福州格致中学数学选修2-1模块综合测试

单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句不是命题的有()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0 B．2C．3 D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，故选C.答案：C4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是()A．若a∈A，则b∉B B．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉A D．若b∈B，则a∈A解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，则非p 和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的运算即可判断．答案：D7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/ B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A9．下列全称命题中，正确的是()A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin yB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos yC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)<sin x＋cos yD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)<cos x＋sin y解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0<cos y<1,0<sin x<1，所以cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y<cos x＋sin y，故选项D正确．答案：D10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3>x2”的否定是“∃x∈Z，x3<x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：A为全称命题；B中否定应为∃x0∈Z，x30≤x20；C中应为充分不必要条件．答案：D11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p”且“綈q”为假解析：由题意知p真，q假．再进行判断．答案：D12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是() A．λ>3或λ<－3 B．λ>1或λ<－1C．－3<λ<3 D．－1<λ<1解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝x cosα＋y sinα＝x2＋y2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·b<λ2成立，则λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a·b<λ2成立的充要条件，因此a·b<λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，如果对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则a 的取值范围是________．解析：由已知∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立．显然a ＝0不合题意，所以⎩⎨⎧a >0Δ＝4－4a <0⇒a >1. 答案：a >115．试写出一个能成为(a －2)2(a －1)>0的必要不充分条件________．解析：(a －2)2(a －1)>0的解集记为B ＝{a |a >1且a ≠2}，所找的记为集合A ，则B A .答案：a >1(不惟一)16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α＝5tan β； ④圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x ，所得弦长为2. 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：对于①易知p 真，q 真，故命题p ∧綈q 假，①正确；对于②l 1与l 2垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展示整理即得；对于④可求得弦长为455，④错． 答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，使b ≠c .綈p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故綈P ∧Q 为真命题，或P ∧綈Q 为真命题，则⎩⎨⎧ a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎨⎧ 0≤a <4a >14.解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)． 19．(12分)求证：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1.证明：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是：Δ＝4－4a >0⇔a <1，并且a <0，从而a <0.有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证．20．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3. 设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.∴2<x <3满足不等式a <9x －2x 2.∵当2<x <3时，9x －2x 2＝－2(x 2－92x ＋8116－8116)＝－2(x －94)2＋818∈(9，818]， 即9<9x －2x 2≤818，∴a ≤9. 21．(12分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP→与OQ →不垂直．”试判断该命题的真假，并证明．解：命题p 是假命题，证明如下：由OP →和OQ →不垂直，得cos x (2cos x＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：2cos 2x －cos x ≠0，所以cos x ≠0或cos x ≠12.而当x ∈[0，π]时，cos π2＝0，cos π3＝12，故存在x ＝π2或x ＝π3，使向量OP→⊥OQ →成立，因而p 是假命题． 22．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－b2)2＋3b24≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.。

单元综合测试三时刻：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，假设CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，那么A 1B →＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c解析：结合图形，得A 1B →＝A 1A →＋AC →＋CB →＝－c －a ＋b ＝－a ＋b －c ，应选D. 答案：D2．已知a ＝(－5,6,1)，b ＝(6,5,0)，那么a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 答案：A3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，假设(a ＋b )⊥c ，那么x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－6 解析：a ＋b ＝(－2,1,3＋x )，由(a ＋b )⊥c ， ∴(a ＋b )·c ＝0.∴－2－x ＋2(3＋x )＝0，得x ＝－4. 答案：B4．假设a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a ，b 的夹角的余弦值为89，那么λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255 D ．2或－255解析：a·b ＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ2×3×89.解得λ＝－2或255. 答案：C5．已知空间四边形ABCD 每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 别离是AB 、AD 、DC 的中点，那么a 2是以下哪个选项的计算结果( )A ．2BC →·CA →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →解析：2BC →·CA →＝－a 2，A 错；2AD →·DB →＝－a 2，B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，D 错；只有C 对． 答案：C6．假设A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87C.87D.1914解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，那么|AB →|＝1－x 2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值，应选C. 答案：C7．已知ABCD ，ABEF 是边长为1的正方形，FA ⊥平面ABCD ，那么异面直线AC 与EF 所成的角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图1，由于EF ∥AB 且∠BAC ＝45°，因此异面直线AC 与EF 所成的角为45°，应选B. 答案：B图1图28．如图2所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，那么sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( ) A.12 B.21015 C.23 D.1115解析：以DA ，DC ，DD ′所在的直线别离为x ，y ，z 轴成立直角坐标系O －xyz ，设正方体棱长为1，那么D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，那么DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，那么sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.答案：B 图39．如图3，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，那么C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C.2 D.3解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝2.答案：C10．