九年级数学上册281圆的概念及性质过圆内一点最长的弦和最短的弦素材冀教版!

圆的概念及性质教学目标：1．经历探索圆的过程,理解圆的本质属性；2．了解圆的有关概念,理解概念之间的区别和联系.教学重点与难点：教学重点：圆的有关概念教学难点：定义圆应该具备的两个条件．教学过程：一、创设情景1.你能列举日常生活中哪些物体是圆形的吗?为什么人们把车轮做成圆的呢?(揭示本章学习的内容)设计意图：结合生活实际,从学生已有的知识出发,列举生活中的圆,一方面使学生体会圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用,另一方面从中提出问题,让学生自然而然地进入新知识的学习中.2.探究新知试一试：师生一起用圆规画圆.思考：若在操场上画一个大圆，你有什么办法？设计意图：学生动手操作中发现圆的形成过程，为得出圆的概念提供感性认识.3.说一说：观察以上两种画图的方法，你能说说圆的形成过程吗？学生讨论得出：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

我们知道，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点为圆心的圆，记作“⊙O”读作“圆O”.设计意图：让学生动手操作实验中发现圆的形成过程和圆的性质。

4.量一量，圆上任意一点到圆心的距离相等吗？为什么？反过来，平面内到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗？学生通过独立操作，思考原因.学生互相补充，得到结论：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.所以，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.设计意图：让学生在交流讨论中，体会到圆是一个平面图形.只有圆心确定、半径也确定，才能确定一个圆.5.为什么人们将车轮做成圆形的吗？你能说说原因吗？如果车轮不是圆的（比如椭圆或正方形的），坐车的人会是什么感觉？设计意图：体会圆在日常生活中的应用，为下面的学习作好心理准备.6.认识圆的有关概念（1）弦和直径：连续圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（4）弓形：由弦及所对的弧组成的图形叫做弓形.（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.三、巩固练习已知：如图，AB，CD为⊙O的直径.求证：AD//CB.证明：连接AC，DB.AB，CD为⊙O的直径，∴OA=OB,OC=OD.∴四边形ADBC为平行四边形，∴AD//CB.四、梳理小结1.本节课你学到了圆的哪些知识？2.你能说说弦与直径，弧与半圆的关系吗?。

§27.1 圆的基本概念和性质一、课题 §27.1 圆的基本概念和性质 二、教学目标1.在同圆或等圆中，等弧与等弦的关系.2.垂径定理. 三、教学重点和难点重点：通过探索掌握垂径定理. 难点：垂径定理的应用. 四、教学手段现代课堂教学手段 五、教学方法启发式教学 六、教学过程设计（一）、观察与思考让学生拿出课前准备的两张半透明的纸，在纸上分别画出半径相等的⊙O 1 , ⊙O 2及相等的两条弦AB ,CD ,把两张纸叠放在一起，使⊙O 1 ,和 ⊙O 2，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当的角度，使弦AB 和CD 重合.让学生观察，讨论，得到什么结论在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，相等的弦所对的优弧和劣弧相等. 一起探究将画有圆(如右图)的纸片对折，探究圆中的相等的线段、弧.C学生操作，交流得出：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.通过＂大家谈谈＂进而得出：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的应用例：课本第7页以赵州桥背景的题目. （三）、小结在同圆或等圆中，等弦和等弧的关系是将圆中的线段和弧建立了关系；垂径定理的应用非常广泛，要注意它的应用. 七、练习设计 八、教学后记 后备练习：1. 如图，已知⊙O 的半径5OA =，弦AB 的弦心距3OC =，那么AB =______________．2. 如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，E 是弧AC的中点，OE 交弦AC 于D .若AC =8cm ，DE =2cm ，则OD 的长为 cm ．3. ⊙O 的半径为5cm ，弦A B C D ∥，68AB CD ==cm ，cm ，则AB 和CD 的距离是 Ａ．7cmＢ．8cmＣ．7cm 或1cmＤ．1cm4. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图8－1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图（单位：cm ）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A ，B ，E 三个接触点，该球的大小就符合要求．DAB图（2）是过球心O A 及，B ，E 三点的截面示意图．已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB O 是的弦，CD O E 切于点，AC CD ⊥，BD CD ⊥．请你结合图（1）中的数图（1）E 图（2）。

九年级上册数学冀教版圆的知识点圆是数学中的一个基础概念，也是九年级上册数学冀教版中的一个重要知识点。

本文将为大家详细介绍圆的定义、性质以及一些相关定理，以帮助大家更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的定义圆是平面上一组与一个固定点的距离都相等的点构成的集合。

