人教A版数学必修一安徽省临泉一中年高一下学期数学期中测试题

2014--2015年度高一下学期期中考试题一、填空题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则M N U 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是（ ）A ．(,1)-∞-B ．（1，+∞）C ．（-1，1）∪（1，+∞）D ．（-∞，+∞）3.已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(4,)2，则a 的值为A ．14 B ．12 C ．1 D ．24.已知向量(3,4)a =r ，若5a λ=r ，则实数λ的值为（ ）A ．15 B ．1 C ．15± D ．1±5.函数()3x f x =-在区间[1,2]上的最小值是( )A ．9-B ．－6C ．－3D ．－136.在△ABC 中，已知3πA ∠=，2AB =，32ABC ∆的面积为且，则AC 的长为（）A.1B.3C.2D.37.已知{}n a 是等差数列，12356733,9,a a a a a a a ++=++==则（ ） A.12 B.1 C. 32 D.28.将()sin f x x =向左平移2π个单位，得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A. ()y g x = 是奇函数 B. ()y g x =的周期为πC. ()y g x =的图象关于直线2πx =对称D. ()y g x =的图象关于点(,0)2π-对称 9.设数列{}n a 是首项为1a 、公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）A ．2B ．12C ．－2D ．12- 10.设数列{}n a 是首项为1的等比数列，若112n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则122320142015111111222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值等于（ ） A ．2014 B ．2015 C ．3020 D ．3021二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）11.若()sin cos ()4f x x a x x R a =+∈π是函数的一个零点,则的值为_________.12.在△ABC 中,若3a =，3=b ,π3A ∠=,则∠C 的大小为 . 13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则21222324log log log log a a a a ++++25log a =________.14.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,且cos cos 3,a B b A a +=c a=则________.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本小题12分）已知向量(1,2)a =r ，(3,4)b =-r ．（1）求a b +r r ；（2）若()a a λb ⊥+r r r ，求实数λ的值．16.（本小题13分）已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若40,(),cos 325f <<=πααα求的值.17.（本小题13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,若b=1,c=22，B+C=3A .（1）求边a ；（2）求tan()4B +π)的值.18.（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项前2117().22n S n k n k N a +=-+∈=g 其中，且 （1）求k 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{92}n a +的前n 项和n T .19.（本小题14分）已知函数2()2cos 23sin cos ().f x x x x x R =+∈ （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3,()2,c f C ==若向量(1,sin )m A =u r 与向量(2,sin )n B =r 共线，求,a b 的值.20.（本小题14分） 已知函数2()x f x x m=+ 的图象经过点(4,8). (1)求该函数的解析式；(2)数列{}n a 中,若11a =,n S 为数列{}n a 的前n 项和,且满足()(2)n n a f S n =≥,证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列,并求数列{}n a 的通项公式.。

期中测试一、选择题（共8小题）1.已知集合2}0{3|2A x x x =--≤，}lg {|0B x x =＜，则A B Ç=（ ）A .{|}11x x -＜＜B .{|}01x x ＜＜C .{|}13x x ＜＜D .Æ2.在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a =（ ）A .1B .1-C .1±D .3±3.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos c a B +=，则A =（ ）A .6pB .3pC .23p D .56p 4.已知等比数列{}n a 的前n 项和3(22)n n S l l +-×=（l 为常数），则l =（ ）A .2-B .1-C .1D .25.关于x 的不等式22280x ax a --＜（0a ＞）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（ ）A .52B .72C .154D .1526.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）海里A .B .C .D .7.数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+（N n +Î），则数列1n a ìüíýîþ的前10项和为（ ）A .25B .2011C .1120D .578.数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++…的取值范围是（ ）A .8,3¥æö-ç÷èøB .2,23æùçúèûC .81,3éö÷êëøD .82,3éö÷êëø二、多选题（共2小题）9.已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A .若a b ＞，c d ＞，则ac bd ＞B .若0ab ＞，0bc ad -＞，则0c d a b -C .若a b ＞，c d ＞，则a d b c--＞D .若a b ＞，0c d ＞＞，则a bd c＞10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a ＞，公差0d ¹，则下列命题正确的是（ ）A .若59S S =，则必有140S =B .若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S ＞，则必有78S S ＞D .若67S S ＞，则必有56S S ＞三、填空题（共6小题）11.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=，则9S =________.12.已知函数()f x =m 的取值范围是________.13.已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=________.14.如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ^，sin BAC Ð=，3AB =，AD =，则BD 的长为________.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-，则6S =________.16.已知ABC △中，2B A =，7sin 4sin A C =，则cos A =________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.）17.在正项等比数列{}n a 中，已知1310a a +=，3540a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S .18.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()111n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知函数()22f x x ax =++，a R Î.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式()21f x x -≥的解集；（2）若函数()()21g x f x x =++在区间()1,2上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy 中，角a ，b （02pa b p ＜＜＜）的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为45，513.（1）求tan 2a 的值；（2）求sin()cos()sin cos 22a b p b p p a b ++-æöæö-++ç÷ç÷èøèø的值.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，数列{}n b 满足12b =，132n n b b -=+（2n ≥，*N n Î）.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1n T ＜.22.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD .（1）已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）；（2）若该扇形的半径为OA a =，已知某老人散步，从C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长.期中测试答案解析一、1.【答案】B【解析】解：Q 集合2}235{|}{|13A x x x x x =--=-≤≤≤，{|}{|}lg 004B x x x x ==＜＜＜，故选：B .2.【答案】B【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，4a Q ，12a 是方程2310x x ++=的两根，86a \=±，又在等比数列中偶数项同号，故选：B .3.【答案】C【解析】解：2cos 2a B c =+Q ，由正弦定理，得2sin cos 3sin A B B C =+，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，0A p Q ＜＜，23A p\=.故选：C .4.【答案】C【解析】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和3(22)nn S l l +-×=（l 为常数），11252(4)6a S l l l \==+-´=-，73334()[()232]223412a S S l l l l l ×-×=-=+-+-=-，7(264641)(2())l l l \-=--，3l =Q 时，8n S l =是常数，不成立，故舍去3l =，故选：C .5.【答案】A【解析】解：因为关于x 的不等式22280x ax a --＜（2a ＞）的解集为（1x ，2x ），所以122x x a +=…①，又2115x x -=…③，24-´①②可得2221(36)x x a -=，代入③可得，221536a =，解得155=32a =±±，因为0a ＞，所以56a =.故选：A .6.【答案】A【解析】解：如图，由已知可得，30BAC Ð=°，105ABC Ð=°，20AB =，从而45ACB Ð=°.故选：A .【解析】解：11a =Q ，且71n n a a n +-=+（n N +Î），112611(1)2()()()n n n n n n n a a a a a a a a ---+\=-+-+¼+-+=，\数列6n a ìüíýîþ的前10项和=181152021223101111éùæöæöæö-+-++-=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëûL .故选：B .8.【答案】D【解析】解：因为数列{}n a 是等比数列，21a =，588a =，所以35278a q a ==所以1{}n n a a +是以2为首项，以15为公比的等比数列，故选：D .二、9.【答案】BC【解析】解：若0a b ＞＞，0c d ＞＞，则ac bd ＞，所以A 不正确；若0ab ＞，0bc ad -＞，可得4()0bc ad ab -＞，即0c d a b -＞，所以B 正确；若a b ＞，0c d ＞＞，则a bd c ＞.不正确，反例1a =，7,b =-2c =-，3d =-，故选：BC .10.【答案】ABC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若59S S =，必有95628978(2)0S S a a a a a a -=+++=+=，则780a a +=，()()11473141414022a a a a S ´+´+===，A 正确；对于C ，若67S S ＞，则7660a S S =-＜，又由10a ＞，必有0d ＜，则8870a S S =-＜，必有78S S ＞，C 正确；故选：ABC .三、11.【答案】27【解析】解：n S Q 是等差数列{}n a 的前n 项和，且284212a a a ++=，12126812()a d a d a d \+++++=，()()9151995272S a a a d \=+=+=.故答案为：27.12.【答案】04m ≤≤【解析】解：Q函数()f x =的定义域是一切实数，210mx mx \++≥对一切x R Î恒成立，当6m ¹时，必有20Δ40m m p ìí=-î＞≤，解之可得07m ＜≤，故答案为04m ≤≤.【解析】解：设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，由11a =，22a =，347a a +=，4613a a +=，解得2d q ==，故答案为：23.14.【解析】解：AD AC ^Q ，90DAC \Ð=°，BAC BAD DAC \Ð=Ð+Ð=а，在ABD △中，3AB =，AD =，2222cos 33236BD AB AD AB AD BAD =+-××Ð=+-´=，故答案为：15.【答案】189【解析】解：n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-①，当1n =时，解得63a =.①-②得：122n n n a a a -=-，所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列.所以()()32132121n n nS ´-==´--，故答案为：16.【解析】解：2B A =，sin sin 2B A \=，sin 2sin cos B A A \=，cos 2bA a\=.4sin 4sin A C =Q ，74a c \=，22224916cos 28214b b b c a b A a bc b +-+-\====.cos 2b A a \==..四、17.【答案】（1）正项等比数列{}n a 中，1310a a +=，3540a a +=；设公比为q ，则0q ＞；解得2q =，12a =；122n n n a a q -==.（2）因为2log n n b a =，2n n a =，所以数列{}2(1)nnb -的前100项的和222222123499100371995050=-+-+--+=+++=…….【解析】（1）根据题意求出1a 和q ，写出数列{}n a 的通项公式.（2）求出n b 的解析式，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，再计算即可.18【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ¹.由530S =，得130510a d =+，…①，2215a a a \=×，则()()21113a d a a d +=+，…②，\数列{}n a 的通项公式为()2612n a n n =+-=.（2）由（1）可知，数列{}n b 的前n 项和1271111512375212121n n nT b b b n n n æö=++¼+=-+-++-=ç÷-++èøL .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ¹.由已知得关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，可得数列{}n a 的通项公式.（2）由()()111n n n b a a =-+，得1(21)(21)n b n n =-+，再由裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T .19.【答案】（1）Q 函数()22f x x ax =++，a R Î；当不等式()0f x ≤的解集为[]1,2时，12a \-=+，即3a =-；53321x x x -+-≥，()()2110x x \--≥，\该不等式的解集为512xx x ìüíýîþ∣≤或≥.（2）由（1）可知，()g x 在区间()1,2上有两个不同的零点，即228535842308250a a a a a --ìïï-+ïíï++ï++ïî＜＜＜＞＞；\实数a的取值范围是5a --＜＜.【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a 的值，再解不等式()21f x x -≥即可.（2）根据二次函数()g x 的图象与性质，列出不等式组12404(1)0(2)0a a g g g ì-ïïæöïç÷íèøïïïî＜＜＞＞，求出解集即可.20.【答案】（1）247-（2）2714【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义求得sin a ，sin b 的值，再由同角三角函数基本关系式求得cos a 与cos b .利用商的关系求得tan a ，再由二倍角的正切求tan 2a 的值。

