2020-2021学年浙江省宁波市李惠利中学等六校高二(上)期中数学试卷 (解析版)

浙江省宁波市效实中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题参考公式：柱体的体积公式:V Sh = （其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高)锥体的体积公式：13V Sh=（其中S 表示锥体的底面积,表示锥体的高)球的表面积公式:2=4S R π（其中R 表示球的半径）球的体积公式 ：343V R π=（其中R 表示球的半径）台体的体积公式:11221()3V S S S S h=(其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 ）第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1。

直线l 与平面α不平行,则A.l 与α相交B.α⊂lC.l 与α相交或α⊂lD.以上结论都不对2.已知c b a ,,是三条直线，γβα，，是三个平面，下列命题正确的是A.若,//,//,//βαβαb a 则b a // B 。

若,,γαβα⊥⊥则γβ// C.若,,αβ⊥⊂b b 则βα⊥ D.若,//,ααc b ⊂则c b //3。

若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为 A 。

23 B 。

43 C 。

33D.21 4.椭圆5522=+ky x的一个焦点是()2,0，那么实数=kA 。

1-B 。

1C 。

5D.5-5。

在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,41==AB AA ,点F E ,分别为棱11,CC BB 上的两点,且1121,41CC CF BB BE ==，则A 。

AF E D ≠1,且直线AF E D ,1异面 B 。

AF E D ≠1，且直线AF E D ,1相交 C 。

AF E D =1，且直线AF E D ,1异面 D 。

AF E D =1，且直线AF E D ,1相交6。

已知椭圆15922=+y x 的右焦点为F ，P 是椭圆上的一点，点()32,0A ,当APF ∆的周长最大时，直线AP 的方程为 A.3233+-=x y B.3233+=x y C 。

晨鸟教育绝密★考试结束前2020 学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟．3．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．参考公式：台体的体积公式锥体的体积公式V 1 S S S S h 1V Sh1 12 23 3其中，分别表示台体的上、下底面积，表示其中表示锥体的底面积，表示锥体的高S S h S h1 2台体的高球的表面积公式柱体的体积公式V Sh S4R2其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高其中R表示球的半径选择题部分（共40 分）一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中，为真命题的是（）A．若a//b，b//c，则a//c B．若a(1, 2,1) ，则a 6C．若a(1, 1, 1) ，b(2, 2, 2)，则a b D．若a b0 ，则a0或b02．圆上的点到直线距离的最小值是（）x2 y2 2x2y10 x y 4A．1 2 2 B．2 C．2 2 1 D．1 23．如图，四边形A B C D为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若A B 2 ，则原正方形ABCD 的面积是（）Earlybird晨鸟教育A．4 B．2 C．1 D．164．已知向量a(2, x,2) ，b(1,1, 2) ，若a b，则x的值是（）A． 2 B．2 C．3 D． 35．下列命题：①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；②一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；③棱台的相对侧棱延长后必交于一点；④棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．其中为真命题的是（）A．①B．②C．③D．④6．使不等式x2 2x 3 0成立的一个充分不必要条件是（）A．x 2 B．x0 C．x0 或x 2 D．x1或x 37．在空间中，A(1,1, 2) ，B(3,3, 2)，C(2, 6, 2) ，则ABC大小为（）A．45B．60C．90D．1358．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”ABC A B C AC BC AA AB，，若，当“阳马”体积最大时，“堑堵”1 2 B A ACC 1 11 1 1ABC A B C的表面积为（）1 1 1A．4 4 2 B．6 4 2 C．8 4 2 D．8 6 29．已知圆M：(x1)2 (y2)2 5和点P(3, 5) ，过点P做圆M的切线，切点分别为A、B，则下列命题：①k k4；②PA 2 2 ；③AB所在直线方程为：2x3y13 0 ；④△PAB外接圆的PA PB方程为x2 y2 4x7y13 0 ．其中真命题的个数为（）Earlybird晨鸟教育A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在矩形ABCD中，AB 2 ，BC 1，E、N分别为边AB、BC的中点，沿DE将△ADE 折起，点A折至A处（A与A不重合），若M、K分别为线段A D、AC的中点，则在△ADE折起过1 1 1 1程中（）A．DE可以与AC垂直1B．不能同时做到MN// 平面A BE且BK// 平面1 A DE 1C．当时，平面MN A D MN1 A DE 1D．直线，与平面所成角分别为、，、能够同时取得最大值A E BK BCDE1 12 1 2非选择题部分（共110 分）一、填空题；本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．11．在正方体中，异面直线与所成角的大小是______．ABCD A B C D ACBC 11 1 1 112．已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于、两点，则圆的方程l3x y 6 0 M(0,1) 5 M A B M1为______，AB ______．13．已知A(1,0, 2)，B (1,3,1) ，点M为z轴上一点，且满足M A M B，则点坐标为______．关M A于M的对称点的坐标为______．14．函数 1 1与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的取值范围是y x2 y k(x2) kEarlybird晨鸟教育______．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm）．此几何体的表面积为______ c m2 ，；此几何体的体积为______ c m3 ．16．若命题“方程x2 mx 3 0 在1, 2上有解”为假命题，则m的取值范围是______．17．已知在棱长为12 的正四面体ABCD的内切球球面上有一动点P，则PA的最小值为______，1PA PB的最小值为______．3三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知命题p：实数x满足x2 5x 6 0，命题q：实数x满足m 2 x m2．（1）当m5时，若“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．三棱柱中，侧棱与底面垂直，， 1 2，、分别是ABC A B C ABC90AB BC BB M N1 1 1AB、的中点．AC1（1）求证：MN// 平面BB C C；1 1（2）求MN与平面AAC C所成角的大小．1 1Earlybird晨鸟教育20．已知圆：，圆：．C x2 y2 2x0 C x2 y2 4x2my2m2 01 2（1）求m的取值范围并求出半径最大时圆C的方程；2（2）讨论圆和圆的位置关系，并说明理由．C C1 221．如图，四棱锥P ABCD的底面是菱形，AB 2 ，，侧面底面，且DAB PAB ABCD△PAB3是正三角形．（1）求证：PD AB；（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．22．已知直线x2y 2 0 与圆C：x2 y2 4y m0 相交，截得的弦长为2 5 ．5（1）求圆C的方程；（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数y x2 的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C相切；（3）若函数图象上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，判断直y x2 P Q R PQ PR C线QR与圆C的位置关系，并加以证明．2020 学年宁波金兰合作高二上期中试卷试题参考答案一、1．B 2．C 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．D二、11．6012．x2 (y1)2 5 ；10 13．(0, 0,3)；(1,0,8)424 8 5 8 2 6414．, 1 15．；16．(,2 3) (4,)3 3Earlybird晨鸟教育17．PA的最小值为4 6 2 6 2 6 ；PA 1 PB的最小值为4 33 ．3 318．解：（1）由题意p：1x 6 ，命题q：3 x7 ，因为“p且q”为真，所以p，q都为真命题，得x3, 6．1m 2 （2）因为p是q的必要不充分条件，则x m 2 x m2是x1x6的真子集，所以，m 2 6所以m1, 4．19．解1：（1）连接BC，，因为在中，，为别是，AC的中点，所以AC△ABC M N AB1 1 1MN BC MN BCC B MN//// BCC B，又因为平面，所以平面．1 1 1 1 1（2）取AC上靠近A的四等分点D，连接MD、ND，因为ABC90，AB BC BB，所以1 2MD AC，因为三棱锥中，侧棱与底面垂直，ABC A B C1 1 1所以所以平面，所以为与平面所成角．MD AA MD AAC CAA CC MND MN1 1 1 1 11在Rt△MND中，MDN90，，，MN BC 1 22 MD AC 12 4 22MD 12所以．sin MNDMN 2 2所以MN与平面AAC C所成角的大小为．1 16解2：如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，所以，(2, 0, 0) A B(0, 0, 2) A(0, 2, 2) M(0,1, 2)C1(0, 2, 0)1Earlybird晨鸟教育N M N(1, 0,1)(1, 1, 1)，，所以，．A(0, 0, 2) 1 1 (2, 2, 0)A1ACAAC C n(x, y, z) 2 0n(1,1, 0)z设平面的法向量为，则解得1 12x2y0MN n设直线MN与平面所成角为，则，AAC C sin 1 11 12 22 MN n所以MN与平面AAC C所成角的大小为．1 1620．（1）1：圆的标准方程C x2 y2 4x2my2m2 0 C(x2)2 (y m)2 4 m2：，化为圆的标准方程：：，2 2所以4 m2 0 m(2, 2) ，r 4 m2 2，当m0时，r，此时：max 2 C2(x2)2 y2 4．（1）1：圆的一般方程D E4F16 4m8m2 2 2 2C x2 y2 4x2my2m2 0 r m4 22由：得．22 2当m0时，r，此时C：x2 y2 4x0．max 22（2） ： ，即圆 是以 为圆心，1 为半径的圆；C(x 1)2 y 2 1 C(1, 0) 11C(x 2)2(y m )2 4 m 2C(2,m ) 4 m 2m(2, 2)：，即圆是以为圆心，为半径的圆，其中；22C 1C 29 m 2 32rrm 12143 因为 ，，所以当 m0时， C Crr ，两圆外切；当 m (2, 0) (0, 2) 时， C Crr ，两圆外离．1 2121 21221．（1）（证线面垂直）证明：取 AB 的中点O ，连接OD ，OP ， 由题意知，△ABD 为等边三角形，所以 ABOD ，又△PAB 是等边三角形，所以 AB OP ，又OP OD O OP ODPODABPODPDPOD，，平面，所以平面，又平面，所以PDAB．Earlybird晨鸟教育（2）1：（坐标法）如图，由（1）知，AB OP，PO 平面PAB，平面PAB 平面ABCD AB，平面PAB 平面ABCD PO ABCD O OB x OD y OP，所以平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P0, 0, 3，B(1, 0, 0) ，C 2, 3,0，D0, 3,0，B D 1,3,0，PD PC 2, 3, 3，．设平面的一个法向量为，即PBD n (x, y, z ) 0,n BD 0, 3, 3n PD0,x3y0, 取，得，，即，y x 3 z 1 n3,1,113y3z0,设直线PC与平面PBD所成角为，则sin cos , 2 3 6 ，n PC10 5 56所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．5（2）设点C到平面PBD的距离为h，直线PC与平面PBD所成的角是，sin h，PC同方法一得，PO平面ABCD，PD PO DO 6 ，又PB2，BD2，Earlybird晨鸟教育BD 2 PB 2 PD2 1cos PBD15所以，所以，所以sin PBD2BD PB 4 41 15．S PB BD sin PBD△PBD2 21 12 151 15 1由，有．得，．V VS h S PO h 3 3 hC PBD P BCD PBD BCD△△3 3 3 2 3 5又PD AB，AB//CD，所以PD CD，所以PC PD CD 10 ，PC PBD 6h 6所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．sinPC 5 522．解析：（1）解：圆C：x 2 y 2 4y m 0 ，可化为圆x 2 (y 2)2 m 4 ，圆心到直线的距离2 2d 2 52 5 2，因为截得的弦长为，所以，所以，所以圆的方程为m 3C m 45 5 5 5x 2 (y 2)2 1；2（2）证明：设过原点O的切线方程为y kx，即kx y 0 ，圆心到直线的距离1，所以k 12k 3 O y3x y x2 x 3 y 3 C ，设过原点的切线方程为，与函数，联立可得，所以与圆相切；b a2 2（3）解：设P a a，Q b b，，可得，, , k a bR c,c 22 2PQb a直线PQ的方程为y a2 (a b)(x a) ，即为y(a b)x ab，同理可得，直线PR的方程为y(a c)x ac，直线QR的方程为y(b c)x bc，2 ab 2 ac因为直线PQ和PR都与圆C相切，所以1，1，即为(a b)2 1 2(a c) 1b a ab a2 1 2 2 23 0 c2 1a2 2ac a2 3 0 b c，，即有，为方程2a a 32x2 1a2 2ax a2 3 0 bc的两根，可得，，1 a 1 a2 2Earlybird晨鸟教育a 3 1a2 222 11bc a2 a2由圆心到直线QR的距离为1，则直线QR与圆C相切．1a21( ) 2b c a2 2111a2a2Earlybird。

浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．经过A (5，0)，B (2，3)两点的直线的倾斜角为（ ） A ．45° B ．60° C ．90°D ．135°2．直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ） A ．3210x y +-= B ．2310x y C ．3210x y ++= D ．2310x y --=3．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交B ．异面C ．相交或异面D ．平行4．不在3x+2y ＞3表示的平面区域内的点是（ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2） D ．（2，0）5．已知点M (-2，1，3)关于坐标平面xOz 的对称点为A ，点A 关于y 轴的对称点为B ，则|AB |=( )A ．2B ．C ．D ．56．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．点M ，N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上，且关于直线y =kx +1对称，则k =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m9．动点P 到点A (6，0)的距离是到点B (2，0)倍，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．(x +2)2+y 2=32 B ．x 2+y 2=16 C ．(x -1)2+y 2=16 D ．x 2+(y -1)2=1610．若直线2y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A ．[1,1--+B ．[1--C ．11⎡⎣---+D ．[1-+二、双空题11．已知直线1:10l ax y --=，直线2:30l x y +-=.若直线1l 的倾斜角为4π，则a=_________;若12l l //，则1l ，2l 之间的距离为_____.12．圆C :x 2+y 2-8x -2y =0的圆心坐标是____;关于直线l :y =x -1对称的圆C '的方程为_. 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l :mx -y -2m -1=0(m ∈R )过定点__，以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.14．若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩，则目标函数12z x y =-的最小值为_____ ;若目标函数z =ax +2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是_.三、填空题15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于16．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题: ①若α⊥β，m //α，则m ⊥β; ②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β; ③若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m //α;④若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β. 其中正确的是_.17．将一张坐标纸折叠一次，使得点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，则直线y =x +4关于折痕对称的直线为_.四、解答题18．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (2，3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.19．在平面直角坐标系中，已知点A (-4，2)是Rt △OAB 的直角顶点，点O 是坐标原点，点B 在x 轴上. (1)求直线AB 的方程; (2)求△OAB 的外接圆的方程.20．如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点.(1)求证:P A//平面MBD.(2)试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.21．已知圆M:x2+y2-2y-4=0与圆N:x2+y2-4x+2y=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长;(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1.22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．参考答案1．D 【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角. 【详解】因为A (5，0)，B (2，3),所以过两点的直线斜率为30125k -==--, 所以倾斜角为135︒. 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求解,明确直线和倾斜角的关系是求解本题的关键,侧重考查数学运算的核心素养. 2．C 【分析】根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得. 【详解】因为直线l 与直线2340x y -+=垂直, 所以设直线:l 320x y c ++=, 因为直线l 过点(1,2)-,所以1c =,即方程为3210x y ++=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线0ax by c平行的直线一般可设其方程为0ax by m ++=；与已知直线0ax by c 垂直的直线一般可设其方程为0bx ay m -+=.3．C 【解析】如下图所示,,,a b c 三条直线平行,a 与d 异面,而b 与d 异面,c 与d 相交,故选C.4．A【解析】试题分析：将各个点的坐标代入，判断不等式是否成立，可得结论．解：将（0，0）代入，此时不等式3x+2y＞3不成立，故（0，0）不在3x+2y＞3表示的平面区域内，将（1，1）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（1，1）在3x+2y＞3表示的平面区域内，将（0，2）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（0，2）在3x+2y＞3表示的平面区域内，将（2，0）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（2，0）在3x+2y＞3表示的平面区域内，故选：A．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．5．B【分析】先根据对称逐个求出点,A B的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,A--,所以(2,1,3)因为点A关于y轴的对称点为B,B--,所以AB==所以(2,1,3)故选：B.【点睛】本题主要考查空间点的对称关系及两点间的距离公式,明确对称点间坐标的关系是求解的关系,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 6．D 【分析】建立空间直角坐标系，结合90CMN ∠=︒，求出1,AD DM 的坐标，利用向量夹角公式可求. 【详解】以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22c a C b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a c D c ,(,0,)(,0,)222c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2cDM a b D A a c =-=， 因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =.因为2222102c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒. 故选：D. 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解. 7．A 【分析】根据圆的对称性可知，直线y =kx +1一定经过圆心，从而可求. 【详解】 由题意可知圆心(,1)2k-,因为点M ,N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上,且关于直线y =kx +1对称, 所以直线y =kx +1一定经过圆心,所以有2112k -+=,即0k =.故选：A. 【点睛】本题主要考查利用圆的性质求解参数，若圆上的两点关于某直线对称，则直线一定经过圆心，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 8．A 【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质 9．A 【分析】先设出动点P 的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得. 【详解】设(,)P x y ,则由题意可得PA PB =,=化简可得22(2)32x y ++=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养. 10．B 【分析】先作出曲线3y =,结合图形可求b 的取值范围. 【详解】因为3y =所以22(2)(3)4-+-=x y (3)y ≤,如图,观察图形可得,直线过点(0,3)及与半圆相切时可得b 的临界值, 由22(2)(3)4-+-=x y 与2y x b =+相切可得1b =--所以b的取值范围是[1--. 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求解参数，准确作图是求解本题的关键，注意曲线是半圆,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 11．1【分析】利用直线1l 的倾斜角和斜率的关系可求a ；根据两条直线平行可得a ，再结合平行直线间的距离公式可求. 【详解】因为直线1l 的倾斜角为4π,所以所以它的斜率为1,即1a =; 因为12l l //，所以1a =-,即1:10l x y ++=, 所以1l ，2l之间的距离为d ===故答案为：1；【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与方程的关系，平行直线间的距离，明确斜率和直线倾斜角的关系是求解的关键，两条直线平行的条件使用是思考的方向，侧重考查数学运算的核心素养. 12．(4，1) (x -2)2+(y -3)2=17 【分析】根据圆的一般式方程和圆心的关系可求，先求解对称圆的圆心，结合对称性，圆的半径不变可得对称圆的方程. 【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标(4,1),半径r ==设(4,1)关于直线l 的对称点为(,)x y ,则11414122y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩, 所以圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程为22(2)(3)17x y -+-=. 故答案为：(4,1)；22(2)(3)17x y -+-=. 【点睛】本题主要考查利用圆的一般式方程求解圆心，半径；点关于直线对称的问题一般是利用垂直关系和中点公式建立方程组求解，侧重考查数学运算的核心素养. 13．(2，-1) (x -1)2+y 2=2 【分析】先整理直线的方程为(2)10m x y ---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得定点;由于直线过定点(2,1)-,所以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离. 【详解】因为21(2)10mx y m m x y ---=---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得21x y =⎧⎨=-⎩,所以直线l 经过定点(2,1)-;以点(1,0)为圆心且与l 相切的所有圆中,=所以所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=.故答案为：(2,1)-;22(1)2x y -+=.【点睛】本题主要考查直线过定点问题和圆的方程求解，直线恒过定点问题一般是整理方程为()0m Ax By C ax by c +++++=，由0Ax By C ++=且0ax by c 可求.14．52- 42a -<< 【分析】作出可行域，平移目标函数，可得最小值；根据可行域形状，结合目标函数2zax y =+仅在点(1，0)处取得最小值可得a 的取值范围.【详解】作出可行域,如图,由图可知,平移102x y -=（图中虚线）,12z x y =-在点A 处取到最小值, 联立122x y x y -=-⎧⎨-=⎩可得(3,4)A ,所以12z x y =-的最小值为52-. 当0a >时,如图,由图可知,当斜率12a ->-时,即02a <<时,符合要求； 当0a =时,显然符合要求；当0a <时,如图,由图可知,当斜率22a -<时,即40a 时,符合要求； 综上可得,a 的取值范围是42a -<<. 故答案为：52-；42a -<<. 【点睛】本题主要考查线性规划求解最值和利用最值点求解参数，准确作出可行域是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.15【解析】如图，连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ．因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以1,AO BD AA ⊥⊥面ABCD ，从而可得1AA DB ⊥，所以DB ⊥面1AOA ，从而有1DB A O ⊥，所以1A OA ∠是二面角1A BD A --的平面角．设正方体的边长为1，则11,2A A AO ==，所以在1Rt A OA ∆中有11tan A A AOA OA∠==16．③④【分析】对于①②，结合反例可得不正确；对于③，若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m //α； 对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.【详解】对于①, α⊥β，m //α，可得直线m 可能与平面β平行，相交，故不正确；对于②，α⊥γ，β⊥γ，可得平面,αβ可能平行和相交，故不正确；对于③，α⊥β，m ⊥β，可得直线m 可能与平面α平行或者直线m 在平面内，由于m α⊄，所以//m α，故正确；对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.故答案为：③④.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.17．x +7y -20=0【分析】根据点P (1，2)与点Q (-2，1)重合可得折痕所在直线的方程，然后结合直线关于直线对称可求.【详解】因为点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，所以折痕所在直线是PQ 的中垂线，其方程为30x y +=；联立304x y y x +=⎧⎨=+⎩可得交点(1,3)-. 在直线4y x =+取一点(0,4)A ，设(0,4)A 关于折痕的对称点为(,)A x y '， 则410334022y x x y -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得1216(,)55A '-； 由直线的两点式方程可得3116123155y x -+=--+，整理得7200x y +-=.故答案为：7200x y +-=.【点睛】本题主要考查直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，利用垂直关系和中点公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.18．直线l 的方程为5x -12y =0或x +y -5+或x +y -5-【分析】分为直线经过原点和直线不过原点两种情况分别求解，可以采用待定系数法，结合点到直线的距离可求.【详解】解:由题意知，若截距为0，可设直线1的方程为y =kx .2=，解得k =512. 若截距不为0，设所求直线l 的方程为x +y -a =0.2=，解得a =5-a =5+故所求直线l 的方程为5x -12y =0，x +y -5+或x +y -5-【点睛】本题主要考查直线方程的求解，求解直线方程时一般是选择合适的方程形式，利用待定系数法建立方程（组）进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.19．（1）2x -y +10=0.（2）x 2+y 2+5x =0.【分析】(1)利用AB OA ⊥可得AB 的斜率，结合点斜式可求方程；(2)先确定B (-5，0)，结合直角三角形的特征可知△OAB 的外接圆是以OB 为直径的圆，易求圆心和半径得到方程.【详解】解:(1)∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,∴OA ⊥AB ，又201402OA k -==---,2AB k ∴=,∴直线AB 的方程为y -2=2(x +4)，即2x -y +10=0.(2)由(1)知B (-5，0),∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,∴△OAB 的外接圆是以OB 中点为圆心，12OB 为半径的圆, 又OB 中点坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，15||22OB = ∴所求外接圆方程是2252524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即x 2+y 2+5x =0. 【点睛】本题主要考查利用直线垂直求解直线方程和求解圆的方程，圆的方程求解的关键是确定圆心和半径，侧重考查数学运算的核心素养.20．（1）证明见解析;（2）存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB ⊥平面PNC ，证明见解析.【分析】(1) 连接AC 交BD 于点O ,证明MO //P A ，可得P A //平面MBD ；(2)先利用正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直可得PQ ⊥平面ABCD ， 结合PQ ⊥NC ，可得NC ⊥平面PQB.【详解】解:(1)证明:连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，.由正方形ABCD 知O 为AC 的中点，∵M 为PC 的中点，∴MO//P A.∵MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴P A//平面MBD.(2)存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明如下:∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，∴BQ⊥NC.∵Q为AD的中点，△P AD为正三角形，∴PQ⊥AD.又∵平面P AD⊥平面ABCD，且面P AD∩面ABCD=AD，PQ⊂平面P AD∴PQ⊥平面ABCD.又∵NC⊂平面ABCD，∴.PQ⊥NC.⋂=，又BQ PQ Q∴NC⊥平面PQB.∵NC⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB.【点睛】本题主要考查线面平行的判定和探索平面与平面垂直，线面平行一般转化为线线平行或者面面平行来证明，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.21．（1）证明见解析;（2）直线方程x-y-1=0，公共弦长为（3）点P坐标为，)或，-2).【分析】(1)先求两圆的圆心距和半径，结合圆心距与半径间的关系可证；(2)联立两圆方程可得两圆公共弦所在的直线方程，结合勾股定理可得公共弦长；(3)结合切线长与半径可得点P到圆心的距离，建立方程组可求P的坐标.【详解】解:(1)由己知得圆M:x2+(y-1)2=5，圆N:(x-2)2+(y+1)2=5,圆心距||MN ==,∴12120||r r MN r r =-<<+=∴两圆相交.(2)联立两圆的方程得方程组2222240420x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩两式相减得x -y -1=0，此为两圆公共弦所在直线的方程.法一:设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组2222240420x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩解得1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以||AB ==法二:22240x y y +--=，得x 2+(y -1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r线x -y -1=0的距离为d ==设公共弦长为2l ，由勾股定理得222r d l =+，即225l =+，解得l =，故公共弦长2l =(3)P 点所引的两条切线长均为1,∴点P到两圆心的距离||||PM PN ===设P 点坐标为(x ，y )，则⎧=⎪=解得1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或1x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩.点P坐标为(1+或(1-.【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及公共弦的问题，两圆位置关系的判定主要是依据圆心距和两圆半径间的关系，公共弦长通常利用勾股定理求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22．（1）证明：设BC=1P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0） M （1，12，1） (2,0,2)PB =- 3(1,,1)2DM =-0PB DM ∴⋅= ∴PB ⊥DM（2）(2,1,0)CD =- (0,2,0)AD =1(1,,1)2AM = 设平面ADMN 的法向量(,,)n x y z =2002y n AD y y x x z n AM =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩取z=-1 (1,0,1)n ∴=-设直线CD 与平面ADMN 成角为θsin |cos ,|5n CD θ=<>==【解析】略。

