四川省成都七中2020届高三二诊模拟考试 理科数学 含答案

成都七中高2020届高三二诊数学模拟考试（理科）（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0652<--=x xx A ，{}02<-=x x B ，则=B A I （ ）A ．{}23<<-x x B ．{}22<<-x x C ．{}26<<-x x D ．{}21<<-x x2．设i z i -=⋅+1)1(，则复数z 的模等于（ ）A ．2B ．2C ．1D ．3 3．已知α是第二象限的角，43)tan(-=+απ，则=α2sin （ ） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．2524-4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的32，并且球的表面积也是圆柱表面积的32”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为π24，则该圆柱的内切球体积为（ ）A ．π34B ．π16C ．π316 D ．π3326．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气 质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )A ．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月的空气质量最差7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“2312a a a <+”是“012<-n S ”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）A ．[]3,5-B ．[]3,2C ．[)+∞,2D ． (]3,∞-9．设函数1sin )(22+=x xx x f ，则)(x f y =，[]ππ,-∈x 的大致图象大致是的（ ）ABCD10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．3B ．21 C ．21 D ．1957 11．如图示，三棱椎ABC P -的底面ABC 是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，且2===AB PB PA ，3=PC ，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．31B ．36C ．33D ．3212．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，︒=∠60A ，O 为ABC ∆的外心，若AC y AB x AO +=，R y x ∈,，则=+y x 32（ ）A ．2B ．35C ．34 D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．PCA13．在6)(a x +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0>x 时，x x x f 2)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为__________．15．若对任意R x ∈，不等式0≥-kx e x 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，延长2AF交椭圆C 于点B ，若△1ABF 为等腰三角形，则椭圆的离心率=e ______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题 考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11=a ，若1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设*)(1121N n a b n n ∈-=+，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：41<n T ． 18．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年 的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月， 从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.19．如图示，在三棱锥BCD A -中，2===BD BC AB ，32=AD ，2π=∠=∠CBD CBA ，点E 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅱ）若点F 为BD 的中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)1,0(，离心率为23，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足=++，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：OC AB k k ⋅为定值； （Ⅱ）求AB 的取值范围．21．设函数ax x e x f x --=221)(，R a ∈． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）1≤a 时，若21x x ≠，2)()(21=+x f x f ，求证：021<+x x ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. （Ⅰ）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围． 23．已知a x x x f ++-=1)(，R a ∈．(Ⅰ) 若1=a ，求不等式4)(>x f 的解集； （Ⅱ）)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，不等式)(1410x f mm >-+成立，求实数a 的取值范围．成都七中高2020届高三二诊模拟考试 数学理科参考解答13．2 14．()),3(0,3+∞-Y15．[]e ,0 1 6．33三、填空题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………………4分 所以()12121-=-+=n n a n()212n a a n S n n =+=…………6分(Ⅱ)因为()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ………8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n …10分()411414111141<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n T n ……12分 18．解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.……2分（Ⅱ）由题意X 的所有可能值为0,1,2，……3分记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X PAB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=， ……6分所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.……8分（Ⅲ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，则327031000()0.02C P D C =≈.……10分回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……12分 19．(Ⅰ)证明：（第一问6分，证明了AD BC ⊥给4分）ACD BCE ACD AD BCE AD E BD BC ADBE AD BC ABD AD ED AE BD AB ABD BC CBD CBA 面面面面面面⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⇒⎭⎬⎫==⊥⇒=∠=∠I 2π(Ⅱ)解：以点B 为坐标原点,直线BC ,BD 分别为 x 轴,y 轴,过点B 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系，则()0,0,2=→BC ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→23,21,0BE ,()0,1,2-=→CF ,()3,2,0=→BF 设面BCE 的一个法向量()1111,,z y x n =→，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BE n BC n 11⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒0232102111z y x ()1,3,0111-=−−→−→=n z 令…9分同理可得平面ACF 的一个法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,3,232n …10分31315,,cos 222222=⋅=><n n n n n n .……11分故平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为31315.……12分20.（Ⅰ）证明：依题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a a c b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1422b a ， 所以椭圆方程为1422=+y x ．…2分设()11,y x A ，()11,y x B ，()11,y x C ， 由O 为ABC ∆的重心123123,;x x x y y y ⇒+=-+=-又因为()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ，……4分()312121212123121;.44-++⇒==-==⇒=--++AB OC AB OC y y y x x y y k k k k x x y y x x x ……6分(Ⅱ)解 ①当AB 的斜率不存在时：1212313,02,0=+=⇒=-=x x y y x x y111,||⇒=±=⇒=x y AB 代入椭圆得……7分 ②当AB 的斜率存在时，设直线为t kx y +=，这里0≠t 由⇒⎩⎨⎧=++=4422y x tkx y ()22222418440041;,∆>=>++-⇒++k x kt t t k x ……8分222228211,44,;4141-⎛⎫⇒⇒ ⎪⎝≥+-+⎭=k t t ktt C k k 代入椭圆方程：12||;-==AB x x ……11分综上,AB 的范围是[]32,3. ……12分21. 解：（Ⅰ）a x e x f x--=')(，令)()(x f x g '=.……1分则1)(-='x e x g ，令01)(=-='xe x g 得0=x .当)0,(-∞∈x 时， ,0)(<'x g 则)(x g 在)0,(-∞单调递减；当),0(+∞∈x 时， ,0)(>'x g 则)(x g 在),0(+∞单调递增.所以a g x g -==1)0()(min .……3分当1≤a 时，01)(min ≥-=a x g ， 即0)()(≥'=x f x g ，则f(x)在R 上单调递增; ……4分 当1>a 时，01)(min <-=a x g ，易知当-∞→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，+∞→)(x g ，由零点存在性定理知，21,x x ∃，不妨设21x x <，使得.0)()(21==x g x g 当),(1x x -∞∈时，0)(>x g ，即 0)(>'x f ； 当),(21x x x ∈时，0)(<x g ，即 0)(<'x f ； 当),(2+∞∈x x 时，0)(>x g ，即 0)(>'x f .所以)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在),(21x x 单调递减. ……6分（Ⅱ）证明：构造函数2)()()(--+=x f x f x F ，0≥x .22121)(22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=-ax x e ax x e x F x x ，0≥x . 22--+=-x e e x xx e e x F x x 2)(--='-0222)(=-⋅≥-+=''--x x x x e e e e x F （当0=x 时取=）.所以)(x F '在[)+∞,0上单调递增，则0)0()(='≥'F x F ,所以)(x F 在[)+∞,0上单调递增，0)0()(=≥F x F .……9分这里不妨设02>x ，欲证021<+x x ， 即证21x x -< 由（Ⅰ）知1≤a 时，)(x f 在R 上单调递增，则有)()(21x f x f -<,由已知2)()(21=+x f x f 有)(2)(21x f x f -=, 只需证)()(2)(221x f x f x f -<-= ,即证2)()(22>-+x f x f ……11分 由2)()()(--+=x f x f x F 在[)+∞,0上单调递增，且02>x 时，有02)()()(222>--+=x f x f x F ,故2)()(22>-+x f x f 成立，从而021<+x x 得证. ……12分 22．【解】(Ⅰ )直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数), 消去参数t 可得l0y -+=;曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=,可得C 的直角坐标方程为22430xy x +-+=.…………5分(2)C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,所以,圆心C 到l的距离为d == 所以点P 到l的距离的取值范围是1⎤⎥⎣⎦.………………10分 23、解: (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x ……4分2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞Y ； (5)（Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[]m m m m m m m m m m -+-+=-+-+=-+1145)1()141(141911425=-⋅-+≥m mm m （当31=m 时等号成立）……8分依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则有91<+a解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(-…………10分。