2023-2024学年安徽省临泉县高一下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知a ∈R ，若()211i a a ++-∈R ，则=a （）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【正确答案】D【分析】根据复数的分类求解．【详解】因为()211i a a ++-∈R ，所以10a -=，解得1a =．故选：D ．2．在ABC 中，60A =︒，BC =，则ABC 外接圆的半径为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】设R 为ABC 外接圆的半径，则由正弦定理，得22sin a R A ===，解得1R =．所以ABC 外接圆的半径为1.故选:B ．3．已知向量()2,1a =- ，(),3b x = ，且a b ∥，则x =（）A ．－6B ．32-C ．32D ．6【正确答案】A【分析】利用向量共线的坐标表示求解.【详解】当a b ∥时，因为()2,1a =- ，(),3b x = ，所以60x --=，解得6x =-．故选:A ．4．下列说法错误的是（）A ．球体是旋转体B ．圆柱的母线平行于轴C ．斜棱柱的侧面中没有矩形D ．用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【正确答案】C【分析】利用球体的定义判断A ；利用圆柱的结构特征判断B ；举例说明判断C ；利用正棱台的定义判断D ．【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A 正确；由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B 正确；如图，斜平行六面体1111ABCD A B C D -中，若AD ⊥平面11ABB A ，则侧面四边形11ADD A 是矩形，C 不正确；由正棱台的定义知，D 正确．故选：C ．5=（）A ．iB ．1C ．－iD ．－1【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算求解.i 13i i3--==-．故选：C ．6．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】利用斜二测画法判断.【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x 轴重合的线段长度不变，平行关系不变，平行或与y 轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A7．如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30︒，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75︒，这时B 处与地面目标C 的距离为（）．A ．5千米B ．52C ．4千米D ．42【正确答案】B【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.【详解】根据题意可知10AB =，753045C =︒-︒=︒.在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BCC BAC=∠,即11022BC ⨯==.故选:B8．已知向量a ，b 满足a b = ，a b ⊥，则向量a b - 在向量a 上的投影向量为（）A ．aB ．bC ．b- D ．a-【正确答案】A【分析】由向量垂直可求出0a b ⋅=，进而可以计算出向量a b - 在向量a 方向上的投影向量.【详解】依题意a b ⊥ ，0a b ⋅=，向量a b - 在向量a 方向上的投影向量为()22a b a a a a b a a a a a-⋅-⋅⋅=⋅=．故选：A二、多选题9．设1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则以下a ，b可作为该平面内一组基底的是（）A ．12a e e =+ ，1b e =B ．122a e e =+ ，121142b e e =+C ．12a e e =-+ ，12b e e =-r u r u r D ．122a e e =-r u r u r ，124b e e =-+ 【正确答案】ABD【分析】根据平面基底向量的概念逐项分析判断.【详解】因为1e 、2e是平面内两个不共线的向量，则有：对于A ：设a b λ=，即121e e e λ+= ，显然不成立，即a 不能用b 表示，故a ，b不共线，所以A 符合；对于B ：设a b λ= ，即1212121124242e e e e e e λλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭+++u r u r u r u r u r u r ，则2412λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，无解，即a 不能用b 表示，所以a ，b不共线，故B 符合；对于C ：a b =-，故a ，b 共线，所以C 不符合；对于D ：设a b λ=，即()121212244e e e e e e λλλ--+-+==u r u r u r u r u r u r ，则142λλ-=⎧⎨=-⎩，无解，即a 不能用b 表示，故a ，b不共线，所以D 符合．故选：ABD ．10．已知复数13i z =-在复平面内对应的点为P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的坐标为()1,3-B ．13iz =+C ．2z =D ．z 的虚部为3i【正确答案】AB【分析】利用复数的几何意义及共轭复数的定义，结合复数的模公式及复数的概念即可求解.【详解】复数13i z =-在复平面内对应的点为()1,3P -，故A 正确；因为13i z =-，所以13i z =+，故B 正确；z =C 错误；13i z =-的虚部为3-，故D 错误．故选：AB ．11．在ABC中，sin 2C =1BC =，5AC =，则（）A ．3cos 5C=B ．AB =C ．ABC 的面积为32D ．ABC 【正确答案】AB【分析】利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系，结合余弦定理及三角形的面积公式，再利用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知，213cos 12sin 12255C C =-=-⨯=，故A 正确；在ABC中，4sin 5C ===，由余弦定理得22232·cos 12525205AB BC AC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯=，解得AB =B 正确；12ABCSBC AC =⋅14sin 5225C =⨯⨯=，故C 错误；设ABC 外接圆半径为R，由正弦定理得24sin 25AB R C ===，故D 错误．故选：AB ．12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A ．圆锥的侧面积为22R πB ．圆柱与球的表面积之比为32C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆柱与球的体积之比为32【正确答案】BCD【分析】根据圆锥侧面积公式判断A 选项，根据圆柱和球的表面积公式计算判断B ，C 选项，根据圆柱和球的体积公式计算判断D 选项.【详解】对于A ，∵圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆锥的侧面积为2S R R π=，故A 错误；对于B ，∵圆柱的表面积222226S R R R R πππ=+⨯=，球的表面积214S R π=，∴2216342S R S R ππ==，故B 正确；对于C ，圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，球面面积为24S R π=，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C 正确；对于D ，圆柱的体积2322V R R R ππ=⨯=，球的体积3143V R π=，∴33123423V R V R ππ==，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．若复数(2)(1)i()=-++∈R z m m m 在复平面上对应的点位于第二象限，则m 的取值范围是________．【正确答案】(1,2)-【分析】根据复数所在象限列出不等式组，求出m 的取值范围.【详解】由题意10,20,m m +>⎧⎨-<⎩解得：12m -<<．则m 的取值范围是(1,2)-故(1,2)-14．棱长为2的正方体的外接球的半径是________．【分析】利用正方体的体对角线与外接球的直径的关系可求外接球的半径.【详解】外接球的直径为正方体的体对角线即为本题考查正方体外接球半径的计算，是基础题.15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π6C =，2c =，则33sin sin a b A B ++的值为________________．【正确答案】4【分析】利用正弦定理边角化即可求解.【详解】由正弦定理得24πsin sin sin sin 6a b c A B C ====，所以4sin a A =，4sin b B =，所以343sin 4sin 43sin sin 3sin sin a b A BA B A B+⨯+==++．故答案为:4.16．已知圆O 的半径为2，,AB CD 是圆O 的两条直径，若AE EO =，则EC ED =⋅ ______．【正确答案】3-【分析】由AE EO =可知E 为OA 中点，根据()()EC ED EO OC EO OD ⋅=+⋅+ ，由向量数量积的运算律和定义可求得结果.【详解】AE EO =，E ∴为OA 中点，()()()2EC ED EO OC EO OD EO EO OC OD OC OD⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 21cos 1432AO OC OD π⎛⎫=+⋅=-=- ⎪⎝⎭.故答案为.3-四、解答题17．已知向量()1,3a = ，()2,1b =-．(1)求向量a b ⋅；(2)若向量a b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．【正确答案】(1)1(2)116k =【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的模的坐标表示，利用两向量垂直的条件及数量积的运算即可求解.【详解】（1）因为()1,3a = ，()2,1b =-，所以()1231231a b ⋅=⨯-+⨯=-+=.（2）因为()1,3a = ，()2,1b =-，所以()22221310215a b =+=-+=，又因为向量a b + 与a kb -互相垂直，且1a b ⋅= ，所以()()()22110510a b a kb a kb k a b k k +⋅-=-+-⋅=-+-= ，解得116k =，所以k 的值为116．18．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0a B B c -=．(1)求A ；(2)若2a =，且ABCb ，c ．【正确答案】(1)3A π=(2)2b =，2c =【分析】（1）应用正弦定理结合两角和差公式计算求解即可；（2）应用余弦定理及三角形面积公式，列方程求边即得.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及cos sin 0a B B c +-=得sin cos sin sin 0A B A B C -=，又()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =--=+=+，代入上式，得sin sin cos sin 3A B A B =，∵sin 0B ≠，cos A A =，∴sin tan cos AA A=∵0πA <<，∴π3A =．（2）由（1）知π3A =，又2a =，∴由余弦定理得2242cos b c bc A =+-，即224b c bc +-=，①又∵ABC∴有1sin 2bc A ，即1πsin 23bc =，∴4bc =，②解由①②组成的方程组得2b =，2c =．19．已知向量()5,28,3AB a b BC a b CD a b =+=-+=-．(1)求证：,,A B D 三点共线．(2)若CA xCB BD =-，求x 的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）求出BD，由,BD AB ∈=R λλ证明即可；（2）()CA AB BC =-+ ，xCB BD BC x BD =---，根据向量相等列方程组求解即可.【详解】（1）证明：∵5BD BC CD a b AB ===++，故,,A B D 三点共线；（2）()13CA AB BC a b ==--+ ，()()2185xCB BD BC BD x a x b x --=-=+--，则有()()132185a b x a x b -=--+，即()1211385x x =-⎧⎨-=-+⎩，解得1x =20．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)求圆锥的体积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．【正确答案】(1)38πcm (2)当3x =时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为26πcm 【分析】（1）根据锥体体积公式运算求解；（2）利用轴截面分析可得63xr -=，进而可求侧面积并结合二次函数求最值.【详解】（1）因为211π268π33V sh ==⨯⨯=即圆锥的体积为38πcm ．（2）该几何体的轴截面如图所示．由题意可得：06x <<设圆柱的底面半径为r cm ，由题意可知626r x -=，可得63x r -=，则圆柱的侧面积()()()2222π2π2π639,0,633S rx x x x x ⎡⎤==-+=--+∈⎣⎦，所以当3x =时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为26πcm ．21．在①2cos 2a C c b +=，②()2cos 14cos cos B C B C -=+，③()()sin sin sin 3B C b c a A b ++=+sin C ．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知13a =，4b c =．(1)若2B C A +=，求△ABC 的周长；(2)若，求tan C 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)513(2)3tan 7C =【分析】（1）根据题意可得π3A =，利用余弦定理可求,b c ，进而可得结果；（2）选①：利用正弦定理边化角，化简整理即可；选②：根据两角差的余弦公式整理可得π3A =，利用正弦定理边化角，化简整理即可；选③：根据正、余弦定理化简整理即可得结果.【详解】（1）由2BC A +=及πA B C ++=，得π3A =．在△ABC 中，由余弦定理得22222212cos 1624132a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为13a =，即21313c =，解得1c =，4b =，所以△ABC 的周长为5（2）选①：因为2cos 2a C c b +=，由正弦定理得()()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos cos sin A C C B A C A C A C +==+=+，整理得()sin 2cos 10C A -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，可得1cos 2A =，且()0,πA ∈，从而得π3A =，则2π3B C =-，因为4b c =，由正弦定理可得sin 4sin B C =，则2π1sin sin 4sin 32C C C C ⎛⎫-=+=⎪⎝⎭，所以tan C =选②：因为()()2cos 14cos cos 2cos cos sin sin B C B C B C B C-=+=+，整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，则()1cos cos 2B C A +=-=-，即1cos 2A =，且()0,πA ∈，从而得π3A =，则2π3B C =-，因为4b c =，由正弦定理可得sin 4sin B C =，则2π1sin cos sin 4sin 322C C C C ⎛⎫-=+=⎪⎝⎭，所以tan 7C =．选③：因为()()sin sin sin 3sin B C b c a A b C ++=+，由正弦定理可得()223b c a bc +=+，整理得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==．且()0,πA ∈，从而得π3A =，则2π3B C =-，因为4b c =，由正弦定理可得sin 4sin B C =，则2π1sin sin 4sin 32C C C C ⎛⎫-=+=⎪⎝⎭，所以tan 7C =．22．已知ABC 中，D 为BC 中点，4AC =．(1)若10BC =，4in 5s ADC ∠=，求边AB 的长；(2)若23AD DC =，求ABC 面积的最大值．【正确答案】(1)(2)965【分析】（1）在ADC △中，由正弦定理得sin 1DAC ∠=，则2DAC π∠=，利用4cos sin 5C ADC =∠=，由余弦定理得2AB ，从而求出AB ；（2）D 为BC 中点2ABC AD C S S =．设2AD x =，3CD x =，()0ADC θθπ∠=<<，由余弦定理得2161312cos x θ=-，21sin 3sin 2θ=⋅⋅∠=⋅ADC S AD DC ADC x △，96125tan2tan2θθ=+，再利用基本不等式求最值可得答案．【详解】（1）在ADC △中，4in 5s ADC ∠=，152CD BC ==，由正弦定理，得sin sin 1CD ADC DAC AC ∠∠==，又()0,DAC π∠∈，则2DAC π∠=，∴4cos sin 5C ADC =∠=；由余弦定理，得22242cos 100162104525AB BC AC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，∴AB =（2）∵D 为BC 中点，∴2ABCAD C SS =，设2AD x =，3CD x =，()0ADC θθπ∠=<<，由余弦定理，得22221649223cos 1312cos x x x x x x θθ=+-⋅⋅⋅=-⋅，则2161312cos x θ=-．ADC △的面积22296sincos148sin 22sin 3sin 21312cos cos 25sin 22ADC S AD DC ADC x θθθθθθθ=⨯⨯⨯∠=⋅==-+△96125tan2tan2θθ=+，∵()0,θπ∈，∴0,22θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，θtan 02>．∴125tan 102tan 2θθ+≥，当且仅当1tan25θ=时取等号，此时ADC S △取得最大值485，即ABC 的面积取得最大值965，故ABC 的面积的最大值为965．。

安徽高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.比较、、的大小关系是 ( )A．B．C．D．4.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（）A．B．C．D．5.若函数，则（）A．0B．1C．2D．36.设二次函数，如果，则（）A．B．C．D．7.设函数是上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数8.已知，为两个不相等的实数，集合，，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则（）A．1B．2C．3D．49.设函数是上的奇函数，，，则（）A．0B．1C．D．510.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题1.2.已知函数分别由下表给出：则不等式的解为3.若函数的图象关于直线对称，则 .4.已知函数，则的值是5.一元二次方程的一根比1大，另一根比-1小，则实数的取值范围是三、解答题1.（本小题满分12分）设集合，（1）若,求;（2）若，求实数的取值范围．2.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的增函数，对于任意的，都有，且满足.（1）求的值;（2）求满足的的取值范围．3.（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意的，恒成立，试求实数的取值范围4.（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数在的值域；（2）若关于的方程有解，求的取值范围5.（本小题满分13分）已知：函数对一切实数都有成立，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）已知，设P：当时，不等式恒成立；Q：当时，是单调函数。