这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。

圆可以用符号“O” 表示。

二、圆的性质1. 圆的半径相等的两条弦相等。

证明：对于圆O，假设弦AB和弦CD的长度相等，即AB=CD。

连接AO、BO、CO、DO。

由圆的定义可知，AO=BO=CO=DO，所以△AOB≌△COD。

根据三角形的性质可知 AB=CD。

2. 相等弧所对的圆心角相等。

证明：设圆弧AB和圆弧CD等长，即 AB=CD，连接AO、BO、CO、DO。

根据圆的性质可知 AO=BO=CO=DO，同时根据圆的定义可知 AO=CO，BO=DO。

故有△AOB≌△COD，所以∠AOB=∠COD。

3. 在同一个圆中，离圆心较远的弧所对的圆心角比离圆心较近的弧所对的圆心角大。

证明：设弧AB较长，弧CD较短，连接AO、BO、CO、DO。

根据圆的性质可知AO=BO=CO=DO，但由于CD<AB，所以∠COD<∠AOB。

三、相关定理1. 直径定理直径是圆上任意两点之间的最长线段，也是通过圆心的两条弦之一。

直径是圆上最特殊的一条弦，有一个重要的定理与之对应：圆上的任意弦若与直径垂直，则该弦是直径。

证明：设弦AC与直径BD垂直，连接BC和AD。

根据圆的性质可知AB=CD，并且∠BAC=∠BDC=90°，所以△ABC≌△CBD。

由此可知AC=BD，即弦AC与直径BD相等，所以弦AC是直径。

2. 弦割定理在同一个圆内，若有两条弦AB和CD相交于点E，则AE·EB=CE·ED。

证明：连接OA、OB、OC、OD。

根据圆的性质可知OA=OC，OB=OD，所以△OAE≌△OCE，△ABE≌△CDE。

圆的基本概念和性质教学设计教学设计思想圆是初中几何中重要的内容之一。

本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。

讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。

第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。

教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。

数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。

利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。

教学目标知识与技能：1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。

过程与方法：1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。

情感态度价值观：体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

教学重难点重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。

难点：垂径定理探索及其应用。

教学方法启发式教学教学媒体多媒体，圆规，直尺，半透明纸课时安排2课时教学过程设计第一课时一、观察与思考观察汽车和皮带转动轮的视频或图片提问：车轮是什么形状的？生：圆形（问题简单，一起回答）教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？”生：“不能！”“它们无法滚动！”出示小人骑不同轮子小车的课件师：那我们这样吧，把轮子作成椭圆的，可不可以，同时在黑板上画一椭圆。

生：不行，这样一来，车子前进时，就会一忽儿高，一忽儿低。

教师再进一步启发：为什么做成圆形就不会一下高，一下低呢？学生思考，同桌讨论，并回答：因为车轮上的任何一点到轴心的距离都相等的。

圆的“对称性”的应用圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.结合圆的特点，我们体会它们的用处：【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图1所示，若油面宽6米，则油的最大深度为 _____ •图1分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度，就是求图1中弓形高CXOD— 0C,所以关键是求0C,利用勾股定理在中可求出.通过本题可看出图小弦长臼,弦心距d 半径与弓形高力四者之间的关系，要特别明确:①厂肝/②比（£）2+/由两个式子可知对2于臼、d、r、力这四个量，已知两个，另外两个一定能求，我们应该熟记.解:作半径〃丄初于C,・・W丄/伊0・6><丄=0. 3.2 2在Rt△应农中，V OC= y]OA2 -AC2 = 7（0.5）2-（0.3）2=0. 4,・・・少勿一OOO. 5—0. 4二0. 1（米）.・••油的最大深度为0. 1米.【例2]在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为 ________ .分析：本题考查垂径定理和勾股定理•根据题意，画出图形,这是与半径、弦长有关的问题，很自然联想到垂径定理，作出垂径，根据弦长日，圆心到弦的距离d,半径于三者Z间的关系?=（-）W 可求出弦心距d,从而问题解决.解答本题时，一定要注意分两种情况讨论，两条2平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.解:①如图2所示，如果两条平行弦在圆心两侧，过。

作EFLAB予E, EFJCD于穴连结肋、C0,在 Rt △应/屮，0^yJOA 2 -AE 2 = ^52 -42=3, 在 RgCOF 中，OF^-JOC 2 -CF 2 = ^52 -32=4, :.EPOE+OPll 厘米).过0作0E 丄AB 于E,延长必交〃于A '： AB//CD.则OF LCD.连结/10、CO,在 RtAJ6ff 中，O&QOA? —AE?二居 _4?二3,在 ROCOF 中，OF^y)0C 2 -CF 2= ^52 -32 =4, :・E®OF—OH 厘米）.【例3】已知：如图4, M 是00的直径，弦CD LAB 于只CD=Wc/n f AP ： PB=\：5.求：OO 的半径.图3分析：已知直径肋丄弦CD,利用垂径定理可知 Q 丄CM cm,可设AP-x, P05x,直径励x, 2连结0C,则0O3x,把已知和未知集中在Rt'CPO 屮，利用勾股定理可以求解.一个圆的半 径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线.连结0C 构造岀一个 直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决.在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常 作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题.解：连结0CJ AP ： PB=\ ： 5,:. 设 AP=x, PB=5x, AB=AP+PB=6x,•・・直径/矽丄弦图2②如图3所示，如果两条平行弦在圆心同侧,/. PC= PD=丄CD= 5 cm,2•・・0C+0A=3x,:.P0=2x,在Rt'POC中，根据勾股定理，得2 2 20C = PC + 0P ・2 2 2・・・(3%) =5 + (2x).解方程，得x=±G，x=-^5不合题意，舍去.・・・(DO的半径为3后cm.【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》屮的一个问题，‘'今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是: “如图3-2-16所示,G?为00的直径，弦AB1CD,垂足为E,炉1寸,求直径〃的长.”分析：本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题.解决本题的关键是理解题意, 把文言文翻译成数学语言，然后画出儿何图形，再利用数学知识来解决.解:连结0A.•:ABICD,CD为直径，・•・/佞丄力伕丄X 10二5(寸).2 2在Rt△处0中，设创=/,则0&x—\,由勾股定理，得Ab2+(^-l)2,解得尸13.・••妬13, C/)=2AO=26 (寸).。

圆的概念及性质教学内容圆的有关概念及性质．教学目标知识与技能了解圆的有关概念，灵活运用圆的概念解决一些实际问题．过程与方法从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．重点：圆的概念．难点：定义圆应该具备的两个条件．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1．举出生活中的圆三、四个．2．你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．学生四人一组讨论下面的两个问题：问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结．（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．同时，我们又把①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；②经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到：三、巩固练习教材练习．四、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆的有关概念；2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．五、布置作业1．教材复习巩固．2．车轮为什么是圆的呢？AC AC ABC AC BC。