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，那么存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，假设OP →＝2OA →－2OB →－OC →，那么P 、A 、B 、C 四点共面；④假设{a ，b ，c }为空间的一个基底，那么{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }组成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：①错，应为充分没必要要条件．②错，应强调b ≠0.③错，∵2－2－1≠1.⑤错，由数量积的运算性质判别．答案：C11．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，那么二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )A.6 B.3C.66D.62解析：设PA ＝AB ＝2，成立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0,0)，平面PBC 的一个法向量是n ＝(33，1,1)．那么cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33|m ||n |＝331×213＝77.∴正切值tan 〈m ，n 〉＝6.答案：A 图412．(2020·辽宁高考)如图4，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，那么以下结论中不正．．确．的是( ) A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .又∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC .其中SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥面SDB ，从而AC ⊥SB .故A 正确；易知B 正确；设AC 与DB 交于O 点，连结SO .那么SA 与平面SBD 所成的角为∠ASO ，SC 与平面SBD 所成的角为∠CSO ，又OA ＝OC ，SA ＝SC ，∴∠ASO＝∠CSO .故C 正确；由排除法可知选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u ＝(－2，－1,1)，那么l 与α的夹角为________．解析：∵cos 〈v ，u 〉＝|－2＋1－2|6×6＝12，∴〈v ，u 〉＝60°.∴l 与α的夹角为30°. 答案：30°14．如图5所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，那么GE →＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－23AM →＋AD →＋14DB →＝－23×12(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →，故GE →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →图5 图615．如图6所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，那么PA 与底面ABC 所成的角为________．解析：由于PA ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，因此OP ⊥面ABC ，∠PAO 为所求角，不妨设BC ＝1，那么OA ＝12，cos ∠PAO ＝12，因此∠PAO ＝60°.答案：60°16．(2020·全国高考)已知点E 、F 别离在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，那么面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．图7解析：延长FE 、CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，那么GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于H ，连结EH ，那么∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EBBH＝23.答案：23三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是不是存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，假设OE →⊥b ，那么OE →·b ＝0，因此－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，现在E 点坐标为E (－65，－145，25)．图818．(12分)如图8，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． 求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1. 图9证明：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，且C 1C 垂直底面． ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图9，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系． 则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，那么E (0,2,2)， ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→.∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.19．(12分)已知M 为长方体AC 1的棱BC 的中点，点P 在长方体AC 1的面CC 1D 1D 内，且PM ∥BB 1D 1D ，试探讨点P 的确切位置．图10解：以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，如图10成立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c .依照题意可设A (a,0,0)，B (a ，b,0)，D 1(0,0，c )，P (0，y ，z )，那么M (12a ，b,0)．又PM ∥BB 1D 1D ，依照空间向量大体定理，必存在实数对(m ，n )，使得PM →＝mDB →＋nDD 1→，即(12a ，b －y ，－z )＝(ma ，mb ，nc )，等价于⎩⎪⎨⎪⎧12a ＝mab －y ＝mb －z ＝nc⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，y ＝12b ，z ＝－nc ，n ∈R ，那么点P (0，b2，－nc )．∴点P 在面DCC 1D 1的DC 的中垂线EF 上．20．(12分)在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两相互垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 别离是BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ； (2)EG ⊥PG ，EG ⊥BC .图11证明：(1)以三棱锥的极点P为原点，以PA、PB、PC所在的直线别离为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，那么A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．于是PA→＝(3,0,0)，FG→＝(1,0,0)．故PA→＝3FG→.∴PA∥FG.又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.(2)∵EG→＝(1，－1，－1)，PG→＝(1,1,0)，BC→＝(0，－3,3)．∴EG→·PG→＝1－1＝0，EG→·BC→＝3－3＝0.∴EG⊥PG，EG⊥BC.图1221．(12分)(2020·天津高考)如图12，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1BB1的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．图13解：如图13所示，成立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，－22，5)，A1(22，22，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5)．(1)易患AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23.因此异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －22x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)，一样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－22x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)，于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝27×7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357. 因此二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)．设M (a ，b,0)，那么MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎨⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN→·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧22－a ·－22＝0，22－a ·－2＋322－b ·－2＋52×5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，因此线段BM 的长|BM →|＝104.图1422．(12分)如图14，在矩形ABCD 中，点E ，F 别离在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 别离在线段FD ，BC 上，假设沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：法一：(1)取线段EF 的中点H ，连结A ′H . 因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点， 因此A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ⊂平面A ′EF ， 因此A ′H ⊥平面BEF .如图15成立空间直角坐标系A －xyz ， 图15 则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)，故FA ′→＝(－2,2,22)，FD →＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，那么n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)．故cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝33. 因此二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，那么M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，因此CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214， 经查验，现在点N 在线段BC 上，因此FM ＝214. 法二：(1)取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A ′G ，A ′H ，GH .图16因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，因此A ′H ⊥EF ，又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，因此A ′H ⊥平面BEF ，又AF ⊂平面BEF ，故A ′H ⊥AF ，又因为G ，H 是AF ，EF 的中点，易知GH ∥AB ，因此GH ⊥AF ，于是AG ⊥面A ′GH ， 因此∠A ′GH 为二面角A ′－DF －C 的平面角，在Rt △A ′GH 中，A ′H ＝22，GH ＝2，A ′G ＝23，因此cos ∠A ′GH ＝33. 故二面角A ′－DF －C 的余弦值为33.(2)设FM＝x，因为翻折后，C与A′重合，因此CM＝A′M，而CM2＝DC2＋DM2＝82＋(6－x)2，A′M2＝A′H2＋MH2＝A′H2＋MG2＋GH2＝(22)2＋(x＋2)2＋22，得x＝214，经查验，现在点N在线段BC上，因此FM＝214.。