2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．π3D ．2π32．双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是（ ） A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y ＝±3x D ．y =±13x3．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切5．若A （7，8），B （10，4），C （2，﹣4），求△ABC 的面积为（ ） A ．28B ．14C ．56D ．206．直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1），则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为（ ） A ．√2B ．√3C ．√6D ．2√27．已知点P 是椭圆x 225+y 216=1上一动点，Q 是圆（x +3）2+y 2＝1上一动点，点M （6，4），则|PQ |﹣|PM |的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．在翻折过程中，直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．√66B ．√10−√24C ．√5−14D ．√55二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆N ：（x +2）2+（y +1）2＝1，则两圆的一条公切线方程为（ ） A ．x +2y ＝0 B ．4x +3y ＝0C ．x −2y +√5=0D ．x +2y −√5=010．若方程x 23−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3，且t ≠2B ．若C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1C ．若t ＝2，则曲线C 表示圆D ．若C 为双曲线，则焦距为定值11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，∠ABC =π2，AB ＝P A =12CD ＝2，BC ＝4，M 为PD 的中点，则（ ）A ．BM ⊥PCB ．异面直线BM 与AD 所成角的余弦值为√3010 C ．直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77D ．点M 到直线BC 的距离为√1012．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上点P （x 0，y 0）处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，则下列说法正确的是（ ）A ．若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B ．若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则该椭圆离心率为√5−12C ．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点处的曲率半径的最大值为b 2aD ．若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为x 216+y 24=1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13．已知a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，则a →在b →上的投影向量为 （用坐标表示）． 14．已知直线l 过点（3，4），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 ． 15．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则AN →⋅CM →= ．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆O ：x 2+y 2＝a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若|BC |＝|CF 2|则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设常数a ∈R ，已知直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0． （1）若l 1⊥l 2，求a 的值；（2）若l 1∥l 2，求l 1与l 2之间的距离．18．（12分）在三棱锥体P ﹣SEF 中，FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，设SP →=i →，SE →=j →，SF →=k →．（1）记a →=PN →+SH →，试用向量i →，j →，k →表示向量a →；（2）若∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6，求PN →⋅SH →的值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0，直线l ：ax +y +2a ＝0， （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切．（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，求直线l 的方程．20．（12分）若双曲线E ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)的离心率等于√2，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 的右支交于A 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若|AB|=6√3，点c 是双曲线上一点，且OC →=m(OA →+OB →)，求k 、m 的值．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1＝2，BC＝3，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为10+2√13．（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，且短轴长为2，动弦MN平行于x轴，且|F1M|+|F1N|＝4．（1）求椭圆E的方程；（2）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x＝4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在λ，使得S△ACD＝λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．π3D ．2π3解：∵a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3， ∴a →⋅b →=x +2＝3，解得x ＝1， ∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=32⋅6=√32， ∴向量a →与b →的夹角为π6． 故选：B ．2．双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是（ ） A ．y =±√33xB ．y =±√3xC ．y ＝±3xD ．y =±13x解：由双曲线x 2−y 23=1，得a ＝1，b =√3， ∴双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是y =±√3x ．故选：B ．3．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解：与点A （1，2）距离为3的点的轨迹是以A （1，2）为圆心，半径为3的圆， 与点B （3，8）距离为1的点的轨迹为以B （3，8）为圆心，半径为1的圆， 由所求直线即为两圆的公切线，∵|AB |=√(3−1)2+(8−2)2=2√10，且|AB |＞1+3， ∴两圆相离，有4条公切线，∴与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有4条． 故选：D ．4．圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切解：圆x 2+y 2＝1的圆心为（0，0），半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0可化为（x ﹣4）2+（y +3）2＝16，圆心为（4，﹣3），半径为4， 而两圆心的距离为√42+32=1+4，故两圆外切． 故选：D ．5．若A （7，8），B （10，4），C （2，﹣4），求△ABC 的面积为（ ） A ．28B ．14C ．56D ．20解：根据两点间的距离解得：AB =√(7−10)2+(8−4)2=5， k AB =8−47−10=−43，所以AB 所在直线方程为：y ﹣4=−43（x ﹣10）， 整理可得：4x +3y ﹣52＝0， 则ℎ=|8−12−52|5=565， 所以S △ABC =12×5×565=28． 故选：A ．6．直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1），则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为（ ） A ．√2B ．√3C ．√6D ．2√2解：直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1）， 又点P （﹣1，2，1）， 则AP →=(−2，1，0)， 则|AP|=√5，又∵|AP →⋅m →|m →||=|−2×1+0×1+(−1)×0|√2=√2，∴则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为√(√5)2−(√2)2=√3， 故选：B ． 7．已知点P 是椭圆x 225+y 216=1上一动点，Q 是圆（x +3）2+y 2＝1上一动点，点M （6，4），则|PQ |﹣|PM |的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7解：由椭圆x 225+y 216=1，得两个焦点分别F 1（﹣3，0），F 2（3，0）．由圆（x +3）2+y 2＝1，得圆心坐标为（﹣3，0），半径为1， 又点M （6，4），由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PQ |≤|PF 1|+1＝10﹣|PF 2|+1＝11﹣|PF 2|， 又|MF 2|=√(6−3)2+(4−0)2=5，则|PQ |﹣|PM |≤11﹣|PF 2|﹣|PM |＝11﹣（|PF 2|+|PM |） ≤11﹣|MF 2|＝11﹣5＝6， ∴|PQ |﹣|PM |的最大值为6． 故选：C ．8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．在翻折过程中，直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．√66B ．√10−√24C ．√5−14D ．√55解：分别取DE ，DC 的中点O ，F ，点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以OA ，OE 为x ，y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C （﹣2，1，0），平面ABCD 的其中一个法向量为n →=（0，0，1），由A 1O ＝1，设A 1（cos α，0，sin α），α∈[0，2π），则CA 1→=（cos α+2，﹣1，sin α），记直线A 1C 与平面ABCD 所成角为θ，则sin θ=|CA 1→⋅n →||CA 1→||n →|=|sinα|√4cosα+6=√1−cos 2α4cosα+6，令t ＝cos α+32∈[12，52]，sin θ=√34−(516t +t 4)≤√34−√54=√10−√24，所以直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为√10−√24． 故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆N ：（x +2）2+（y +1）2＝1，则两圆的一条公切线方程为（ ） A ．x +2y ＝0B ．4x +3y ＝0C ．x −2y +√5=0D ．x +2y −√5=0解：如图，圆心M （2，1），N （﹣2，﹣1），半径r 1＝r 2＝1，两圆相离，有四条公切线．两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ， 设切线l ：y ＝kx ，则圆心到直线的距离√1+k 2=1，得 k ＝0 或 k =43，此时两公切线方程为y ＝0或y =43x ，另两条切线与直线MN 平行且相距为1，l MN ：y =12x ， 设切线 y =12x +b ，则√1+14=1，得 b =±√52，则 y =12x ±√52，此时两公切线方程为x ﹣2y ±√5=0． 故选：C ． 10．若方程x 23−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3，且t ≠2B ．若C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1C ．若t ＝2，则曲线C 表示圆D ．若C 为双曲线，则焦距为定值解：对于选项A ：∵C 为椭圆， ∴{3−t ＞0t −1＞03−t ≠t −1，解得1＜t ＜3，且t ≠2，故正确； 对于选项B ：∵C 为双曲线， ∴（3﹣t ）（t ﹣1）＜0， 解得t ＞3或t ＜1，故正确； 对于选项C ：当t ＝2时， 方程可化为x 2+y 2＝1， 即曲线C 表示圆，故正确； 对于选项D ：∵C 为双曲线， ∴c 2=|3−t|+|t −1|={4−2t ，t ＜12t −4，t ＞3，故焦距不为定值，故错误． 故选：ABC ．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，∠ABC =π2，AB ＝P A =12CD ＝2，BC ＝4，M 为PD 的中点，则（ ）A ．BM ⊥PCB ．异面直线BM 与AD 所成角的余弦值为√3010 C ．直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77D ．点M 到直线BC 的距离为√10解：过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，则DE ＝2，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，2，0），C （4，2，0），D （4，﹣2，0），P （0，0，2），M （2，﹣1，1），所以BM →=（2，﹣3，1），PC →=（4，2，﹣2），BC →=（4，0，0），BP →=（0，﹣2，2），AD →=（4，﹣2，0），因为BM →•PC →=2×4+（﹣3）×2+1×（﹣2）＝0， 所以BM ⊥PC ，故A 正确； 因为cos ＜BM →，AD →＞=BM →⋅AD →|BM →||AD →|=4×2+(−3)×(−2)√14×2√5=√7010，所以直线BM 与AD 所成角的余弦值为√7010，故B 错误； 设平面PBC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅BC →=0m →⋅BP →=0，即{4x =0−2y +2z =0，令y ＝1，得m →=（0，1，1）， 设直线BM 与平面PBC 所成角为α，则sin α＝|cos ＜BM →，m →＞|＝|BM →⋅m→|BM →||m →||=√77，所以直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77，故C 正确； 设点M 到直线BC 的距离为d ，则d =√|BM →|2−|BM →⋅BC →|BC →||2=√10，即点M 到直线BC 的距离为√10，故D 正确． 故选：ACD ．12．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上点P （x 0，y 0）处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，则下列说法正确的是（ ）A ．若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B ．若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则该椭圆离心率为√5−12C ．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点处的曲率半径的最大值为b 2aD ．若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为x 216+y 24=1解：由题意可知x 02a 4+y 02b 4取得最大值时，曲率半径R 最大，取得最小值时，曲率半径R 最小，∵点P （x 0，y 0）在椭圆上，∴x 02a 2+y 02b2=1，∴y 02=b 2（1−x 02a2），∴x 02a 4+y 02b 4=1b 2+1a2（1a 2−1b 2）x 02，∵0≤x 02≤a 2，∵1a 2−1b 2＜0，当x 02=0时，x 02a 4+y 02b4的最大值为1b 2， 当x 02=a 2时，x 02a 4+y 02b4的最小值为1a 2，由曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，可得曲率半径R 的最大值为a 2b ，最小值为b 2a ，故C 错误；若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A 正确； 若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则b 2a=c ，∴a 2﹣ac ﹣c 2＝0，∴1﹣e ﹣e 2＝0，e 2+e ﹣1＝0，解得e =√5−12或e =−√5−12（舍去）， ∴该椭圆离心率为√5−12，故B 正确； 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，∴a 2b=8，b 2a=1，解得a ＝4，b ＝2，∴椭圆方程为x 216+y 24=1，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13．已知a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，则a →在b →上的投影向量为 (89，89，49) （用坐标表示）． 解：∵a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，∴a →⋅b →=2×2+(−1)×2+2×1=4，|b →|=√22+22+12=3， 设a →在b →上的投影向量为m →=a →⋅b→|b →|⋅b→|b →|=(89，89，49)．故答案为：(89，89，49)．14．已知直线l 过点（3，4），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 y =43x 或x +2y ﹣11＝0 ．解：①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y ＝kx ， 因为直线过点（3，4），所以k =43，所以直线l 的方程为y =43x ； ②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在y 轴上的截距为b ，则在x 轴上的截距为2b ， 则直线l 的方程为x 2b+y b=1，又因为直线l 过点（3，4），所以32b+4b=1，解得：b =112， 所以直线l 的方程为x 11+y112=1，即x +2y ﹣11＝0，综上所述：直线l 的方程为y =43x 或x +2y ﹣11＝0． 故答案为：y =43x 或x +2y ﹣11＝0．15．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则AN →⋅CM →= ﹣7 ．解：在三棱锥A ﹣BCD 中，连结ND ，取ND 的中点为E ，连结ME ，则ME ∥AN ， 异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点， ∴AN ＝2√2，ME ＝EN =√2，MC ＝2√2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC =√NC 2+NE 2=√3．cos ∠EMC =MC 2+ME 2−EC 22MC⋅ME =2×2×22=78．由图可知，AN →与CM →所成角为钝角，则cos ＜AN →，CM →＞=−78．∴AN →⋅CM →=|AN →||CM →|cos ＜AN →，CM →＞=2√2×2√2×(−78)=−7． 故答案为：﹣7．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆O ：x 2+y 2＝a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若|BC |＝|CF 2|则双曲线的离心率为 √5 ． 解：∵过F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ， 且|BC |＝|CF 2|， 又|CF 1|﹣|CF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＝2a ，又|OB |＝a ， ∴（2a ）2+a 2＝c 2，解得e =ca =√5， 故答案为：√5．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设常数a ∈R ，已知直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0． （1）若l 1⊥l 2，求a 的值；（2）若l 1∥l 2，求l 1与l 2之间的距离．解：（1）根据题意，直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0， 若l 1⊥l 2，则3（a +2）+a ＝0，解可得a =−32；（2）根据题意，若l 1∥l 2，则有a （a +2）＝3，解可得a ＝1或﹣3，当a ＝1时，直线l 1：3x +y +1＝0，l 2：3x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当a ＝﹣3时，直线l 1：﹣x +y +1＝0，l 2：3x ﹣3y ﹣15＝0，即x ﹣y ﹣5＝0，两直线平行， 此时l 1与l 2之间的距离d =|1−5|√1+1=2√2． 18．（12分）在三棱锥体P ﹣SEF 中，FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，设SP →=i →，SE →=j →，SF →=k →．（1）记a →=PN →+SH →，试用向量i →，j →，k →表示向量a →；（2）若∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6，求PN →⋅SH →的值．解：（1）∵FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，∴SM →=SE →+EM →=SE →+14EF →=SE →+14（SF →−SE →）=34SE →+14SF →，PN →=PS →+SN →=−SP →+13SM →=−SP →+13（34SE →+14SF →）=−i →+14j →+112k →，SH →=12（SP →+SF →）=12i →+12k →， ∴a →=−12i →+14j →+712k →．（2）∵∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6， ∴j →•k →=4×4×cos π2=0，i →•j →=6×4×12=12，i →•k →=6×4×12=12， ∴PN →⋅SH →=（12i →+12k →）•（−i →+14j →+112k →） =−12i →2+18i →•j →−1124i →•k →+18j →•k →+124k →2 =−12×36+18×12−1124×12+18×0+124×16 =−643．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0，直线l ：ax +y +2a ＝0， （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切．（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，求直线l 的方程．（12分）解：（1）设圆心到直线的距离为d ，圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0的圆心C （0，4）半径r =12√64−48=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵直线l ：ax +y +2a ＝0与圆相切， ∴d =|4+2a|√a 2+1=2，解得a =−34．﹣﹣﹣5分（2）∵圆心到直线的距离d =|4+2a|√a 2+1，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，d =√r 2−(|AB|2)2=√2，﹣﹣﹣﹣﹣7分 ∴d =|4+2a|√a 2+1=√2，解得a ＝﹣7或a ＝﹣1．∴所求直线为7x ﹣y +14＝0或x ﹣y +2＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分 20．（12分）若双曲线E ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)的离心率等于√2，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 的右支交于A 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若|AB|=6√3，点c 是双曲线上一点，且OC →=m(OA →+OB →)，求k 、m 的值． 解：（1）由题意可知，b =1，ca =√2，c 2＝a 2+b 2． ∴a ＝b ＝1，∴双曲线方程为E ：x 2﹣y 2＝1，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 联立可得：（1﹣k 2）x 2+2kx ﹣2＝0． 则：{1−k 2≠0Δ＞02kk 2−1＞0⇒1＜k ＜√22k 2−1＞0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=−2k 1−k2，x 1x 2=−21−k2．∵|AB|=6√3，∴√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=2√(1+k 2)(2−k 2)(k 2−1)2=6√3．得：28k 4−55k 2+25=0∴k 2=57或k 2=54 又∵1＜k ＜√2∴k =√52．∵x 1+x 2=2k k 2−1=4√5y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2=8．设C （x 0，y 0），由OC →=m(OA →+OB →)，∴（x 0，y 0）=(4√5m ，8m)，∴80m 2−64m 2=1⇒m =±14， ∴k =√52，m =±14．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝2，BC ＝3，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积为10+2√13．（1）求证：平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1； （2）求直线CB 1与平面A 1BC 所成角的正弦值．解：（1）证明：依题意，(2+3+AC)×2=10+2√13，AC =√13， 所以AB 2+BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ， 根据直三棱柱的性质可知BB 1⊥平面ABC ， 而AB ，BC ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 由此以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A 1（2，0，2），C （0，3，0），设平面A 1BC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BA 1→=2x +2z =0n →⋅BC →=3y =0，令x ＝1，则y ＝0，z ＝﹣1，故可得n →=(1，0，−1)． 平面ABB 1A 1的一个法向量是m →=(0，1，0)， 由于m →⋅n →=0，所以m →⊥n →，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1．（2）由（1）得平面A 1BC 的法向量n →=(1，0，−1)， B 1(0，0，2)，C(0，3，0)，B 1C →=(0，3，−2)， 设直线CB 1与平面A 1BC 所成角为θ， 则sinθ=|B 1C →⋅n→|B 1C →|⋅|n →||=2√13×√2=√2613．22．（12分）已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，且短轴长为2，动弦MN平行于x 轴，且|F 1M |+|F 1N |＝4． （1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线l ：x ＝4上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得S △ACD ＝λS △BCD 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 解：（1）因为椭圆E 的短轴长为2， 所以b ＝1，由椭圆的对称性得|F 1M |＝|F 2N |， 又因为|F 1M |+|F 1N |＝4， 所以|F 2N |+|F 1N |＝4， 此时2a ＝4， 解得a ＝2， 则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（2）不妨设P （4，y 0）（y 0≠0）， 由（1）知A （﹣2，0）， 此时k AP =y 06， 则直线AP 的方程为y =y6(x +2)，联立{y =y6(x +2)x 24+y 2=1，消去y 并整理得(9+y 2)x 2+4y 02x +4y 02−36=0，由韦达定理得x A +x C =−2+x C =−4y 029+y 02，解得x C =18−2y 029+y 02，所以y C=6y0 9+y02同理得x D=2y02−21+y02，y D=−2y01+y02，此时k CD=y C−y Dx C−x D=2y03−y02则直线CD的方程为(3−y02)y+2y0(−x+1)=0，易知直线CD恒过定点（1，0）．故S△ACDS△BCD =|CD|⋅|AE|sin∠AEC|CD|⋅|BE|sin∠BEC=|AE||BE|=31=3=λ．。