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z（1+i）2=2-i（i为虚数单位），则|z|为（）A. 2B.C.D. 12.设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A. {x|-2≤x＜1}B. {x|0＜x≤1}C. {x|-1≤x≤1}D. {x|x＜1}3.在（）n的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则n=（）A. 9B. 8C. 7D. 64.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A. B. C. 2 D. 25.在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（）A. B. C. D.6.如果执行如图所示的程序框图，输出的S=110，则判断框内应填入的条件是（）A. k＜10？B. k≥11？C. k≤10？D. k＞11？7.已知函数f（x）=x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g （x）的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则|x1-x2|的值可能为（）A. B. C. D.8.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A. B. C. 3 D.9.给出下列说法：①“x=”是“tan x=1”的充分不必要条件；②命题“∃x0∈R，x0+≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+＞2”．③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30种．其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A.B.C.D.11.设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（f（x））-2恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a的取值范围是（）A. （-∞，-1）B. （0，+∞）C. （0，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______．14.已知实数x，y满足，若x-y的最大值为6，则实数m=______．15.已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的体积为8π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．16.已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x-2）2+y2=1于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=，设b n=，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n=b n•2n-1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n-1≤λc n恒成立的λ的取值范围．18.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近日需求量1518212427频数108732（）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X（单位：元）（ⅰ）若日需求量为15个，求X；（ⅱ）求X的分布列及其数学期望相关公式：==，=-19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）求二面角A1-BC-B1的余弦值．20.如图，已知椭圆C：的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且的最小值为，离心率为，直线l与椭圆C交于不同两点A、、B都在x轴上方，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；Ⅲ对于动直线l，是否存在一个定点，无论如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=2x lnx+2x，g（x）=a（x-1）（a为常数，且）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1=α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2=与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知a＞0，b＞0，c＞0，设函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a，x∈R（Ⅰ）若a=b=c=1，求不等式f（x）＜5的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为1，证明：++≥18（a+b+c）-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘法、除法运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由z（1+i）2=2-i，得，∴，故选：C．2.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，∴C U M={x|-1≤x≤1}，∵集合N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|0＜x≤1}．故选：B．由全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，先求出C U M，再由集合N能够求出N∩（∁U M）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：B解析：【分析】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，考查运算求解能力，属于中档题．先写出其通项，再令r=3，根据第四项的系数为-7，即可求出n的值．【解答】解：的二项展开式的通项为，∵第四项的系数为-7，∴r=3，∴C n3（-2-1）3=-7，解得n=8，故选：B．4.答案：B解析：解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sin A=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos A=1+4-2=3，则BC=．故选：B．利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sin A，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5.答案：B解析：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|-π≤a≤π，-π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2-π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选：B．先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．6.答案：C解析：解：由程序可知，该程序是计算，由S=k（k+1）=110，得k=10，则当k=10时，k=k+1=10+1=11不满足条件，所以条件为k≤10．故选：C．阅读程序框图，可知程序执行的是求从2开始的前k个偶数的和，利用等差数列求和公式求出前k个偶数的和，由和等于110算出k的值，则判断框中的条件可求．本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．7.答案：B解析：解：函数f（x）=x+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y=2sin（4x-）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g（x）=2sin（4x-）+1的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则4x-=+2kπ，k∈Z；解得x=+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1-x2|的值为T的整数倍，且T==．故选：B．化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y=g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）=9求得x1、x2满足的条件，再求|x1-x2|的可能取值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题．8.答案：C解析：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．9.答案：C解析：【分析】由充分必要条件的定义和正切函数值，可判断①；由特称命题的否定为全称命题，可判断②；先考虑将四人分为三组2，1，1，再安排到三个班，去除甲乙在同一个班，即可判断③．本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和命题的否定，以及分组的方法和排列组合应用题的解法，考查运算能力，属于基础题．【解答】①，“x=”可得“tan x=1”，反之由tan x=1，可得x=kπ+，k∈Z，“x=”是“tan x=1”的充分不必要条件，故①正确；②，命题“∃x0∈R，x0+≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+＜2”，故②错误；③，将甲乙丙丁四个人分为2，1，1，可有C=6种分法，再安排到三个班有6×6=36种方法，考虑甲乙分到同一个班，可得6种方法，即有甲乙不在同一个班的方法数为30，故③正确．故选：C．10.答案：A解析：【分析】本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥A-BCD，把它放入长方体中，如图所示：则三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD=S△BCD•h=××2×4×2=，三棱锥外接球的直径为2R=AC，所以4R2=AC2=22+22+42=24，解得R=；所以外接球的体积为V球=πR3=•=8π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为=．故选A.11.答案：D解析：解：设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e======，故选：D．设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．12.答案：C解析：解：作出函数f（x）=的图象如图，由y=的导数为y′=，当x＞1时，y=递增；当0＜x＜1时，函数y=递减，可得x=1处y=取得极小值1，y=ax+3恒过定点（0，3），设t=f（x），可得g（x）=f（t）-2，当a≤0时，f（t）=2有两个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），t=f（x）不可能有五个实根；当a＞0时，f（t）=2有三个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），还有一个小于0，t=f（x），t3＜0时，最小的零点x5＜-4，由at3+3=2，即t3=-，ax5+3=t3=-，可得3-4a＞-，可得4a2-3a-1＜0，解得-＜a＜1，由a＞0可得0＜a＜1．故选：C．画出f（x）的图象，设t=f（x），可得g（x）=f（t）-2，结合函数g（x）=f（f（x））-2有5个零点，对a分类讨论求解．本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题．13.答案：4解析：解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．14.答案：8解析：解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．故答案为：8．依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-y=6，结合图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：设球O的半径为R，则，得，如下图所示，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，易知，PA⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴，∴，∵E为BC的中点，则，∵M、N分别为PA、AB的中点，则MN∥PB，且，同理可得NE∥AC，且，所以，异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，且，在△MNE中，，，ME=3，由余弦定理得．因此，异面直线PB与AC所成成的余弦值为．故答案为：．作出图形，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，利用中位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，并计算出△MNE各边边长，利用余弦定理计算出cos∠MNE，即可得出答案．本题考查球体体积，考查异面直线的定义，同时也考查了余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．16.答案：13解析：解：∵y2=8x，焦点F（2，0），准线l 0：x=-2，由圆：（x-2）2+y2=1，圆心（2，0），半径为1．由抛物线的定义得：|AF|=x A+2，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A+1同理：|CD|=x D+1当AB⊥x轴时，则x D=x A=2，∴|AB|+4|CD|=15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x-2）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，∴x A x D=4，x A+x D=，∴|AB|+4|CD|=（x A+1）+4（x D+1）=5+x A+4x D≥5+2=13．当且仅当x A=4x D，即x A=4，x D=1时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为13．故答案为：13．由抛物线的焦点弦公式：|AF|=x A+2，可得|AB|=x A+2同理：|CD|=x D+1，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得|AB|+4|CD|的最小值．本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.答案：（I）证法一：由条件知，，所以，，所以b n+1-b n=1，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．证法二：由条件，得=，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，则，①②由①-②得，==-1+（1-n）•2n∴∵c n＞0，∴S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．∵，∴λ≥2．解析：（I）证法一：由条件两边取倒数可得：，可得b n+1-b n=1，即可证明．证法二：由条件代入递推关系得=，即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减法即可得出S n．S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．代入即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式求和公式、错位相减法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）根据近30天的数据，==21，==6，=15×10+18×8+21×7+24×3+27×2=567，=152+182+212+242+272=2295，∴====-=-0.7，∴=-=6+0.7×21=20.7．所以回归方程为=-0.7x+20.7．（2）（Ⅰ）若日需求量为15个，则X=15×（10-4）+（24-15）×（2-4）=72元，（Ⅱ）若日需求量为18个，则X=18×（10-4）+（24-18）×（2-4）=96元，若日需求量为21个，则X=21×（10-4）+（24-21）×（2-4）=120元，若日需求量为24个或者27个，则X=24×（10-4）=144．