必有( ).A.1≤ab ≤a 2+b 22B.ab <1<a 2+b22C.ab <a 2+b22<1D.a 2+b 22<ab <1解析:令a=-1,b=3,则ab=-3,a 2+b 22=5,则有ab<1<a 2+b22,所以排除选项A,C,D,故选B .答案:B5若M =a 2+4a (a ∈R ,a ≠0),则M 的取值范围为( ).A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]C.[4,+∞)D.[-4,4]解析:当a>0时,M =a 2+4a =a +4a ≥2√a ·4a =4,当且仅当a =4a,即a=2时取“=”; 当a<0时,M =a 2+4a=a +4a =−[(-a )+(-4a )]≤-2√(-a )·(-4a )=−4,当且仅当-a=−4a,即a=-2时取“=”.综上,M的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞).答案:A6若a>b>1,P=√lgalgb,Q=lga+lgb2,R=lg a+b2,则下列结论正确的是().A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q 解析:∵a>b>1,∴lg a>0,lg b>0.∴R=lg a+b2>lg√ab=12lg(ab)=lga+lgb2=Q>√lgalgb=P.∴P<Q<R.答案:B7若a>0,b>0,则2ba +ab的最小值是.解析:2ba +ab≥2√2ba·ab=2√2,当且仅当2ba=ab,即a=√2b时取“=”.答案:2√28当函数y=x2(2-x2)取最大值时,x=. 解析:当−√2<x<√2时,y=x2(2-x2)≤(x 2+2-x22)2=1,当且仅当x2=2-x2,即x=±1时,等号成立,当x2≥2时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值.所以当x=±1时,y=x2(2-x2)有最大值为1.答案:±19已知2x +3y=2(x>0,y>0),求xy的最小值.解∵x>0,y>0,2x +3y=2,∴2=2x +3y≥2√6xy(当x=2,y=3时,等号成立),即1≥√6xy.∴√xy≥√6,从而xy≥6,即xy的最小值为6.10已知x>-1,试求函数y=x 2+7x+10x+1的最小值.解∵x>-1,∴x+1>0,∴y=x 2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+5≥2√(x+1)·4x+1+5=9.当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立.所以函数y=x 2+7x+10x+1的最小值为9.能力提升1若2a+b=1,a>0,b>0,则1a +1b的最小值是().A.2√2B.3−2√2C.3+2√2D.3+√2解析:1a +1b=2a+ba+2a+bb=2+1+ba +2ab=3+ba+2ab.∵a>0,b>0,∴1a +1b =3+b a +2a b ≥3+2√b a ·2a b =3+2√2,当且仅当b a =2a b ,即b =√2a =√2−1时“=”成立.∴1a +1b 的最小值为3+2√2.答案:C 2若x+3y-2=0,则函数z=3x +27y +3的最小值是( ).A.323B.3+2√2C.6D.9解析:z=3x +27y +3≥2√3x ·27y +3=2√3x+3y +3. ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.∴z ≥2√3x+3y +3=2√32+3=9,当且仅当3x =27y ,即x=3y=1时取“=”.答案:D3若a>0,b>0,a+b=2,则y =1a +4b 的最小值是( ).A .72B.4C.92D.5解析:依题意得1a +4b =12(1a +4b )(a +b)=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2√b a ·4a b )=92,当且仅当{a +b =2,b a =4a b ,a >0,b >0,即a =23,b =43时取等号,即1a +4b 的最小值是92. 答案:C4当x >12时,函数y =x +82x -1的最小值为( ).A .92B.4C.5D.9 解析:∵x >12,∴2x −1>0. ∴y=x +82x -1=x +4x -12=x −12+4x -12+12 ≥2√(x -12)·4x -12+12=4+12=92, 当且仅当x −12=4x -12,即x =52时取等号. 答案:A 5设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 .解析:因为a ,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y,而(√x +√y)2=x +y +2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 答案:3√2★6函数y=log a (x-1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上,其中m ,n>0,则1m +2n 的最小值为 .解析:由题意,得点A (2,1),则1=2m+n.又m ,n>0,所以1m +2n =2m+n m +2(2m+n )n =4+n m +4m n ≥4+2√4=8.当且仅当n m =4m n ,即m =14,n =12时取等号,则1m+2n的最小值为8.答案:8★7若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.答案:[15,+∞)★8已知f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x1≠x2时,比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小.解∵f(x)=a x,∴f(x1+x22)=ax1+x22,∴12[f(x1)+f(x2)]=12(a x1+a x2).∵a>0,且a≠1,x1≠x2,∴a x1>0,a x2>0,且a x1≠a x2,∴12(a x1+a x2)>√a x1·a x2=ax1+x22,即f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.9若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy与2x+y的最小值.解∵2x+y+6=xy,x>0,y>0,∴xy=2x+y+6≥2√2·√xy +6, 即xy-2√2√xy −6≥0,当且仅当{2x =y ,2x +y +6=xy时,等号成立. ∴(√xy −3√2)(√xy +√2)≥0. ∵√xy +√2>0,∴√xy ≥3√2,xy ≥18.又2x+y+6=12×2xy ≤12·(2x+y 2)2, ∴(2x+y )2-8(2x+y )-48≥0,∴(2x+y-12)(2x+y+4)≥0.∵2x+y+4>0,∴2x+y ≥12.∴xy 的最小值为18,2x+y 的最小值为12.。

精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．不等式4x ＋23x －1>0的解集是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >13或x <－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <13 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >13 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－12 【解析】4x ＋23x －1>0⇔(4x ＋2)(3x －1)>0⇔x >13或x <－12 ,此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >13或x <－12. 【答案】 A2．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅ ,那么实数a 的取值集合为( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}【解析】 当a ＝0时 ,有1<0 ,故A ＝∅.当a ≠0时 ,假设A ＝∅ ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0 解得0<a ≤4.综上 ,a ∈{a |0≤a ≤4}．【答案】 D3．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1 ,＋∞) ,那么关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集是( )A ．(－∞ ,0)∪(1 ,＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞ ,－1)∪(2 ,＋∞)【解析】 ∵ax －b >0的解集为(1 ,＋∞) ,∴a ＝b >0 ,∴ax ＋b x －2>0⇔a (x ＋1)x －2>0 , ∴x <－1或x >2.【答案】 D4．设集合P ＝{m |－1<m <0} ,Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立} ,那么以下关系式中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅【解析】 当m ＝0时 ,－4<0对任意实数x ∈R 恒成立；当m ≠0时 ,由mx 2＋4mx －4<0对任意实数x ∈R 恒成立可得 ,⎩⎪⎨⎪⎧ m <0Δ＝16m 2＋16m <0 解得－1<m <0 , 综上所述 ,Q ＝{m |－1<m ≤0} ,∴P Q ,应选A.【答案】 A5．