浙江省宁波市六校联考2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的．） 1.空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为（ ）A. 2B. 3C. 1【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A 在平面XOY 的投影点的坐标,||A AA ''即为所求., 【详解】点()2,3,1A -在平面XOY 的投影点(2,3,0),||1A AA ''-=, 即空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为1. 故选:C【点睛】本题考查了空间一点到平面的距离,关键要了解关于点在坐标平面射影点的坐标特征,属于基础题.2.若点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为4，且在不等式230x y +->表示的平面区域内，则点P 的横坐标是（ ） A. 7或-3 B. 7C. -3D. -7或3【答案】B 【解析】 【分析】(),3P a 坐标满足不等式230x y +->求出a 取值范围，由点到直线距离公式,求出a 的值,.【详解】点(),3P a 在不等式230x y +->表示的平面区域内2330,0a a ∴+->>(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为|491|4,|48|205a a -+=-=,解得7a =或3a =-（舍去）. 故选:B【点睛】本题考查点到直线的距离公式化简求值,理解二元一次不等式表示的平面区域,属于基础题.3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错； B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错； C 选项，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n与β不一定垂直；故C 错；D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.4.在平面直角坐标系中，(),M x y 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则yx 的最小值为（ ） A. 2 B. 1C. 13-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式对应可行域,利用线性规划知识,以及yx的几何意义,即可得到结论.【详解】作出可行域如图：令yz x=几何意义是动点(),M x y 与原点连线的斜率,由图像可知OA 斜率最小, 由220210x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得31x y =⎧⎨=-⎩,即(3,1)A -所以y z x =的最小值为1133-=-. 故选:C【点睛】本题考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决问题的关键,属于基础题.5.已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于( ) A. 7-或1- B. 7或1C. 7-D. 1-【答案】C 【解析】【详解】由题意可知(3)(5)42a a ++=⨯ 且(3)8(53)2a a +⨯≠-⨯， 解得7a =-． 故选C ．6.长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AA AD AB ===,E 为11A B 中点，则异面直线1AD 与BE 所成角为（）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】连接11,BC EC ，根据11//AD BC ，可得异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，解三角形求得1EBC ∠的大小.【详解】画出长方体如下图所示，连接11,BC EC ，由于11//AD BC ，所以异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，在三角形1BEC 中，112,2,2BE BC EC ===，故三角形1BEC 是等边三角形，所以160EBC ∠=. 故选C.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 7.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）．A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，221a b ∴+>，圆心O 到直线1ax by +=距离221d a b=<+，∴直线1ax by +=与圆O 相交.故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A. )2,22⎡-⎣B. (22,2⎤--⎦C. )2,22⎡⎣D.(22,2⎤-⎦【答案】B 【解析】 【分析】画出图像,当直线l 过点,A B 时,求出m 值;当直线l 与曲线24x y =-相切时.求出m ,即可得出m 的取值范围. 【详解】画出如下图像：当直线l 过点,A B 时,2m =-,此时直线l 与曲线2=-有两个公共点;x y4直线l与曲线相切时,22m=-,因此当222m-<≤-时，直线l与曲线2=-有两个公共点.4x y故选B【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.9.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为( )A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④【答案】A【解析】【分析】在①中：由题意得AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直．【详解】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO⊥底面ABCD ，AC⊥BD，∴SO⊥AC． ∵SO∩BD＝O ，∴AC⊥平面SBD ，∵E，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， ∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M ，∴平面EMN∥平面SBD ， ∴AC⊥平面EMN ，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确； 在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD ，∴EP∥平面SBD ，因此正确． 在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC ，若EP⊥平面SAC ，则EP∥EM，与EP∩EM＝E 相矛盾， 因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即不正确． ∴恒成立的结论是：①③． 故选：A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．10.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 分析】先求出圆心和半径，比较半径和要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0的距离为【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为（2，2），半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0的距离为，≤∴2()410a a bb ⎛⎫++≤⎪⎝⎭，∴22a b --≤-+，a k b=-，∴22k ≤≤，直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 故选B ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题． 二、填空题11.直线10x +=的斜率为____；倾斜角的大小是____．【答案】6π【解析】 【分析】直线一般式化为斜截式,可求出直线的斜率,再由斜率求出直线的倾斜角.【详解】10x +=化为33y x =+，倾斜角为6π.故答案为6π. 【点睛】本题考查直线的几何特征,关键要掌握直线方程几种形式之间的互化,属于基础题. 12.已知m R ∈，若方程22+220x y x y m +++=表示圆，则圆心坐标为____；m 的取值范围是____．【答案】 (1). (1,1)-- (2). 2m <【解析】 【分析】当圆的方程是以一般方程给出时，根据圆心坐标公式,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,还需满足2240D E F +->表示圆.【详解】（1）若方程表示圆，那么根据圆心坐标公式，可得212x =-=-，212y =-=-， 圆心坐标()1,1--.（2）若方程表示圆，那么需满足222240m +->，即2m <. 故填：()1,1--;2m <.【点睛】本题考查了圆的一般方程，属于简单题型.13.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 为邪田，两畔CD AB ，分别为1，3，正广AD 为，PD ⊥ 平面ABCD ，则邪田ABCD 的邪长为_______；邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为________. 【答案】 (1). 4 (2). 6π【解析】 【分析】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，在Rt CEB ∆中，可求BC 长，即为邪长，又由题意可证AB ⊥平面PAD ，得到AFB ∠ 即为所求，在Rt AFB ∆中，求得正切值，可得角. 【详解】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，延长AD BC ，，使得ADBC F =（如图）.由题意可得23,2CE BE ==，则1244BC =+= 由题意知,//AB AD CD AB ⊥，所以13DF CD AF AB ==，所以3DF =.因为PD ⊥ 平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ⊥ 平面PAD ，则AFB ∠ 是直线BC 与平面PAD 所成角的平面角，3tan 33AB AFB AF ∠===，所以6AFB π∠= 故答案为 46π【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.14.直线10x y ++=被圆C ：222x y +=所截得的弦长为______；由直线30x y ++=上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为____. 【答案】610【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线10x y ++=的距离,再由垂径定理,求出半弦长,即可得到弦长; （2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线，切点为N ,根据切线性质,切线段2||||2MN MC =-,要求切线段最小值,转化为求||MC 最小值,就可得切线长的最小值.【详解】（1）圆C :222x y +=的圆心(0,0)C ,半径r =设圆心C 到直线10x y ++=距离为d ,则,2d ==弦长为==（2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线切于N ,则有||CM MN MN ⊥∴==，故||CM 取最小值时，此时CM 垂直直线30x y ++=,即||CM 取最小值为圆心C 到直线30x y ++=所以||MN. 故答案为【点睛】本题考查相交弦长和切线段长,涉及到点到直线的距离,相交弦长公式以及切线长公式,解决问题关键要正确运用圆的性质,考查等价转化数学思想,属于综合题.15.已知0a >，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为-1，则a =______.【答案】32【解析】 【分析】先根据条件作出可行域,2z x y =+,再利用z 的几何意义求最值,只需求出直线2z x y =+过可行域内的点B 时,从而得到a 的值. 【详解】作出可行域如下图：由2z x y =+得2y x z =-+,z 表示斜率为2-的 直线在y 上的截距,当z 最小为-1时,直线过B 点,由121x x y =⎧⎨+=-⎩,解得13x y =⎧⎨=-⎩,代入直线(3)y a x =-得,32a =. 故答案为:32. 【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组,借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数行结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.属于中档题.16.如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为4的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成的轨迹长度为______.【答案】12π+【解析】 【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算.【详解】若线段MN 不在正方形ABCD 边上,MN 与正方形的一 顶点组成斜边为1的直角三角形，P 与该顶点的距离为12, 此时轨迹为直角扇形,四个顶点有四个直角扇形, 合起来刚好是半径为12的圆,周长为122ππ⨯=;若线段MN 在正方形ABCD 边上,则MN 的中点P 四个 边上滑动为四个等长的线段,长度均为3,轨迹长度为12; 所以轨迹的长度为12π+. 故答案为:12π+.【点睛】本题考查了点的轨迹与正方形性质,判断出轨迹的形状是解题的关键,也是解决为题的难点.17.在ABC ∆中，已知AB =BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上一点，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为______.【答案】【解析】 【分析】解ABC ∆可得其为等腰直角三角形,有题意可知折叠前图（1）中AM BD ⊥,根据等腰直角三角形位置关系可推出12BM BC >,在（2）图中，AB 为Rt ABM ∆的斜边,得BM AB <,即可得出答案.【详解】在ABC ∆中,AB =BC =45ABC ∠=︒, 由余弦定理得2222cos 12AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=,222AC AC AC AB BC ==+=,所以ABC ∆为等腰直角三角形.由将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -, 且A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上, 如图2所示,AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥, 过M 做MN BD ⊥,垂足为N ，连AN , 所以BD ⊥平面AMN ,所以AN BD ⊥, 在折叠前图1中,由MN BD ⊥,AN BD ⊥, 所以,,A M N 三点共线.取BC 中点1M , 连1AM 交BD 于E ,由ABC ∆为等腰直角三角形, 所以1,AM BC D ⊥在线段AC 之间，故AEB ∠为钝角,AN BD ⊥,所以N 在DE 之间,得M 在1CM 之间,所以1BM BM >,即6BM >.在图2中,由于AB 为Rt ABM ∆的斜边,BM 为直角边,所以BM AB <,即23BM <.所以623BM <<. 故答案为:(6,23).【点睛】本题以平面图形为载体,求线段的取值范围,着重考查了空间垂直位置关系的判定和性质、余弦定理解三角形等知识,同时考查了空间想象能力与逻辑推理能力,属于中档题. 三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).(1)求过点P(2,-3)且与直线AB 平行的直线l 的方程;(2)一束光线从B 点射向(1)中直线l ，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1) 直线l 的方程4x+3y+1=0,(2) 11x+27y+74=0.【解析】试题分析：（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（2）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出试题解析：（1）由点斜式43(2)3y x+=-∴直线l的方程4x+3y+1=0（2）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）∴2324224*3*022nmm n-⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩解得14585mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴148(,),55B-'-'86115142785B Ak-+==-+；由点斜式可得116(8)27y x+=-整理得11x+27y+74=0；19.如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，2AB BC==，7AD CD==，3PA=，120ABC∠=︒.G为线段PC的中点.（1）证明：BD⊥面PAC；（2）求DG与平面APC所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2419【解析】【分析】（1）根据已知条件证明CA BD⊥,结合PA⊥平面ABCD.即可得证;（2）解法一（几何法）:先找到DG在平面内的射影直线,则所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得结果;解法二（空间向量法）:建立空间直角坐标系,确定各点坐标,求出DG 坐标和平面APC 的法向量坐标,结合线面角公式，即可得结果.【详解】（1）取AC 中点O ,因为AB BC =,AD CD =, 所以CA BO ⊥,CA OD ⊥,∴CA BD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥, 因为PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =,所以BD ⊥面PAC .（2）法一：连结OG ,由（1）BD ⊥平面PAC 可得BD OG ⊥,DG 与平面PAC 所成角为DGO ∠.∵G ,O 分别是PC ,AC的中点，∴12OG PA ==, 因为2AB BC ==,120ABC ∠=︒, 所以AO OC ==1BO =， 因为AD CD==,所以2DO =,∴在Rt DGO ∆中,tan DO DGO GO ∠=== ∴sin 19DGO ∠=. 因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为19. 法二：以O 为坐标原点,BD ,AC 平行于PA 的直线 为x ，y ，z 轴,建立如图所示空间直角坐标系，则因为2AB BC ==,120ABC ∠=︒,所以AO OC ==1BO =,因为AD CD ==,所以2DO =,因此()1,0,0B ,()2,0,0D -,()C ,()0,A ,(0,P ,从而()3,0,0DB =为平面APC 一个法向量,30,0,G⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,32,0,DG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 419cos ,3344DG DB <>==⨯+.因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为419.【点睛】本题考查线面垂直的判定以及线面角的求法,要充分体会转化与化归思想在解题中的应用.20.已知圆C ：2268210x y x y +--+=，直线l 过定点1,0A .（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时l 的直线方程. 【答案】（1）1x =或3430x y --=；（2）10x y --=或770x y --= 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设出直线l 方程,注意l 的斜率是否存在,圆心到直线l 的距离等于半径,利用点到直线距离公式,即可确定出直线l 的方程;（2）先设直线l 方程,求出圆心到直线l 的距离,再根据垂径定理,求出PQ 弦长,得到CPQ ∆面积的表达式,再求出此表达式的最大值.【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程,得()()22344x y -+-=, ∴圆心()3,4C ，半径2r.①若直线l 的斜率不存在,则直线1x =,符合题意．②若直线l 斜率存在，设直线l ：()1y k x =-,即kx y k 0--=. ∵l 与圆C 相切.∴圆心()3,4C 到已知直线l 的距离等于半径2,2=,解得34k =.∴综上，所求直线方程为1x =或3430x y --=． （2）直线与圆相交,斜率必定存在, 设直线方程为kx y k 0--=.则圆心到直线l的距离d =.又∵CPQ ∆面积12S d =⋅⋅==∴当d =max 2S =.由d ==解得1k =或7k =.∴直线方程为10x y --=或770x y --=.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的性质,涉及到的知识有:点到直线的距离公式,三角形面积公式,垂径定理以及直线方程.要注意分类讨论,是一道多知识点综合题. 21.如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）33（3）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且192FQ = 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,2)0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩ ，据此可得 201x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP 的一个法向量为()2,0,1n =，226cos ,311221m n <>==++⋅+，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角A PB C--3（3）设存在点Q 满足条件.由12,0,,(0,2)22F E ⎛ ⎝⎭，设(01)FQ FE λλ=，整理得12(1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则12(1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以21sin |cos ,|||62||||219107BQ m BQ m BQ m πλλ⋅====⋅-+ 解得21λ=，由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且19FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22.若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切， 从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，T 为切点，（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且PT PQ =， 试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l 与x 轴的交点为F ，点,M N 是直线6x =上两动点，且以,M N 为直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）22(3)(4)25x y -++=（Ⅱ）见解析 （Ⅲ）(16,0)和(4,0)-【解析】试题分析：（Ⅰ）直线与圆相切，则该直线离圆心的距离等于半径，从而确定圆心与半径，可求圆C 的方程；（Ⅱ）由题可得PT⊥CT，求出再由PT PQ =，从而可得结论；（Ⅲ）根据点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-，从而可得圆的方程，令0y =可得结论．试题解析：（Ⅰ）设圆心(,)C m n 由题易得3m =半径1r n =-=得4n =-，=5r所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=（Ⅱ）由题可得PT CT ⊥， 所以PT ==PQ ==整理得240a b -+=所以点P 总在直线240x y -+=上（Ⅲ）(4,0)F -由题可设点1(6,)M y ，2(6,)N y ， 则圆心12(6,)2y y E +，半径122y y r -= 从而圆E 的方程为2221212()(6)()24y y y y x y +--+-= 整理得22121212()360x y x y y y y y +--+++=又点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-所以221212()640x y x y y y +--+-=令0y =得212640x x --=， 所以16x =或4x =-所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-考点：圆的方程及直线与圆的位置关系．【方法点睛】求圆的方程的两种方法：（1）代数法：即用待定系数法求圆的方程①若已知条件与圆心和半径有关，则设出圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设出圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解；（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心，半径，进而写出圆的标准方程。