所以X的分布列为：X7296120144P所以E（X）=72×+96×+120×+144×=101.6元．解析：（1）求出，，∑x i y i，代入公式，求出，即可．（2）（Ⅰ）若日需求量为15，则可以以10元每个卖出15个，剩下的9个以2元每个卖出，即可求出X的值，（Ⅱ）计算出其他的日需求量所对应的X，列出分布列，求出期望即可．本题考查了随机变量的概率分布列，回归方程的求法，主要侧重考查计算，属中档题．19.答案：（1）证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，所以FG∥A1B1；又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1；又AE∥A1G且AE=A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形，则EG∥AA1；又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1；又EG FG=G，EG、FG平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1；又EF⊂平面EFG，所以直线EF∥平面ABB1A1．（2）解：令AA1=A1C=AC=2，由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E⊂平面A1AC，则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直；以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），A（0，-1，0），．所以，，，令平面A1BC的法向量为=（x1，y1，z1），由则，令，则=（，，1）；令平面B1BC的法向量为=（x2，y2，z2），由则，令，则=（，，-1）；由cos==，故二面角A1-BC-B1的余弦值为．解析：本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，推出FG∥A1B1．证明FG∥平面ABB1A1．推出EG∥AA1．得到EG∥平面ABB1A1．证明平面EFG∥平面ABB1A1．然后证明直线EF∥平面ABB1A1．（2）连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1BC的法向量，平面B1BC的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A1-BC-B1的余弦值即可．20.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），∵离心率为，∴，∴a=，∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，∴c=1，∴a2=b2+c2=b2+1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°．∴k BF=-1，∴直线BF为：y=-（x+1）=-x-1，代入，得3x2+4x=0，解得x=0或x=-，代入y=-x-1，得，舍，或，∴B（-，）．∴=，∴直线AB的方程为：y=．（Ⅲ）存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．证明：∵∠OFA+∠OFB=180°，∴B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），代入，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由韦达定理得，，由直线AB的斜率，得AB的方程为：y-y1=（x-x1）令y=0，得：x=x1-y1•，y1=k（x1+1），-y2=k（x2+1），===≥=-2，∴对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），由离心率为，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，求出a2=2，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），得k AF==1，从而k BF=-1，进而直线BF为：y=-x-1，代入，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（Ⅲ）由∠OFA+∠OFB=180°，知B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），由，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由此利用韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能求出对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，属于难题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.答案：解：（1）记F（x）=f（x）-g（x）=2x lnx+（2-a）x+a，则F′（x）=2ln x+4-a，当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）=2，函数y=F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，令F′（x）=0，，且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，所以，F（x）min=F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min=F（）=0，化简得a-=0，记h（a）=a-，h′（a）=1-＜0，所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，又h（6）=6-2e＞0，h（7）=7-2e＜0，所以a∈（6，7），即n=6．（2）由（1）得：当x＞3时，f（x）≥g（x）=a（x-1）＞6（x-1），只要证明：x＞3时，6（x-1）,即e ln（x-2）-＞0，记G（x）=e ln（x-2）-，则G′（x）=-=，记φ（x）=3ex2-（6e+4）x+3e+8，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=1+＜3，且φ（3）=12e-4＞0，所以当x＞3时，φ（x）＞0，即G′（x）＞0，所以G（x）在区间（3，+∞）上单调递增，从而G（x）＞G（3）=0，即e ln（x-2）-＞0，成立，所以f（x）成立．解析：本题考查利用导数求函数单调性、证明函数不等式，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，属于较难题．（1）记F（x）=f（x）-g（x）=2x lnx+（2-a）x+a，则F′（x）=2ln x+4-a；当a≤4时，F（x）＞F（1）=2，函数y=F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，可得F（x）min=F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min=F（）=0，化简得：a-=0，记h（a）=a-，利用导数可得a∈（6，7），即n=6．（2）由（1）得：当x＞3时，f（x）≥g（x）=a（x-1）＞6（x-1），只要证明：x＞3时，6（x-1）即e ln（x-2）-＞0即可，记G（x）=e ln（x-2）-，利用导数既可证明．22.答案：解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），转换为直角坐标方程为：x-y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于0＜α＜，所以：|OP|=4cosα，|OQ|==．所以：==1，所以：tanα=1，由于：0＜α＜，故：，所以：|OP|=4cos．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，而|x-1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，而-2、2对应点到1、-1对应点的距离之和正好等于4，故它的解集为（-2，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a的最小值为|b+c|+a=b+c+a=1，∴（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c）=（+4+9）（a+b+b+c+a+c）≥•=18=18（a+b+c）．解析：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，利用绝对值的意义求得它的解集．（Ⅱ）（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c），再利用柯西不等式求得要证的结论．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．。

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{x |x 2﹣5x ﹣6＜0}，B ＝{x |x ﹣2＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |﹣3＜x ＜2}B ．{x |﹣2＜x ＜2}C ．{x |﹣6＜x ＜2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}2．（5分）设（1+i ）•z ＝1﹣i ，则复数z 的模等于（ ）A ．√2B ．2C ．1D ．√3 3．（5分）已知α是第二象限的角，tan(π+α)=−34，则sin2α＝（ ）A ．1225B ．−1225C ．2425D ．−24254．（5分）设a ＝log 30.5，b ＝log 0.20.3，c ＝20.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a5．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（ ）A ．43πB ．16πC ．163πD ．323π6．（5分）随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差7．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1+a 3＜2a 2”是“S 2n ﹣1＜0”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．（5分）设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z ＝x +y 的取值范围是（ ）A ．[﹣5，3]B ．[2，3]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，3] 9．（5分）设函数f(x)=x 2sinx 2，则y ＝f （x ），x ∈[﹣π，π]的大致图象大致是的（ ） A ． B ．C ．D ．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c =2√3，bsinA =asin(π3−B)，则sin C ＝（ ）A ．√37B ．√217C ．√2112D ．√571911．（5分）如图示，三棱椎P ﹣ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，且P A＝PB ＝AB =√2，PC =√3，则PC 与面P AB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．√63C ．√33D ．√23 12．（5分）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，O 为△ABC 的外心，若AO →=xAB →+yAC →，x ，y ∈R ，则2x +3y ＝（ ）A ．2B ．53C ．43D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在（x+a）6的展开式中的x3系数为160，则a＝．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式f （x）＞x的解集用区间表示为．15．（5分）若对任意x∈R，不等式e x﹣kx≥0恒成立，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知椭圆Γ：x2a +y2b=1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，A为椭圆Γ的上顶点，延长AF2交椭圆Γ于点B，若△ABF1为等腰三角形，则椭圆Γ的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17．（12分）设数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，a1＝1，若a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设b n=1a n+12−1(n∈N∗)，设数列{b n}的前n项和T n，证明：T n＜14．18．（12分）2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放．从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至209年12月270人中期跟随用户2020年1月至20121年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）．（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．19．（12分）如图示，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝BC ＝BD ＝2，AD =2√3，∠CBA =∠CBD =π2，点E 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅱ）若点F 为BD 的中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点（0，1），离心率为√32，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足OA →+OB →+OC →=0→，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：k AB •k OC 为定值；（Ⅱ）求|AB |的取值范围．。

2020届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合,,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】进行交集、补集的运算即可．【详解】∁U B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2．已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出c＝2，再根据1+b2＝c2＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程. 【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，∵1+b2＝c2＝4，∴b，∴双曲线C的渐近线方程为y x，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.3．已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．－1 D．1【答案】A【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4．已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【详解】条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