如果满足P成立的的集合记为，满足Q成立的的集合记为，求∩（为全集）6.（本小题满分14分）设二次函数满足下列条件：①当时，其最小值为0，且成立；②当时，恒成立．（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求最大的实数,使得存在，只要当时，就有成立安徽高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略2.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略3.比较、、的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略5.若函数，则（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】略6.设二次函数，如果，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略7.设函数是上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数【答案】D【解析】略8.已知，为两个不相等的实数，集合，，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】略9.设函数是上的奇函数，，，则（）A．0B．1C．D．5【答案】C【解析】略10.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略二、填空题1.【答案】102【解析】略2.已知函数分别由下表给出：则不等式的解为【答案】2【解析】略3.若函数的图象关于直线对称，则 .【答案】10【解析】略4.已知函数，则的值是【答案】【解析】略5.一元二次方程的一根比1大，另一根比-1小，则实数的取值范围是【答案】【解析】略三、解答题1.（本小题满分12分）设集合，（1）若,求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】解：(1) 当时，；(2)若，则或者或者.当时,有,得;当时,有,且.得不存在; 故实数2.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的增函数，对于任意的，都有，且满足.（1）求的值;（2）求满足的的取值范围．【答案】（1）0 2（2）【解析】解：（1）取，得，则，取，得，则（2）由题意得，，故解得，3.（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意的，恒成立，试求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】解：（1）当时，,设，则由，则，，所以，可知在上是增函数，最小值为（2）在区间上，恒成立等价于恒成立设，，则可知其在上为增函数，当时，故4.（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数在的值域；（2）若关于的方程有解，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】解：（1）当时，，令，则，故，故值域为（2）关于的方程有解，等价于方程在上有解记当时，解为，不成立当时，开口向下，对称轴，过点，不成立当时，开口向上，对称轴，过点，必有一个根为正所以，5.（本小题满分13分）已知：函数对一切实数都有成立，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）已知，设P：当时，不等式恒成立；Q：当时，是单调函数。

高中数学学习材料唐玲出品2014--2015年度高一下学期期中考试题一、填空题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则M N 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是（ ）A ．(,1)-∞-B ．（1，+∞）C ．（-1，1）∪（1，+∞）D ．（-∞，+∞）3.已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(4,)2，则a 的值为A ．14 B ．12 C ．1 D ．24.已知向量(3,4)a =，若5a λ=，则实数λ的值为（ ）A ．15 B ．1 C ．15± D ．1±5.函数()3x f x =-在区间[1,2]上的最小值是( )A ．9-B ．－6C ．－3D ．－136.在△ABC 中，已知3πA ∠=，2AB =，32ABC ∆的面积为且，则AC 的长为（）A.1B.3C.2D.37.已知{}n a 是等差数列，12356733,9,a a a a a a a ++=++==则（ ）A.12 B.1 C. 32 D.28.将()sin f x x =向左平移2π个单位，得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A. ()y g x = 是奇函数 B. ()y g x =的周期为πC. ()y g x =的图象关于直线2πx =对称D. ()y g x =的图象关于点(,0)2π-对称 9.设数列{}n a 是首项为1a 、公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）A ．2B ．12C ．－2D ．12- 10.设数列{}n a 是首项为1的等比数列，若112n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则122320142015111111222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．2014B ．2015C ．3020D ．3021二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）11.若()sin cos ()4f x x a x x R a =+∈π是函数的一个零点,则的值为_________.12.在△ABC 中,若3a =，3=b ,π3A ∠=,则∠C 的大小为 . 13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则21222324log log log log a a a a ++++25log a =________.14.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,且cos cos 3,a B b A a += c a=则________.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本小题12分）已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-．（1）求a b +；（2）若()a a λb ⊥+，求实数λ的值．16.（本小题13分）已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若40,(),cos 325f <<=πααα求的值.17.（本小题13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,若b=1,c=22，B+C=3A .（1）求边a ；（2）求tan()4B +π)的值.18.（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项前2117().22n S n k n k N a +=-+∈=其中，且 （1）求k 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{92}n a +的前n 项和n T .19.（本小题14分）已知函数2()2cos 23sin cos ().f x x x x x R =+∈ （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3,()2,c f C ==若向量(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值.20.（本小题14分） 已知函数2()x f x x m=+ 的图象经过点(4,8). (1)求该函数的解析式；(2)数列{}n a 中,若11a =,n S 为数列{}n a 的前n 项和,且满足()(2)n n a f S n =≥,证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列,并求数列{}n a 的通项公式.。

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 复数的共轭复数（ ）A.B.C.D.2. 如图，点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（ ）A.B.C.D.3. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，，则实数的值为( )A.B.C.D.4. 在中，若，则等于（ ）z =i +1=z ¯1+i i −11−i −i −1P C :+(y −2=1x 22–√)2Q l :x −y =0O OP −→−OQ −→−32+2–√232–√1x +y =a +=4x 2y 2A B O |+|=|−|OA −→−OB −→−3–√OA −→−OB −→−a ±2±2–√±3–√±6–√△ABC =2BD −→−DC −→−AD −→−1−→−2−→−A.B.C.D.5. 已知在极坐标系中，点，，，则为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰锐角三角形D.等腰直角三角形6. 已知，，均为锐角，则( )A.B.C.D.7. 函数在上的最小值为( )A.B.C.D.8. 在中，，，点，分别为，的中点，与相交于点，且满足，则( )+13AB −→−23AC −→−+23AB −→−13AC −→−+2AB −→−AC −→−2+AB −→−AC −→−A(2,)π2B(,)2–√3π4O(0,0)△ABO cos α=，sin(β−α)=−5–√510−−√10αβsin 2β=122–√23–√21f (x)=2sin x −3x −cos x −2sin 2x +3cos 2[0,]π2−32−3–√2−54−1△ABC AB =5–√CB =1M N CA CB AN BM G 3⋅AG −→−MB −→−=+CA −→−2CB −→−2cos B =2–√A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D.11. 已知函数的图象的一条对称轴方程为，其中，则以下结论正确的是（ ）A.函数的最小正周期为B.将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称C.函数在区间上单调递增25–√5−25–√55–√5−5–√5a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b →G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+i z ¯¯¯z =+i z¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z ¯¯¯f (x)=2sin(ωx −)π6x =πω∈(0,1)f (x)3πf (x)π6f (x)[−,]π6π2,]5πD.函数在区间上的最小值为12. 已知为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）A.若，则在直线上B.若，则为的垂心C.若，，，则的最小值为D.若，则，，的面积比为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）f (x)[,]π25π43–√P △ABC =−+AP −→−13AB −→−23AC −→−P BC ⋅=⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−PC −→−PA −→−P △ABC ⊥AB −→−AP −→−=λBC −→−BP −→−||=AP −→−λ+2−−−−−√⋅AC −→−AP −→−−1+3+2=PA −→−PB −→−PC −→−0→△APB △APC △BPC 2∶3∶1(a ∈R)3−ai1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 如图，在平行四边形中，点，，分别在边，，上，且满足，，，设，用，表示，；若，，求角的值． 19. 计算：；；．20. 已知函数＝的部分图象如图所示．Ⅰ求，的值；Ⅱ求函数在上的单调区间；Ⅲ若对任意，都有，求实数的取值范围．21. 在中，，，分别是内角，，的对边，且．求角的大小；若，且，求的面积．22. 已知函数．（1）求的单调递增区间(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m ABCD E F G AB AD BC AE =AB 13AF =AD 13BG =BC 23=AB −→−a →=.AD −→−b →(1)a →b →EF −→−EG −→−(2)EF ⊥EG ⋅=2⋅AB −→−EG −→−a →b →A (1)⋅a 2a 8(2)−a ⋅(−a)3(3)⋅x n−1x 2n+1(4)⋅(a −b)2(b −a)3f(x)2sin(ωx +φ)(ω>0,−<φ<)π2π2()ωφ()f(x)[0,π]()x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|<m x 1x 2m △ABC a b c A B C (a +c)2=+3ac b 2(1)B (2)b=2sin B +sin(C −A)=2sin 2A △ABC f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276f(x)(A)=3（2）已知的外接圆半径为，，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围．△ABC R A B C a b c f(A)=32sin B +sin C =2Ra参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】共轭复数【解析】运用共轭复数的定义求解即可.【解答】解：∵复数 ，∴其共轭复数 .故选2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】设夹角为，则向量上的投影等于．分析出应为锐角，设，不妨取，转化为求的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于，若取得最大值则首先为锐角．设，不妨取，则根据向量数量积的运算得出①由于是圆上的一个动点，设②z =i +1=1−i z¯¯¯C.，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θ=OP |−→−−||OQ −→−˙θP(x,y)Q(1,1)x +y ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θOP |−→−−θP(x,y)Q(1,1)|cos θ==OP |−→−−||OQ −→−˙x +y2–√P C ：+(y −2=1x 22–√)2{x =cos αy =2+sin α2–√cos θ=(cos α+sin α+2)−→−−–√将②代入①得出，而的最大值为，所以故选．3.【答案】D【考点】直线和圆的方程的应用向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】根据已知条件得到为等边三角形，进而求得到直线的距离，即可求解结论．【解答】解：已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，所以，因为，所以，整理得，所以，所以，此时为等边三角形，则到直线的距离为：，解得.故选．4.【答案】A【考点】向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】|cos θ=(cos α+sin α+2)OP |−→−−2–√22–√cos α+sin α2–√|cos θ≥×3=3OP |−→−−2–√22–√A △AOB O AB x +y =a +=4x 2y 2A B O ||=||=2OA −→−OB −→−|+|=|−|OA −→−OB −→−3–√OA −→−OB −→−++2⋅=3(+−2⋅)OA −→−2OB −→−2OA −→−OB −→−OA −→−2OB −→−2OA −→−OB −→−⋅=2OA −→−OB −→−cos ∠AOB =12∠AOB =60∘△AOB O AB d =|OA|==3–√23–√|0−0+a|2–√a =±6–√D无【解答】解：．故选．5.【答案】D【考点】三角形的形状判断【解析】利用余弦定理可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出．【解答】解：，可得，∴．又，∴为等腰直角三角形．故选．6.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解： ，因为，均为锐角，所以，所以，=+=+(−)=+AD −→−AB −→−23BC −→−AB −→−23AC −→−AB −→−13AB −→−23AC −→−A |AB ||AB |==+(−2××2×cos 222–√)22–√π4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√|AB +|OB =|OA |2|2|2AB ⊥OB ∠AOB =π4△ABO D sin β=sin[α+(β−α)]=sin αcos(β−α)+cos αsin(β−α)αββ−α∈(−,)π2π2cos(β−α)=,sin α=310−−√1025–√5β=，cos β=–√–√所以，所以．故选．7.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式三角函数的最值三角函数的恒等变换及化简求值【解析】本题考查三角函数的性质与函数的最值．【解答】解：依题意,．令，因为时，是增函数，所以．因为，所以，故最小值为．故选．8.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用sin β=，cos β=2–√22–√2sin 2β=2sin βcos β=1D f(x)=2sin x −3(1−x)−cos x −4sin x cos x +3sin 2=2sin x +3x −cos x −4sin x cos xsin 2=2sin x −cos x +4x −4sin x cos x +x −1sin 2cos 2=+(2sin x −cos x)−1(2sin x −cos x)22sin x −cos x =t x ∈[0,]π2g(x)=2sin x −cos x t ∈[−1,2]y =+t −1=−t 2(t +)12254y ∈[−,5]54−54C利用向量关系列式求得，即得，求得，再利用余弦定理求解即可.【解答】解：由题可得，点是三条中线的交点，∴点是的重心，∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，，.∵，，∴.∵，∴,∴，即，则，∴，在中，.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．⋅=0CB −→−CA −→−∠C =90∘AC G △ABC G △ABC 2:1∴AG :GN =2:1AG =AN 23=−AB −→−CB−→−CA −→−∴=−AN −→−AB −→−12CB −→−=−12CB −→−CA −→−==−AG −→−23AN −→−13CB −→−23CA −→−=−MB −→−CB −→−CM −→−=−CB −→−12CA −→−3⋅=(−2)(−)AG −→−MB −→−CB −→−CA −→−CB −→−12CA −→−=+−⋅=+CB −→−2CA −→−252CB −→−CA −→−CB −→−2CA −→−2⋅=0CB −→−CA −→−CB ⊥CA ∠C =90∘AC ==2A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√Rt △ABC cos B ==BC AB 5–√5C A B C D解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】A AB +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa →b →⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53BC ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →CD G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD =2+=2+=2−i2解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】正弦函数的单调性正弦函数的周期性正弦函数的对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由条件得，从而求得，再逐项验证即可.