2020学年第一学期期中六校联考高一数学学科试卷命题学校：宁波市李惠利中学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合M ＝{0，1，2}，则M 的子集有 ( )A. 3个 B . 4个 C . 7个 D . 8个2.设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ≥ 0, 则⌝p 为 ( )A . ∃x 0∈R ，x 02＋x 0 ≤ 0B . ∃x 0∈R ，x 02＋x 0 < 0C . ∀x ∈R ，x 2＋x ≤ 0D . ∀x ∈R ，x 2＋x < 03.下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是 ( )A . y ＝ (x ＋1)2B . y ＝ 3x 3＋1 C . y ＝ x 2x ＋1 D . y ＝ x 2＋1 4.下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是 ( )A ．1x y x =+ B ．1y x =- C .2y x x =- D ．21y x =- 5. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，则()1f 和()6f -的大小关系为 ( )A ．()()16f f <-B ．()()16f f >-C . ()()16f f =-D ．()()1,6f f -大小关系不确定6. 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是 ( )A ．ac 2<bc 2B ．1a <1bC ．b a >a bD ．a 2>ab >b 27.设一元二次不等式a x 2＋b x ＋1>0的解集为{x |－1< x <2}，则a b 的值为 ( ) A ．-1 B ．－14 C ．14D ．－128.“ a > 4 ” 是“ ∀x ∈[1，2)，x 2－a ≤ 0”成立的一个 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9. 已知集合B A 、均为全集U =｛1，2，3，4｝的子集，且∁U ( A U B )=｛4｝，{1,2}B =，则A ∩ ∁U B = ( )A ．{ 3 }B ．{ 4 }C ．{ 3，4 }D ．∅10.已知实数,a b 满足等式a 3=b 5，给出下列五个关系式：① 1 < b < a ；② a < b < -1；③0 < b < a < 1；④-1< a < b < 0；⑤a b =.其中，可能成立的关系式有 ( )A ．1个B ．2个C .3个D ．5个二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S6．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．167．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．838．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．99．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km10．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4011．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在中，若，则__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求12111nS S S ++⋯+． 24．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