n ⎢ ⎥ 1 1 2n成都七中高 2020 届高三二诊模拟考试 数学理科参考解答一、选择题 二、填空题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C D A D DA CB B A B13．2 14． (- 3,0)Y (3,+∞)三、填空题17．解：(Ⅰ)设 {a n }的公差为 d ,由题意有15． [0, e ]1 6．3 3⎧a 1 = 1 ⎧a 1 = 1 ⎧a 1 = 1 ⎨ 2 ⇒ ⎨ 且d ≠ 0 ⇒ ⎨ ………………4 分 ⎩a 2 = a 1 ⋅ a 5 ⎩(a 1 + d ) = a 1 ⋅ (a 1 + 4d )⎩d = 2所以 a n = 1+ 2(n -1) = 2n -1S n = n (a 1 + a n ) 2= n 2…………6 分1 1 (Ⅱ)因为 b n =2= 1 ⎛ 1 = - 1 ⎫ ⎪ ………8 分 a n +1 -1 4n (n +1) 4 ⎝ n n +1 ⎭1 ⎡⎛ 1 ⎫ ⎛ 11 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 所以 T = 1 - ⎪ + - ⎪ + ... + - 42 23 n n ⎪ …10 分 1 ⎣⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ + ⎭⎦⎛ T = 1 - 1 ⎫ 1 ⎪ = - < 1 ……12 分4 ⎝ n + 1 ⎭ 44(n + 1) 4 18．解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到5G 的 270 + 530 概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即（Ⅱ）由题意 X 的所有可能值为 0,1, 2 ，……3 分1000= 0.8 .……2 分 记事件 A 为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 事件 B 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 由题意可知，事件 A ， B 相互独立，且 P ( A ) = 1 - 40% = 0.6 ， P (B ) = 1 - 45% = 0.55 ，所以 P ( X = 0) = P ( A B ) = (1 - 0.6)(1- 0.55) = 0.18，P ( X = 1) = P ( A B + AB ) = P ( AB ) + P ( A B ) = P ( A )(1 - P (B )) + (1 - P ( A )P (B )= 0.6 ⨯ (1 - 0.55) + (1 - 0.6) ⨯ 0.55 = 0.49 ，P ( X = 2) = P ( AB ) = 0.6 ⨯ 0.55 = 0.33 ，……6 分所以 X 的分布列为X0 1 2P0.180.490.33.⎢ ⎦又因为x2 +4y2 = 4, x2 +4y2 = 4 ⇒(x+x )(x-x )+4(y+y )(y-y )= 0 ，……4 分1 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2⇒k =y1-y2 =-x1+x2 ;k=y3 =y1+y2 ⇒k k=-1.……6 分x1-x24(y1 +y2 )x3x1+x24AB OC AB OC(Ⅱ)解①当AB 的斜率不存在时：x1 =x2, y1 +y2 =0 ⇒x3 =-2x1, y3 = 0⇒代入椭圆得x=±1, y =± ⇒| AB |=……7 分1 1 2②当AB 的斜率存在时，设直线为y =kx +t ，这里t ≠0⎧y=kx +t由⎨⎩x 2 + 4 y 2 = 4⇒(4k2 +1)x2 +8ktx +4t2 -4 =0,∆> 0 ⇒4k2 +1>t2; ……8 分⇒C⎛ 8kt,-2t⎫⇒代入椭圆方程：k 2 =t 2 -1, t2 ≥1;4k 2 +1 4k 2 +1⎪ 4 4⎝|AB| x -x |=⎭; ……11 分1 2综上, AB 的范围是[ 3,23].……12 分21. 解：（Ⅰ）f '(x) =e x -x -a，令g(x) = f '(x).……1 分则g'(x) =e x -1，令g'(x) =e x -1= 0 得x =0当x ∈ (-∞,0) 时，当x ∈ (0,+∞) 时，g'(x) < 0, 则g(x) 在(-∞,0) 单调递减；g'(x) > 0, 则g(x) 在(0,+∞) 单调递增.所以gm in(x) =g(0) =1-a .……3 分当a ≤ 1时，gm in(x) = 1 -a ≥0，即g(x) = f '(x) ≥ 0 ，则f(x)在R 上单调递增; ……4 分当a >1时，gm in(x) = 1 -a <0，易知当x →-∞时，g(x) →+∞；当x →+∞时，g(x) →+∞，由零点存在性定理知，∃x1, x2，不妨设x1<x2，使得g(x1) =g(x2) =0.当x ∈ (-∞, x1)时，g(x) > 0 ，即当x ∈ (x1, x2)时，g(x) < 0 ，即当x ∈ (x2,+∞) 时，g(x) > 0 ，即f '(x) > 0 ；f '(x) < 0 ；f '(x) > 0 .所以f (x) 在(-∞, x1) 和(x2,+∞) 上单调递增，在(x1, x2) 单调递减. ……6 分（Ⅱ）证明：构造函数F (x) = f (x) +f (-x) - 2 ，x ≥ 0 .F ( x) =e x -1x 2 -ax +⎡e -x -1x 2 +ax⎤- 2 ，x ≥ 0 .2 ⎣ 2 ⎥=e x +e-x -x2 -2F'(x) =e x -e-x - 2xF''(x) =e x +e-x - 2 ≥2e x ⋅e-x- 2 =0 （当x = 0 时取=）.所以F '(x) 在[0,+∞)上单调递增，则F '(x) ≥F '(0) = 0 ,。

成都七中高2020届高三二诊模拟考试数 学（理科）（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0652<--=x x x A ，{}02<-=x x B ，则=B A I （ ） A ．{}23<<-x x B ．{}22<<-x x C ．{}26<<-x x D ．{}21<<-x x 2．设i z i -=⋅+1)1(，则复数z 的模等于（ ）A ．2B ．2C ．1D ．33．已知α是第二象限的角，43)tan(-=+απ，则=α2sin （ ） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．2524-4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c << 5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的32， 并且球的表面积也是圆柱表面积的32”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积 为π24，则该圆柱的内切球体积为（ ）A ．π34B ．π16C ．π316D ．π332 6．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气 质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气 质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )。

成都七中高2020届高三二诊数学模拟考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A. {}32x x -<< B. {}22x x -<< C. {}62x x -<<D. {}12x x -<<2.设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )A.B. 2C. 1D.3.已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A.1225B. 1225-C.2425D. 2425-4.设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<5.阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A.43π B. 16πC.163π D.323π 6.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A. 1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B. 第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C. 8月是空气质量最好的一个月D. 6月份的空气质量最差.7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要8.设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y=+取值范围是（ ）A []5,3-B. []2,3C. [)2,+∞D. (],3-∞9.设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A.B.C.D.10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）的.A.B.C.D.11.如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且PA PB AB ==PC =PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A.13B.C.D.312.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u ru u u ru u u r，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A. 2B.53C.43D.32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在6()x a +的展开式中的3x 系数为160，则a =_______．14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．15.若函数()0x f x e ax =->恒成立,则实数a 的取值范围是_____.16.已知椭圆Г：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长AF 2交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =，若1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求n a 及n S ；（2）设211(*)1n n b n N a+=∈-，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：14n T <． 18.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.19.如图所示，在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，AD =2CBA CBD π∠=∠=，点EAD 中点．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（2）若点F 为BD 中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点(0,1)，离心率为2，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，O 为坐标原点．（1）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值； （2）求AB 的取值范围．21.设函数21()2x f x e x ax =--，a R ∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）1a ≤时，若12x x ≠，12()()2f x f x +=，求证：120x x +<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=. （1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.23.已知()1f x x x a =-++()a R ∈. （Ⅰ） 若1a =，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，014()1f x m m+>-，求实数a 取值范围.的参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D2.C3.D4.A5.D6.D7.A8.C9.B 10.B 11.A 12.B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 214. (3,0)(3,)-⋃+∞ 15. 0a e ≤<16.3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17.（1）设{}n a 的公差为d ，由题意有122151a a a a =⎧⎨=⋅⎩()121111(4)a a d a a d =⎧⎪⇒⎨+=⋅+⎪⎩， 且0d ≠112a d =⎧⇒⎨=⎩，所以()12121n a n n =+-=-，()122n n n a a S n +==；（2）因为()211111114141n n b a n n n n +⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭，所以1111111...42231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()111111414414n T n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭. 18.（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+- 0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为故X数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 19.（1）因为2CBA CBD π∠=∠=，所以BC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥．因为AB BD =，点E 为AD 中点，所以BE AD ⊥． 因为BC BE B =I ，所以AD ⊥平面BCE ．因为AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCE ．（2）以点B 为坐标原点，直线,BC BD 分别为x 轴，y 轴，过点B 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，(0,A -，()2,0,0C ，()0,2,0D，10,2E ⎛ ⎝⎭，()0,1,0F ，()2,0,0BC =u u u r，10,22BE ⎛= ⎝⎭u u u r ，()2,1,0CF =-u u u r，(0,AF =u u u r ，设平面BCE 的一个法向量()111,,n x y z =r ，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v即11120,10,2x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 取11z =，则10x =，1y =()0,n =r，设平面ACF 的一个法向量()222,,m x y z =u r ，则0,0,m AF m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v即222220,20,y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取22z =，则2x =，2y =2m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r ， 设平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角为θ，则cos cos n m θ=⋅==r u r所以平面BCE 与平面ACF．