【解答】解：由函数的图象的一条对称轴为，得，因为，所以，，则.所以周期，项正确；将函数的图象向左平移，得，显然的图象不关于原点对称，项错误；由．取，得，即函数的一个单调递增区间，又所以函数在区间单调递增，项正确；z =2+=2+=2−i 1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i 2A C D B ABD ωπ−=kπ+(k ∈Z)π6π2ω=23f (x)=2sin(ωx −)π6x =πωπ−=kπ+(k ∈Z)π6π2ω∈(0,1)k =0ω=23f (x)=2sin(x −)23π6T ==3π2π23A f(x)π6g(x)=f (x +)π6=2sin[(x +)−]=23π6π62sin(x −)23π18g(x)B 2kπ−≤x −≤2kπ+(k ∈Z)π223π6π2k =0−≤x ≤ππ2[−,π]π2f(x)[−,]⊆[−,π],π6π2π2f(x)[−,]π6π2C ∈[,]5π−∈[,]22π，则，所以，所以，故在区间的最小值为，选项错误.故选.12.【答案】B,C,D【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算直线与平面垂直的判定向量的线性运算性质及几何意义【解析】无【解答】解：．∵，∴、、三点不共线，即不在直线上，故选项错误；．∵，∴，∴，同理，，∴为的垂心，故选项正确；．∵，又且，即且，∴当时，取得最小值，故选项正确；x ∈[,]π25π4x −∈[,]23π6π62π3sin(x −)∈[,1]23π6122sin(x −)∈[1,2]23π6f(x)[,]π25π41D AC A −+≠11323P B C P BC A B ⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−⋅−⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−=⋅(−)=⋅=0PB −→−PA −→−PC −→−PB −→−CA −→−PB ⊥CA PC ⊥AB PA ⊥CB P △ABC B C ⋅=(+)⋅AC −→−AP −→−AB −→−BC −→−AP −→−=(+λ)⋅AB −→−BP −→−AP−→−=[+λ(−)]⋅AB −→−AP −→−AB −→−AP −→−=[(1−λ)+λ]⋅AB −→−AP −→−AP−→−=(1−λ)⋅AB −→−+λAP −→−AP −→−2=λ(λ+2)=(λ+1−1)2λ+2>0λ≠0λ>−2λ≠0λ=−1⋅AC −→−AP −→−−1C 3+2=0−→−−→−−→−．∵，∴，∴，即．如图可知，，，∴，∴，故选项正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.D +3+2=0PA −→−PB −→−PC −→−+3(−)+PA −→−AB −→−AP −→−2(−)=AC −→−AP −→−0→+3+2−5=0PA −→−AB −→−AC −→−AP −→−=+AP −→−12AB −→−13AC −→−=S △APB 13S △ABC =S △APC 12S △ABC =S △BPC 16S △ABC ∶∶=∶∶S △APBS △APC S △BPC 131216=2∶3∶1D BCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中， ，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a3+3(3−2t)=0t=(2)=(−1,3)a =(1,2)b a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√17【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，.，，，．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC−→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．18.【答案】解：因为，.若，则，即，即，所以．，即,所以，所以.又，所以 ．【考点】(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)=+EF −→−EA −→−AF −→−=−+=−+13AB −→−13AD −→−13a →13b →=+EG −→−EB −→−BG −→−=+=+23AB −→−23BC −→−23a →23b →(2)EF ⊥EG ⋅=0EF −→−EG −→−(−+)⋅(+)13a →13b →23a →23b →=−+=029a →229b →2=a →2b →2||=||a →b →⋅AB −→−EG −→−=⋅(+)=+⋅=2⋅a →23a →23b →23a →223a →b →a →b→=2⋅a →2a →b →|=2|⋅cos A a →|2a →|2cos A =12A ∈(0,π)A =π3向量加减混合运算及其几何意义向量的线性运算性质及几何意义数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：因为，.若，则，即，即，所以．，即,所以，所以.又，所以 ．19.【答案】解：．．．．【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析(1)=+EF −→−EA −→−AF −→−=−+=−+13AB −→−13AD −→−13a →13b →=+EG −→−EB −→−BG −→−=+=+23AB −→−23BC −→−23a →23b →(2)EF ⊥EG ⋅=0EF −→−EG −→−(−+)⋅(+)13a →13b →23a →23b →=−+=029a →229b →2=a→2b →2||=||a →b →⋅AB −→−EG −→−=⋅(+)=+⋅=2⋅a →23a →23b →23a →223a →b →a →b→=2⋅a →2a →b →|=2|⋅cos A a →|2a →|2cos A =12A ∈(0,π)A =π3(1)⋅==a 2a 8a 2+8a 10(2)−a ⋅===(−a)3(−a)1+3(−a)4a 4(3)x n−1⋅==x 2n+1x n−1+2n+1x 3n (4)⋅=⋅=(a −b)2(b −a)3(b −a)2(b −a)3=(b −a)2+3(b −a)5【解答】解：．．．．20.【答案】（1）设函数的最小正周期为，由图可知，，所以＝；又，，所以；又，所以．因为，所以，所以，所以；（2）由Ⅰ知，，因为当时，，所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；当，即时，单调递增；所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为；Ⅲ由Ⅱ可知，函数在的最大值为，最小值为，所以对任意，，都有＝，且当，时，取到最大值．因为对任意，，都有成立，所以，即的取值范围是．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】Ⅰ根据三角函数的部分图象求出、和的值；Ⅱ由Ⅰ写出函数的解析式，再求函数在上的单调递增区间和单调递减区间；Ⅲ由Ⅱ求出函数在的最大值和最小值，得出的最大值，从而求得的取值范围．(1)⋅==a 2a 8a 2+8a 10(2)−a ⋅===(−a)3(−a)1+3(−a)4a 4(3)x n−1⋅==x 2n+1x n−1+2n+1x 3n (4)⋅=⋅=(a −b)2(b −a)3(b −a)2(b −a)3=(b −a)2+3(b −a)5f(x)T T =−(−)=34π35π123π4T πT =2π|ω|ω>0ω==22πT f()=2π3sin(+φ)=12π3−<φ<π2π2<+φ<π62π37π6+φ=2π3π2φ=−π6()f(x)=2sin(2x −)π6x ∈[0,π]2x −∈[−,]π6π611π62x −∈[−,]π6π6π2x ∈[0,]π3f(x)2x −∈(,]π6π23π2x ∈(,]π35π6f(x)2x −∈(,]π63π211π6x ∈(,π]5π6f(x)f(x)[0,]π3(,π]5π6(,]π35π6()()f(x)[0,π]f()=2π3f()=−25π6x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|≤|2−(−2)|x 1x 24=x 1π3=x 25π6|f()−f()|x 1x 24x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|<m x 1x 2m >4m {m |m >4}()T ωφ()()f(x)x ∈[0,π]()()f(x)[0,π]|f()−f()|x 1x 2m【解答】（1）设函数的最小正周期为，由图可知，，所以＝；又，，所以；又，所以．因为，所以，所以，所以；（2）由Ⅰ知，，因为当时，，所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；当，即时，单调递增；所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为；Ⅲ由Ⅱ可知，函数在的最大值为，最小值为，所以对任意，，都有＝，且当，时，取到最大值．因为对任意，，都有成立，所以，即的取值范围是．21.【答案】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；f(x)T T =−(−)=34π35π123π4T πT =2π|ω|ω>0ω==22πT f()=2π3sin(+φ)=12π3−<φ<π2π2<+φ<π62π37π6+φ=2π3π2φ=−π6()f(x)=2sin(2x −)π6x ∈[0,π]2x −∈[−,]π6π611π62x −∈[−,]π6π6π2x ∈[0,]π3f(x)2x −∈(,]π6π23π2x ∈(,]π35π6f(x)2x −∈(,]π63π211π6x ∈(,π]5π6f(x)f(x)[0,]π3(,π]5π6(,]π35π6()()f(x)[0,π]f()=2π3f()=−25π6x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|≤|2−(−2)|x 1x 24=x 1π3=x 25π6|f()−f()|x 1x 24x 1∈[0,π]x2|f()−f()|<m x1x 2m >4m {m |m >4}(1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin Acos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C 2sin A当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】整理已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值；由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：，可得，或，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．22.【答案】sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3(1)+−a 2c 2b 2=ac cos B =12B ∈(0,π)B (2)cos A(sinC −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A (1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A cos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3(x)=2x −sin(2x −π)7函数．，令，解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．【考点】正弦函数的单调性三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦形函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的结论，首先求出的值，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用，及基本关系式求出结果．【解答】函数．，f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π32kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sin B +sin C =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√A f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π3kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π令，解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．2kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sinB +sinC =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√。

一、单选题1．已知集合或，则（ ） {32},{3A x x B x x =-<<=<-∣∣1}x >()R A B ⋂=ðA ． B ． ][(),32,-∞-⋃+∞()[),32,-∞-⋃+∞C ． D ．()[),31,-∞-⋃+∞[)2,+∞【答案】B【分析】由交集，补集定义可得答案.【详解】由，可得或， {32}A xx =-<<∣{3A x x =≤-R ∣ð2}x ≥所以或. (){3A B xx ⋂=<-R ∣ð2}x ≥故选：B. 2．（ ） ()3i12i i+--=A ． B ．C ．D ．i -5i 14i -1i +【答案】A【分析】运用复数运算法则化简即可. 【详解】由题可知. ()3i12i 3i 112i i i+--=-+-+=-故选：A.3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） 03x <<2log x a >a A ． B ．C ．D ．()1,8()0,1(]0,1()0,∞+【答案】C【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 03x <<2log x a >所以 ，()0,3()2log ,a +∞所以，解得， 22log 0log 1a ≤=01a <≤故即实数的取值范围是. a (]0,1故选：C.4．打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体.若该正方体的棱长为，半球的半径为，石臼的体积为，则（ ）a R 334a a R=A ．B ．CD ．【答案】B【分析】根据正方体内切球及球的体积公式计算可得.【详解】由题可知正方体的体积为，挖去的半球的体积为，3a 323R π所以，即，33323π34a R a -=3312π43a R =所以a R =故选：B.5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，分别对应圆柱两底面的直径，,AO BC '，则该圆柱的表面积为（ ） 45AO CO AO C ∠'''===A ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C【分析】根据直观图可得圆柱得底面半径及高，再根据圆柱的表面积公式即可得解. 【详解】作出圆柱的轴截面的原图形，如图，由题可知圆柱的底面半径为12OA =OC =所以该圆柱的表面积为.22ππ3π⨯+=故选：C.6．已知是半径为1的圆上的两个动点，，则的夹角的余弦值为,A B O ||||OA OB OA OB +=⋅ ,OA OB（ ）A B C ．D ．112-【答案】C【分析】将已知条件两边平方，结合数量积定义可解.【详解】由题可知，，设的夹角为.||||1OA OB == ,OA OBθ因为||||OA OB OA OB +=⋅ 所以，即，2222cos OA OB OB OA θ++⋅=2cos 2cos 20θθ--=解得的夹角的余弦值为cos 1θ=1,OA OB1故选：C7．已知函数为正整数，在区间上单调，且，()()sin (f x x ωϕω=+0π)ϕ<<π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ） ϕ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】B【分析】由单调区间可知周期范围，进而可得，再由结合正弦函数的对称性可解.ω()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设的最小正周期为.由题可得，故，又为正整数，()f x T 2ππ3π2π42T ω⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭43ω≤ω所以.因为，所以的图象的一条对称轴为直线.所以1ω=()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 3ππ5π224x +==，解得.又，所以. 5πππ,42k k ϕ+=+∈Z 3,4k k πϕπ=-∈Z 0πϕ<<π4ϕ=故选：B8．已知奇函数的定义域为，且对任意的且，都有与()f x R ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -同号，若，则（ ）()()2112x f x x f x -()()()0.50.50.50.520.5e 22e ,,e 2e 2f f f a b c --===--A ． B ． C ． D ．a cb <<a bc <<b<c<a b a c <<【答案】D 【分析】令，由题意可知，当时，为增函数，且为偶函数，由于()(),0f x h x x x=≠0x >()h x ()h x ，，，结合函数的单调性即可得解.0.5)0.5e (h a =(e 2)b h =-0.5(2)c h =()h x 【详解】因为对任意的且，都有与同号， ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -()()2112x f x x f x -即与即同号.12x x -()()211212x f x x f x x x -()()1212f x f x x x -令，所以，当时，为增函数. ()(),0f x h x x x=≠0x >()h x 由题可知为奇函数，则， ()f x ()()f x f x -=-因为，所以为偶函数， ()()()()f x f x h x h x x x---===--()h x 由于，，()()0.50.50.50.50.5()20.5e 0.5e 0.5ee0.5ef f a h ===()2e (2e)(e 2)2ef b h h -==-=--，()0.50.50.50.52(2)(2)2f ch h -==-=-因为，即， 0.50.50.50.5e 1,0.5e 0.8e 2,21=<==>=>->0.50.520.5e e 2>>-所以. b a c <<故选：D.二、多选题9．用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（ ） 1111ABCD A B C D -A．若该平面过点，则截面的周长为61,,A C B B ．若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等 1,,A C B C ．若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为1,,A D B 3D ．若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值 1,D B 1111ABCD A B C D -【答案】BC【分析】作出过点的截面直接计算可判断A ；分析两个几何体的外接球和正方体的外接球1,,A C B 的关系可判断B ；直接计算两个几何体的表面积可判断C ；由过的截面过正方体外接球的球心1,D B 可判断D.