在R 上定义运算：A B ＝A (1－B ) ,假设不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立 ,那么实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12【解析】 (x －a )(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ,∴－x 2＋x ＋a 2－a <1 ,即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立 ,∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0 ,∴(2a －3)(2a ＋1)<0 ,即－12<a <32.【答案】 C二、填空题6．当x ∈(1,2)时 ,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立 ,那么m 的取值范围是________.【解析】 设f (x )＝x 2＋mx ＋4 ,要使x ∈(1,2)时 ,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．那么有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0 f (2)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0解得m ≤－5. 【答案】 (－∞ ,－5]7．偶函数y ＝f (x )和奇函数y ＝g (x )的定义域均为[－4 ,4] ,f (x )在[－4,0]上 ,g (x )在[0,4]上的图象如图3-2-3所示 ,那么不等式f (x )g (x )<0的解集为________．图3-2-3【解析】 由得当x ∈(－4 ,－2)∪(2,4)时 ,f (x )>0 ,当x ∈(－2,2)时 ,f (x )<0 ,当x ∈(－4,0)时 ,g (x )>0 ,x ∈(0,4)时 ,g (x )<0.所以当x ∈(－2,0)∪(2,4)时 ,f (x )g (x )<0. 所以不等式f (x )g (x )<0的解集为{x ∈R |－2<x <0或2<x <4}． 【答案】 {x ∈R |－2<x <0或2<x <4}8．某地每年销售木材约20万m 3 ,每m 3价格为2 400元．为了减少木材消耗 ,决定按销售收入的t %征收木材税 ,这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元 ,那么t 的取值范围是______．【解析】 设按销售收入的t %征收木材税时 ,税金收入为y 万元 ,那么y ＝2400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)． 令y ≥900 ,即60(8t －t 2)≥900 ,解得3≤t ≤5.【答案】 [3,5]三、解答题9．假设不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}.(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时 ,ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?【解】 (1)由题意知1－a <0 ,且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根 , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <0 41－a ＝－2 61－a ＝－3 解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0 ,即为2x 2－x －3>0 ,解得x <－1或x >32 ,∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0 ,即3x 2＋bx ＋3≥0 ,假设此不等式解集为R ,那么Δ＝b 2－4×3×3≤0 ,∴－6≤b ≤6.10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h ,年用电量为a kw·h.本年度方案将电价降低到0.55元/kw·h 至||0.75元/kw·h 之间 ,而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算 ,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的本钱价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后 ,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设ka ,当电价最||低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至||少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－本钱价)【解】 (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时 ,依题意知 ,用电量增至||k x －0.4＋a ,电力部门的收益为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x ≤x ≤0.75)． (2)依题意 ,有错误!整理 ,得{ x 2x ≥≤x ≤0.75.≤x ≤0.75.∴当电价最||低定为0.60元/千瓦时时 ,仍可保证电力部门的收益比上年度至||少增长20%.[能力提升]1．假设实数α ,β为方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根 ,那么(α－1)2＋(β－1)2的最||小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－494【解析】 ∵Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0 ,∴m 2－m －6≥0 ,∴m ≥3或m ≤－2.(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494 ,∵m ≥3或m ≤－2 ,∴当m ＝3时 ,(α－1)2＋(β－1)2取最||小值8.【答案】 A2．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ,那么实数k 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．[1 ,＋∞)C ．[0,1]D ．(－∞ ,0]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立 ,当k ＝0时 ,满足．当k ≠0时 ,⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0 Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0＜k ≤1. 综上 ,0≤k ≤1.【答案】 C3．假设关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立 ,那么实数m 的取值范围是________．【解析】 设f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4 ,∴f (x )在x ∈[0,1]上单调递减 ,∴当x ＝1时 ,函数f (x )取得最||小值f (1)＝－3 ,∴要使x 2－4x ≥m 对于任意x ∈[0,1]恒成立 ,那么需m ≤－3.【答案】 (－∞ ,－3]4．设不等式mx 2－2x －m ＋1＜0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立 ,求x 的取值范围．【解】 原不等式可化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0.令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1) ,其中m ∈[－2,2], 那么原命题等价于关于m 的一次函数(x 2－1≠0时)或常数函数(x 2－1＝0时)在m ∈[－2,2]上的函数值恒小于零．(1)当x 2－1＝0时 ,由f (m )＝－(2x －1)＜0得x ＝1；(2)当x 2－1＞0时 ,f (m )在[－2,2]上是增函数 ,要使f (m )＜0在[－2,2]上恒成立 ,只需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＞0f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)＜0 解得1＜x ＜1＋32；(3)当x 2－1＜0时 ,f (m )在[－2,2]上是减函数 ,要使f (m )＜0在[－2,2]上恒成立 ,只需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)＜0解得－1＋72＜x＜1.综合(1)(2)(3) ,得－1＋72＜x＜1＋32.精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。