模块综合测试时刻：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．那么以下判定正确的选项是( )A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．綈p ∧q 为真命题D ．綈p ∨綈q 是假命题 解析：易知p 假，q 真，从而可判定得C 正确． 答案：C2．已知a ，b ∈R ，那么“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也没必要要条件解析：∵ln a >ln b ⇔a >b >0，(13)a <(13)b ⇔a >b .而a >b >0是a >b 的充分而没必要要条件． ∴“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的充分而没必要要条件． 答案：A3．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又没必要要条件 答案：B4．以双曲线x 24－y 212＝－1的核心为极点，极点为核心的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的核心为(0,4)、(0，－4)，极点坐标为(0,23)、(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 答案：D5．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为极点，且以该双曲线的右核心为核心的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9.∴右核心的坐标为(3,0)，故抛物线的核心坐标为(3,0)，极点坐标为(0,0)． 故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A6．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的核心，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x解析：由已知椭圆与双曲线有公共核心得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2.而由双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x .答案：D7．关于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，那么( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面解析：由已知得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，∴四点P 、A 、B 、C 共面．答案：B 图18．如图1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 别离为A 1B 1、CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，那么α的集合是( )A ．{π2}B ．{α|π6≤α≤π2}C ．{α|π4≤α≤π2} D ．{α|π3≤α≤π2} 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 上，易证D 1N ⊥平面ADEM .此题也可成立空间直角坐标系用向量求解．答案：A 图29．如图2，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，假设点P 知足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，那么|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA 2→＋14BC 2→＋BD 2→－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD → ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.答案：D10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A.24 B.23 C.33 D.32解析：成立如图3所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，那么n ＝(1，－1，－1)， 图3∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33.答案：C 11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个核心为F 1、F 2，假设P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，那么双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 图4解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图4. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a . ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a .∴c ≤3a . 又∵c >a ，∴a <c ≤3a . ∴1<ca≤3，即1<e ≤3.答案：B12．(2020·全国高考)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .假设该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，那么圆N 的面积为( )A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 图5解析：由圆M 的面积知圆M 的半径为2，|OM |＝42－22＝23.|ON |＝|OM |·sin30°＝3.从而圆N 的半径r ＝42－3＝13，因此圆N 的面积S ＝πr 2＝13π.应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分) 图613．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，那么OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12(12OB →＋12OC →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c14．假设命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，那么“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：p 为假命题，因为a 符号不定，q 为假命题，因为a 、b 大小不确信．因此p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．答案：綈p15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，那么d 1＋d 2的最小值是________．图7解析：如图7，依照概念，d 1即为P 到核心(1,0)的距离，∴d 1＋d 2的最小值也确实是核心到直线的距离． ∴(d 1＋d 2)min ＝|1＋2×0－12|5＝1155.答案：115516．有以下命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的核心；②“－12<x <0”是“2x 2－5x －3<0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，那么a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，那么a ，b ，c 三向量必然也共面；⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0.其中正确的命题有________．(把你以为正确的命题的序号填在横线上)解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3<0，∴－12<x <3.又－12<x <0⇒－12<x <3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而没必要要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 能够不共面，例如平行六面体以一个极点为起点引出的三个向量，故④错； ⑤中，Δ＝9－12<0，故对∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立． 答案：①⑤三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．假设p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解：对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f 0>0.解得0<m <4. 又∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是2＋1≤m <4.18．(12分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R)，双曲线G 与椭圆D 有相同的核心，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两核心为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，核心在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么G 的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.当m ＝5时，圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4.∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1. 19．(12分)已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体， (1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．图8解：(1)如图8，取AA ′的中点E ，D ′F ＝2FC ′，EF →＝12AA ′→＋BC →＋23AB →.