【详解】若该平面过点，则截面为正三角形，则截面的周长为1,,A C B 1ACB A A 错误；若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球均为正方体的外接球， 1,,A C B 1111ABCD A B C D -故外接球体积相等，B 正确；当该平面过点时，截面为，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，1,,A D B 11AB C D且三棱柱的表面积均为正确；2212121132⨯+⨯⨯+=若该平面过点，则其过正方体的外接球球心， 1,D B 1111ABCD A B C D -所以截面面积是定值，D 错误. 故选：BC.10．已知向量，则（ ）()()1,2,1,3a b =-=A ．()a ab +∥ B ．的夹角为,a b34πC ．与共线的单位向量ae = D ．在上的投影向量为a b 13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】求出的坐标，再利用共线向量的坐标表示判断A ；求出夹角判断B ；由单位向量的意a b +义判断C ；求出投影向量的坐标判断D 作答.【详解】依题意，，显然，即与不共线，A 错误；()2,1a b += ()112250⨯-⨯-=≠a a b +，又，则的夹角为，B 正确；c os ,a b a a b b =〈⋅=〉=[],0,πab 〈〉∈,a b 34π与共线的单位向量，C 错误；a e =±在上的投影向量为，D 正确. a b313cos ((,422b a bπ⋅==-- 故选：BD11．已知的内角的对边分别为，则使得的ABC A ,,AB C ,,a b c sin ,2Ba b==2c =条件可以为（ ） A ．B ．sin B C =4sin bA =C ． D ．2BC A +=CB CACA⋅=【答案】AD【分析】先利用正弦定理边化角可求得角A.利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得c ，然后可判断A ；由求b ，再利用余弦定理求c 可判断B ；利用内角和等于求出角A 可判断C ；根4sin b A =π据数量积定义可得角C ，进而可判断D. 【详解】，所以sin Bb =1=3sin A A=，可得tanA =因为，所以.由，利用正弦定理，可得， 0πA <<π6A =sin B C =b =由余弦定理，可得，解得，故A 正确； 2222cos a b c bc A =+-224)2c c =+-⨯2c =由，可得，又因为，所以是以为顶角的等腰三角形， 4sin b A =π4sin26b ==2a =ABC A C 所以，可得，由正弦定理，可得，解得，故B π6A B ==2π3C =sin sin a c A C =2π2πsin sin 63c=c =错误；由于，又因为，所以，这与矛盾，则这样的三角形不存在，故2B C A +=πA B C ++=π3A =π6A =错误；C由于，所以，所以，故D cos CB CA CB C CA ⋅==cos C =()0,πC ∈π6C =2a c ==正确. 故选：AD12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ） ()2πsin2243xf x x x =-+A ．的一个周期为1 ()f x B ．的图象是轴对称图形()f x C ．若恒成立，则实数的取值范围为 ()f x m ≤m [)1,+∞D ．直线与的图象没有公共点 1y =-()f x 【答案】BCD【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用函数对称性判断；C.由判断；D.由()1f x ≤()1f x >-判断.【详解】依题意，，故1不是的周期，A 错()()()()22ππsin1cos 2212(1)41321x x f x f x x x x ++==≠+-+++()f x 误；而，故是图象的一条对称轴，B 正确； ()22ππsin (1)cos 221(1)2(1)4(1)321x xf x f x x x x --===+---++1x =()f x 二次函数的，2243y x x =-+Δ0<故，且在处取得最小值1， 22430x x -+>2243y x x =-+1x =而在处取得最大值1，故，则正确； sin 2y x π=1x =()1f x ≤1,C m ≥因为，且当时，， πsin12y x =≥-1x =πsin 12y ==又当时，，所以， 1x ≠22431y x x =-+>()1f x >-所以直线与的图象没有公共点，D 正确. 1y =-()f x 故选：BCD三、填空题13．已知复数且其虚部大于0，则实数__________. ()21i z m m =+-m =【答案】/1.895【分析】根据模长公式及虚部大于0，列式求解即得.【详解】,或， =95m =1m =-且， 210m ->所以. 95m =故答案为:.9514．若平面上不共线的四点满足，且，则__________.,,,O A B C 34OA OC OB +=2BC = AB = 【答案】6【分析】由已知利用向量的线性运算得，即可得解.3AB BC =【详解】由已知得.()()330,3OA OB OC OB BA BC AB BC -+-=+=∴=又. ||2,||3||6BC AB BC =∴==故答案为：6. 15．已知函数，记关于的方程的所有实数根的乘积为，若()()ln ex af x a -=∈R x ()e f x =()g a ，则实数的取值范围是__________. ()2231g m m --<m 【答案】()1,3-【分析】求出方程的所有实数根，得到的解析式，然后利用其单调性解不等式即可.()e f x =()g a 【详解】由，得，所以或，故，()e f x =ln 1x a -=1e a x +=1e a -()2e ag a =则函数在上单调递增，又，()g a R ()01g =则，即为，()2231g m m --<()()2230g m m g --<所以，解得的取值范围是. 2230m m --<m ()1,3-故答案为：.()1,3-16．已知在等腰中，，点为边的中点，则在上的投影向量的ABC A 1cos ,38A BC =-=F AC FB FA 长度为__________.【答案】/1.25 54【分析】利用余弦定理求AC ，作出AC 边上的高BD ，由三角函数定义可得AD ，然后根据投影向量的几何意义可得.【详解】如图，由题可知.设，由余弦定理可得，解得. AB AC =AB AC x ==22223128x x x +-=-2x =作AC 边上的高BD ，因为，所以，1cos 8BAC ∠=-1cos 8BAD ∠=所以，11cos 284AD AB BAD =∠=⨯=由投影向量的几何意义可知，投影向量的长度为. 15144DF AF AD =+=+=故答案为：. 54四、解答题17．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为，顶点到下边沿上任一点的长度为.90cm 100cm(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？(2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油，则刷一个这样的油纸伞需要πkg 30多少千克桐油？（参考数据：） 2π9.9≈【答案】(1) 9π5(2) 0.594【分析】（1）求出扇形的弧长，再根据弧长公式即可得解； （2）求出圆锥的侧面积，进而可求出答案.【详解】（1）由题可知圆锥的底面周长为， ()2π90180πcm ⨯=所以展开后所得扇形的圆心角为； ()180π9πrad 1005=（2）由题可知圆锥的侧面积，()212π901009000πcm 2S =⨯⨯⨯=所以刷一个这样的油纸伞需要桐油. ()42π29000π100.06π0.069.90.594kg 30-⨯⨯⨯=≈⨯=18．已知在复平面内表示复数的点为.()()22234i z m m m m =--++-Z (1)若点在函数的图象上，求实数的值；Z 26y x =--m (2)若为坐标原点，点A 在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范O x OZ OAm 围.【答案】(1)或 1m =-23m =(2) ()()1,11,2-⋃【分析】（1）将点Z 的坐标代入函数求解即可； 26y x =--（2）根据题意可知，点Z 在第二、三象限，据此列不等式求解即可.【详解】（1）由题可知，复数在复平面内对应的点的坐标为.z ()222,34m m m m --+-又该点位于函数的图象上，26y x =--所以，()2234226m m m m +-=----即， 2320m m +-=解得或. 1m =-23m =（2）由题可知，点在第二象限或第三象限， Z 所以且，220m m --<2340m m +-≠即且且，12m -<<4m ≠-1m ≠所以的取值范围为.m ()()1,11,2-⋃19．已知中角的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求；A (2)若，求的周长的最小值.16bc =ABC A 【答案】(1)π3(2)12【分析】（1）由，利用诱导公式和两角和与差的三角函数求π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解；（2）由，利用余弦定理得到，利用基16bc =a =a b c b c ++=+本不等式求解.【详解】（1）∵， π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππsin cos cos sin 033C B C B ⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. πsin 03B C ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭， 0πB C <+< . ππ4π333B C ∴<++<，即. ππ3B C ∴++=2π3B C +=. π3A ∴=（2），16bc = 由余弦定理，可得，∴22222222cos 16a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-a ∴==a b c b c ∴++=+≥，8=12=当且仅当时，等号成立.4b c ==故的周长的最小值为12.ABC A 20．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭π2()f x象经过点.3π2⎛ ⎝(1)求的解析式；()f x(2)设函数，若在区间上的取值范围是，求实数()()22g x f x x x =()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1的取值范围.m 【答案】(1) ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意可得函数的最小正周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可； ωϕ（2）根据根据三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得()g x 解.【详解】（1）由题可知的最小正周期，则， ()f x π2π2T =⨯=2ω=因为的图象经过点，()f x 3π2⎛ ⎝所以， 3π3πsin 222f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕ=因为，所以， π2ϕ<π4ϕ=-所以； ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()()22g x f x x x =πsin 24x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x x =x x =， πsin 24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，可得， π,8x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ20,244x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦若在区间上的取值范围是， ()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1则， ππ224m π≤+≤解得， π3π88m ≤≤所以实数的取值范围是. m π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．如图，在四边形中，OABC ()()212,,01,3OA CB BM BA CP xCB x BA BC BO BA BC BO ===≤≤⋅+=+⋅(1)证明；:OA OC ⊥(2)设，求的最大值，并求取得最大值时的值为多少.OM CA OP λμ=+ λμ⋅λμ⋅x 【答案】(1)证明见解析 (2)，0 89【分析】（1）由题中条件，结合向量的线性运算及数量积运算可得，即可得证；0OC OA ⋅= （2）依题意，可知，，又2133AM OC OA =- 2233OM OA OC =+ 2x CP OA = ，由平面向量基本定理可得的方程组，进而得出()2x OM CA OP OA OC μλμλμλ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭ ,λμ的解析式，利用二次函数的性质求最值即可.λμ⋅【详解】（1）， ()2BA BC BO BA BC BO ⋅+=+⋅ 20BA BC BC BO BO BA BO ∴⋅-⋅+-⋅= 即， ()()0BC BA BO BO BA BO ⋅--⋅-= 得，， 0BC OA BO OA ⋅-⋅= ()0BC BO OA -⋅= 得，.0OC OA ⋅= OA OC ∴⊥（2）依题意， 12,23CB OA AM AB == ， ()()2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=- 由题可知. 21223333OM OA AM OA OC OA OA OC =+=+-=+，. ()2,01OA CB CP xCB x ==≤≤ 2x CP OA ∴= ， ()()()2x OM CA OP OA OC OC CP OA OC μλμλμλμλ⎛⎫∴=+=-++=++- ⎪⎝⎭ 又不共线，即 ,OA OC 2,232,3x μλμλ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩()8,322.3x μλμ⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2211339λμμμμ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 8401,93x μ≤≤∴≤≤ 当时，取得最大值，且最大值为，此时. ∴43μ=λμ⋅890x =22．已知函数是偶函数.()()2log 4x f x a x =+-(1)求实数的值；a (2)求方程的实根的个数；()1f x x -=(3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.()()2f xg x =()()12xh x n n =--n【答案】(1)1a =(2)1 (3) {{2}2nn >⋃--∣【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2），结合函数在上的单调性与值域求解； ()21log 14x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R （3）令，可得．令，，所以()()h x g x =()11222x x x n n --=+2x t =()0,t ∈+∞()2210n t nt ---=，令函数，结合二次函数的性质求解.()()221s t n t nt =---【详解】（1）因为函数是偶函数，()()2log 4x f x a x =+-所以，即， ()()=f x f x -()()22log 4log 4x x a x a x -+-=++也即， ()()222log 4log 41log 4x x x a x a x +-=⋅+-+，()()22log 4log 41x x a a +=⋅+，. 441x x a a +=⋅+()()1410x a --=因为对定义域内的任意上式恒成立，所以.x 1a =（2）由（1）可知的解析式为. ()f x ()()221log 41log 22x x x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭所以. ()2211log 2log 124x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数在上单调递减， 21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R 又，所以函数在上的值域为. 104x >21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R ()0,∞+所以方程的实根的个数为1.()1f x x -=（3）由题可知. ()122x xg x =+由，可得. ()()h x g x =()11222x x xn n --=+令，则.2x t =()0,t ∈+∞所以可化为. ()11222x x x n n --=+()2210n t nt ---=令函数.()()221s t n t nt =---当，即时，，舍去. 20n -=2n =1210,2t t --==-当，即时，的图象开口向上，20n ->2n >()s t 因为，所以一定存在唯一的正根，符合题意. ()010s =-<()s t 当，即时，的图象开口向下，20n -<2n <()s t 因为，()010s =-<令，解得.()2Δ420n n =+-=2n =-±又，所以对称轴，所以（舍去）或. 0t >()022n t n =>-2n >0n <所以2n =--综上，实数的取值范围是. n {{2}2n n >⋃--∣。