3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2双基达标 限时20分钟1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )．A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y≥1C.xy ≥2D.1xy≥1解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 答案 B2．下列各函数中，最小值为2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x解析 对于A ：不能保证x >0， 对于B ：不能保证sin x ＝1sin x ，对于C ：不能保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ：y ＝x ＋1x≥2.答案 D3．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12.a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大． 答案 B 4．设a >2，则a ＋1a －2的最小值是________． 解析 ∵a >2，∴a －2>0. ∴a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4. 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，等号成立． 答案 45．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)6．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y的最小值．解 法一 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝5x ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5时等号成立．法二 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥22x ·5y＝21010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.时取等号)．综合提高 限时25分钟7．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D.14解析 因为3a ·3b＝3，所以a ＋b ＝1， 1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立，故选B.答案 B8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )．A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________． 解析 设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60， 又1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9y x，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6，y ＝4时，等号成立． 答案 6 410．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0， 2m ＋n ＝1，m ，n >0， 1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m＋4m n≥4＋2n m ·4mn＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1n m＝4mn，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ＝12时等号成立．答案 811．求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域．解 函数的定义域为R ， y ＝x 2＋1＋6x x 2＋1＝1＋6x x 2＋1. (1)当x ＝0时，y ＝1； (2)当x >0时，y ＝1＋6x ＋1x≤1＋62＝4. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，y max ＝4；(3)当x <0时，y ＝1＋6x ＋1x＝1－6－x ＋1－x ≥1－62＝－2.当且仅当－x ＝－1x时，即x ＝－1时，y min ＝－2.综上所述：－2≤y ≤4，即函数的值域是[－2,4]．12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )，f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。

2018年人教A版高中数学必修5学业分层测评与综合测试汇编目录人教A必修5学业分层测评1 正弦定理Word版含解析人教A必修5学业分层测评2 余弦定理Word版含解析人教A必修5学业分层测评3 解三角形的实际应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评4 角度问题Word版含解析人教A必修5学业分层测评5 三角形中的几何计算Word版含解析人教A必修5学业分层测评6 数列的概念与简单表示法Word版含解析人教A必修5学业分层测评7 数列的通项与递推公式Word版含解析人教A必修5学业分层测评8 等差数列的概念与简单表示Word版含解析人教A必修5学业分层测评9 等差数列的性质Word版含解析人教A必修5学业分层测评10 等差数列的前n项和Word版含解析人教A必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评12 等比数列Word版含解析人教A必修5学业分层测评13 等比数列的性质Word版含解析人教A必修5学业分层测评14 等比数列的前n项和Word版含解析人教A必修5学业分层测评15 等比数列前n项和的性质及应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评16 不等关系与不等式Word版含解析人教A必修5学业分层测评17 一元二次不等式及其解法Word版含解析人教A必修5学业分层测评18 一元二次不等式的应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评19 二元一次不等式（组）与平面区域Word版含解析人教A必修5学业分层测评20 简单的线性规划问题Word版含解析人教A必修5学业分层测评21 基本不等式：ab≤a＋b2 Word版含解析人教A必修5章末综合测评1 Word版含解析人教A必修5章末综合测评2 Word版含解析人教A必修5章末综合测评3 Word版含解析人教A必修5模块综合测评1 Word版含解析人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，a=4，A=45°，B=60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 【解析】 由已知及正弦定理，得4sin 45°=b sin 60°，∴b=4sin 60°sin 45°=4×3222=2 6. 【答案】 C2．在△ABC 中，∠A=60°，a=43，b=42，则∠B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B=bsin A a =42×3243=22，∴∠B=45°或135°.但当∠B=135°时，不符合题意，所以∠B=45°，故选C. 【答案】 C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．2∶3∶1 D ．3∶1∶2【解析】 设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x=180°，∴x=30°.由正弦定理a sin A =b sin B =csin C，可知a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C ，∴a ∶b ∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=12∶32∶1=1∶3∶2.【答案】 B4．在△ABC 中，若3b=23asin B ，cos A=cos C ，则△ABC 形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】 由正弦定理知b=2R·sin B ，a=2R·sin A ， 则3b=23a·sin B 可化为：3sin B=23sin A·sin B.∵0°<∠B<180°，∴sin B ≠0，∴sin A=32，∴∠A=60°或120°，又cos A=cos C ，∴∠A=∠C ，∴∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形． 【答案】 C 二、填空题5．在△ABC 中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A=75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B =c sin C 得b=csin B sin C =1×2232=63. 【答案】 636．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=3，sin B=12，C=π6，则b=________.【解析】 在△ABC 中，∵sin B=12，0<B<π，∴B=π6或B=56π.又∵B ＋C<π，C=π6，∴B=π6，∴A=π－π6－π6=23π.∵a sin A =b sin B ，∴b=asin B sin A =1. 【答案】 17．在△ABC 中，若3a=2bsin A ，则B=________. 【解析】 由正弦定理得3sin A=2sin B·sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B=32.又0<B<180°，∴B=60°或120°.【答案】 60°或120° 三、解答题8．在△ABC 中，已知a cos A =b cos B =ccos C，试判断△ABC 的形状. 【=05920059】【解】 令asin A=k ，由正弦定理得a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksin C.代入已知条件，得sin A cos A =sin B cos B =sin Ccos C，即tan A=tan B=tan C.又A ，B ，C ∈(0，π)，∴A=B=C ，∴△ABC 为等边三角形．