(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34.20．(12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是不是存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？解：假设存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立，∵f (x )的图象过点(－1,0)， ∴a －b ＋c ＝0.①∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立，∴当x ＝1时，也成立，即1≤f (1)≤1， ∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝1，②由①②得b ＝12，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，1－2a x 2－x ＋2a ≥0恒成立．当a ＝0或1－2a ＝0时，上述不等式组可不能恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－4a 12－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14.∴存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．图921．(12分)(2020·辽宁高考)如图9，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值． 图10解：如图10，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴成立空间直角坐标系D －xyz .(1)证明：依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，那么DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)． 因此PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQDC ， 因此平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，那么⎩⎨⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)． 设m 是平面PBQ 的法向量，那么⎩⎨⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0.可取m ＝(1,1,1)， 因此cos 〈m ，n 〉＝－155. 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. 22．(12分)已知椭圆C 的中心在座标原点，核心在x 轴上，椭圆C 上的点到核心距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右极点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右极点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2， ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右极点D (2,0)， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均知足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k (x －27)， 直线过定点(27，0)． ∴直线l 过定点，定点坐标为(27，0)．。

2024-2025学年福建省福州市格致中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i(1−3i)1+i =( )A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i2.已知集合A ={x|x 2−3x ≥0}，B ={0,1,2,3}，则(∁R A)∩B =( )A. {3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {0,1,2,3}3.已知样本数据x 1，x 2，…，x 100的平均数和标准差均为4，则数据−x 1−1，−x 2−1，…，−x 100−1的平均数与方差分别为( )A. −5，4B. −5，16C. 4，16D. 4，44.已知函数f(x)=cosxe x +2x ，则曲线y =f(x)在x =0处的切线方程为( )A. 2x−2y +1=0B. x +y−1=0C. x−y +1=0D. 2x−y +1=05.已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为( )A. (6425,4825)B. (45,85)C. (643,485)D. (425,825)6.已知函数f(x)=sinωx +acosωx(ω>0)图象的对称轴方程为x =kπ+π4(k ∈Z)，则f(a2π)=( )A. 1B. −1C.22D. −227.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点M 使得∠F 1MF 2=2α(α≠0)，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为( )A. (0,sin2α]B. (0,sinα]C. [sin2α,1)D. [sinα,1)8.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的圆O 上的四个动点，若AB =CD =2，则CA ⋅CB +DA ⋅DB 的最大值为( )A. 6B. 12C. 24D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。

单元综合测试二时刻：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，应选A. 答案：A2．(2020·新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的核心，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：∵F (3,0)，AB 的中点N (－12，－15)， ∴k AB ＝－15－0－12－3＝1.又∵F (3,0)，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，易知a 2＋b 2＝9①再设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有x 21a 2－y 21b 2＝1②x 22a 2－y 22b 2＝1③由②－③可得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝k AB ＝1.*又∵x 1＋x 22＝－12，y 1＋y 22＝－15，∴*式可化为b 2a 2×(－12－15)＝1，∴b 2a 2＝54④由①和④可知b 2＝5，a 2＝4， ∴双曲线的方程为x 24－y 25＝1，应选择B.答案：B3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案：B4．假设点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，那么点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2，那么点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，因此动点P 的轨迹为抛物线，应选D.答案：D5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，那么动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，应选D. 答案：D6．(2020·课标全国高考)设直线l 过双曲线C 的一个核心，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为( )A.2 B.3C ．2D ．3解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，那么易求得|AB |＝2b 2a，∴2b 2a＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，应选B.答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的核心作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，那么如此的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由概念|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴如此的直线有且仅有两条． 答案：B8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，那么l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：设l 与椭圆的两交点别离为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，因此y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：D9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右核心作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的核心在x 轴上，对称中心在座标原点且两条渐近线别离过A 、B 两点，那么双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.32解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±bax ，因为A 、B在渐近线上，因此1＝b a·2，b a＝22，e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋b a2＝62. 答案：C10．双曲线x 2m－y 2n＝1(mn ≠0)有一个核心与抛物线y 2＝4x 的核心重合，那么m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对解析：抛物线y 2＝4x 的核心为F (1,0)，故双曲线x 2m－y 2n＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.答案：C11．设F 1，F 2是双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b <0)的左、右核心，点P 在双曲线上，假设PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，那么双曲线的离心率为( )A.1＋52B.1＋32C ．2 D.1＋22解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，那么由勾股定理，得|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，①由双曲线的概念，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A12．已知F 1，F 2别离为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右核心，P 为双曲线右支上的任意一点，假设|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，那么双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(1,2] C ．