20.（1）依题有2221b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2241a b ⎧=⇒⎨=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由O 为ABC ∆的重心123x x x ⇒+=-，123y y y +=-；又因为221144x y +=，()()()()2222121212124440x y x x x x y y y y +=⇒+-++-=，()121212124AB y y x x k x x y y -+⇒==--+，31231214OC AB OC y y y k k k x x x +==⇒=-+，（2）当AB 的斜率不存在时：12x x =，123102y y x x +=⇒=-，30=y ， 代入椭圆得，11x =±，1||y AB =⇒= 当AB 的斜率存在时：设直线为y kx t =+，这里0t ≠，由2244y kx t x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x ktx t +++-=，22041k t ∆>⇒->， 根据韦达定理有122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -⋅=+，122241t y y k +=+， 故2282,4141kt t C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入椭圆方程有2221144k t t =-⇒≥，又因为12||AB x x -==，综上，AB的范围是.21.（1）()x f x e x a '=--，令()()g x f x '=，则()1x g x e '=-，令()10xg x e -'==得0x =，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<则()g x 在(,0)-∞单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>则()g x 在(0,)+∞单调递增，所以min ()(0)1g x g a ==-，当1a ≤时，min ()10g x a =-≥，即()()0g x f x '=≥，则()f x 在R 上单调递增，当1a >时，min ()10g x a =-<，易知当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，由零点存在性定理知，12,x x ∃，不妨设12x x <，使得12()()0g x g x ==，当1(,)x x ∈-∞时，()0>g x ，即()0f x '>，当12(,)x x x ∈时，()0<g x ，即()0f x '<，当2(,)x x ∈+∞时，()0>g x ，即()0f x '>，所以()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减；（2）证明：构造函数()()()2F x f x f x =+--，0x ≥， 2211()222x x F x e x ax e x ax -⎡⎤=--+-+-⎢⎥⎣⎦，0x ≥， 整理得2()2x x F x e e x -=+--，()2x x F x e e x --'=-，()220x x F x e e -''=+-≥=（当0x =时等号成立）， 所以()F x '在[)0,+∞上单调递增，则()(0)0F x F ''≥=， 所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()(0)0F x F ≥=，这里不妨设20x >，欲证120x x +<，即证12x x <-由（1）知1a ≤时，()f x 在R 上单调递增，则需证12()()f x f x <-，由已知12()()2f x f x +=有12()2()f x f x =-，只需证122()2()()f x f x f x =-<-，即证22()()2f x f x +->，由()()()2F x f x f x =+--在[)0,+∞上单调递增，且20x >时，有222()()()20F x f x f x =+-->，故22()()2f x f x +->成立，从而120x x +<得证. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.（1）直线l的参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t∴l0y -+=.曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=， 利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1∴圆心C 到l的距离为d ==， ∴点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 23.（Ⅰ）当1a =时，2,1()112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，1()424x f x x ≥⎧>⇔⎨>⎩，或1124x -<<⎧⎨>⎩，或124x x ≤-⎧⎨->⎩2x ⇔>，或2x <-所以不等式()4f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞U ； （Ⅱ）因为()1()(1)1f x x x a x a x a =-++≥+--=+ (0,1)m ∀∈，又[]1414()(1)11m m m m m m+=++--- 4151m m m m-=++-59≥+=（当13m =时等号成立）， 依题意，(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，有014()1f x m m+>-， 则19a +<，解之得108a -<<，故实数a 的取值范围是(10,8)-.。

成都七中高2020届高三二诊数学模拟考试（理科）（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0652<--=x xx A ，{}02<-=x x B ，则=B A （ ）A ．{}23<<-x x B ．{}22<<-x x C ．{}26<<-x x D ．{}21<<-x x2．设i z i -=⋅+1)1(，则复数z 的模等于（ ）A ．2B ．2C ．1D ．3 3．已知α是第二象限的角，43)tan(-=+απ，则=α2sin （ ） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．2524-4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的32，并且球的表面积也是圆柱表面积的32”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为π24，则该圆柱的内切球体积为（ ）A ．π34B ．π16C ．π316 D ．π3326．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气 质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )A ．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月的空气质量最差7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“2312a a a <+”是“012<-n S ”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）A ．[]3,5-B ．[]3,2C ．[)+∞,2D ． (]3,∞-9．设函数1sin )(22+=x xx x f ，则)(x f y =，[]ππ,-∈x 的大致图象大致是的（ ）ABCD10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．1957 11．如图示，三棱椎ABC P -的底面ABC 是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，且2===AB PB PA ，3=PC ，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．31B ．36C ．33 D ．32 12．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，︒=∠60A ，O 为ABC ∆的外心，若AC y AB x AO +=，R y x ∈,，则=+y x 32（ ）A ．2B ．35C ．34 D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．PCBA13．在6)(a x +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0>x 时，x x x f 2)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为__________．15．若对任意R x ∈，不等式0≥-kx e x 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，延长2AF交椭圆C 于点B ，若△1ABF 为等腰三角形，则椭圆的离心率=e ______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题 考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11=a ，若1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设*)(1121N n a b n n ∈-=+，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：41<n T ． 18．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年 的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月， 从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.19．如图示，在三棱锥BCD A -中，2===BD BC AB ，32=AD ，2π=∠=∠CBD CBA ，点E 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅱ）若点F 为BD 的中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)1,0(，离心率为23，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0=++OC OB OA ，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：OC AB k k ⋅为定值； （Ⅱ）求AB 的取值范围．21．设函数ax x e x f x --=221)(，R a ∈． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）1≤a 时，若21x x ≠，2)()(21=+x f x f ，求证：021<+x x ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. （Ⅰ）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围． 23．已知a x x x f ++-=1)(，R a ∈．(Ⅰ) 若1=a ，求不等式4)(>x f 的解集； （Ⅱ）)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，不等式)(1410x f mm >-+成立，求实数a 的取值范围．成都七中高2020届高三二诊模拟考试 数学理科参考解答13．2 14．()),3(0,3+∞-15．[]e ,0 1 6．33三、填空题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………………4分 所以()12121-=-+=n n a n()212n a a n S n n =+=…………6分(Ⅱ)因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ………8分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n …10分()411414111141<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n T n ……12分 18．解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.……2分（Ⅱ）由题意X 的所有可能值为0,1,2，……3分记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=， ……6分所以X 的分布列为P 0.18 0.49 0.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.……8分（Ⅲ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，则327031000()0.02C P D C =≈.……10分回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……12分 19．(Ⅰ)证明：（第一问6分，证明了AD BC ⊥给4分）ACD BCE ACD AD BCE AD E BD BC ADBE AD BC ABD AD ED AE BD AB ABD BC CBD CBA 面面面面面面⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⇒⎭⎬⎫==⊥⇒=∠=∠ 2π(Ⅱ)解：以点B 为坐标原点,直线BC ,BD 分别为 x 轴,y 轴,过点B 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系，则()0,0,2=→BC ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→23,21,0BE ,()0,1,2-=→CF ,()3,2,0=→BF 设面BCE 的一个法向量()1111,,z y x n =→，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BE n BC n 11⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒0232102111z y x ()1,3,0111-=−−→−→=n z 令…9分同理可得平面ACF 的一个法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,3,232n …10分31315,,cos 222222=⋅=><n n n n n n .……11分故平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为31315.……12分20.（Ⅰ）证明：依题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a a c b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1422b a ， 所以椭圆方程为1422=+y x ．