9．在△ABC 中，∠A=60°，sin B=12，a=3，求三角形中其它边与角的大小．【解】 由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b=a·sin Bsin A =3×12sin 60°= 3.由于∠A=60°，则∠B<120°，又sin B=12，∴∠B=30°，则∠C=90°，则c=asin Csin A=2 3.[能力提升]1．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a=2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．72【解析】 ∵a sin A =b sin B ，∴sin B sin A =b a .∵3a=2b ，∴b a =32.∴sin B sin A =32.∴2sin 2B －sin 2A sin 2A =2⎝⎛⎭⎫sinB sin A 2－1=2×⎝⎛⎭⎫322－1=92－1=72. 【答案】 D2．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a>bsin A B ．a=bsin A C ．a<bsin A D ．a ≥bsin A【解析】 由正弦定理a sin A =bsin B，∴asin B=bsin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故asin B ≤a ，∴a ≥bsin A ．故选D.【答案】 D 3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=3，B=π4，________，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A =b sin B ，得b=asin Bsin A=3sin π4sinπ6=6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C=π，B=π4，A=π6，知C=7π12，再运用正弦定理，得c=32＋62.【答案】 b=6或c=32＋624．已知方程x 2－bcos Ax ＋acos B=0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2=bcos A ，x 1x 2=acos B ，由题意得bcos A=acos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A=2Rsin Acos B. ∴sin Acos B －cos Asin B=0，即sin(A －B)=0.在△ABC 中，0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A －∠B<π. ∴∠A －∠B=0即∠A=∠B ，∴△ABC 为等腰三角形.学业分层测评（二） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c22ab<0，即cos C<0，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 【解析】 由余弦定理的推论知cos B=AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC =1935，∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π－B)=7×5×⎝⎛⎭⎫－1935=－19. 【答案】 D3．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=2，c=23，cos A=32且b<c ，则b=( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】 由a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，得4=b 2＋12－6b ，解得b=2或4.又b<c ，∴b=2. 【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2=3bc ，sin C=23sin B ，则A=( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C=23sin B ，由正弦定理，得c=23b ，∴cos A=b 2＋c 2－a 22bc =－3bc ＋c 22bc =－3bc ＋23bc 2bc =32，又A 为三角形的内角，∴A=30°. 【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2=ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，πC.⎝⎛⎦⎤0，π6 D ．⎣⎡⎭⎫π6，π 【解析】 cos B=a 2＋c 2－b 22ac =(a －c )2＋ac2ac=(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B<π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.故选A. 【答案】 A 二、填空题 6．(2014·福建高考)在△ABC 中，A=60°，AC=2，BC=3，则AB 等于 ．【解析】 ∵A=60°，AC=2，BC=3，设AB=x ，由余弦定理，得BC 2=AC 2＋AB 2－2AC·ABcos A ，化简得x 2－2x ＋1=0，∴x=1，即AB=1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=5∶7∶8，则B 的大小是 ． 【解析】 由正弦定理知：a=2Rsin A ，b=2Rsin B ，c=2Rsin C ．设sin A=5k ，sin B=7k ，sin C=8k ， ∴a=10Rk ，b=14Rk ，c=16Rk ， ∴a ∶b ∶c=5∶7∶8，∴cos B=25＋64－492×5×8=12，∴B=π3.【答案】 π38．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知b －c=14a,2sin B=3sinC ，则cos A 的值为 ．【解析】 由2sin B=3sin C 及正弦定理得2b=3c ，即b=32c.又b －c=14a ，∴12c=14a ，即a=2c.由余弦定理得 cos A=b 2＋c 2－a 22bc =94c 2＋c 2－4c 22×32c 2=－34c 23c 2=－14.【答案】 －14三、解答题9．在△ABC 中，(1)a=3，b=4，c=37，求最大角． (2)b=6，c=2，B=60°，求a. 【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C=a 2＋b 2－c 22ab =32＋42－372×3×4=－12，∴C=120°.(2)法一 由正弦定理b sin B =c sin C ，得sin C=csin B b =2sin 60°6=36=22，∴C=45°或C=135°.∵b>c ，∴B>C ，又∵B=60°，∴C=45°. ∵A ＋B ＋C=180°，∴A=180°－(60°＋45°)=75°，∴a 2=b 2＋c 2－2bccos A=6＋4－46×cos 75°=10－46×6－24=4＋23，∴a=4＋23=3＋1.法二 ∵b 2=a 2＋c 2－2accos B ， ∴6=a 2＋4－4acos 60°=a 2＋4－2a. ∴a 2－2a －2=0.解得a=1＋3或a=1－3(不合题意，舍去)， ∴a=1＋ 3.10．在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2=0的两根，2cos (A ＋B)=1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．【解】 (1)∵cos C=cos [π－(A ＋B)]=－cos (A ＋B)=－12，且C ∈(0，π)，∴C=2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2=0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2=b 2＋a 2－2abcos 120°=(a ＋b)2－ab=10， ∴AB=10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2=2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形【解析】 由2c 2=2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2=－12ab ，所以cos C=a 2＋b 2－c 22ab =－12ab 2ab =－14<0，所以90°<C<180°，即三角形为钝角三角形，故选A. 【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(5，5) B ．(1, 5) C ．(5，13) D ．(13，5)【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x<13.【答案】 C3．(2015·北京高考)在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则sin 2Asin C= . 【解析】 由正弦定理得sin A sin C =ac ，由余弦定理得cos A=b 2＋c 2－a 22bc，∵a=4，b=5，c=6，∴sin 2A sin C =2sin Acos A sin C =2·sin A sin C ·cos A=2×46×52＋62－422×5×6=1. 【答案】 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c=6，b=2，cos B=79. 【=05920060】(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．