(1，3] D ．(1,3] 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca≤3，得e ∈(1,3]，应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个核心是(10，0)，那么双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个核心是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝114．椭圆x 29＋y 22＝1的核心为F 1，F 2，点P 在椭圆上，假设|PF 1|＝4，那么|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆的概念知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，因此|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1的左、右核心，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，那么点M 的轨迹方程是________．解析：由题意知|MP |＝|F 1P |， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a . ∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.答案：(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 216．(2020·浙江高考)设F 1，F 2别离为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右核心，点A ，B 在椭圆上，假设F 1A →＝5F 2B →，那么点A 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由F 1(－2，0)，F 2(2，0)且F 1A →＝5F 2B →得x 2＝15(x 1＋62)，y 2＝15y 1.又A 、B 两点在椭圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x 1＋622－x 2175＋y 2125＝1，消去y 1得x 1＋622－x 213＝24，有x 1＝0，从而y 1＝±1，故点A 的坐标为(0,1)和(0，－1)．答案：(0，±1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共核心，而且离心率为52的双曲线方程．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴核心是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的核心也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(10分)(2020·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个极点取得的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.因此椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标知足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2.从而y 1＝4k1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2)．以下分两种情形：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)． 由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)．QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 21＋4k 2＋6k1＋4k 2(4k1＋4k 2＋6k1＋4k 2) ＝416k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147.因此y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.19．(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证： (1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px的核心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24，也成立．(2)由抛物线的概念，知|FA |＝x 1＋p2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p 22＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立． 20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，PA →·PB →＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及现在点C 的坐标．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，那么点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.∵PA →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2， 即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为m 1：y ＝kx ＋b .由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.①把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0， 则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0， 即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 现在，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．21．(14分)(2020·江西高考) 图2设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)假设C 2通过C 1的两个核心，求C 1的离心率； (2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，假设△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．解：(1)因为抛物线C 2通过椭圆C 1的两个核心F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可得c 2＝b 2.由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12， 因此椭圆C 1的离心率e ＝22. (2)由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)，(x 1>0)，那么由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0，因此－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0① 由于点N (x 1，y 1)在C 2上，故有x 21＋by 1＝b 2② 由①②得y 1＝－b 4，或y 1＝b (舍去)， 因此x 1＝52b ，故M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b4)， 因此△QMN 的重心为(3，b4)， 由重心在C 2上得：3＋b 24＝b 2，因此b ＝2，M (－5，－12)，N (5，－12)， 又因为M ，N 在C 1上，因此±52a 2＋－1224＝1，得a 2＝163.因此椭圆C 1的方程为：x 2163＋y 24＝1， 抛物线C 2的方程为：x 2＋2y ＝4.22．(12分)(2020·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 别离是双曲线E 的左、右极点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右核心且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，知足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，那么e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ·(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，因此x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学选修2-1综合测试卷A （含答案）一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)16 2．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．1 4．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11，c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(c b a ++=222c b a ++④c b a ⋅⋅)( =)(c b a ⋅⋅其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 8．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是 A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤4310．下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件。