…2分设()11,y x A ，()11,y x B ，()11,y x C ， 由O 为ABC ∆的重心123123,;x x x y y y ⇒+=-+=-又因为()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ，……4分()312121212123121;.44-++⇒==-==⇒=--++AB OC AB OC y y y x x y y k k k k x x y y x x x ……6分(Ⅱ)解 ①当AB 的斜率不存在时：1212313,02,0=+=⇒=-=x x y y x x y111,||⇒=±=⇒=x y AB 代入椭圆得……7分 ②当AB 的斜率存在时，设直线为t kx y +=，这里0≠t 由⇒⎩⎨⎧=++=4422y x tkx y ()22222418440041;,∆>=>++-⇒++k x kt t t k x ……8分222228211,44,;4141-⎛⎫⇒⇒ ⎪⎝≥+-+⎭=k t t ktt C k k 代入椭圆方程：12||;-==AB x x ……11分综上,AB 的范围是[]32,3. ……12分21. 解：（Ⅰ）a x e x f x--=')(，令)()(x f x g '=.……1分 则1)(-='xe x g ，令01)(=-='xe x g 得0=x .当)0,(-∞∈x 时， ,0)(<'x g 则)(x g 在)0,(-∞单调递减；当),0(+∞∈x 时， ,0)(>'x g 则)(x g 在),0(+∞单调递增.所以a g x g -==1)0()(min .……3分当1≤a 时，01)(min ≥-=a x g ， 即0)()(≥'=x f x g ，则f(x)在R 上单调递增; ……4分 当1>a 时，01)(min <-=a x g ，易知当-∞→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，+∞→)(x g ，由零点存在性定理知，21,x x ∃，不妨设21x x <，使得.0)()(21==x g x g 当),(1x x -∞∈时，0)(>x g ，即 0)(>'x f ； 当),(21x x x ∈时，0)(<x g ，即 0)(<'x f ； 当),(2+∞∈x x 时，0)(>x g ，即 0)(>'x f .所以)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在),(21x x 单调递减. ……6分（Ⅱ）证明：构造函数2)()()(--+=x f x f x F ，0≥x .22121)(22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=-ax x e ax x e x F x x ，0≥x . 22--+=-x e e x xx e e x F x x 2)(--='-0222)(=-⋅≥-+=''--x x x x e e e e x F （当0=x 时取=）.所以)(x F '在[)+∞,0上单调递增，则0)0()(='≥'F x F , 所以)(x F 在[)+∞,0上单调递增，0)0()(=≥F x F .……9分这里不妨设02>x ，欲证021<+x x ， 即证21x x -< 由（Ⅰ）知1≤a 时，)(x f 在R 上单调递增，则有)()(21x f x f -<,由已知2)()(21=+x f x f 有)(2)(21x f x f -=, 只需证)()(2)(221x f x f x f -<-= ,即证2)()(22>-+x f x f ……11分 由2)()()(--+=x f x f x F 在[)+∞,0上单调递增，且02>x 时， 有02)()()(222>--+=x f x f x F ,故2)()(22>-+x f x f 成立，从而021<+x x 得证. ……12分22．【解】(Ⅰ )直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数), 消去参数t 可得l0y -+=;曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=,可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.…………5分(2)C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,所以,圆心C 到l的距离为d ==所以点P 到l的距离的取值范围是1⎤⎥⎣⎦.………………10分 23、解: (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x ……4分2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞ ； (5)（Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[]m mm m m m m m m m -+-+=-+-+=-+1145)1()141(141911425=-⋅-+≥m mm m （当31=m 时等号成立）……8分依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则有91<+a 解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(-…………10分。

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x0∈R，”的否定形式是（）A. ∀x∈R，B. ∃x∈R，C. ∃x∈R，D. ∀x∈R，2.已知复数z满足z（1+i）2=2-i（i为虚数单位），则|z|为（）A. 2B.C.D. 13.设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A. {x|-2≤x＜1}B. {x|0＜x≤1}C. {x|-1≤x≤1}D. {x|x＜1}4.函数在x=2处的切线方程为（）A. B. C. D.5.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A. B. C. 2 D. 26.已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）单调递减，若f（2a）＞f（1-a），则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a、b，则使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点的概率为（）A. B. C. D.8.如果执行如图所示的程序框图，输出的S=110，则判断框内应填入的条件是（）A. k＜10？B. k≥11？C. k≤10？D. k＞11？9.已知函数f（x）=x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g （x）的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则|x1-x2|的值可能为（）A. B. C. D.10.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A. B. C. 3 D.11.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A.B.C.D.12.设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=8x的通径长为______．14.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______．15.已知实数x，y满足，若x-y的最大值为6，则实数m=______．16.已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的正切值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）求二面角A1-BC-B1的余弦值．18.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=，设b n=，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n=b n•2n-1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n-1≤λc n恒成立的λ的取值范围．19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量1518212427频数108732（）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；（2）若该店这款新面包每日出炉数设定为24个（i）求日需求量为15个时的当日利润；（ii）求这30天的日均利润．相关公式：，20.已知函数f（x）=2x lnx+2x，g（x）=a（x-1）（a为常数，且a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）21.如图，已知椭圆C：的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且的最小值为，离心率为，直线l与椭圆C交于不同两点A、、B都在x轴上方，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；Ⅲ对于动直线l，是否存在一个定点，无论如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1=α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2=与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知a＞0，b＞0，c＞0，设函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a，x∈R（Ⅰ）若a=b=c=1，求不等式f（x）＜5的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为1，证明：++≥18（a+b+c）-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：命题是特称命题，则否定是：∀x∈R，，故选：D．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘法、除法运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由z（1+i）2=2-i，得，∴，故选：C．3.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，∴C U M={x|-1≤x≤1}，∵集合N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|0＜x≤1}．故选：B．由全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，先求出C U M，再由集合N能够求出N∩（∁U M）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.答案：C解析：解：函数，可得f′（x）=，f′（2）=-，f（2）=，函数在x=2处的切线方程为：y-=-（x-2），即．故选：C．求出函数的导数，得到切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．5.答案：B解析：解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sin A=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos A=1+4-2=3，则BC=．故选：B．利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sin A，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6.答案：C解析：解：根据题意，函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）单调递减，则f（2a）＞f（1-a）⇒f（|2a|）＞f（|1-a|）⇒|2a|＜|1-a|，解可得：-1＜a＜，即a的取值范围为（-1，）；故选：C．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（2a）＞f（1-a）⇒f（|2a|）＞f（|1-a|）⇒|2a|＜|1-a|，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与周期性的综合应用，关键是得到关于a的不等式，属于基础题．7.答案：B解析：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|0≤a≤π，0≤b≤π}表示边长为π的正方形及内部，面积为S=π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，表示正方形内去除以原点为圆心的个圆后的部分，其面积为s=π2-π2=π2，由几何概型公式得到P=，故选：B．先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．8.答案：C解析：解：由程序可知，该程序是计算，由S=k（k+1）=110，得k=10，则当k=10时，k=k+1=10+1=11不满足条件，所以条件为k≤10．故选：C．阅读程序框图，可知程序执行的是求从2开始的前k个偶数的和，利用等差数列求和公式求出前k个偶数的和，由和等于110算出k的值，则判断框中的条件可求．本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9.答案：B解析：解：函数f（x）=x+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y=2sin（4x-）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g（x）=2sin（4x-）+1的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则4x-=+2kπ，k∈Z；解得x=+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1-x2|的值为T的整数倍，且T==．故选：B．化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y=g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）=9求得x1、x2满足的条件，再求|x1-x2|的可能取值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题．10.答案：C解析：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．11.答案：A解析：【分析】本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥A-BCD，把它放入长方体中，如图所示：则三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD=S△BCD•h=××2×4×2=，三棱锥外接球的直径为2R=AC，所以4R2=AC2=22+22+42=24，解得R=；所以外接球的体积为V球=πR3=•=8π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为=．故选A.12.答案：D解析：解：设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e======，故选：D．设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．13.答案：8解析：解：由抛物线y2=8x焦点坐标为（2，0），当x=2时，y=±4，则抛物线的通径为2|y|=8，故答案为：8．求得焦点坐标，代入抛物线方程，求得y的值，则抛物线的通径为2|y|=4．本题考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的通径，属于基础题．14.答案：4解析：解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．15.