【解】 (1)由b 2=a 2＋c 2－2accos B ， 得b 2=(a ＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b=2，a ＋c=6，cos B=79，所以ac=9，解得a=3，c=3.(2)在△ABC 中，sin B=1－cos 2B=429，由正弦定理得sin A=asin B b =223.因为a=c ，所以A 为锐角，所以cos A=1－sin 2A=13.因此sin(A －B)=sin Acos B －cos Asin B=10227.学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()图1-2-9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l=502＋302－2×50×30×cos 120°=70 (n mile)．【答案】 B3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，AD=20(3＋1)，则A，B间距离是()图1-2-10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB=DC=40，AD=20(3＋1)，∠ADB=60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB=206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB=30°，OB=20，BD=40，OD=203，在Rt △AOD 中，OA=OD·tan 60°=60，∴AB=OA －OB=40(m)． 【答案】 C 5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60 m ，则建筑物的高度为( )图1-2-11A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m 【解析】 设建筑物的高度为h ，由题图知，PA=2h ，PB=2h ，PC=233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA=602＋2h 2－4h 22×60×2h， ①cos ∠PBC=602＋2h 2－43h 22×60×2h. ②∵∠PBA ＋∠PBC=180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC=0. ③由①②③，解得h=306或h=－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m. 【答案】 D 二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长 千米．【解析】 如图，∠BAO=75°，C=30°，AB=1，∴∠ABC=∠BAO －∠BCA=75°－30°=45°.在△ABC 中，AB sin C =ACsin ∠ABC，∴AC=AB·sin ∠ABCsin C =1×2212=2(千米)．【答案】 2 7．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120 m ，则河的宽度是 m.图1-2-12【解析】 tan 30°=CD AD ，tan 75°=CDDB，又AD ＋DB=120， ∴AD·tan 30°=(120－AD)·tan 75°， ∴AD=603，故CD=60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB=4 2 dm ，AD=17 dm ，∠BAC=45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球. 【=05920061】图1-2-13【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC=x dm ，由题意知CD=2x dm ，AC=AD －CD=(17－2x)dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ，即x 2=(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos 45°，解得x 1=5，x 2=373.∴AC=17－2x=7(dm)，或AC=－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球． 【答案】 7 三、解答题9．A ，B ，C ，D 四个景点，如图1-2-14，∠CDB=45°，∠BCD=75°，∠ADC=15°.A ，D 相距2km ，C ，D 相距(32－6)km ，求A ，B 两景点的距离．图1-2-14【解】 在△BCD 中， ∠CBD=180°－∠BCD －∠CDB=60°，由正弦定理得BD sin ∠BCD =CDsin ∠CBD ，即BD=CD·sin 75°sin 60°=2.在△ABD 中，∠ADB=45°＋15°=60°，BD=AD ， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB=2.答：A ，B 两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD=30°，∠ADB=30°，∠ACB=45°.∵AB=30(m)， ∴BC=30(m)，在Rt △ABD 中，BD=30tan 30°=303(m)．在△BCD 中，CD 2=BC 2＋BD 2－2BC·BD·cos 30°=900， ∴CD=30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1=d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小 【解析】 如图，B ，C ，D 分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α=β.在△PBC 中，d 1sin α=PBsin ∠PCB ，在△PCD 中，d 2sin β=PDsin ∠PCD，∵sin α=sin β，sin ∠PCB=sin ∠PCD ，∴d 1d 2=PBPD.∵PB<PD ，∴d 1<d 2. 【答案】 C 2．如图1-2-15，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3=1.732)( )图1-2-15A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m【解析】 在△ACE 中，tan 30°=CE AE =CM －10AE.∴AE=CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°=DE AE =CM ＋10AE，∴AE=CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°=CM ＋10tan 45°， ∴CM=10(3＋1)3－1=10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C 3.如图1-2-16所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B 处看索道AC ，此时视角∠ABC=120°；从B 处攀登200米到达D 处，回头看索道AC ，此时视角∠ADC=150°；从D 处再攀登300米到达C 处．则石竹山这条索道AC 长为 米．图1-2-16【解析】 在△ABD 中，BD=200米，∠ABD=120°. 因为∠ADB=30°，所以∠DAB=30°.由正弦定理，得BD sin ∠DAB =ADsin ∠ABD，所以200sin 30°=AD sin 120°.所以AD=200×sin 120°sin 30°=2003(米)．在△ADC 中，DC=300米，∠ADC=150°，所以AC 2=AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC=(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°=390 000，所以AC=10039(米)．故石竹山这条索道AC 长为10039米．【答案】 100394．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M ，N 间的距离，无人机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图1-2-17)，无人机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．图1-2-17【解】 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM=dsin α2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN=dsin β2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN=AM2＋AN2－2AM·ANcos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM=dsin α1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理BN=dsin β1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN=BM2＋BN2－2BM·BNcos(β2＋α2).学业分层测评（四） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α>β B ．α=β C ．α＋β=90° D ．α＋β=180°【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α=β，故应选B. 