宁波市“十校联考”2021届高三11月期中联考数学试题卷一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知集合{}2A x x =>，{}05,Z B x x x =<<∈，则()R A B =（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}1,2D. {}1C求出集合B ，利用补集和交集的定义可求得集合()A B R .{}2A x x =>，则{}2RA x x =≤，{}{}05,Z 1,2,3,4B x x x =<<∈=，因此，(){}R 1,2A B =.故选：C.2. 若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A. 1- B. 12-C.13D. 1B利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B3. 若实数x ，y 满足约束条件502010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则 2z x y =+的最大值是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11C画出约束条件所表示的平面区域，结合直线在y 轴上的解距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.画出约束条件502010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数 2z x y =+，可化为直线122zy x =-+，当直线122zy x =-+过点A 时在y 上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由5010x y x +-=⎧⎨-=⎩，解得(1,4)A ，所以目标函数 2z x y =+的最大值为max 1249z =+⨯=.故选：C.4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 213π+ B.233π+ C.326π+ D.346π+ C由三视图还原原几何体，可知原几何体是一个34的圆锥与三棱锥组合而成的几何体，结合锥体的体积公式可求得原几何体的体积. 由三视图还原原几何体如下图所示，由三视图可知，原几何体是一个34的圆锥与三棱锥组合而成的几何体，由三视图中的数据可知，原几何体的体积为()223131321123426V cm ππ+⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选：C. 5. 已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 A由向量平行的坐标表示可得若//a b →→，则32m =-或1m =，再由充分条件、必要条件的定义即可得解.由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.6. 函数()e e ln --=x xf x x的图象大致为（ ） A.B.C.D.B由于()()f x f x -=-，得出()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，再利用特殊值，即可得出正确选项． 解：函数()||x xe ef x ln x --=，定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±，且()()()||||x xx x e e e e f x f x ln x ln x -----==--=-， ()f x ∴是奇函数，其图象关于原点对称，排除C 、D ，因为函数的定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±，令12x =，12()0e e f x --=<，排除A ，故选：B ． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 如图，已知点E 、F 、G 、H 分别是正方体1111ABCD A B C D -中棱1AA 、AB 、BC 、11C D 的中点，记二面角E FG D --的平面角为α，直线HG 与平面ABCD 所成角为β，直线HG 与直线DG 所成角为γ，则（ ）A. αβγ>>B. βαγ>>C. βαγ=>D. γαβ>=D建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较； 解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则()2,0,1E ，()2,1,0F ，()1,2,0G ，()0,1,2H ，()1,1,2HG =-，()1,2,0DG =，()0,1,1EF =-，()1,1,0FG =-，显然面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，设面EFG 的法向量为(),,m x y z =，则·0·0m EF m FG ⎧=⎨=⎩，即0y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =则1z =、1x =，所以()1,1,1m = 所以3cos =3n mn m α=，26sin 36HG n HG n β===，所以23cos 1sin 3ββ=-=，()11120230cos 1065HG DG HG DGγ⨯+⨯+⨯-===⨯ 因为330310>，即cos cos αγ>，所以γαβ>=故选：D8. 如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为（ ）A. 2-B. 1-C. 12-D. 1A连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，根据椭圆的定义，可求得224PF a x =-，12QF a x =-，结合1290F PF ︒∠=，可得22211+=PF PQ QF ，计算可得3a x =，从而可求出21tan PF F ∠，由直线2PF 的斜率为()21tan 180k PF F ︒=-∠，可求出答案.如下图，连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，因122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =， 所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-.故选：A.9. 已知a ，b R ∈，对任意的实数x 均有()()()210x a x b x a +---≥，则2+a b 的最小值为（ ） A. 158B. 1C.78D. 2D根据题中条件，先令t x =，则有()()()210t a t b t a +---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；分别讨论0b ≤，0b >两种情况，结合不等式的解法，求出21a b a ≥⎧⎨=+⎩，得到2222a b a a +=++，进而可得出结果.因为a ，b R ∈，对任意的实数x 均有()()()210x a x b x a +---≥，令t x =，则有()()()210t a t b t a +---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立； 若0b ≤，则0t b -≥，原不等式可化为()()210t a t a +--≥，因为()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭，所以解不等式()()210t a t a +--≥可得21t a ≥+或t a ≤-，因21a a +>-，所以不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；即0b ≤不满足题意；若0b >，当0a ≥时，0t a +≥，则原不等式可化为()()210t b t a ---≥，令()()()21f t t b t a =---，则()f t 是开口向上的二次函数，且零点为t b =和21t a =+， 为使()()210t b t a ---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；只有21b a =+； 当0a <时，0a ->；若21a b a -<<+，则由不等式()()()210t a t b t a +---≥可得()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩或()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩，解得21t a ≥+或a t b -≤≤，因为21b a <+，所以不能满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若21b a a <-<+，则由不等式()()()210t a t b t a +---≥可得()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩或()()210t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩，解得21t a ≥+或b t a ≤≤-，因为21a a -<+，所以不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若21a a b -<+<，则由不等式()()()210t a t b t a +---≥可得()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩或()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩，解得t b ≥或21a t a -≤≤+，因为21a b +<，所以不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若=-b a ，则不等式()()()210t a t b t a +---≥可化为()()2210t a t a +--≥，解得21t a ≥+或t a =-，不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若21b a =+，则不等式()()()210t a t b t a +---≥可化为()()2210t a t a +--≥，解得t a ≥-，不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；综上，为使()()()210t a t b t a +---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立，只有21a b a ≥⎧⎨=+⎩， 所以222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，则其是开口向上的二次函数，对称轴为14a =-，所以其在[)0,+∞上单调递增，因此2220022y a a =++≥++=.故选：D. 10. 已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则()122a e e a⋅+的最大值是（）A.B.C.D.D设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，由1222e e +≤，计算可得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，计算可得()cos cos βαβ≤-，可推出()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，计算可得()()1222cos cos a e e aβαβ⋅+=+-()3cos αβ≤-3cos β=，结合21cos cos 22cos 14αββ==-≤-，可求出cos β≤≤，从而可求出()122a e e a ⋅+的最大值. 由题意，可设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，则()12212cos ,2sin e e αα+=+，由1222e e +≤，可得()2212cos +4sin 4αα+≤，整理得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，可得()()()()cos ,sin 1,0cos ,sin cos ,sin r r r r ββββαα⋅≤⋅， 即cos cos cos sin sin r r r ββαβα≤+，所以()cos cos βαβ≤-，当()cos cos βαβ=-时，()2πk k βαβ=-+∈Z 或()2πk k βαβ=-++∈Z ， 即()22πk k βα=+∈Z 或()2πk k α=∈Z ，因为1cos 4α≤-，所以()2πk k α=∈Z 不符合题意，故()cos cos βαβ=-时，()22πk k βα=+∈Z . 而()()1222cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r r aββαβαβαβ⋅+++==+-，因为()cos cos βαβ≤-，所以()122a e e a⋅+()3cos αβ≤-，当()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，此时()()3cos 3cos 2π3cos k αβββ-=-=，因为()21cos cos22πcos 22cos 14k αβββ=-==-≤-，所以23cos 8β≤，即cos 44β-≤≤， 所以()122a e e a⋅+()3cos 3cos 4αββ≤-=≤.故选：D. 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是13sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)()0,x ∈+∞，则该简谐运动的最小正周期是___________，振幅是___________． (1). 4π (2). 3由三角函数的图象与性质即可得解.因为13sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)()0,x ∈+∞，所以该函数的最小正周期2412T ππ==,振幅为3， 所以该简谐运动的最小正周期是4π，振幅是3. 故答案为：4π；3.12. 在二项式62x ⎛- ⎝的展开式中，常数项是___________，所有项的系数和为___________． (1). 60 (2). 1写出二项展开式的通项，令x 的指数为0，求出参数的值，代入展开式通项可求得展开式的常数项，再令1x =代入二项式可求得展开式所有项的系数和.二项式62x ⎛ ⎝的展开式通项为()()36662166221rrr r r r r r T C x C x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令3602r -=，可得4r =，所以，展开式的常数项为()442562160T C =⋅⋅-=， 在二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭中，令1x =，可得所有项的系数和为()6211-=. 故答案为：60；1.13. 古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，第四日织九尺，则第七日织_______尺，八日共织________尺． (1). 15 (2). 80设该女子第()N n n *∈日织n a 尺布，可知数列{}n a 为等差数列，根据题意求出等差数列{}n a 的首项和公差，进而可求得7a 以及该数列的前8项和.设该女子第()N n n *∈日织n a 尺布，可知数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则141339a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，71615a a d ∴=+=，8187883282802S a d ⨯=+=⨯+⨯=.因此，该女子第七日织15尺布，八日共织80尺布. 故答案为：15；80.14. 已知函数()2e 2=++x f x ax a ，若不等式()()1≥+f x ax x 对任意[]2,5x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________．(3,e ⎤-∞⎦原不等式可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，该不等式恒成立，当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2x a x ≥-，从而构造函数()e 2xg x x =-，求导并判断单调性，可求出()min g x ，令()min g x a ≥即可. 由题意，不等式()2e 21x ax a ax x ++≥+可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，()e 2xa x ≥-恒成立；当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2xa x ≥-，令()e 2xg x x =-，(]2,5x ∈，则()min g x a ≥，求导得()()()2e 32x x g x x -'=-，所以()g x 在()2,3上单调递减，在[]3,5上单调递增，所以()()3min 3e g x g ==，则3e a ≤，综上所述，实数a 的取值范围是(3,e ⎤-∞⎦. 故答案为：(3,e ⎤-∞⎦.15. 已知0a >，2b >-，且2a b +=，则2242a b a b +++的最小值为___________． 4首先得到224442422a b a b a b a b ++=+++-+++，再根据()24a b ++=结合基本不等式即可得到答案.因为0a >，2b >-，且2a b +=，所以()24a b ++=，且20b +>.所以()222244444442222b b a b b a a b a b a b a b +--+++=++=+++-+++ ()42444422422b a b a b a b a b +-=+++-=+++-+++ ()4411222224222b a a b a b a b a b +⎛⎫=+=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭. 当且仅当22b aa b +=+，即0b =，2a =时取等号. 所以2242a b a b +++的最小值为4. 16. 已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．23题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232lPC d =-=，进一步求出答案. 题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为r =圆心到直线的距离d ==，根据图像的对称性可知2l==所以线段MN 长度的最大值为故答案为: 17. 一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，1个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为___________；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则()ξ=E ___________． (1).320 (2). 32（1）不放回取球可看作将球进行排列，由于红球首先被全部取完，则分两种情况求解：一种先取完3个红球，另一种在取3个红球的空档处还取走了1个黄球，剩下1个黄球和1个绿球进行排列，从而可求出所求概率；（2）研究在取完红球之前取走的黄球数其实不受绿球影响，所以此题无须考虑绿球，ξ可能的取值为0，1，2，0ξ=时，先取3个红球再取2个黄球，1ξ=时，取3个红球的空档处还取了1个黄球，剩下1个黄球最后取，2ξ=时，取3个红球的空档处还取了2个黄球，然后利用数学期望公式可求得答案（1）全部排列数为66323260A A A =，由于红球首先被全部取完，则①先取完3个红球，可看作2个黄球和1个绿球的排列数：133C =种；②在取3个红球的空档处还取走了1个黄球有133C =种，剩下1个黄球和1个绿球进行排列有2种，所以红球先取完的概率为33236020+⨯=， （2）研究在取完红球之前取走的黄球数其实不受绿球影响，所以此题无须考虑绿球，则全部排列数为55323210A A A =种，ξ可能的取值为0，1，2，则0ξ=时，先取3个红球再取2个黄球，共1种；1ξ=时，取3个红球的空档处还取了1个黄球，剩下1个黄球最后取，共133C =种；2ξ=时，取3个红球的空档处还取了2个黄球，若2个黄球不在一起，共233C =种，若2个黄球在一起，共133C =种，所以13333()0121010102E ξ+=⨯+⨯+⨯=（1）=6B π；（2）（1）由正弦定理化简得222a c b +-=，再由余弦定理即可得解； （2）记AC 边上的高为b h ，由三角形面积公式可得sin b ac Bh b=，结合正弦定理及三角恒等变换得2sin 23b h A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）根据正弦定理可得()()(2a b c a b c ca -+++=， 化简整理得222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ca +-==， 因为()0,B π∈，故=6B π；（2）记AC 边上的高为b h ，由11=sin 22b S bh ac B =，可得sin b ac Bh b=， 又因为4sin sin sin a c bA C B===，所以14sin sin =4sin sin =4sin cos 62b h A C A A A A A π⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)22sin cos 1cos 2sin 22sin 23A A A A A A π⎛⎫+=-+=- ⎪⎝⎭在三角形ABC 中，=6B π，故50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当232A ππ-=即512A π=时，()max b h =19. 如图，在四棱锥E ABCD -中，//DC AB ，90BAE BAD ∠=∠=︒，12AB AD AE ED DC ====，M 为EB 的中点．（1）求证：DM AE ⊥；（2）求直线DM 与平面BCE 所成角的正弦值． （1）证明见解析；（2）25． （1）取AE 的中点为F ，连接MF DF 、，可证,AE DF AE MF ⊥⊥，可证明AE DFM ⊥面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. （1）记AE 的中点为F ，连接MF DF 、．DE AD AE ==，AE DF ∴⊥． 90BAD BAE ∠=∠=︒，AB ∴⊥面ADE ．M 为EB 的中点，//MF AB ∴ ，MF ∴⊥面ADE ，MF AE ∴⊥，又DF MF F ⋂=AE ∴⊥面DFM ，AE DM ∴⊥．（2）AB ⊥面AED ，又//AB DC ，DC AED ∴⊥面，故可如图建系,不妨设4DC =，则2AB AD AE ED ====，由等边三角形AED 可知，3)E ,(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，33(2M则有332DM ⎛= ⎝⎭，()2,2,0BC =-，(1,3CE =- , 设平面BCE 的一个法向量(),,n x y z =，由00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即220430x y x y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则1y =，3z =所以平面BCE 的一个法向量(1,1,3n =．则3312522cos ,395144n DM ++==⨯++所以直线DM 与平面BCE 2520. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-()n *∈Ν. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证3242222312n n a aa S S S ++++⋅⋅⋅+<，n *∈Ν．（1）12n n a -=；（2）证明见解析（1）当2n ≥时，可得1121n n S a --=-，结合1n n n a S S -=-，可求得12n n a a -=，即可得出数列{}n a 是等比数列，从而可求出{}n a 的通项公式；（2）求出n S 的表达式，从而可得()122211221n n n n a S ++++=-，利用放缩法可得221n n a S ++<1112121n n +---，进而可证明结论成立.（1）由题意可知，当1n =时，1121a a =-，解得11a =，当2n ≥时，由112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，可得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=．（2）由12n n a -=，可得()112==2112n n n S ⨯---，则()122211221n n n n a S ++++=-()()()()11+1+1+12211212121222121n nn n n n n n++<==-------， 所以32422223+1n n a a a S S S ++++2231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n +=-<-.21. 已知抛物线()21:20C y px p =>，圆()222:44C x y -+=．抛物线1C 的焦点到其准线的距离恰好是圆2C 的半径．（1）求抛物线1C 的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线1C 上一点Q （除原点外）作抛物线1C 的切线，交y 轴于点P ．过点Q 作圆2C 的两条切线，切点分别为M 、N ．若//MN PQ ，求PMN 的面积．（1）抛物线1C 的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0；（2）3．（1）根据抛物线()21:20C y px p =>的焦点到其准线的距离恰好是圆2C 的半径求解.（2）设点()0,P a ，切线PQ 的方程设为y kx a =+与抛物线方程联立，根据与抛物线相切，由0∆=得到1ak =，切点Q 的坐标()21,2,PQ a a k a=，再由过点Q 作圆2C 的两条切线，切点分别为M 、N ．得到直线()()2:4424MN x a ay --+=．然后由MN PQ k k =解得a 即可.（1）因为抛物线1C 的焦点到其准线的距离恰好是圆2C 的半径 所以2p =，故抛物线1C 的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0． （2）设点()0,P a ，则切线PQ 的方程可设为y kx a =+．联立方程24y x y kx a ⎧=⎨=+⎩可得()222240k x ak x a +-+=．由0∆=可得1ak =，且切点Q 坐标为()21,2,PQ a a k a=． 设点()()1122,,,M x y N x y ，则切线()()11:444QM x x yy --+=， 切线()()22:444QN x x yy --+=．将点Q 的坐标代入可得直线()()2:4424MN x a ay --+=． 故242MNa k a-=-． 由MN PQ k k =可得a =因为两种情况中的P 点关于x轴对称，所以求出的面积相同．下只求a =联立方程：()224420x y x ⎧-+=⎪-+=可得230y -=．故()142,0,3M N ⎛ ⎝⎭，从而有MN d =所以1=23S MN d ⋅=22. 已知函数()ln 2xe f x x x a x=-+-，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ， （i ）求a取值范围；（ii ）证明：22142121a a x x a ---<-．（1）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（2）（i ）12e a +>；（ii ）证明见解析． （1）首先求出函数的导函数，令()'0f x >，即可得到函数的单调递增区间，令()'0f x <，求出函数的单调递减区间；（2）（i ）由题意可知()10f <，即可求出参数的取值范围；（ii ）不妨设12x x <，因为()22ln 22a e f a a a =-．令21t a e =>+，()ln te g t t t=-．利用导数研究函数的单调性，即可得证；解：（1）函数的定义域为()()0ln 2xe f x x x a x+∞=-+-，，，所以()()()()22111'1x x x e x e x f x x x x-+-=-+=，0x > ． 当1x >时，()()'0,f x f x >单调递增；当01x <<时，()()'0,f x f x <单调递减． 所以()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1． （2）（i ）由题意可知()10f <，即120e a +-<，所以12e a +> （ii ）不妨设12x x <．因为()222ln 222ln 222a a e e f a a a a a a a=-+-=-． 令()21,ln te t a e g t t t =>+=-，()()21't e t t g t t --=．令()()1t h t e t t =--则()'1t h t e t =⋅-，()()''10th t e t =⋅+> ，所以()'h t 单调递增，又因为()'10h e +>，所以()h t 单调递增． 因为()2110e h e e++=->，所以()'0g t >，故()g t 单调递增．又因为()()1110e g e g e e -+>=->，所以()220,2f a x a ><．由ln 1≤-x x 可知112121111ln 212112*********a a e e f a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-≥+- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--令110,21m a e ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，所以()10m e f m m m>-> 所以1121x a >-，所以22142121a a x x a ---<-．。