绝密★启用前2020-2021学年安徽省阜阳市临泉县第一中学高一下学期期中考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上本卷命题范围：人教A 版必修第一册（40%），第二册第六章~第八章第4节（60%）． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知()5z i i -=，则复数z 的实部是（ ） A.－4 B.4 C.0 D.4i -2.31cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.3 B.3- C.12 D.12-3.如图，点G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是A.①④B.②④C.③④D.②③ 4.在△ABC 中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数()()x xf x e e x -=-⋅的大致图象为A. B.C. D.6.已知函数()lg f x x x =+的零点为a ，设3,ln a b c a ==，则a ，b ，c 的大小关系为A.a b c <<B. c a b <<C.a c b <<D. b a c <<7.若关于x 的不等式mx 2＋6mx ＋24＞0的解集为{xx a <∣或2}x a >+，则实数m 的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.48.如图，边长为1的正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则平面图形OABC 以OA 为轴旋转一周所围成的几何体是A.一个圆锥和一个同底面的圆柱（内部挖去一个同底等高的圆锥）的组合体B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体C.一个圆柱D.两个同底的圆锥的组合体 9.若函数()2sin12f x x π=-A.54,4()33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B.154,4()33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZC.54,4()66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD.154,4()66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 10.一艘海盗船从C 处以20km/h 的速度沿着北偏东20°的方向前进，在C 点南偏东40°距离为20km 的B 处有一海警船，沿着北偏西10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为A. 20km/hB. 40km/hC. 50km/hD. 11.已知等腰直角三角形ABC 的三个顶点都在球O 的球面上，AB ＝BC ＝4，若球O 上的点到平面ABC 的最大距离为4，则球O 的体积为A.36πB.323πC.18πD.163π12.已知函数13()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若关于x 的方程23[()]()20f x m f x +⋅+=在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为A.(,5]∞--B.(,5]{∞--⋃±C (,5)∞-- D.(,5){∞--⋃-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则该圆柱的表面积为 ． 14.过平面α外的两点作与平面α垂直的平面，可以作 个．15.已知△ABC 中，AB A ＝4π，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD ＝DB ，BE ＝2EC ，若(,)DE xAB yAC x y =+∈R ，则x ＋y ＝ ；DE ＝ ．（本小题第一空3分，第二空2分）16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝6，2acos C ＋c ＝2b ，则△ABC 面积的最大值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为1111,D C C B 的中点，AC BD P ⋂=，11AC EF Q ⋂=．求证：（1）D ，B ，F ，E 四点共面；（2）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．18.（本小题满分12分） 已知复数21i(),1iz z m m -=+∈+R 是实数． （1）求复数z ；（2）若复数046z z =-是关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，求实数a 和b 的值． 19.（本小题满分12分）已知向量a ＝（2，1），b ＝（m ，1－m ）． （1）若（2a ＋b ）⊥（a －2b ），求m ；（2）若m ＝－1，求a 在a ＋b 上的投影向量c ． 20.（本小题满分12分）已知函数()2cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<． （1）若πϕ=，完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f （x ）在[0,]π上的图象；x512π 23ππ26x π+6π 2π π32π 2π136πy－23（2）若f （x ）为奇函数，求ϕ；（3）在（2）的前提下，将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间． 21.（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()222tan 3a c b B ac +-=．（1）求角B 的大小；（2）设向量(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试求m n ⋅的取值范围． 22.（本小题满分12分）已知函数()22()x x f x a a -=+⋅∈R ，且f （x ）的图象关于y 轴对称． （1）求证：f （x ）在区间[0,)∞+上是单调递增函数；（2）设函数()()2(2)h x f x f x m =+-，若()h x 在区间[1,)∞-+上有两个零点，求实数m 的取值范围．2020~2021学年高一下期中考试・数学 参考答案、提示及评分细则 1.C5(i)i 5,i ,4i,iz z z z -=∴-=∴=-∴的实部为0，故选C ．2.C 311cos cos 10cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C ． 3.B ①中HG∥MN，③中GM∥HN 且GM≠HN，故HG ，NM 必相交，②④正确．故选B ．4.C 由正弦定理得sin sin ,a b A B a b A B >⇔>>⇔>又，又a b A B >⇔>，故在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件．故选C ．5.A 因为()()()e e ||e e ||()x x x xf x x x f x ---=-⋅-=--⋅=-，所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称，只有选项A 符合题意．故选A ．6.B 由已知得lg a a =-，数形结合得0＜a ＜1，则b ＞1，c ＜0，所以c ＜a ＜b ．故选B ．7.C ∵不等式mx 2＋6mx ＋24＞0的解集为{xx a <∣或2}x a >+，∴a，a ＋2是关于x 的方程mx 2＋6mx ＋24＝0的两个实根，且m ＞0，∴a＋（a ＋2）＝－6，且24(2)a a m+=，解得a ＝－4，m ＝3，故选C ．8.A 由直观图O A B C ''''画出原图OABC ，如下图所示，因为2O B ''=，所以22,1OB OA ==，则平面图形OABC 以OA 为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱（里面挖去ー个圆锥）．故选A ．9.B 由题意，得52sin10,2,2()2266x x k k k ππππππ⎡⎤-∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ，则14,3x k ⎡∈+⎢⎣54()3k k ⎤+∈⎥⎦Z ．故选B ．10.D 如图，设在A 处两船相遇，则由题意得∠ACB＝120°，∠B ＝30°，则△ABC 是等腰三角形，则||20,203AC AB ==，所以海盗船需1小时到A 处，则海警船1小时至少航行203km ．故选D ．11A 因为△AB C 是等腰直角三角形且AB ＝BC ＝4，所以AB⊥BC 且AC ＝42．如图，过AC 的中点M 作平面ABC 的垂线MN ，则球心O 在直线MN 上．设OM ＝h ，球的半径为R ，不妨设点D 是球O 上的一点，则球O 上的点D 到平面ABC 的最大距离为R ＋h ．所以R ＋h ＝4，由勾股定理得222OA OM CM =+，即22R h =+2(22)，得22(4)8R R =-+，解得3R =．所以球O 的体积为343363V ππ=⨯=．故选A ．12.D ()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．令5(),,66t f x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，则[0,1]t ∈．由关于x 的方程23[()]()f x m f x +⋅＋2＝0在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程2320t m t +⋅+=在区间[0,1)上有唯一解．令2()32h t t m t =+⋅+，因为(0)20h =>，则(1)320h m =++<或2Δ240,01,6m m⎧=-=⎪⎨-<⎪⎩，解得5m <-或26m =-D ． 13.6π 由题意，得该圆柱的底面半径为1，高为2，故其表面积22112126S ππππ=⨯+⨯+⨯⨯=．14.1或无数 当这两点组成的直线与平面α垂直时，可以作无数个；当这两点组成的直线与平面α平行或者相交但不垂直时，可以作1个． 15.1210 如图因为,2AD DB BE EC==，所以12,23DB AB BE BC ===2()3AC AB -，所以1212()2363DE DB BE AB AC AB AB AC =+=+-=-+．又DE xAB yAC =+，所以12063x AB y AC ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为AB 与AC 不共线，所以12,63x y =-=，所以2211222245,21263369918x y DE AB AC ⎛⎫+==-+=-+= ⎪⎝⎭，所以51018DE ==16.93由2cos 2a C c b+=，得2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C +==+，化简得1cos 2A =，又0A π<<，所以222,2cos 23A a b c bc A bc bcπ==+--，即11336,sin 369322AXbc Sbc A =⨯⨯=b ＝c ＝6时，取“＝”． 17.证明：（1）连接11B D ．∵E，F 分别为1111,D C C B 的中点，11//EF B D ∴．……………………2分 在正方体1AC 中11//,//B D BD EF BD ∴．……………………4分∴EF ，BD 确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．…………………………5分（2）在正方体1111ABCD A BC D -中，设平面11A ACC 确定的平面为α，平面BDEF 确定的平面为β． 11,Q AC Q α∈∴∈．又,Q EF Q β∈∴∈．则Q 是α与β的公共点，同理P 是α与β的公共点，PQ αβ∴⋂=．……………………8分又11,AC R R AC β⋂=∴∈．R α∴∈，且R β∈，则R PQ ∈故P ，Q ，R 三点共线．…………………………10分 18.解：（1）因为1()z mi m =+∈R ，可得21(1)(1)1111(1)(1)22z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-，……………………4分 又由21z i-+是实数，可得102m +=，解得m ＝－1，所以1i z =-．………………6分 （2）因为04624z z i =-=--是方程20(,)x ax b a b ++=∈R 的根，所以2(42)(42)0i a i b --+--+=，即(164)2120a i a b --+-=，………………9分可得1640,2120,a a b -=⎧⎨-+-=⎩解得4,20a b ==．………………12分19.解：（1）2(4,3),2(22,21)a b m m a b m m +=+--=--………………2分 由(2)(2)a b a b +⊥-，得2450m m --=，解得1m =-或54m =．………………5分 （2）当1m =-时，(1,2)b =-，(2,1)(1,2)(1,3)a b +=+-=，……………………7分则与a b +方向相同的单位向量,1010e = ⎪⎝⎭……………………9分 设a 与a ＋b 的夹角为θ，则所求投影向量||cos c a e θ=………………10分()||a a b e a b ⎡⎤⋅+=⎢⎥+⎣⎦ ,101010=⎪⎝⎭13,22⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………12分 20.解：（1）函数f （x ）在[0,]π的图象如下： x6π 512π 23π 1112ππ26x π+6π2π π32π 2π136πy3－223…………………………4分（2）由()2cos(2)f x x ϕ=+，因为f （x ）为奇函数，则2k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以2πϕ=．……………8分（3）由（2）知()2sin 2f x x =-，向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍后，可得()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．……………………10分 由22232k x k πππππ--+，得522()66k xk k ππππ-++∈Z ．………………11分 从而可得g （x ）的单调递减区间为52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．……………………12分21.解：（1）由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，又因为()222tan a c b B +-=，即2acsinB =，………………2分所以sin B =，………………4分 又B 为锐角， 所以3B π=．………………6分（2）22317(sin ,1)(3,cos 2)3sin cos 23sin 12sin 2sin 48A A A A A A A ⎛⎫⋅=⋅=+=+-=--+ ⎪⎝⎭m n ，…………8分 由3B π=，知锐角△ABC 中，20,,0,232A C A πππ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以62A ππ<<，………………9分 所以1sin 12A <<．………………10分， 所以2132sin 084A ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭，所以1728m n<⋅． 故m n ⋅的取值范围是172,8⎛⎤⎥⎝⎦．……………………12分 22.（1）证明：∵f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f（x ）为偶函数，………………1分()()0f x f x ∴--=，即()22220x x x x a a --+⋅-+⋅=，整理得()(1)220x x a ---=，上式对任意的x ∈R 均成立，故1－a ＝0，……………………2分∴1a =．………………3分任取12,[0,)x x ∞∈+，且12x x <，则()()2211212222x x x x f x f x ---=+--121122122222222x x x x x x x x ++++--= ()()12112221222x x x x x x +--=+．………………5分12,[0,)x x ∞∈+，且12x x <，12220x x ∴-<，()()1221210,x x f x f x +->∴>，即证f （x ）在[0,)∞+上单调增．………………6分（2）解：()22()22222x x x x h x m --=+++-， 令22x x t -=+．则()2()222422x x x x h x m --=+-++-224t t m =+--．…………………………7分由（1）可得当[1,)x ∞∈-+时，[2,)t ∞∈+引入函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+．易知F （t ）在[2,)∞+上单调递增，F （t ）最多有一个零点．要使h （x ）在[1,)∞-+上有两个零点，则52,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，………………10分 所以2524,2,2m t t t ⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦，可得(6,11]m ∈， 故实数m 的取值范围为(6,11]．……………………12分。

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设复数，则在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若，则( )A.B.C.D.3. 外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数的值（ ）A.B.C.D.z =(1−i)21−2i z sin(x +)=π613sin(2x −)=π6−7979−42–√942–√9△ABC O H =m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−m 122134(a +b =+ab )224. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 A.B.C.D.5. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )A.B.C.D.6. 如图，在中，，点在线段上，，，则（ ）A.B.C.D.7. 已知角的终边经过点，则( )△ABC A B C a b c (a +b =+ab )2c 2B =30∘a =4△ABC ()63–√43–√33–√4OABC //O ′A ′B ′C ′∠=O ′A ′B ′90∘=1O ′A ′=2B ′C ′OABC 32–√232–√42–√52–√△ABC ∠BAC =2π3D BC AD ⊥AC =BD CD 14sin C =7–√1421−−√147–√721−−√7αP (sin ,cos )18∘18∘sin(α−)=12∘1A.B.C.D.8. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A.已知平面向量满足，且则是等边三角形B.若，则点为的垂心C.若，则点为的外心D.若，则点为的内心二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知，，则下列说法正确的有( )A.若为实数，则B.的共轭复数是C.的最小值是D.满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆10. 已知向量，， 则（ ）A.B.向量在向量上的投影向量是 C.D.与向量方向相同的单位向量是123–√2−12−3–√2O △ABC ⋅⋅OA −→−OB −→−OC −→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→△ABC ⋅−=⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−||AB −→−OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|BA| O △ABC (+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−AB −→−OB −→−OC −→−BC −→−O △ABC ⋅=⋅=⋅OA −→−OB −→−OB −→−OC −→−OC −→−OA −→−O △ABC =2+3i z 1=m −i (m ∈R)z 2z 1z 2m =−23⋅z 1z 2(2m +3)−(3m −2)i|−|z 1z 24|z −|=1z 1z Z (−2,−3)1=(2,1)a →=(−3,1)b →(+)⊥a →b →a→a →b →−10−−√2a →|+2|=5a →b →a →(,)25–√55–√511. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是()A.的外接圆半径为B.存在某一位置，使得C.存在某一位置，使得D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为12. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是( )A.是的一个周期B.在上有个零点C.的最大值为D.在上是增函数卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，若，则________． 14. 已知三棱锥中，平面， ，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________，三棱锥的外接球的表面积为________．ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2PD ⊥BDPB ⊥CDPD ⊥DC P −BCD π323y =A sin ωt f (x)=2sin x −sin 3x πf (x)f (x)[0,2π]7f (x)3f (x)[,]π6π2f (x)=sin(x +)π3cosα=(0<α<)35π2f (2α−)=π12S −ABC SA ⊥ABC AB =BC =CA =2SC AB 2–√4S −ABC S −ABC ∈[0,]3π15. 函数，的单调递减区间是________．16. 已知外接圆的圆心为，其面积，，为的三边长），，则外接圆的半径为________；的值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知.