答案：8解析：解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．故答案为：8．依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-y=6，结合图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16.答案：3解析：解：设球O的半径为R，则，解得．如下图所示，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、ME、NE、AE，易知，且PA⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴，∴，，∵M、N分别为PA、AB的中点，所以，MN∥PB，且，同可得NE∥AC，且，，∴，∵MN∥PB，NE∥AC，则异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，在△MNE中，，ME=3，，由余弦定理得，∴，∴．因此，异面直线PB与AC所成角的正切值为3．故答案为：3．作出图形，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、ME、NE、AE，利用中位线得出异面直线PB与AC所成角为∠MNE或其补角，计算出△MNE各边边长，利用余弦定理求出∠MNE的余弦值，并得出其正弦值，从而得出该角的正切值，从而得出答案．本题考查球体的相关计算，同时也考查了异面直线所成的角的定义，考查余弦定理的盈盈，考查计算能力，属于中等题．17.答案：（1）证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，所以FG∥A1B1；又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1；又AE∥A1G且AE=A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形，则EG∥AA1；又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1；又EG FG=G，EG、FG平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1；又EF⊂平面EFG，所以直线EF∥平面ABB1A1．（2）解：令AA1=A1C=AC=2，由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E⊂平面A1AC，则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直；以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），A（0，-1，0），．所以，，，令平面A1BC的法向量为=（x1，y1，z1），由则，令，则=（，，1）；令平面B1BC的法向量为=（x2，y2，z2），由则，令，则=（，，-1）；由cos==，故二面角A1-BC-B1的余弦值为．解析：本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，推出FG∥A1B1．证明FG∥平面ABB1A1．推出EG∥AA1．得到EG∥平面ABB1A1．证明平面EFG∥平面ABB1A1．然后证明直线EF∥平面ABB1A1．（2）连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1BC的法向量，平面B1BC的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A1-BC-B1的余弦值即可．18.答案：（I）证法一：由条件知，，所以，，所以b n+1-b n=1，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．证法二：由条件，得=，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，则，①②由①-②得，==-1+（1-n）•2n∴∵c n＞0，∴S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．∵，∴λ≥2．解析：（I）证法一：由条件两边取倒数可得：，可得b n+1-b n=1，即可证明．证法二：由条件代入递推关系得=，即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减法即可得出S n．S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．代入即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式求和公式、错位相减法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：（1）=（15+18+21+24+27）=21个，=（10+8+7+3+2）=6，则==-0.7，=6+21×0.7=20.7．故g关于x的线性回归方程为=-0.7x+20.7．（2）①若日需求量为15个，则当日利润为15×（10-4）+（24-15）×（2-4）=72 （元），②若日需求量为18个，则当日利润为18×（10-4）+（24-18）×（2-4）=96 （元），若日需求量为21个，则当日利润为21×（10-4）+（24-21）×（2-4）=120 （元），若日需求量为24或27个，则当日利润为24×（10-4）=144 （元），则这30天的日均利润为72×+96×+120×+144×=101.6，综上所述，日需求量为15个时的当日利润为72元，这30天的日均利润为101.6元．解析：（1）根据表格数据求出，的值，结合公式求出，的值即可；（2）根据条件分别计算当日需求量为15时的利润，以及18，21.24，27时对应的日利润进行计算即可．本题考查概率、日利润、平均日利润的求法，考查古典概型、平均数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.答案：解：（1）函数f（x）=2x lnx+2x，x＞0；所以f′（x）=2ln x+4，显然f′（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，且f′（e-2）=0，当x∈（0，e-2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（e-2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以x=e-2时，f（x）取得极小值为f（e-2）=2•e-2•ln e-2+2e-2=-2e-2；（2）记F（x）=f（x）-g（x）=2x lnx+（2-a）x+a，则F′（x）=2ln x+4-a，当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）=2，函数y=F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，令F′（x）=0，得出x=＞1，且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，所以，F（x）min=F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min=F（）=0，化简得：a-2=0，记h（a）=a-2，h′（a）=1-＜0，所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，又h（6）=6-2e＞0，h（7）=7-2e＜0，所以a∈（6，7），即n=6．解析：（1）对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f′（x）=0对应的函数值，并判断是极大值还是极小值；（2）记F（x）=f（x）-g（x），利用导数判断F（x）的单调性和是否存在零点，从而确定函数f（x）与g（x）的图象是否有交点；求出函数F（x）的零点，再判断a的取值范围，从而求得n的值．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数零点应用问题，是难题．21.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），∵离心率为，∴，∴a=，∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，∴c=1，∴a2=b2+c2=b2+1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°．∴k BF=-1，∴直线BF为：y=-（x+1）=-x-1，代入，得3x2+4x=0，解得x=0或x=-，代入y=-x-1，得，舍，或，∴B（-，）．∴=，∴直线AB的方程为：y=．（Ⅲ）存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．证明：∵∠OFA+∠OFB=180°，∴B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），代入，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由韦达定理得，，由直线AB的斜率，得AB的方程为：y-y1=（x-x1）令y=0，得：x=x1-y1•，y1=k（x1+1），-y2=k（x2+1），===≥=-2，∴对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），由离心率为，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，求出a2=2，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），得k AF==1，从而k BF=-1，进而直线BF为：y=-x-1，代入，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（Ⅲ）由∠OFA+∠OFB=180°，知B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），由，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由此利用韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能求出对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，属于难题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．22.答案：解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），转换为直角坐标方程为：x-y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于0＜α＜，所以：|OP|=4cosα，|OQ|==．所以：==1，所以：tanα=1，由于：0＜α＜，故：，所以：|OP|=4cos．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，而|x-1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，而-2、2对应点到1、-1对应点的距离之和正好等于4，故它的解集为（-2，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a的最小值为|b+c|+a=b+c+a=1，∴（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c）=（+4+9）（a+b+b+c+a+c）≥•=18=18（a+b+c）．解析：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，利用绝对值的意义求得它的解集．（Ⅱ）（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c），再利用柯西不等式求得要证的结论．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．。

四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-， 即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.3C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A.14B.13C.12D.23『答案』B『解析』如下图所示：设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，11//B C BC 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α， 此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行， 所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，1C G ⊂平面11CDD C ，平面11CDD C 平面DF α=，1//DF C G ∴，1//C F DG ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得1111122C E DG CD C D ===，F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =，11111124MD D N B D ∴==，因此，1113MD MB =. 故选：B.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ）A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==TB ==故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（ ）A. 2eB. eC24e D.21e 『答案』C.『解析』()ln x f x x =，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e ∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减. 所以，()()2max 42h k h e=-=. 故选：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. ()41+x 的展开式中2x 的系数为________________．『答案』6『解析』()41+x 的展开式的通项为414r rr T C x -+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =. 故答案为：6.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.15. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，直三棱柱的棱长为x ，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.16. 经过椭圆2212x y +=中心的直线与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E .设直线NE 与椭圆的另一个交点为P .则cos NMP ∠的值是________________．『答案』0『解析』设点()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，则220022111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()2222101002x x y y -+-=，即2210221012y y x x -=--， 即221010102210101012MP NPy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-， 由斜率公式得000011222NP NE MN y y k k k x x ===⋅=，111222MP NP MP MN MN MP k k k k k k ⎛⎫∴-==⋅= ⎪⎝⎭，1MN MP k k ∴=-，故MN MP ⊥， 因此，cos 0NMP ∠=. 