【答案】 B2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 【解析】 如图所示，sin ∠CAB=2040=12，∴∠CAB=30°.【答案】 B3．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且A 、B 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．142海里/小时D ．20海里/小时 【解析】 如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，在△ABC 中，AC=10×2=20(海里)， AB=12海里，∠BAC=120°，∴BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 120°=784， ∴BC=28海里， ∴v =14海里/小时． 【答案】 B4．地上画了一个角∠BDA=60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A．14米B．15米C．16米D．17米【解析】如图，设DN=x m，则142=102＋x2－2×10×xcos 60°，∴x2－10x－96=0.∴(x－16)(x＋6)=0.∴x=16或x=－6(舍)．∴N与D之间的距离为16米．【答案】 C二、填空题5．(2015·湖北高考)如图1-2-26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m.图1-2-26【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=180°－75°=105°，故∠ACB=45°.又AB=600 m，故由正弦定理得600sin 45°=BCsin 30°，解得BC=300 2 m.在Rt△BCD中，CD=BC·tan 30°=3002×3 3=1006(m)．【答案】100 66．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为3海里，则x的值为．【解析】x2＋9－2·x·3cos 30°=(3)2，解得x=23或x= 3.【答案】3或2 37．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为km. 【=05920062】【解析】如图所示，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin 45°=BMsin 30°，解得BM=302(km)．【答案】 30 28．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 n mile 的M 处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为n mile/h.【解析】 如图，由题意知∠MPN=75°＋45°=120°，∠PNM=45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120°=PMsin 45°，∴MN=68×3222=34 6.又由M 到N 所用时间为14－10=4(h)，∴船的航行速度v =3464=1726(n mile/h)．【答案】 1726三、解答题9．平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态．已知F 1、F 2的大小分别为1 N 、6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求F 3的大小及F 3与F 1的夹角的大小．【解】 如图，设F 1与F 2的合力为F ，则F 3=－F. ∵∠BOC=45°， ∴∠ABO=135°.在△OBA 中，由余弦定理得 |F|2=|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1|·|F 2|cos 135° =4＋2 3.∴|F|=1＋3，即|F 3|=3＋1. 又由正弦定理得sin ∠BOA=|F 2|sin ∠ABO |F|=12.∴∠BOA=30°. ∴∠BOD=150°.故F 3的大小为(3＋1)N ，F 1与F 3的夹角为150°. 10. (2016·焦作模拟)如图1-2-27，正在海上A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km 的C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C 处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B 处执行任务，渔政船甲航行30 km 到达D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC 航行前去救援渔船丙)，此时B 、D 两处相距42 km ，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．图1-2-27【解】 设∠ABD=α，在△ABD 中，AD=30， BD=42，∠BAD=60°.由正弦定理得AD sin α=BDsin ∠BAD，sin α=AD BD sin ∠BAD=3042sin 60°=5314，又∵AD<BD ，∴0°<α<60°，cos α=1－sin 2α=1114，cos ∠BDC=cos(60°＋α)=－17.在△BDC 中，由余弦定理得 BC 2=DC 2＋BD 2－2DC·BDcos ∠BDC=402＋422－2×40×42cos(60°＋α)=3 844，BC=62 km ， 即渔政船乙要航行62 km 才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．[能力提升]1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米 【解析】 如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD. 设塔高AB=x ，在Rt △ABC 中，∠ACB=45°， 所以BC=AB=x ，在Rt △ABD 中，∠ADB=30°，∴BD=ABtan 30°=3x ，在△BCD 中，由余弦定理得 BD 2=CB 2＋CD 2－2CB·CD·cos 120°， ∴(3x)2=x 2＋100＋10x ，解得x=10或x=－5(舍去)，故选B. 【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB=10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD=10－4t ，乙行驶到C 处，则AC=6t.∵∠BAC=120°，∴DC 2=AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 120°=(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t ×cos 120°=28t 2－20t ＋100=28⎝⎛⎭⎫t －5142＋6757.当t=514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60=1507分钟．【答案】 A 3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ= .图1-2-28【解析】 在△ABC 中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°， 由余弦定理知BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos 120°=2 800⇒BC=207.由正弦定理AB sin ∠ACB =BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB=AB BC ·sin ∠BAC=217，∠BAC=120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB=277.由θ=∠ACB ＋30°，则cos θ=cos(∠ACB ＋30°)=cos ∠ACB·cos 30°－sin ∠ACB·sin 30°=2114. 【答案】21144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度； (2)求sin α的值．【解】 (1)依题意知，∠CAB=120°，AB=100×2=200，AC=120，∠ACB=α， 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠CAB=2002＋1202－2×200×120cos 120°=78 400，解得BC=280.所以该军舰艇的速度为BC2=140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α=BCsin 120°，即sin α=ABsin 120°BC =200×32280=5314.学业分层测评（五） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2xsin B ＋sin C=0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( ) A ．b=ac B ．b 2=ac C ．a=b=c D ．c=ab【解析】 由方程有重根，∴Δ=4sin 2B －4sin Asin C=0，即sin 2B=sin AsinC ，∴b 2=ac. 【答案】 B2．在△ABC 中，A=60°，b=1，S △ABC =3，则角A 的对边的长为( ) A.57 B.37 C.21 D ．13【解析】 ∵S △ABC =12bcsin A=12×1×c ×sin 60°=3，∴c=4.由余弦定理a 2=b 2＋c 2－2bccos 60°=1＋16－2×1×4×12=13.∴a=13. 【答案】 D3．