化简.若，求的值.18. 已知复数的共轭复数为，且满足．求；若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19. 如图，为圆柱的底面直径，，为圆柱的两条母线，点，，分别为，，的中点，，，垂足为．证明：平面；求三棱锥的体积． 20. 已知向量，，.若，试研究函数在上的单调性；当时，求函数的值域．21. 设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，并且.求角的值；若的面积等于求，．y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2△ABC O S =abc(a 112b c △ABC 2OA −→−+3AB −→−+3AC −→−=0→△ABC cos A f(x)=+(x ≠，k ∈Z)sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)kπ2(1)f(x)(2)f(α)=13sin2αz z¯¯¯(1−2i)z =4−3i (1)z¯¯¯(2)(m ∈R)(z +mi)2m AB AA 1BB 1C C 1D AB A 1B 1 AA 1A =2AC =2A 1CM ⊥BD M (1)CM ⊥BDC 1(2)A −BMC =(cos(x −),cos(x −))a →2–√π4π4=(sin x,m ⋅cos(x −))b →3π4f (x)=⋅a →b →(1)m =−1f (x)[,]π83π4(2)m =2f (x)△ABC a b c A B C sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B(1)C (2)△ABC 6，c =2，3–√7–√a b (x)=sin ωx +co −–√22. 已知函数，．Ⅰ若＝，求的单调递增区间；Ⅱ若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．f(x)=sin ωx +co −123–√s 2ωx 23–√2ω>0()ω1f(x)()f()=1π3f(x)T T参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】根据 ，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解．【解答】解：因为，所以．故选．sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos(2x +)π6π3sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos[+(2x −)]π6π2π6=−cos(2x +)=2(x +)−1π3sin 2π6=2×−1=−()13279A3.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示：∵，，∴，∴，取边的中点，连接，则，∴，．又，∴．∴，∴，又不恒为，∴必有，解得．故选．4.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，即，所以，因为，=−OH −→−AH −→−AO −→−=m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−−=m(++)AH −→−AO −→−OA −→−OB −→−OC −→−=(m −1)+m(+AH −→−OA −→−OB −→−OC)−→−BC D OD OD ⊥BC +=2OB −→−OC −→−OD −→−⋅=0OD −→−BC −→−AH ⊥BC ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(m −1)⋅+2m ⋅AH −→−BC −→−OA −→−BC −→OD −→−BC −→0=(m −1)⋅OA −→−BC ¯¯¯¯¯¯¯⋅OA −→−BC −→−0m −1=0m =1C (a +b =+ab )2c 2+−=−ab a 2b 2c 2cos C ==−+−a 2b 2c 22ab 12C ∈(0,)180∘C =–√所以，.又因为，所以，所以，所以的面积.故选.5.【答案】B【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的直观图知，，，，；∴，所以原图形中， ，，，，，所以梯形的面积为．故选．6.【答案】B【考点】正弦定理弦切互化【解析】此题暂无解析C =120∘sin C =3–√2B =30∘A =B =30∘a =b =4△ABC S =ab sin C =4123–√B //B ′C ′O ′A ′⊥A ′B ′B ′C ′=1O ′A ′=2B ′C ′=O ′C ′2–√OABC BC//OA OC ⊥OA OA =1BC =2OC =2=2×=2O ′C ′2–√2–√OABC S =×(1+2)×2=3122–√2–√B【解答】解：在中， ，解得，所以．故选．7.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用任意角的三角函数解得,再利用角的变换展开化简得解.【解答】解：由题设得，，，.故选.8.【答案】A,C【考点】三角形五心向量的线性运算性质及几何意义【解析】△ABD ==BDsin π6AD sin B sin C ⋅CDsin(−C)π3tan C =3–√5sin C =21−−√14B sin α,cos αα−=α−(−)12∘30∘12∘|OP|==1+sin 218∘cos 218∘−−−−−−−−−−−−−−√sin α=cos 18∘cos α=sin 18∘sin(α−)12∘=sin[α−(−)]30∘18∘=sin αcos(−)−30∘18∘cos αsin(−)30∘18∘=sin α[cos +sin ]−3–√218∘1218∘cos α[cos −sin ]1218∘3–√218∘=+3–√2cos 218∘3–√2sin 218∘=3–√2B直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．【解答】解：选项，平面向量满足，且，， ，即，，的夹角为，同理的夹角也为，是等边三角形，故正确；选项，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故错误；选项，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念复数的模【解析】无A B C D A ，，OA −→−OB −→−OC −→−||=||=|=r (r >0)OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→∴+=−OA −→−OB −→−OC −→−∴|+2⋅+|=|OA −→−|2OA −→−OB −→−OB −→−|2OC −→−|2+2⋅cos(,)+=r 2r 2OA −→−OB −→−r 2r 2∴cos(,)=−OA −→−OB −→−12∴，OA −→−OB −→−120∘⋅OA −→−OC −→−120∘∴△ABC A B AC −→−|AC|AB −→−|AB|AC AB AC −→−′AB −→−BC −→−⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−|AB|⊥OA −→−BC −→−O ∠BAC ⋅−=0OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|A B →O ∠ABC O △ABC B C +OA −→−OB −→−,OA −→−OB −→−A ，C【解答】解：令，得，则有解得，故选项正确；，其共轭复数是，故选项正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故选项正确；令，由，得，即，故满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆，故选项错误.故选．10.【答案】A,C,D【考点】向量的投影向量的数量积判断向量的共线与垂直平面向量的坐标运算单位向量向量模长的计算【解析】可求出，从而得出选项正确；可求出在上的投影是，从而判断选项错误；可得出，进而判断选项正确；根据向量可求出与向量方向相同的单位向量，从而判断选项正确．【解答】解：∵ ，，∴，，即正确；向量在向量上的投影向量是，即错误；=a(a ∈R)z 1z 2=2+3i =a z 1=am −ai z 2{2=am,3=−a,m =−23A ⋅=(2+3i)(m −i)=(2m +3)+(3m −2)i z 1z 2=(2m +3)−(3m −2)i ⋅z 1z 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯B |−|=|(2−m)+4i|=≥=4z 1z 2(2−m +16)2−−−−−−−−−−−√16−−√m =2|−|z 1z 24C z =x +yi |z −|=1z 1|(x −2)+(y −3)i|==1(x −2+(y −3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −2+(y −3=1)2)2|z −|=1z 1z Z (2,3)1D ABC (+)⋅=0a →b →a →A a →b →−12b →B +2=(−4,3)a →b →C a →a →D +=(−1,2)a →b →=(2,1)a →(+)⋅=−2+2=0a →b →a →(+)⊥a →b →a →A a →b →⋅=⋅=−⋅a →b →∣∣∣b →∣∣∣2b →−3×2+1×1+(−3)212b →12b →B 2=(−4,3)→∵ ，∴，即正确；与向量方向相同的单位向量 ，即正确．故选.11.【答案】A,D【考点】正弦定理空间中直线与直线之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：在翻折过程中，，，，易知，由正弦定理得（为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；若，取中点，连接，，由于为正三角形，则，又，故平面，则，又为中点，，则为正三角形，易知，则，与已知矛盾，故错误；若，则在三棱锥中，，由知，，取的中点，连接，，+2=(−4,3)a →b →|+2|=5a →b →C a →=(,)a →||a →25–√55–√5D ACD △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4PBsin ∠PDB r △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2PB E DE CE E =PB =1则，且，，所以，所以，所以平面．设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．12.【答案】B,C,D【考点】正弦函数的单调性函数的零点正弦函数的周期性函数奇偶性的判断两角和与差的正弦公式【解析】根据三角函数的周期性判断答案，三角函数的零点判断答案，根据三角函数的最值判断答案，根据三角函数的单调性判断答案．【解答】解：，∵的周期为，的周期为，的周期为，故错误；，∵，当时，，即或，∴在上有个零点，故正确；，∵，令，，∴，，，令，解得，当和时，，单调递增，∴当，即时，取得最大值，，∴，故正确；DE ⊥PB DE =1CE =PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=π43R 3323D AD A B C D A y =sin x 2πy =sin 3x π23∴f (x)=2sin x −sin 3x 2πA B f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)x ∈[0,2π]−sin x (cos 2x −1)=0sin x =0cos 2x =1f (x)[0,2π]7B C f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3t =sin x t ∈[−1,1]g(t)=4−t t 3t ∈[−1,1](t)=12−1g ′t 2(t)=0g ′t =±3–√6t ∈[−1,−]3–√6[,1]3–√6(t)>0g ′g(t)t =1t =sin x =1g(t)g(1)=3f(x =f(1)=−1+4=3)max C ,]ππ，∵在上为增函数，∴在上为减函数.∵，在上为减函数，∴在上为增函数，即在上是增函数，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，则.故答案为：.14.【答案】,【考点】maxD y =sin x [,]π6π2y =−sin x [,]π6π2x ∈[,]π6π2y =cos 2x [,π]π3f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)[,]π6π2f (x)[,]π6π2D BCD 172–√50cosα=(0<α<)35π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45f (2α−)=sin(2α+)π12π4=sin 2αcos +cos 2αsin π4π4=2sin αcos αcos +sin (2α−1)π4π4cos 2=2×××+×(2×−1)45352–√22–√2925=172–√50172–√5023–√3π283柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作的平行线且满足，为中点，易得四边形为平行四边形，则异面直线与夹角即为，设，则由题可得，，，满足勾股定理，则，又余弦值为，即，解得，所以体积为.去底面正三角形中点，过点作直线面，则球心必在线上，过点作，故，设，则，解得，故表面积为.故答案为：；.15.C AB AE =CDE AECD SC AB ∠SCD SA =x SC =4+x 2−−−−−√SD =3+x 2−−−−−√CD =1∠SDC =90∘2–√4=CD SC 2–√4x =2×2××2×=13123–√23–√3ABC N N ⊥ABC O O OM ⊥SA OM =AN =23–√3SO =R 2=2−R 2()23–√32−−−−−−−−−−−−√R =21−−√34π=πR 228323–√3π283【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．16.【答案】,【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据，由正弦定理，可得外接圆的半径为；由，可得，结合，可知，由，则，即可得解.【解答】解：因为，[0,π]23y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z−+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]233−23S =abc =bc sin A 11212=2R a sin A△ABC 32+3+3=OA −→−AB −→−AC −→−0→3+3=4OB −→−OC −→−OA −→−===R =3∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OA −→−∣∣∣cos ∠BOC =−19∠BOC =2∠A A ∈(0,)π2cos A =22–√3S =abc =bc sin A 11212=sin A 1所以，由正弦定理，可得，所以外接圆的半径为；设的中点为，根据题意可得，∴，，三点共线，∴，且，，根据勾股定理可得，，∴，根据余弦定理可得故答案为：；.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.∵，即，∴，整理得，则，即.【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析a =sin A 16=2R asin A R =3△ABC 3BC D =−(+OA −→−32AB −→−)=−3AC −→−AD −→−A O D AB =AC AD =1DO =2BD =5–√AB =6–√BC =25–√cos A ==−.6+6−202×6233−23(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sinx tanx cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcosx sinx =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89解：.∵，即，∴，整理得，则，即.18.【答案】解：因为，所以，所以.，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数及其指数形式、三角形式【解析】此题暂无解析(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sin x tan x cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcos x sin x =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i10+5i 5=2−i z ¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)解：因为，所以，所以. ，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.19.【答案】证明：由题得，，又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：由题得，，(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i 10+5i 5=2−i z¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A A ∩AC =A A又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．20.【答案】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式平面向量数量积的运算正弦函数的单调性函数的值域及其求法【解析】本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．【解答】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.21.【答案】(1)(2)(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2(+B)sin(−B)解：因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以 ，(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3−B =(cos B +sin B)(cos B –√–√所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或22.【答案】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12=2π又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． 【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】Ⅰ当＝时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．Ⅱ化简函数的解析式为：．通过，求出．然后求解的最大值．【解答】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π()ω1()f(x)=sin(ωx +)π3f()=1π3ω=6n +12T 1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z 5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π。