2020-2021学年浙江省宁波市十校高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈Z}R A）∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{1}2．（4分）若复数（1+ai）（3﹣i）（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a＝（）A．﹣1B．C．D．13．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．5B．7C．9D．114．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．5．（4分）已知＝（3，m），＝（2m+1，1），则“m＝1”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（4分）如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角E﹣FG﹣D的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，则（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＝α＞γD．γ＞α＝β8．（4分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A．﹣2B．﹣1C．D．19．（4分）已知a，b∈R，对任意的实数x均有（|x|+a）（|x|﹣b）2﹣1）≥0，则a+2b的最小值为（）A．B．1C．D．210．（4分）已知，为单位向量，且||≤2，若非零向量•≤•，则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是，（x∈[0，+∞）），则该简谐运动的周期是|||，振幅是|||．12．（6分）在二项式（2x﹣）6的展开式中，常数项是|||，所有项的系数和为|||．13．（6分）古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，则第七日织|||尺，八日共织|||尺．14．（4分）已知函数f（x）＝e x+ax2+2a，若不等式f（x）≥ax（x+1），5]恒成立，则实数a 的取值范围是||||||||．15．（4分）已知a＞0，b＞﹣2，且a+b＝2，则|．16．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝4，线段MN在直线y＝﹣2x+1上运动，点P是线段MN上任意一点，B，使得P A⊥PB，则线段MN长度的最大值是||||||||||||．17．（6分）一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为|||||||||||||||；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则E（ξ）＝|||||||||||||||．三、解答题：5小题，共74分18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（a﹣b+c）（sin A+sin B+sin C）＝（2+）c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求AC边上的高的最大值．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，AB＝AD＝AE＝ED＝DC（1）求证：DM⊥AE；（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证＜2，n∈N*．21．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），圆C2：（x﹣4）2+y2＝4．抛物线C1的焦点到其准线的距离恰好是圆C2的半径．（1）求抛物线C1的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C1上一点Q（除原点外）作抛物线C1的切线，交y轴于点P．过点Q作圆C2的两条切线，切点分别为M、N．若MN∥PQ，求△PMN的面积．22．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣2a，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：|x2﹣x1|＜．2020-2021学年浙江省宁波市十校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈Z}R A）∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{1}【分析】求出A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜7，2，3，3}则（∁R A）∩B＝{x|x≤2}∩{1，3，3，4}＝{5，故选：C．【点评】本题考查了集合的交集，补集的运算，是一道基础题．2．（4分）若复数（1+ai）（3﹣i）（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a＝（）A．﹣1B．C．D．1【分析】化简代数式，求出实部和虚部，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1+ai）（3﹣i）＝7﹣i+3ai+a＝（a+3）+（2a﹣1）i，由题意得：a+3+8a﹣1＝0，解得：a＝﹣，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．5B．7C．9D．11【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，化目标函数z＝x+2y为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，z有最大值为7．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意几何体的直观图如图：是一个圆锥，去掉；几何体的体积为：+＝．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．5．（4分）已知＝（3，m），＝（2m+1，1），则“m＝1”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据∥，求出m的值，再根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若∥，则m（2m+1）＝6或m＝8，由m＝﹣或m＝7推不出m＝1，故“m＝1”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及向量的平行问题，是一道基础题．6．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，由奇函数的性质排除CD，由函数的解析式分析在区间（0，1）上，f（x）＜0，排除A，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，解可得x≠±1，f（﹣x）＝＝﹣，函数f（x）为奇函数，在区间（0，5）上，e x﹣e﹣x＞0，ln|x|＜0，排除A，故选：B．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及函数值的计算，属于基础题．7．（4分）如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角E﹣FG﹣D的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，则（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＝α＞γD．γ＞α＝β【分析】在图中作出α、β、γ，分别求得其正切值即可求解．【解答】解：如图，设正方体棱长为2，过A作AM⊥直线GF于M，连接EM，tan＝．过H作HN⊥CD于N，连接NG，tanβ＝，连接HD，在△HDG中，HG＝，则tan，∴α＝β＜γ故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的比较，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、转化思想，是中档题．8．（4分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A．﹣2B．﹣1C．D．1【分析】根据圆的性质可得PF1⊥PF2，设|QF2|＝m，利用椭圆的定义表示出|PF2|＝2a﹣4m，|QF1|＝2a﹣m，|PQ|＝2a﹣3m，根据勾股定理可得a＝3m，求出tan∠PF2F1，即可求出直线PF2的斜率．【解答】解：连接PF1、QF1，∵点P是以F3F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴PF1⊥PF3，设|QF2|＝m，∵|PF1|＝6|QF2|，∴|PF1|＝3m，∴|PF2|＝2a﹣|PF4|＝2a﹣4m，|QF6|＝2a﹣|QF2|＝7a﹣m，∴|PQ|＝2a﹣4m+m＝2a﹣3m，在Rt△F1PF4中，∵|QF2|2＝|PF6|2+|PQ|2，∴（7a﹣m）2＝（4m）4+（2a﹣3m）8，解得a＝3m，∴|PF2|＝8m在Rt△F1PQ中，∴tan∠PF2F8＝＝＝2，∴直线PF5的斜率为﹣2，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义和圆的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．9．（4分）已知a，b∈R，对任意的实数x均有（|x|+a）（|x|﹣b）2﹣1）≥0，则a+2b的最小值为（）A．B．1C．D．2【分析】可令x＝0，得到ab≥0，分别讨论a≥0和a＜0，得到a，b的关系式，再由二次函数的最值求法，可得所求最小值．【解答】解：当x＝0时，不等式即为ab（a2+4）≥0，可得ab≥0，当a≥6时，b≥02﹣7）≥0恒成立，显然b＝a2+6；当a＜0时，b≤05﹣1）≥0恒成立，显然﹣a＝a7+1，该方程无实数解．综上可得a≥0，b＝a6+1，则a+2b＝6a2+a+2≥4，a＝0时取得等号，所以a+2b的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．10．（4分）已知，为单位向量，且||≤2，若非零向量•≤•，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】求出cosα≤﹣，设＝（r cosβ，r sinβ），r＞0，求出cosβ≤cos（α﹣β），得到2β＝α+2kπ（k∈Z），求出≤3cos（α﹣β）＝3cosβ≤，求出其最大值即可．【解答】解：由题意，可设，0），，sinα），则＝（3+2cosα，由|+3，可得（1+6cosα）2+4sin8α≤4，整理得cosα≤﹣，设＝（r cosβ，r＞0，由•≤•，可得（r cosβ，0）≤（r cosβ，sinα），即r cosβ≤r cosβcosα+r sinβsinα，故cosβ≤cos（α﹣β），当cosβ＝cos（α﹣β）时，β＝α﹣β+2kπ（k∈Z）或β＝﹣α+β+8kπ（k∈Z），即2β＝α+2kπ（k∈Z）或α＝5kπ（k∈Z），∵cosα≤﹣，∴α＝6kπ（k∈Z）不合题意，故cosβ＝cos（α﹣β）时，2β＝α+2kπ（k∈Z），而＝＝2cosβ+cos（α﹣β），∵cosβ≤cos（α﹣β），∴≤3cos（α﹣β），当4β＝α+2kπ（k∈Z）时，“＝”成立，此时3cos（α﹣β）＝5cos（β﹣2kπ）＝3cosβ，∵cosα＝cos（5β﹣2kπ）＝cos2β＝6cos2β﹣1≤﹣，故cos2β≤，即﹣，故≤5cos（α﹣β）＝3cosβ≤，故选：D．【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题以及不等式的性质，考查转化思想，是一道综合题．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是，（x∈[0，+∞）），则该简谐运动的周期是4π，振幅是3．【分析】根据周期定义以及振幅的定义即可求解．【解答】解：由周期定义可得函数的周期为T＝＝4π，再由振幅的定义可得函数的振幅为3，故答案为：7π，3．【点评】本题考查了三角函数的周期性以及振幅的定义，属于基础题．12．（6分）在二项式（2x﹣）6的展开式中，常数项是60，所有项的系数和为1．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可得到常数项，通过x＝1求解二项式所有项的系数和．【解答】解：由二项式展开式的通项公式T r+1＝＝（﹣4）r ，可得r＝4，即展开式的中第5项是常数项，常数项为：32＝60．当x＝1时，所有项的系数和为：（2﹣7）6＝1．故答案为：60；5．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．13．（6分）古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，则第七日织15尺，八日共织80尺．【分析】该女子第n日织布的尺数a n构成首项为3，公差为d的等差数列{a n}，且a4＝3+3d＝9，解得d＝2，由此能求出结果．【解答】解：古有女子善织布，初日织三尺，第四日织九尺，∴该女子第n日织布的尺数a n构成首项为3，公差为d的等差数列{a n}，且a4＝3+3d＝9，解得d＝7，∴第七日织a7＝3+6×2＝15尺，八日共织S8＝5×3+＝80尺．故答案为：15，80．【点评】本题考查等差数列的第7项和前8项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（4分）已知函数f（x）＝e x+ax2+2a，若不等式f（x）≥ax（x+1），5]恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣∞，e3]．【分析】问题转化为a≤在（2，5]恒成立，令g（x）＝，x∈（2，5]，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．【解答】解：若不等式f（x）≥ax（x+1）对任意x∈[2，3]恒成立，则a（x﹣2）≤e x在x∈[2，4]恒成立，x＝2时，不等式恒成立，x∈（2，4]时在（2，令g（x）＝，x∈（2，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：x＞7，解得：x＜3，故g（x）在（2，7）递减，+5]递增，故g（x）min＝g（3）＝e3，故a≤e4，故答案为：（﹣∞，e3]．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．15．（4分）已知a＞0，b＞﹣2，且a+b＝2，则4．【分析】原式转化为+，再利用乘“1”法即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞﹣2，∴a+b+8＝4，∴＝+，＝a++（b+7）+，＝+，＝（+）（a+b+3），＝1+1++，≥2+7＝5，当且仅当＝时，即a＝8，故最小值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了不等式的基本应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝4，线段MN在直线y＝﹣2x+1上运动，点P是线段MN上任意一点，B，使得P A⊥PB，则线段MN长度的最大值是．【分析】设圆的切线为P A、PB，得∠APB≥90°，再求得PC的取值范围，利用点M、N到点C的距离，求得MN的最大值．【解答】解：由题意，圆心到直线l：y＝﹣2x+1的距离为d＝＝＞2（半径），故直线l和圆相离；从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，如图，B，使得P A⊥PB sin45°，∴∴在直线l上，当MN最大时、N到点C的距离等于2；∴MN的长度的最大值为2＝2．故答案为：6．【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系应用问题，考查了转化思想，属于中档题．17．（6分）一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则E（ξ）＝．【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．【解答】解：红球首先被全部取出分两种情况，第一种情况：3球结束即红红红的概率P1＝××＝，第二种情况：4球结束即红红黄红的概率P2＝×××C35＝，则红球首先被全部取完的概率为P＝P1+P6＝；ξ的可以取值为0，8，2，其分布列为P（ξ＝0）＝+＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝7）﹣P（ξ＝1）＝1﹣＝，∴ξ的分布列为：&nbsp;ξ&nbsp;0&nbsp;1&nbsp;3&nbsp;P&nbsp;&nbsp;&nbsp;Eξ＝0×＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：5小题，共74分18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（a﹣b+c）（sin A+sin B+sin C）＝（2+）c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求AC边上的高的最大值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可求cos B 的值，结合∠B为三角形内角，可求B的值．（2）法一：记AC边上的高为h b．由三角形的面积公式可求得，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求h b＝2sin（2A﹣）+，由已知可求A的范围，利用正弦函数的性质即可求解其最大值；法二：记AC边上的高为h b，由三角形的面积公式可得，由余弦定理，基本不等式即可求解其最大值．【解答】解：（1）根据正弦定理可将已知条件化简为，化简整理，得．由余弦定理，得，因为∠B为三角形内角，故．（2）法一：记AC边上的高为h b．由，可得，又因为，所以，在三角形ABC中，，故．当时，．法二：记AC边上的高为h b．由，可得，由余弦定理b2＝a2+c2﹣4ac cos B，可得，从而有，即．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，AB＝AD＝AE＝ED＝DC（1）求证：DM⊥AE；（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．【分析】（1）记AE的中点为F，连接MF、DF，证明AE⊥DF，推出AB⊥面ADE，然后证明MF⊥AE，得到AE⊥面DFM，即可证明AE⊥DM．（2）通过建系，求出面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线DM与平面BCE所成角的正弦值即可．【解答】（1）证明：记AE的中点为F，连接MF．∵DE＝AD＝AE，∴AE⊥DF．∵∠BAD＝∠BAE＝90°，∴AB⊥AD，AB∩AE＝A，∴AB⊥面ADE．∵M为EB的中点，∴MF∥AB，∴MF⊥面ADE，AE⊂平面ABE，又AE⊥DF，FM∩DM＝M，∴AE⊥面DFM，DM⊂平面DFM，∴AE⊥DM．（2）解：∵AB⊥面AEM，又AB∥DC，∴DC⊥面AED，故可如右图形式以建系．不妨设DC＝4，则有，，，设面BCE的一个法向量＝（x，y，则，即，令x＝2，z＝，可得面BCE的一个法向量，则＝，所以直线DM与平面BCE所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证＜2，n∈N*．【分析】（1）直接根据通项公式和前n项和之间的关系即可求解，（2）对其通项公式进行放缩，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可知，当n＝1时，a1＝3a1﹣1⇒a4＝1．当n≥2时，由可得a n＝3a n﹣2a n﹣1⇒a n＝8•a n﹣1．所以．（2）由（1）可得，法一：，所以＝．法二：，所以＝．【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系求解出通项公式，是解决本题的关键．21．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），圆C2：（x﹣4）2+y2＝4．抛物线C1的焦点到其准线的距离恰好是圆C2的半径．（1）求抛物线C1的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C1上一点Q（除原点外）作抛物线C1的切线，交y轴于点P．过点Q作圆C2的两条切线，切点分别为M、N．若MN∥PQ，求△PMN的面积．【分析】（1）利用抛物线方程求出p，然后写出焦点坐标．（2）法一：设点P（0，a），则切线PQ的方程可设为y＝kx+a，联立方程可得k2x2+（2ak﹣4）x+a2＝0，由△＝0可得ak＝1，求出切点Q坐标，设点M（x1，y1），N （x2，y2），求出切线QM：（x﹣4）（x1﹣4）+2yy1＝4，切线QN：（x﹣4）（x2﹣4）+2yy2＝4，将点Q的坐标代入可得直线MN得到直线的斜率，通过k MN＝k PQ，求解a，然后求解三角形的面积．法二：设点Q（x0，y0），则切线PQ的方程可设为yy0＝2（x+x0），求出Q坐标，记线段C2Q和线段MN的焦点为E，然后转化求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意可得p＝2，故抛物线C1的方程为y8＝4x，焦点坐标为（1．（2）法一：设点P（2，a），联立方程可得k3x2+（2ak﹣5）x+a2＝0，由△＝3可得ak＝1，且切点Q坐标为，设点M（x1，y5），N（x2，y2），则切线QM：（x﹣8）（x1﹣4）+8yy1＝4，切线QN：（x﹣6）（x2﹣4）+8yy2＝4，将点Q的坐标代入可得直线MN：（x﹣4）（a2﹣4）+4ay＝4，故，由k MN＝k PQ，可得，因为两种情况中的P点关于x轴对称，所以求出的面积相同情况，联立方程，可得，故，Q（2，2）y+2＝6，∴d＝＝，从而有|MN|＝＝，所以．法二：设点Q（x0，y0），则切线PQ的方程可设为yy2＝2（x+x0），显然x4＝4不满足要求；因为C2Q⊥MN，MN∥PQ3Q⊥PQ，当x0≠4时，，所以Q坐标为，记线段C5Q和线段MN的交点为E，从而有|C2Q|＝，|ME|＝，S△PMN＝＝．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣2a，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：|x2﹣x1|＜．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）（i）求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可；（ii）令t＝2a＞e+1，令h（t）＝e t（t﹣1）﹣t，结合函数的单调性证明即可．【解答】解：（1），x＞0当x＞1时，f'（x）＞2；当0＜x＜1时，f（x）单调递减．所以f（x）的单调递增区间为（3，+∞），1）（2）（|i）由（1）f（x）min＝f（1）＝e+1﹣6a，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，则f（1）＝e+3﹣2a＜0，解得：a＞（|ii）不妨设x1＜x2，因为．令，．令h（t）＝e t（t﹣1）﹣t，则h'（t）＝e t•t﹣5，h''（t）＝e t•（t+1）＞0，所以h'（t）单调递增，又因为h'（e+8）＞0，所以h（t）单调递增．因为h（e+1）＝e e+2﹣e﹣1＞0，所以g'（t）＞5．又因为g（e+1）＞g（e）＝e e﹣1﹣5＞0，所以f（2a）＞6，x2＜2a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由lnx≤x﹣5可知令，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的怎么，考查转化思想，是一道难题．。