在△ABC 中，a=1，B=45°，S △ABC =2，则此三角形的外接圆的半径R=( ) A.12B ．1C ．2 2D ．522【解析】 S △ABC =12acsin B=24c=2，∴c=4 2.b 2=a 2＋c 2－2accos B=1＋32－82×22=25，∴b=5.∴R=b 2sin B =52×22=522.【答案】 D4．在△ABC 中，AC=7，BC=2，B=60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D ．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2=AB 2＋BC 2－2AB·BCcos B ，即7=AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3=0. 解得AB=－1(舍去)或AB=3.故BC 边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b=20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 【解析】 由题意知：a=b ＋1，c=b －1，所以3b=20acos A=20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc=20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，整理得7b 2－27b －40=0，解之得：b=5(负值舍去)，可知a=6，c=4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C=6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，B=60°，AB=1，BC=4，则BC 边上的中线AD 的长为 ． 【解析】 画出三角形知AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos 60°=3，∴AD= 3. 【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6=0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】 解方程5x 2－7x －6=0，得x=2或x=－35，∵|cos α|≤1，∴cos α=－35，sin α=45.故S △=12×3×5×45=6(cm 2)．【答案】 6 8．(2016·郑州模拟)在△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 ． 【解析】 由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B ， 即49=a 2＋25－2×5×acos 120°.整理得a 2＋5a －24=0，解得a=3或a=－8(舍)．∴S △ABC =12acsin B=12×3×5sin 120°=1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B)cos(A －B)=1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2=5c 2. 【=05920063】【证明】 由已知得cos 2Acos 2B －sin 2Asin 2B=1－5sin 2C ， ∴(1－sin 2A)(1－sin 2B)－sin 2Asin 2B=1－5sin 2C ， ∴1－sin 2A －sin 2B=1－5sin 2C ， ∴sin 2A ＋sin 2B=5sin 2C.由正弦定理得，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2＋⎝⎛⎭⎫b 2R 2=5⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＋b 2=5c 2. 10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得 BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C=13－12cos C ， ① BD 2=AB 2＋DA 2－2AB·DAcos A=5＋4cos C ． ②由①，②得cos C=12，故C=60°，BD=7.(2)四边形ABCD 的面积S=12AB·DAsin A ＋12BC·CDsin C =⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°=2 3. [能力提升]1．已知锐角△ABC 中，|AB →|=4，|AC →|=1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【解析】 由题意S △ABC =12|AB →||AC →|sin A=3，得sin A=32，又△ABC 为锐角三角形，∴cos A=12，∴AB →·AC →=|AB →||AC →|cos A=2.【答案】 A2．在斜三角形ABC 中，sin A=－2cos B·cos C ，且tan B·tan C=1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D ．3π4【解析】 由题意知，sin A=－2cos B·cos C=sin(B ＋C)=sin B·cos C ＋cos B·sin C ，在等式－2cos B·cos C=sin B·cos C ＋cos B·sin C 两边除以cos B·cos C 得tan B ＋tan C=－2，tan(B ＋C)=tan B ＋tan C 1－tan Btan C=－1=－tan A ，所以角A=π4.【答案】 A 3．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c=2，cos A=－14，则a 的值为 ．【解析】 在△ABC 中，由cos A=－14可得sin A=154，所以有⎩⎨⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.【答案】 84．(2015·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m =(a ，3b)与n =(cos A ，sin B)平行．(1)求A ；(2)若a=7，b=2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m ∥n ，所以asin B －3bcos A=0， 由正弦定理，得sin Asin B －3sin Bcos A=0， 又sin B ≠0，从而tan A= 3.由于0<A<π，所以A=π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，而a=7，b=2，A=π3，得7=4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3=0. 因为c>0，所以c=3.故△ABC 的面积为12bcsin A=332.法二 由正弦定理，得7sinπ3=2sin B ，从而sin B=217.又由a>b ，知A>B ，所以cos B=277.故sin C=sin(A ＋B)=sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 =sin Bcos π3＋cos Bsin π3=32114.所以△ABC 的面积为12absin C=332.学业分层测评（六） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 【答案】 B2．数列的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8【解析】 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2=2，a 3=10，所以a 2·a 3=20. 【答案】 C3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n =(－1)n ·(2n －1) B ．a n =(－1)n ·(2n －1)C ．a n =(－1)n ＋1·(2n －1)D ．a n =(－1)n ＋1·(2n －1) 【解析】 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1=21－1,3=22－1,7=23－1,15=24－1，…，所以通项公式为a n =(－1)n ·(2n－1)．【答案】 A4．(2015·宿州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n =n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【解析】 a n =n －1n ＋1=1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．【答案】 A5．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项【解析】 ∵a n =n －2n 2，令n －2n 2=0.08，解得n=10或n=52(舍去)．【答案】 C 二、填空题 6．(2015·黄山质检)已知数列{a n }的通项公式a n =19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为 ．【解析】 由a n =19－2n>0，得n<192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 【答案】 97．已知数列{a n }，a n =a n ＋m(a<0，n ∈N *)，满足a 1=2，a 2=4，则a 3= .【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a=2， ∴a=2或－1，又a<0，∴a=－1.又a ＋m=2，∴m=3， ∴a n =(－1)n ＋3， ∴a 3=(－1)3＋3=2. 