福州格致中学2014-2015学年第二学段高二数学《选修1—1》模块考试（完卷时间：120分钟 全卷满分150）（第I 卷 满分100分） 编辑：鼓楼陈銮英 陈雯卿 陈霖一．选择题（共10题，每小题5分，共50分，每题只有一个选项正确） 1.命题“∀x ∈R ，cosx ＞0”的否定是（ ）A.∃Xo ∈R ，cosx ≤0B.∀X ∈R ，cosx ≤0C.∃Xo ∉ R ，cosx ≤0D.∃X ∉ R ，cosx ＞0 2.曲线f(x)= x1,则f ’（2）等于（ ）Ａ.41 B.41- C.21 D.21-3.抛物线y=2x ²的焦点到准线的距离是 Ａ.1 B .21 C.41 D .814.椭圆方程为x ²+4y ²=1，则它的右焦点坐标为A.）（0,5 B. ）（0,25 C. ）（0,3 D. ）（0,235.已知双曲线C ：）（0,012222>>=-b a by ax 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）A. y=±4x B. y=±3x C. y=±2x D. y=±x6 下列说法错误的是A. 命题“若a,b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题是“若a ，b 都不是偶数，则a+b 不是偶数B. 如果命题“⌝p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题C. 特称命题“∃x ∈R ，使042-2=-+x x ”是假命题 D .若q ≤1则022=++q x x 有实根的逆否命题是真命题 7. 设曲线31231)(3--=x x x f 在点（1，-2）处的切线与直线ax-y+1=0垂直则a=（ ）A. 31 B 3 C 1 D -18.X ≠4是|x|≠4的（ ）A ． 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要9.过抛物线y ²=2x 的焦点的直线交抛物线于A,B 两点，已知|AB|=10则线段AB 中点的横坐标是（ ） A .92 B. 4 C. 5 D .9410.已知双曲线E ：）（0,012222>>=-b a by ax 的右焦点为F （3,0），过F 的直线交双曲线于A,B 两点，若A,B 的中点坐标为N （-12，-15）则E 的方程为（ ） A .16322=-yxB.13622=-yxC.15422=-yxD.14522=-yx二．填空题（共3题，每小题4分，共12分）11.一个质量为10kg 的物体的运动方程为2()23s t t =+,物体的动能212U m v =，其中v 是速度，则当2t =的动能是12.若椭圆的两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的离心率为13.已知M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(2,3)N ,则M N M F +的最小值为三．解答题（共3题，共38分） 14.（本小题满分14分）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程。

2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.P 为抛物线y 2=2px(p >0)上一点，点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p =( )A. 2B. 4C. 4或9D. 2或182.已知p ：0<x <2，那么p 的一个必要不充分条件是( )A. 0<x <3B. −1<x <1C. 0<x <1D. 1<x <33.已知集合A ={(x,y)|y =x +1，0≤x ≤1}，集合B ={(x,y)|y =2x ，0≤x ≤10}，则集合A ∩B =( )A. {1,2}B. {x|0≤x ≤1}C. {(1,2)}D. ⌀4.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60°,AE =xAB +1−x3AD,x ∈[0,1]，则DE ⋅DC 的最小值为( )A. −2B. −43C. −23D. −125.若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a +lna >b +lnb ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.(2x 2−5x)(2+1x )7的展开式中含x 项的系数为( )A. 1984 B. 960C. 660D. 7047.已知sinα=2 67，cos (α−β)=105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=( )A.9 1535B.11 1035C.1535D.10358.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、M 、N 均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为( )①当点P 为BC 中点时，平面PEF ⊥平面GMN ②异面直线EF 、GN 所成角的余弦值为14 ③点E 、F 、G 、M 、N 在同一个球面上④若A 1P =t A 1A +A 1M −2t A 1B 1，则P 点轨迹长度为52A. 0B. 1C. 2D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。

一、选择题1．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前n 项之和为n S ，则满足不等式16170n S -<的最小整数n 是（ ）. A ．8B ．9C ．11D ．102．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩3．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+4．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}n a 的最小项是（ ） A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项5．已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n a +=∈+N ，若()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ<6．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（n N +∈，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===则20152013a a =（ ） A ．2420151⨯- B ．2420141⨯- C ．2420131⨯-D ．242013⨯7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．78．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129SS =（ ） A ．43B ．53C ．2D ．310．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞11．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a =C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 12．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,......n p p p 的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231920111b b b b b b +++=（ ） A ．1920 B ．120C ．1011 D ．111二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.14．数列{}n a 的前n 项和()*23n n S a n =-∈N，则4a=__________.15．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？16．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.17．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*1122n n n S a a n =+∈N .则数列{}n a 的通项公式为________.18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131413140,0,a a a a ><>，若10k k S S +<，则k =_________.19．数列{}n a 满足()211122,3,1n n nn n a a a a n a -+--+==+，21a =，33a =，则7a =________.20．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________.三、解答题21．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =． （1）求n a（2）设23log n n b a =，n n n c b a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22．设{}n a 是公比为正数的等比数列， 12a =，324a a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S . 23．在①35a =，2526a a b +=；②22b =，3433a a b +=；③39S =，4528a a b +=三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =，___________；求数列{}n a 、{}n b 的通项公式.24．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2n S k n n n N=⋅+∈，其中k 是常数.（1）求1a 及n a 的值； （2）当k =2时，求证：12n 1112 (3)S S S +++<； （3）设0k >，记21n nb a =，求证：当2n ≥时，23411...14(1)n n b b b b n k k -<++++<-++.25．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n a 满足()*1(1)1N n n na n a n +-+=∈，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值使数列为等差数列； （3）数列{}n b 满足141n n b S =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =？若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．26．设数列}{n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，n *∈N . （1）求通项公式n a ；（2）求数列}{2n a n --的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ， 令16170n S -<，即可得到满足不等式16170n S -<的最小整数n . 【详解】解：由题意可知：123n n a a ++=，即11322n n a a +=-+， 即()11112n n a a +-=--， 又110a =，119a ∴-=，即数列{}1n a -是以首项为9，公比为12-的等比数列， 11192n n a -⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，即11192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，11192n n n b a -⎛⎫∴=-=⨯- ⎪⎝⎭，12111219661212n nn n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 则111632170n n S --=⨯<， 即1112510n -⎛⎫<⎪⎝⎭， 又9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴满足不等式16170n S -<的最小整数19n -=， 即10n =. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.2．B解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.3．D解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈，22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.4．B解析：B 【分析】可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .【点睛】等差数列的前n 项和n S 具有以下性质()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.5．C解析：C 【分析】 由数列递推式()*12n n n a a n a +=∈+N 得到11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入1(2)2nn b n λ+=-⋅，当2n ≥时，1n n b b +>，且21b b >求得实数λ的取值范围. 【详解】 解：由12n n n a a a +=+得，1121n na a +=+ 则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭由11a =，得1112a +=， ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， ∴111222n n na -+=⨯=， 由()*11(2)1n nb n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈⎪⎝⎭N ，得1(2)2nn b n λ+=-⋅， 因为数列{}n b 是单调递增数列， 所以2n ≥时，1n n b b +>，1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅--⋅∴>，即12n λ+<， 所以32λ<， 又∵1b λ=-，2(12)224b λλ=-⋅=-， 由21b b >，得24λλ->-，得23λ<， 综上：实数λ的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法根据1n na a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断； （3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.6．C解析：C 【分析】利用定义，可得1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而121n n a n a +=-，利用201520152014201320142013a a a a a a =⋅，可得结论． 【详解】121a a ==，33a =，32212a a a a ∴-=， 1n n a a +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 121n na n a +∴=-， ()()20152015201420132014201322014122013140274025a a a a a a ∴=⋅=⨯-⨯-=⨯22(40261)(40261)40261420131=+-=-=⨯-．故选：C. 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7．C解析：C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭， 由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n =，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n a n n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出129S S 的值【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，63S S =3， ∴1165623232a d a d⨯+=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴112191112111212665298936392a dS a d S a d a d ⨯++===⨯++． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．10．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．A解析：A 【分析】首先根据新定义求得()21n S n n =+，再求数列{}n a 的通项公式，以及求得n b n =，最后利用裂项相消法求和.【详解】由已知可得数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1211..21n n n a a a S n ==++++，可得()21n S n n =+，则2n ≥时，()()212111231n S n n n n -=-+-=-+⎡⎤⎣⎦，∴ 141n n n a S S n -=-=-，当1n =时，113a S ==，满足41n a n =-，41n a n ∴=-，又14n n a b +=，故n b n =， 12231920111111 (12231920)b b b b b b ∴+++=+++⨯⨯⨯ 111111191..122319202020⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查新定义数列的理解，考查裂项相消法求和，以及已知n S 求n a ，属于基础题型，本题的关键是理解新定义.，并能抽象为121n n S n =+. 二、填空题13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；解析：1347 【分析】当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案. 【详解】解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为首项，3为公差的等差数列；所以31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 当k 为奇数时，202013473122k a k k ==-=∴，成立； 当k 为偶数时，404220203312k a k k ∴==-=，不成立； 故答案为：1347 【点睛】本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.14．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的解析：24 【分析】根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠， 所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，所以4143224a -=⋅=，故答案为：24. 【点睛】思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.15．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n 个正方形的边长为n a ,则第nn ， 所以第n +1个正方形的边长为12n n a a +=，12n n a a +∴=， 即数列{n a }是首项为15a =，公比为2的等比数列，152n n a -∴=⋅， 数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列， 123125(1)1250(1)1212n n nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5016．23【分析】先设奇数项公差为偶数项公比为根据已知条件列关系求解和再计算即得结果【详解】设数列的奇数项依次成公差为的等差数列偶数项依次成公比为的等比数列由故解方程得故则故答案为：23【点睛】本题考查了解析：23 【分析】先设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，根据已知条件列关系求解d 和q ，再计算78,a a ，即得结果. 【详解】设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，由11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，故127d q ++=，212213d q ++=， 解方程得2d q ==.故3718237,16a a d a a q =+==⋅=，则7823a a +=.故答案为：23.本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题.17．【分析】令由求出首项再由两式相减得出数列的递推关系式及可求出数列的通项公式【详解】由题意可得：当时所以当且时由所以两式作差可得整理可得因为所以因为所以数列为首项为1公差为1的等差1数列所以故答案为： 解析：n a n =【分析】 令1n =，由()2*1122n n n S a a n =+∈N 求出首项11a =，再由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N 两式相减得出数列的递推关系式，及可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】 由题意可得：当1n =时，211111122a S a a ==+，所以11a =， 当2n ≥且*n ∈N 时，由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，所以()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N ，两式作差可得221111112222n n n n n a a a a a --+-=-，整理可得()()1101n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，因为11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差1数列，所以n a n =. 故答案为：n a n = 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，解题的关键是根据已知关系求出递推关系，属于中档题.18．26【分析】由题意可得等差数列递减且可得可得结论【详解】等差数列中等差数列递减且满足的k 值为故答案为：【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质得出项的正负和前项和的关系是解决问题的关键属中解析：26 【分析】由题意可得等差数列递减且13140a a +>，可得2526270,0,0S S S >><，可得结论.【详解】等差数列{}n a 中131413140,0,a a a a ><>，∴等差数列递减且13140a a +>，13142513262714250,260,2702a a S a S S a +∴=>=>=<，∴满足10k k S S +<的k 值为26,故答案为：26 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，得出项的正负和前n 项和的关系是解决问题的关键，属中档题.19．【分析】由等式变形可得出利用等比中项法可判断出数列为等比数列求出该等比数列的公比利用等比数列的通项公式即可求出的值【详解】即由等比中项法可知数列为等比数列且公比为解得故答案为：【点睛】本题考查了数列 解析：63【分析】由等式211121n n n n n a a a a a -+--+=+变形可得出()()()211111n n n a a a +-++=+，利用等比中项法可判断出数列{}1n a +为等比数列，求出该等比数列的公比，利用等比数列的通项公式即可求出7a 的值. 【详解】()()()22211111111121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+---+-++-+===-+++，即()211111nn n a a a +-++=+， ()()()211111n n n a a a +-∴++=+，由等比中项法可知，数列{}1n a +为等比数列，且公比为32121a a +=+， ()55721122264a a ∴+=+⨯=⨯=，解得763a =.故答案为：63. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．4【分析】在等比数列中将已知转化为首项和公比求得再将其带入通项公式中求得答案【详解】因为所以在等比数列中所以或-3（舍）故故答案为：4【点睛】本题考查等比数列中知三求二由已知转化为首项和公比进而表示解析：4 【分析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得2q ，再将其带入通项公式中，求得答案.【详解】因为11a =，所以在等比数列中32422431116a a a a q a q a q q q +=⋅+=+=所以22q =或-3（舍），故425124a a q ===故答案为：4【点睛】本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.三、解答题21．（1）2n n a =；（2）13(1)26n n T n +=-⋅+【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知条件24a =，532a =，可得1,a q ，即可求得n a ；（2）由（1）知3n b n =，23nn c n =⋅，利用错位相减法即可求数列{}n c 的前n 项和.【详解】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由已知24a =，532a =，可得141432a q a q =⎧⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， 所以112n nn a a q -== （2）由（1）知223log 3log 23nn n b a n ===，23n n c n =⋅12336222293n n T n =+++⨯+∴⨯⋅⨯ ① 2341236922223n n T n +=++++⋅⨯⨯⨯ ②①-②得：12312223333232n n n T n +=++++-⨯⨯⋅-⨯⨯()111231122222223331232n nn n n n +++-=++++-⋅=-⋅⨯⨯-()11122332n n n ++=--⋅⨯()13126n n +=⨯-⋅-13(1)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法： （1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法； （4）等差⨯等比数列：错位相减法.22．（1）2nn a =；（2）1222n n S n +=+-.【分析】（1）利用等比数列的定义求出公比2q后，再根据11n n a a q -=可得结果；（2）根据等差数列的首项和公差求出n b 后再根据等差、等比数列的前n 项和公式，分组求和，即可得到结果. 【详解】（1）由题意设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，12a =，324a a =+，∴2224q q =+，即()()120,0,q q q +-=>∴2q，∴{}n a 的通项公式1222n n n a -=⨯=.（2）{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴()12121n b n n =+-=-，∴数列{}n n a b +的前n 项和()()1221212122122n n nn n S n +⨯-+-=+=+--. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式，关键是正确求得等比数列的基本量，并注意分组求和思想的应用，属于基础题. 23．21n a n =-，12n n b -=【分析】若选条件①，则可根据35a =得出125a d +=，然后根据2526a a b +=得出11256a d a d +=，最后两式联立，求出1a 、1b 、d 、q 的值，即可得出结果；若选条件②，则可根据22b =得出12a d =，然后根据3433a a b +=得出211253a d a d +=，最后两式联立，求出1a 、1b 、d 、q 的值，即可得出结果；若选条件③，则可根据39S =得出1339a d +=，然后根据4528a a b +=得出11278a d a d +=，最后两式联立，求出1a 、1b 、d 、q 的值，即可得出结果.【详解】 选条件①：因为35a =，所以125a d +=，因为2526a a b +=，11a b =，d q =，所以11256a d a d +=，联立11125256a d a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），则111a b ==，2d q ==， 故1(1)21n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q .选条件②：因为22b =，11a b =，d q =，所以12a d =，因为3433a a b +=，所以211253a d a d +=，联立12112253a d a d a d =⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或112a d =-⎧⎨=⎩(舍去)， 则111a b ==，2d q ==， 故1(1)21n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q .选条件③：因为39S =，所以1339a d +=，因为4528a a b +=，11a b =，d q =，所以11278a d a d +=，联立111339278a d a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)， 则111a b ==，2d q ==， 故1(1)21n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q .【点睛】方法点睛：本题考查等差数列、等比数列通项公式的求法，常见的求通项公式的方法有：公式法、累加法、累乘法、n a 与n S 关系法、构造法，考查计算能力，是中档题. 24．（1）1121n a k a kn k =+=-+；；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解；（2）转化条件得12(21)(21)n S n n <-+，由裂项相消法即可得证； （3）通过放缩可得1n b >、111114n n n b k a a -⎛⎫<+- ⎪⎝⎭，结合裂项相消法即可得证.【详解】（1）1n =时， 111a S k ==+，2n ≥时，221[(1)(1)]21n n n a S S k n n k n n kn k -=-=⋅+-⋅-+-=-+，又11a k =+也满足21n a kn k =-+， 11,21n a k a kn k ∴=+=-+；（2）证明：当 2k =时， 22n S n n =+112211(21)2(21)(21)(21)2121n S n n n n n n n n ∴==<=-++-+-+ 2n ∴≥时，12311111111111335572121n S S S S n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-+⎝⎭2123213n =-<+；显然1n =时，111233S =<成立； 123111123n S S S S ∴++++<； （3）证明：当0k >时，1n a >，2411n na a ∴>，2222111111n n n n n b a a a a ⎛⎫∴=>=+-= ⎪⎝⎭ 231n b b b n ∴+++>-；又当2n ≥时，22221131111111111112224nn n n n n n n n a b a a a a a k a a --++⎛⎫=<-=+<+=+- ⎪⎝⎭， 2312231111111114n n n b b b n k a a a a a a -⎛⎫∴+++<-+-+-++- ⎪⎝⎭111111111144(1)44(1)n n n n n k a a k k k a k k ⎛⎫=-+-=-+-<-+ ⎪+⋅+⎝⎭， 综上所述，当2n ≥时，()2311141n n b b b n k k -<+++<-++. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对数列进行合理放缩，细心计算即可得解. 25．（1）21n a n =-；（2）1λ=；（3）存在；2m =，12k =． 【分析】（1）由1(1)1n n na n a +-+=，变形为11111nn a a n n n n +-=-++，再利用累加法求解. （2）由（1）求得2n S n =列，求得1λ=，再检验即可. （3）由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，然后利用裂项相消法求解. 【详解】（1）1(1)1n n na n a +-+=，两边同时除以()1n n +得：11111n n a a n n n n +-=-++， 从而有：11111n n a a n n n n --=---，……，2111122a a -=-． 叠加可得：1111n a a n n-=-，21(2)n a n n =-≥．又1n =满足等式，从而21n a n =-．（2）因为12n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为2为等差数列， 所以2(1)22n n n S n n -=+⨯=，所以解得1λ=．检验当1λ=21n =+23n =+，2=，∴当1λ=时，为等差数列． （3）∴211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，111111111233523212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 若23k m T T =， 则22321(21)k m k m =++，整理得223412m k m m=+-， 又1k m >>， ∴2234121m m m m m ⎧>⎪+-⎨⎪>⎩， 整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩解得112m <<+， 又*m N ∈，∴2m =，∴12k =∴存在2m =，12k =满足题意【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．26．（1）13-=n n a ，n *∈N ；（2）22,135112n n n T n n =⎧⎪=⎨--+⎪⎩，2n ≥，n *∈N . 【分析】（1）首先利用赋值，求1a 和2a ，再利用n a 于n S 的关系式，变形得到13n n a a +=，再利用等比数列求通项公式；（2）首先讨论数列{}2n a n --的正负，再分1,2n n ==，3n ≥，求数列}{2n a n --的前n 项和.【详解】 （1）由题意得1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时， 由)()(1121212n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，且213a a =， 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，所以，数列}{n a 的通项公式为13-=n n a ，n *∈N .（2）设132n n b n -=--，n *∈N ，12b =，21b =.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132n n b n -=--，3n ≥.设数列}{n b 的前n 项和为n T ，则12T =，23T =.当3n ≥时，)()()(2291372351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-，所以，22,135112n n n T n n =⎧⎪=⎨--+⎪⎩，2n ≥，n *∈N . 【点睛】易错点点睛：利用n a 与n S 的关系式求通项公式时，不要忽略n 的取值范围，第二问不要忽略当320n n --<时，需单独求1T 和2T 的值.。