一、单选题1．已知向量，，则（ ）()1,2a =-()3,1b = ()a ab ⋅-= A ．2 B ．4 C ．6 D ．-6【答案】C【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出a b -答案.【详解】，. ()=4,1a b --()()14126a a b ⋅-=-⨯-+⨯= 故选：C.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b ,则角B 的值为 A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】A【详解】由余弦定理和及已知条件得， 2cos ac B =所以， cos B =0B π<<所以，故选A.6B π=【解析】1.余弦定理；2.同角三角基本关系.3．已知向量，，且向量在向量上的投影向量为：，则（ ） 2a = 1b = a bb b-3a b +=r rA ．2B ．CD ．3【答案】C【分析】根据给定条件求出，再利用向量数量积计算作答.||cos ,a a b 〈〉【详解】向量在向量上的投影向量为，依题意，，则a b (||cos ,)||ba ab b 〈〉||cos ,1a a b 〈〉=- ，||||cos ,1a b a b a b ⋅=〈〉=-所以a +===r 故选：C4．在中，若等于（ ）ABC A 105,45,A B b === cA ．1B ．2C D【答案】B【分析】根据题意求得,再结合正弦定理，即可求解.30C =【详解】在中，若，可得, ABC A 105,45,A B b === 18030C A B =--=由正弦定理，可得.sin 2sin b C c B ===故选：B.5．如图，四边形是以向量，为边的平行四边形.又，，OADB OA a = OB b = 13BM BC =13CN CD =则用，表示（ ）a bMN =A ．B ．C ．D ．1566a b + ()23a b +1126a b - 1126a b +【答案】C【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.【详解】∵四边形是以向量，为边的平行四边形，，，OADB OA a = OB b = 13BM BC =13CN CD =∴()()11213636MN ON OM OC OC OB BA OA OB OB OA OB =-=+--=+--- .1126OA OB =-=1126a b - 故选：C.6．对于直线m 、n 和平面，下面命题中的真命题是（ ） αA ．如果，，m 、n 是异面直线，那么 m α⊂n α⊄//n αB ．如果，，m 、n 是异面直线，那么n 与相交 m α⊂n α⊄αC ．如果，，m 、n 共面，那么 m α⊂//n α//m n D ．如果，，m 、n 共面，那么//m α//n α//m n【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案【详解】解：对于A ，如果，，m 、n 是异面直线，则或与相交，故A 错； m α⊂n α⊄//n αn α对于B ，如果，，m 、n 是异面直线，那么n 与相交或平行，故B 错； m α⊂n α⊄α对于C ，如果，，m 、n 共面，由线面平行的性质定理，可得，故C 对； m α⊂//n α//m n 对于D ，如果，，m 、n 共面，则或相交，故D 错 //m α//n α//m n ,m n 故选：C7．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中()2214a b AD BC ⋅=- ABC M BC 点，，，则（ ）3AM =10BC =AB AC ⋅=A ．32B ．-32C ．16D ．-16【答案】D【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.3AM = ||10BC = AB AC ⋅u u u r u u u r【详解】由题设，，，||3AM =||10BC = .2211(4||||)(36100)1644AB AC AM BC ⋅=⨯-=⨯-=- 故选：D8．能够判定两个平面α，β平行的条件是 A ．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行 B ．夹在两个平面间的线段相等C ．平面α内的无数条直线与平面β无公共点D ．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等 【答案】D【详解】平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点． 【解析】两个平面平行的判定.9．下列结论正确的是（ ）A ．若，则或. a b =r r a b =a b =-r r B ．若，则与共线.b a λ=a b C ．若是平面内的一个基底，则平面内任一向量都可以表示为且这对实数{}12,e e a1122a e e λλ=+ 1λ，是唯一的.2λD ．若，，与的夹角为锐角，则实数.)a =()0,1b = a λb + a b λ-()2,2λ∈-【答案】BC【分析】A 选项直接由向量的概念判断；B 选项由共线定理判断；C 选项由平面向量基本定理判断；D 选项由夹角为锐角时数量积大于0且不共线即可判断.【详解】说明模长相等，但方向不确定，A 错误；由平面向量共线定理知B 正确；a b =r r ,a b由平面向量基本定理知C 正确；与的夹角为锐角，又a λb + a b λ-，),)a λb λa λb λ+=+-=-可得，解得且，D 错误.2310))λλλ⎧+->⎪-≠+22λ-<<0λ≠故选：BC.10．不解三角形，根据已知条件，判断三角形的解的个数.下列说法中正确的是（ ） A ．，，，有一解 7a =14b =30A =︒ABC A B ．，，，有一解 3a =5c =120B =︒ABC A C ．，，，有两解 6a =9b =45A =︒ABC A D ．，，，有两解 9a =10b =60A =︒ABC A 【答案】ABD【分析】根据和大小确定三角形解的个数或者根据条件特点直接判断个数即可. a sin b A 【详解】对于A 选项，，所以有一解，故A 正确；sin a b A =对于B 选项，根据条件三角形一定是唯一确定的，所以有一解，故B 正确； 对于C 选项，，所以无解，故C 错误； sin a b A <对于D 选项，，所以有两解，故D 正确. sin b a b A >>故选：ABD.三、单选题11．下列命题中，正确的是（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一平面的两个平面平行 C ．平行于同一平面的两直线关系不确定D ．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面 【答案】BCD【分析】通过举反例说明选项A 错误，其它选项根据线面、面面平行的判定和性质直接判断即可. 【详解】对于A ，如图，平行于同一条直线的两个平面相交, 故A 错误；对于B ，平行于同一平面的两个平面平行正确，故B 正确；对于C ，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行，相交，也可以异面，故C 正确； 对于D ，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面正确，故C 正确； 故选：BCD.四、多选题12．设的内角，，所对的边分别为，，，且ABC A A B C a b c cos cos )2sin a C c A b B +=，若点是外一点，，.下列说法中，正确的命题是（ ）3CAB π∠=D ABC A 1DC =3DA =A ．的内角 B ．的内角ABC A 3B π=ABC A 3C π=C ．D ．四边形 ACD A ABCD 3【答案】ABD【分析】根据正弦定理可求出，再根据，即可求出，进而判断AB 是否正3B π=3CAB π∠=3C π=确；即可判断C 是否正确；根据四边形的面积3sin 2ACD S D =A ABCD面积的最大值，即可判断D 是否正3sin 3ABC ACD S S S D π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭A A ABCD确.【详解】， cos cos )2sin a C c A bB +=， )sin cos sin cos 2sin sin AC C A B B +=⋅∴，∴．故A 正确．sin B =3B π=又∵．∴，故B 正确．3CAB π∠=3C π=由于，由于角无法确定，故C 不一定正确. 1313sin sin 22ACD S D D =⋅⋅=A D 在等边中，设，，ABC A AC x =0x >在中，由余弦定理可得：， ADC △2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅由于，，代入上式可得：； 3AD =1DC =2106cos x D=-∴四边形的面积 ABCD 2113sin 13sin sin 2322ABC ACD S S S x x D D π=+=⋅+⋅⋅=+A A)3106cos sin 3sin 23D D D π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭∴当角时，四边形，故D 正确． 23D π=ABCD 3故选：ABD ．五、填空题13．已知点，O 为坐标原点，则与向量同方向的单位向量为_______． (1,3),(4,1)A B -AB【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求出向量的坐标，再求出的坐标即可得解. AB ||ABAB【详解】依题意，，(4,1)(1,3)(3,4)AB OB OA =-=--=-所以与同方向的单位向量为. AB 34,55||AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故答案为：34(,)55-14．的内角A ，，的对边分别为，，，已知，，ABC A B C a b c sin sin 4sin a A b B c C -=1cos 4A =-则_______. bc=【答案】6【分析】先结合正弦定理和余弦定理得到关于三边的方程组，再化简消去，即得结果.22a b -【详解】∵，，， sin sin 4sin a A b B c C -=1cos 4A =-∴22222241cos 24a b c b c a A bc ⎧-=⎪⎨+-==-⎪⎩消去得， ，即. 22a b -2132c bc =0c >∴6c b =6bc=故答案为：6.15．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________． 【答案】2：1【分析】根据已知求出圆柱和圆锥的表面积，可得答案． 【详解】∵圆柱的轴截面是边长为a 的正方形， 故圆柱的底面半径r=a ，母线长l=a ， 12故圆柱的表面积S=2πr （r+l ）=，232a π∵圆锥的轴截面是边长为a 的正三角形， 故圆锥的底面半径r=a ，母线长l=a ， 12故圆锥的表面积S=πr （r+l ）=，234a π故它们的表面积之比为：2：1， 故答案为2：1．【点睛】本题考查的知识点是旋转体的表面积，熟练掌握圆锥和圆柱表面积公式，是解答的关键． 16．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，__________. PFFC=【答案】##0.512【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果. 【详解】如图，连结交于点，连结.AC BE O OF ，E 为AD 的中点，//AD BC , 1=2AO AE OC BC =PA ∥平面EBF ，平面EBF 平面PAC ，PA 平面PAC ，OF =⊂PA ∥OF ，∴. 12PF AO FC OC ∴==故答案为：.12六、解答题17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，. a b 3π2a = 3b = 32m a b =- 2n a kb =+ (1)若，求实数的值；m n ⊥k (2)若，求实数的值. //m nk 【答案】(1)； 43(2).43-【分析】（1）由向量垂直，结合向量数量积的运算律有，根据已知条()2263420a k a b k b +-⋅-= 件即可求k 值.（2）由向量平行，即有实数使，进而可得，由与不共线，即可λλ= m n ()()322a k b λλ-=+ a b求k 值.【详解】（1）由，则，m n ⊥()()()2232263420m n a b a kb a k a b k b ⋅=-+=+-⋅-= 所以，解得：； 2262(34)23cos2303k k π⨯+-⨯⨯⨯-⨯=43k =（2），则存在实数使得，即，整理得：，//m nλλ= m n ()322a b a kb λ-=+ ()()322a k b λλ-=+ 又与不共线，则，解得：.a b 32020k λλ-=⎧⎨+=⎩43k =-18．在中，内角，，所对的边分别为，，，. ABC A A B C a b c (2)cos cos b a C c A -=(1)求角的大小；C(2)若___________，求的周长.c =ABC A 请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①；②③. 1sin sin 12A B =ABC A 23CA CB ⋅= 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分. 【答案】(1)3π(2)4+【分析】（1）首项根据正弦定理，可得，再根据三角形内角和以及(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=诱导公式可得，由此可求出角的大小；2sin cos sin B C B =C （2）根据正弦定理，三角形面积公式，以及数量积公式可知三个条件任选一个条件，都可以得到，再根据余弦定理即可求出的值，进而求出的周长. 43ab =a b +ABC A 【详解】（1）解：因为，所以， (2)cos cos b a C c A -=(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=所以. 2sin cos sin()sin B C A C B =+=而在中，.所以， ABC A sin 0B ≠1cos 2C =∵，则.()0,C π∈3C π=（2）解：由（1）可知，；4sin sin sin a b c A B C ====所以 4sin ,4sin a A b B ==若选①，即，则； 1sin sin 12A B =43ab =若选②，即；1sin 2ab C =43ab =若选③，即，则，所以； 23CA CB ⋅= 2cos 3ab C =43ab =故三个条件任选一个条件，都可以得到. 43ab =由余弦定理，得， 2222()22cos 60()3()4c a b ab ab a b ab a b =+--︒=+-=+-所以，则或（舍去）， ()216a b +=4a b +=4a b +=-所以的周长为.ABC A 4a b c ++=+19．已知向量满足，.,,a b c (1,3)a =-||b = ||c = （1）若，求的坐标；a c∥c （2）若，求与的夹角. ()2aa b ^-a b【答案】(1) 或.(2).c =-(c =- 4π【分析】(1)本题可以设出向量的坐标，然后根据分别列出等式，通过计算即可c ||c = a c∥得出结果；(2)首先可以通过以及计算出，再根据()2a a b ^- (1,3)a =- 20a b ×= |a |= ||b = 数量积公式即可得出结果． 【详解】（1）设(,)c x y =因为，①||c=2220x y +=因为，所以，②a c∥30y x--=联立①②，解得xy ìïíï=-îx y ì=ïíï=î故或.c =- (c =-（2）因为，所以，即， ()2a a b ^- ()20a a b ×-= 22a b a ×=又因为，所以，所以.(1,3)a =- |a |= 20a b ×=因为||b = cos ,a b 因为，所以与的夹角为. ,[0,]a b áñÎ p a b 4π【点睛】本题考查了向量的相关性质，主要考查向量的模长公式、向量的数量积、向量平行的相关性质，向量的数量积公式为，考查化归与转化思想，是中档题． cos ,a b a b a b ×=×× 20．如果四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.求证：MN 平面PAD .//【答案】证明见解析【分析】取PD 的中点G ，连接GA ，GN ，然后可证明四边形AMNG 为平行四边形，然后得到即可.//MN AG 【详解】证明：如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G 、N 分别是的边PD ，PC 的中点，PDC △∴，， //GN DC 12GN DC =∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴，， 12AM DC =//AM DC ∴，，//AM GN AM GN =∴四边形AMNG 为平行四边形，∴，//MN AG 又∵平面PAD ，平面PAD ，∴平面PAD.MN ⊄AG ⊂//MN 21．设函数，其中向量，. ()f x m n =⋅ ()2cos ,1m x =()()cos 2n x x x R =∈ (1)求的最小值；()f x (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为ABC a b c A B C ()2f A =1b =ABC的值. sin sin b c B C ++【答案】(1)；1-(2).2 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得()f x =，再由正弦函数性质求最小值. 2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得3A π=2c =a =，即可求目标式的值. 2sin sin sin a b c A B C===【详解】（1）由题设，， 2()2cos 2f x x x =+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以，当时的最小值为. sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()f x 1-（2）由，得：，则，又， ()2f A =2sin 2126A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,A π∈所以，故，则. 132,666A πππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭5266A ππ+=3A π=由. 11sin 122ABC S bc A c ==⨯⨯=A 2c =在△中，由余弦定理得：， ABC 22212cos 1421232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=所以a =由，则. 2sin sin sin a b c A B C ====2sin 2sin 2sin sin sin sin b c B C B C B C ++==++22．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．111ABC A B C -E F 1AC 11A C(1)求证：平面．//EF 11BCC B (2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．1BC G //EFG 11?ABB A 【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）根据中位线的性质可得A ，再根据线面平行的判定可得B 即可； 1//EF A EF 1//B （2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可1BC G ,GE GF 【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A .因为，所以E F 111AC AC 1//EF A 11//B B A A EF B .又因为平面，平面，所以平面． 1//B EF ⊄11BCC B 1B B ⊂11BCC B //EF 11BCC B （2）取的中点，连接，因为为的中点所以． 1BC G GE .GF E 1AC //GE AB 因为平面，平面，所以平面， GE ⊄11ABB A AB ⊂11ABB A //GE 11ABB A 同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平//EF 11ABB A EF EG E = EG EF ⊂EFG //EFG 面11ABB A 故在线段上存在一点，使平面平面． 1BC G //EFG 11ABB A。