故答案为：0.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320-+=q q ，解得2q或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（Ⅱ）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪. 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值. （Ⅰ）证明：ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，.PO AC ∴⊥OP 、BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）解：取AB 的中点M ，连接OM 、OE ，ABCD 是正方形，易知OM 、OE 、OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，以OM 、OE 、OP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在Rt POE ∆中，2OE =，3PE=，PO ∴=()2,2,0B ∴、()2,2,0D --、(P 、()0,2,0E ，设平面PBE 的一个法向量()111,,m x y z =，()2,0,0BE =-，(0,2,PE =，由00m BE m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =10x =，12z =，()0,5,2m ∴=.设平面PDE 的一个法向量()222,,n x y z =，()2,4,0DE =，(0,2,PE =，由00n DE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222224020x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2y =，得22z =，2x =-，得()25,5,2n =-. 329cos ,m n m n m n⋅∴<>==⋅，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.解：（Ⅰ）根据表中数据，计算可得4x =，43y =，()()71140iii x x y y =--=∑，又()21728ii x x =-=∑，()()()717215iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑，435423a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将8x =代入回归方程得582363y =⨯+=（亿元），∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28、33、38、43、48、53、58、63（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有3年. 故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年.记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，1153281528C C P C ∴==. 20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥且213PF PF =. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线():1l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A 、B 两点，与圆222x y a +=相交于C 、D 两点，求2AB CD ⋅的取值范围.解：（Ⅰ）P 在椭圆上， 122PF PF a +=∴，123PF PF =，22a PF ∴=，132aPF =， 212PF F F ⊥，2212212PF F F PF ∴+=，又12 2F F =，22a ∴=，1c =，1b ∴==，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（Ⅱ）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=，2880m ∴∆=+>，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，)212212m AB y m +=-=+∴ 设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))22222222121213422122m m m AB CD m m m m +++⎫∴⋅=⋅⋅==-⎪++++⎭，233022m <≤+，2132222m ∴≤-<+，2AB CD ∴⋅<2AB CD ∴⋅的取值范围为⎡⎣.21. 已知函数()()22ln 1f x x x m x =+-+，其中m R ∈.（Ⅰ）若0m >，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()()1xg x f x e=+.若()11g x x >+在()0,∞+上恒成立，求实数m 的最大值. 解：（Ⅰ）函数()()22ln 1f x x x m x =+-+的定义域为()1,-+∞.当0m >时，()()2212211x m m f x x x x +-'=+-=++.令()0f x '=，解得111x =-<-（舍去），211x =>-.当1,12x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭∈-时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪上单调递减；当1,2x ∈-+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以，函数()y f x =在1,2⎛⎫⎪ ⎝-+⎭∞⎪上单调递增.因此，函数()y f x =的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭∞⎪；（Ⅱ）由题意，可知()2112ln 11x x x m x x e+-+>-+在()0,∞+上恒成立. （i ）若0m ≤，()ln 10x +>，()ln 10m x -+≥∴，()2211112ln 1211x x x x m x x x x e x e∴+-+-+≥+-+++， 构造函数()21121x G x x x x e=+-++，0x >，则()()211221x G x x e x '=++-+，0x ，101xe ∴<<，110x e ∴-<-<. 又()21222221x x x ++>+>+，()'0G x ∴>在()0,∞+上恒成立.所以，函数()y G x =在()0,∞+上单调递增，()()00.G x G =∴> ∴当0m ≤时，()2112ln 101x x x m x x e∴+-+-+>+在()0,∞+上恒成立. （ii ）若0m >，构造函数()1xH x e x =--，0x >.()10x H x e '=->，所以，函数()y H x =在()0,∞+上单调递增.()()00H x H ∴>=恒成立，即10x e x >+>，111x x e ∴>+，即1101x x e->+. 由题意，知()111x f x x e>-+在()0,∞+上恒成立. ()()2210f x x x mln x ∴=+-+>在()0,∞+上恒成立.由（Ⅰ）可知()()min12f x f x f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭极小值，又()00f =10->，即2m >时，函数()y f x =在10,2⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()1002f f ⎛⎫ ⎪ ⎪<⎭-=⎝，不合题意，102-≤，即02m <≤. 此时()()()22111112ln 122ln 1111x x g x x x m x x x x x e x e x -=+-++-≥+-++-+++ 构造函数()()21122ln 11xP x x x x e x =+-++-+，0x >. ()()22112211x P x x x e x '∴=+--+++， 111x e x ->-+，11x +>， ()()()222113122221111x P x x x x e x x x '∴=+--+>+-+++++ ()()()()()()()()322222131121311210111x x x x x x x x x +-+++-+++=>=>+++，()'0P x ∴>恒成立，所以，函数()y P x =在(0,)+∞上单调递增，()()00P x P ∴>=恒成立.综上，实数m 的最大值为2.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥此时无解；③当3x ≤-时，化简得226x --≥解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <..①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根. ③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。

数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，则为A． B． C．2 D．1【答案】A【解析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.2．设全集，集合，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】 ， ，，解得： ，故选B.4．在△ABC 中， 60A =︒, 2AB =,且ABC ∆的面积为32，则BC 的长为（ ） A ．32B ．3C ．23D ．2 【答案】B 5．在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B6．如果执行如图所示的程序框图，输出的S ＝110，则判断框内应填入的条件是( )．A．k＜10? B．k≥11? C．k≤10? D．k＞11?【答案】C7．已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A． B． C． D．【答案】B8．外接圆的半径为，圆心为，且，，则（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】为边BC的中点，因而,又因为,所以为等边三角形，.9．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”.③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果. 【详解】①时，反之不然，所以“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”, ②错；③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.综上正确说法的个数为2，选C.10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A11．设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2362-+ C 3 D 362+ 【答案】D【解析】试题分析：解：设以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切于点K ,圆心为点M ，1PF m = ， 2PF n = ，由题意可知：2222222{4n m am n c c a b -=+==+ ，解得： 2222{m b c aa b c =+-++ ， 设21PF F α∠= ，则222tan m c a b c n α-+== ，在2Rt MKF V 中可得： 2tan 22KM KF α== ， 据此可得： 222222c a b c b -+= ， 整理可得： ()()4222942421890c a c a -+-+= ，则：()()42942421890e e -+-+= ，分解因式有： ()()22942910e e ⎡⎤--⨯-=⎣⎦ ，双曲线的离心率1e ≠ ，故： ()294290e --= ，解得： 22942942e == ⎪--⎝⎭ ，双曲线的离心率： 3627942e +==- . 本题选择D 选项.12．已知函数，若函数恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设，则充分利用函数的图象，分类讨论ａ的取值情况，得到的取值范围． 【详解】当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.当时，的图像恒过点，当时，；当时，.有5个零点，即方程有5个解，设，则.结合图像可知，当时，方程有三个根，，（∵，∴），于是有1个解，有1个解，有3个解，共有5个解.由，得，再由，得，∵，∴.而当时，结合图像可知，方程不可能有5个解.故选：C二、填空题13．某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，方差为，则的值为__________.【答案】14．已知实数，满足，若的最大值为，则实数__________.【答案】【解析】结合不等式组，建立可行域，平移目标函数，计算参数，即可。

2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位),则z 的虚部为（ ）A. iB. i -C. 1-D. 1【答案】C【解析】21i z =+,分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知,22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-,故z 的虚部为1-. 故选：C. 2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>,则()U M N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥ 【答案】A【解析】先求出U M ,再与集合N 求交集.【详解】由已知,{|1}U M x x =≥,又{}|2N x x =>,所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人,初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人,则n 的值为（ ）A. 20B. 50C. 40D. 60【答案】B【解析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意,30=150015001000n ⨯+,解得50n =. 故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ）A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --= 【答案】D【解析】 只需利用导数的几何意义计算曲线在点1x =处的导数值即可.【详解】由已知,'231y x =-,故切线的斜率为12x y ='=,所以切线方程为2(1)y x =-,即220x y --=.故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A. 12 B. 1 C. 2D. 4【答案】C【解析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.【详解】由已知,24sin cos 2sin ααα=,因α为锐角,所以sin 0α≠,2cos sin αα=, 即tan α=2.故选：C.6. 函数())cos ln f x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）。