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第4章单位根检验（讲稿）（★）第一篇：第4章单位根检验(讲稿)第4章单位根检验4.1 DF分布由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。
因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。
在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。
这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。
1）检验模型在介绍检验方法之前，先讨论所用统计量的分布。
给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p.），yt = β yt-1 + ut ，(4.1) yt = μ + β yt-1 + ut ，(4.2)yt = μ + α t + β yt-1 + ut ,(4.3)y0 = 0, ut ~ IID(0, σ)其中μ称作位移项（漂移项），α t称为趋势项。
显然，对于以上三个模型：当|β| < 1时，yt 是平稳的，当|β| = 1时，yt 是非平稳的。
2）检验统计量分布以模型(4.1)为例，（1）若β= 0，统计量，2ˆ-0βˆ)t(β=t~(T-1)(4.4)ˆs(β)的极限分布为标准正态分布。
（2）若|β| < 1，统计量，ˆ-ββˆ)=t(βˆ)(4.5)s(β渐进服从标准正态分布。
根据中心极限定理，当T →∞时，ˆ-β)→ N(0, σ 2(1-β 2))(4.6)T(βTˆ)t(β（3）那么在|β| = 1条件下，统计量服从什么分布呢？当|β| = 1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化（方差为零）。
①DF统计量检验单位根的一个统计量是DF统计量。
DF统计量的表达式与通常意义的t统计量完全相同。
ˆ-1ˆ-1ββˆ)=DF=t(β=Tˆs(β)s(y2)-1/2u∑t-1t=1 2=(∑yt-1)t=1T21/2∑uytt=1Tt=1Tt-12suT y∑t-1∑utyt-1= 当T →∞时，DF =ˆ-1βˆ)s(βsu(∑yt-12)1/2t=1t=1T(4.16)⇒(1/2)(W(1)2-1)(W(i)di)0⎰121/2(4.17)同理，对于模型(4.2)和(4.3)的DF统计量的极限分布也是Wiener过程的函数。
第4章 单位根检验4.1 DF 分布由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。
因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。
在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。
这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。
（1）检验统计量分布在介绍检验方法之前，先讨论所用统计量的分布。
给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p .）， y t = β y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (4.1) y t = μ + β y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (4.2) y t = μ + α t + β y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (4.3) 其中μ 称作位移项（漂移项），α t 称为趋势项。
显然，对于以上三个模型，当 | β | < 1时，y t 是平稳的，当 | β | = 1时，y t 是非平稳的。
以模型 (4.1)为例，若 β = 0，统计量，)1(~)ˆ(ˆ)ˆ(-=T t s t βββ (4.4) 的极限分布为标准正态分布。
若| β | < 1，统计量，)ˆ(ˆ)ˆ(ββββs t -= (4.5) 渐进服从标准正态分布。
根据中心极限定理，当T → ∞ 时，)ˆ(ββ-TT → N (0, σ 2 (1- β 2 ) ) (4.6) 那么在 | β | = 1条件下，统计量)ˆ(βt 服从什么分布呢？当 | β | = 1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化（方差为零）。
首先观察 β = 1条件下，数据生成系统(4.1)，(4.2) 和 (4.3)的变化情况。
β = 1条件下的(4.1)式是随机游走过程。
-10-551020406080140160y=y(-1)+u图4.1 由y t = y t -1+ u t 生成的序列12001400160018002000220050100150200250300图4.2深圳股票综合指数（file:stock ）β =1条件下的 (4.2) 式是含有随机趋势项的过程。
第4章单位根检验4.1 DF分布由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。
因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。
在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。
这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。
1）检验模型在介绍检验方法之前，先讨论所用统计量的分布。
给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p.），y t = β y t-1 + u t , (4.1)y t = μ + β y t-1 + u t , (4.2)y t = μ + α t + β y t-1 + u t ,(4.3)y0 = 0, u t~ IID(0, σ2)其中μ称作位移项（漂移项），α t称为趋势项。
显然，对于以上三个模型：当|β| < 1时，y t 是平稳的，当|β| = 1时，y t 是非平稳的。
2）检验统计量分布以模型(4.1)为例，（1）若β = 0，统计量，(1)ˆ0ˆ()~ˆ()T t t s βββ--= (4.4) 的极限分布为标准正态分布。
（2）若| β | < 1，统计量，)ˆ(ˆ)ˆ(ββββs t -= (4.5) 渐进服从标准正态分布。
根据中心极限定理，当T → ∞ 时，)ˆ(ββ-TT → N (0, σ 2 (1- β 2 ) ) (4.6) （3）那么在 | β | = 1条件下，统计量)ˆ(βt 服从什么分布呢？当 | β | = 1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化（方差为零）。
①DF 统计量检验单位根的一个统计量是DF 统计量。
DF 统计量的表达式与通常意义的t 统计量完全相同。
∑=---=-==T t t u y s s t DF 12/121)(1ˆ)ˆ(1ˆ)ˆ(ββββ∑∑∑=-=-=-=Tt t T t t t uT t t y y u s y 1211112/121)( =∑∑=-=-T t t u T t t t y s y u 12/12111)( (4.16) 当T → ∞ 时，DF = )ˆ(1ˆββs - ⇒ 2/11022))(()1)1()(2/1(di i W W ⎰- (4.17)同理，对于模型 (4.2) 和 (4.3) 的DF 统计量的极限分布也是Wiener 过程的函数。