【答案】 2 8．(2015·宁津高二检测)如图2-1-1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2-1-1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n = .图2-1-1【解析】 因为OA 1=1，OA 2=2，OA 3=3，…， OA n =n ，…，所以a 1=1，a 2=2，a 3=3，…，a n =n. 【答案】 n 三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，…. 【=05920064】【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n =43n ＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n =n 22.(3)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n =n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n =79(10n －1)．10．在数列{a n }中，a 1=2，a 17=66，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2016；(3)2016是否为数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n =kn ＋b(k ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66， 解得k=4，b=－2.∴a n =4n －2.(2)a 2 016=4×2 016－2=8 062.(3)由4n －2=2 016得n=504.5∉N *， 故2 016不是数列{a n }中的项．[能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式a n =log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．log 23＋log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30=log 23×log 34×log 45×…×log 3132=lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31=lg 32lg 2=log 232=log 225=5.【答案】 B2．已知数列{a n }中，a n =n 2－kn(n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n =(n ＋1)2－k(n ＋1)－n 2＋kn=2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n ＋1，故只需k<3即可．【答案】 B 3．根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点．图2-1-2【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n －1)＋1=n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋14．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－21n2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．【解】 (1)令a n =0，得n 2－21n=0，∴n=21或n=0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n =1，得n 2－21n2=1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项． (2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1，则有a n =a n ＋1，即n 2－21n 2=(n ＋1)2－21(n ＋1)2.解得n=10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．学业分层测评（七） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知数列{a n }满足：a 1=－14，a n =1－1a n －1(n>1)，则a 4等于( )A.45B.14 C ．－14 D.15【解析】 a 2=1－1a 1=5，a 3=1－1a 2=45，a 4=1－1a 3=－14.【答案】 C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1=a n ＋n ，n ∈N *B ．a n =a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1=a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n =a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 【解析】 由a 2－a 1=3－1=2， a 3－a 2=6－3=3，a 4－a 3=10－6=4， a 5－a 4=15－10=5，归纳猜想得a n －a n －1=n(n ≥2)， 所以a n =a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2. 【答案】 B3．设a n =－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 【解析】 ∵a n =－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质得，当n=2或3时，a n 最大，最大为0. 【答案】 D4．在数列{a n }中，a 1=2，a n ＋1－a n －3=0，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n =3n ＋2 B ．a n =3n －2 C ．a n =3n －1 D ．a n =3n ＋1 【解析】 因为a 1=2，a n ＋1－a n －3=0， 所以a n －a n －1=3， a n －1－a n －2=3， a n －2－a n －3=3， …a 2－a 1=3，以上各式相加，则有a n －a 1=(n －1)×3， 所以a n =2＋3(n －1)=3n －1. 【答案】 C5．已知在数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，且a n ＋2=a n ＋1－a n ，则a 2 016=( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6【解析】 由题意知：a 3=a 2－a 1=3，a 4=a 3－a 2=－3， a 5=a 4－a 3=－6，a 6=a 5－a 4=－3， a 7=a 6－a 5=3，a 8=a 7－a 6=6， a 9=a 8－a 7=3，a 10=a 9－a 8=－3， …故知{a n }是周期为6的数列， ∴a 2 016=a 6=－3. 【答案】 B二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n=0，则a 2 016－a 2015= .【解析】 由已知a 2 016－a 2 015－2 015=0， ∴a 2 016－a 2 015=2 015. 【答案】 2 0157．数列{a n }满足a n =4a n －1＋3，且a 1=0，则此数列的第5项是 ． 【解析】 因为a n =4a n －1＋3，所以a 2=4×0＋3=3， a 3=4×3＋3=15，a 4=4×15＋3=63，a 5=4×63＋3=255. 【答案】 2558．数列{a n }满足：a 1=6，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =32a n －3，那么这个数列的通项公式为 ．【解析】 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =32a n －3，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1=32a n －1－3(n ≥2)，两式作差得3a n －1=a n (n ≥2)，∴a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1=6·3n －1=2·3n (n ≥2)．∵a 1=6也适合上式， ∴a n =2·3n (n ∈N *)(n ∈N *)． 【答案】 a n =2·3n (n ∈N *) 三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=3a na n ＋3(n ∈N *)，求通项a n .【解】 将a n ＋1=3a na n ＋3两边同时取倒数得：1a n ＋1=a n ＋33a n， 则1a n ＋1=1a n ＋13， 即1a n ＋1－1a n =13， ∴1a 2－1a 1=13，1a 3－1a 2=13，…，1a n －1a n －1=13， 把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n －1a 1=n －13. ∵a 1=1，∴a n =3n ＋2(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式a n =(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ，试求数列{a n }的最大项. 【=05920065】 【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，。