2019-2020学年浙江省宁波市中学高二上学期期中数学试题及答案解析一、单选题11=表示的曲线是（ ）A ．一条射线B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支【答案】D【解析】根据方程表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，得到答案. 【详解】1=表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，1221F F =>，故表示的是双曲线的右支. 故选：D . 【点睛】本题考查了方程表示的曲线，转化为几何意义是解题的关键.2．已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求得不等式11a <的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a <，等价与1110a a a--=<，即10a a ->，解得0a <或1a >，所以“1a >”是“11a <”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．4．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是（）A．α⊥β且m⊂βB．α⊥β且m∥βC．α∥β且m⊥βD．m⊥n且n∥α【答案】C【解析】ABD选项均可得到mα⊂，//mα或m与α相交，得到答案.【详解】A. α⊥β且m⊂β，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；B. α⊥β且m∥β，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；C. α∥β且m⊥β，则m⊥α，正确；D. m⊥n且n∥α，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；故选：C.【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点，若点P （1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点B，则线段OB 的长度为（）B C DA【答案】B【解析】计算得到()B，再计算长度得到答案.1,0,3【详解】点P（1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点()B，故1,0,3OB==.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点的投影，距离的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若a⊥b，则a•b=0”的否命题为“若a⊥b，则a•b≠0”B．命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的减函数”C．命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B”的逆否命题为真命题D．命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为真命题【答案】C【解析】根据否命题，逆命题，逆否命题，命题的否定的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 命题“若a⊥b，则a•b=0”的否命题为“若a不垂直b，则a•b≠0”，故A错误；B. 命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x不是R上的增函数”，故B错误；C. 命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B”是真命题，故逆否命题为真命题，C正确；D. 命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x ＝2”，为假命题，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆否命题，逆命题，意在考查学生对于命题的理解和掌握.7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．13C D 【答案】B【解析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案.【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=，直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ） A ．3 B ．355C ．324D ．32【答案】C【解析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案. 【详解】渐近线为：a y xb =±，取yc =，解得bc x a =±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.OP OA OB λμ=+，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=， 则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,94e e ==.故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键.9．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，经过定点P （a ，0）（a ＞0）的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP PA =，|AF |+2|BF |＝9，则a ＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E ，根据相似得到3NP =，得到答案.【详解】如图所示：过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E .2BP PA =，则2AC BE=，29AF BF+=，即29DE =， 4.5DE =.根据三角形相似得到：23NP DE=，故3NP =，1OP =，故1a =. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．四棱锥P ﹣ABCD 中，已知3PAB PAD BAD π∠=∠=∠=，|AB |＝|AD |＝a ，|AP |＝b ，|PC |＝1，则b 的最大值为（ ） A 3B 6C 6D 3【答案】B【解析】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC ，计算得到6PA =，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC .AD EF ⊥，AD PF ⊥，故AD ⊥平面PEF ，故AD PE ⊥，故2b AE =，32PE =.36EF b =，2263PA PE EF b =-=. 在PFC ∆中，222PC FC PF =+，即222113b FC =-≤，故6b ≤.当F 和C 点重合时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了四棱锥中距离的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题11．双曲线2213y x -=的渐近线方程为_____，焦点坐标为_____． 【答案】y 3=±x（±2，0）【解析】直接利用渐近线方程公式和焦点公式得到答案. 【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程为：y =，焦点坐标为()2,0±.故答案为：y =；()2,0±.【点睛】本题考查了渐近线和焦点，属于简单题.12．已知()3211a λ=-，，，()102b μμ=+，，．若a b ⊥，则μ＝_____；若//a b ，则λ+μ＝_____． 【答案】35-710【解析】根据垂直得到()31020a b μμ⋅=+++=，根据平行得到a mb =，计算得到答案.【详解】()31020a b μμ⋅=+++=，故35μ=-； //a b ，则a mb =，即()()3211102m λμμ-=+，，，，，故()3121012m m μλμ⎧=+⎪-=⎨⎪=⎩，解得1215λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故710λμ+=. 故答案为：35；710. 【点睛】本题考查根据向量的垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力.13．已知向量a ，b ，c 是空间的一组单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一组基底，若向量p 在基底a ，b，c下的坐标为（2，1，3），p在基底a b+，a b-，c下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．【答案】1 3【解析】化简得到()()p x y a x y b zc=++-+，对比系数得到答案.【详解】根据题意知：23p a b c=++，()()()()=++-+=++-+.p x a b y a b zc x y a x y b zc故1,3-==；x y z故答案为：1；3.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.14．若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离少1，则动点P的轨迹C的方程为_____，若过点（2，1）作该曲线C的切线l，则切线l的方程为_____【答案】x2＝4y y＝x﹣1．【解析】设动点P的坐标为（x，y），代入化简得到答案，设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1，计算得到答案.【详解】设动点P的坐标为（x，y），21y=+-；∴x2＝4y；动点P的轨迹C方程为x2＝4y；设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1；①当k 不存在时，则直线方程为x ＝2，与曲线C 不相切； ②当k存在时，联立()2214y k x x y ⎧=-+⎨=⎩，∴x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0．∵直线与曲线C 相切，∴△＝16k 2﹣32k +16＝0；解得k ＝1； 切线l 的方程为y ＝x ﹣1． 故答案为：24x y =；1y x =-. 【点睛】本题考查了轨迹方程，切线问题，意在考查学生的计算能力.15．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．【解析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =，平面ACD 的法向量()21,n =，利用夹角公式计算得到答案. 【详解】设BD 中点为O ，则AO CO ==AC =AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD 的法向量()11,0,0n =，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，()(),,0,1,0A CD ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，解得：()21,3,1n =，则法向量夹角121235cos 553n n n n θ⋅===⋅⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．四边形ABCD 的各个顶点依次位于抛物线y ＝x 2上，∠BAD ＝60°，对角线AC 平行x 轴，且AC 平分∠BAD ，若2BD =，则ABCD 的面积为_____．3【解析】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a a C a a B b b D d d -，计算得到3a b -=，3d a -=，计算得到2a =根据()12D B S AC y y =-计算得到答案. 【详解】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a a C a a B b b D d d -.则)22a b a b +-，故3a b -=；)22a d d a +=-，故3d a -=.()()()()()222222212BD b d b db d b d =-+-=-++=，即()241423a +=，4a =.()()22212236D B S AC y y a d b a =-=-=⋅=.故答案为：6.【点睛】本题考查了抛物线的内接四边形面积，意在考查学生的计算能力. 17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=＞＞，点A ，B 分别是椭圆E 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，其中c 是椭圆的半焦距，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e 2的取值范围是_____．【答案】，32-）．【解析】根据直线和圆相离得到a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），根据等腰三角形得到2e 4﹣5e 2+1≤0，计算得到答案. 【详解】 AB所在直线方程为1x ya b +=-，即bx ﹣ay +ab ＝0，又直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，∴22a b+＞c ，即a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）＞c 2（2a 2﹣c 2），整理得：e 4﹣3e 2+1＞0，解得0＜e 2352-＜；又存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形， 则在Rt △OPN 中，OP 2=ON 2=c ，∴222c a b≤+，即a 2b 2≤2c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）≤2c 2（2a 2﹣c 2）， 整理得2e 4﹣5e 2+1≤0，解得5174-≤e 2＜1． ∴e 2的取值范围是[517-，352-）．故答案为：[517-，35-）.【点睛】本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题18．已知a ＞0，且a ≠1．命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数；命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点．（1）若命题P ，Q 满足P 真Q 假，求实数a 的取值范围； （2）命题S ：函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S 为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（1，2）； （2）（1，74）．【解析】（1）根据命题P ，Q 满足P 真Q 假，计算得到答案.（2）首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a ＜1和1＜a ＜2两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）由命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数是真，得a ＞1；由命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点为假，得△＝4a 2﹣16＜0，得﹣2＜a ＜2．∴使命题P 真Q 假的实数a 的取值范围是（1，2）； （2）若函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数， 则首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0， 则△＝4a 2﹣16＜0或()2840a g a a ≤⎧⎨=-⎩＞， 得﹣2＜a ＜2．又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜2且a ≠1． 当0＜a ＜1时，外层函数f （x ）单调递减，而内层函数g （x ）当x →+∞时，g （x ）→+∞，此时y＝f（g（x））＜0，不合题意；当1＜a＜2时，外层函数f（x）单调递增，要使y＝f（g （x））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，则g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．即g（2）＝8﹣4a＞1，得a7＜．4∴1＜a7＜．4即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，7）．4【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB ，BD＝2．5（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．．【答案】（1）见解析（2）79【解析】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案.（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，确定则∠ANC 为二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角，计算得到答案. 【详解】（1）取AP 的中点为H ，连接EH ，HB ；由E ，H 分别为PD ，P A 的中点，则EH ∥AD且12EH AD =； 又F 为BC 的中点，则BF ∥AD 且12BF AD =；所以EH ∥BF 且EH ＝BF ，则四边形BFEH 为平行四边形； 所以EF ∥BH ，又HB ⊂平面P AB ； 所以EF ∥平面P AB ；（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，在△PBD 中O 为AC 的中点，PD ＝PB ，则PO ⊥BD ； 又平面PBD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ； 在△PBD 中，PD ⊥PB ，BD ＝2．则PD ＝PB 2=由题意有P A ＝PC 5=AO ＝2，5AB =在等腰三角形APB 中，2232()22PB AN AB =-=； 由△P AB ≌△PCB ，则CN ⊥PB ；CN ＝AN 在△ACN中，2229916722293232222AN NC AC cos ANC AN CN +-+-∠===-⋅⨯⨯； 故平面P AB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值为79．【点睛】本题考查了线面平行和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．如图，已知椭圆2213x C y +=：，过动点M （0，m ）的直线交x 轴于点N ，交椭圆C 于A ，P （其中P 在第一象限，N 在椭圆内），且M 是线段PN 的中点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，延长QM 交C 于点B ，记直线PM ，QM 的斜率分别为k 1，k 2．（1）当113k =时，求k 2的值；（2）当1213k k =-时，求直线AB 斜率的最小值．【答案】（1）k 2＝1（2）最小值为1．【解析】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），计算得到213k k =-，得到答案.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0），联立方程计算得到1212AB y y k x x -=-，代入数据利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），可得P （x 0，2m ），Q （x 0，﹣2m ）． 所以直线PM的斜率1002m m mk x x -==；直线QM 的斜率20023m m mk x x --==-；此时213k k =-．当113k =-时k 2＝1； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0）由2233x y y kx m ⎧+⎨=+⎩，得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0 ()22012231331313m m x x k k -==++，即()()2123113m xk x-=+；所以()()211203113k m y kx m mk x -=+=++；直线QB 的方程为y ＝﹣3kx +m ． 同理有：()()222031127m x k x -=+，()()222031127k m y mk x --=++，31126k k⋅=23126k k =，当且仅当2232HQ HQ AB ︒===，即13k =时取等号； 故直线AB 的斜率的最小值为1． 【点睛】本题考查了椭圆内的斜率问题，综合考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合理解能力.21．如图，△ABC 为正三角形，且BC ＝CD ＝2，CD ⊥BC ，将△ABC 沿BC 翻折．（1）当AD ＝2时，求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）若点A 的射影在△BCD 内，且直线AB 与平面ACD所成角为60°，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）根据长度关系得到AE⊥平面BCD，得到证明.（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，计算HQ=AH=.【详解】（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，则A在底面BCD内的射影为△BCD的外心，∵△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，∴A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，∴AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，可得BC⊥平面AOE，过A作AH⊥OE于H，过H作HN∥BC交CD于N，连接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离为2HQ，则x=，得HQ=设AH＝x，有==，解得x=AH=又AO=∴H与O重合，则AD015245p--=．【点睛】本题考查了面面垂直，根据线面夹角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到直线l：2x﹣y﹣1＝0的距离为54．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，交x轴于点Q，若抛物线C上总存在点M（异于原点O），使得∠PMQ＝∠AMB＝90°，求实数t的取值范围．【答案】（1）x2＝y；（2）t≥1．【解析】（1）直接利用点到直线的距离公式计算得到答案. （2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l的方程设为y＝kx+t，联立方程，利用韦达定理得到x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，且y1＝x 12，y 2＝x 22，根据∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k =-+•tk-=1，化简得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点（0，2p）到直线l ：2x ﹣y ﹣1＝0可得tk -，解得p 12=，即抛物线的方程为x 2＝y ；（2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 的方程设为y ＝kx +t ，联立x 2＝y ，可得x 2﹣kx ﹣t ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得k 2+4t ＞0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣t ，且y 1＝x 12，y 2＝x 22， 设M （m ，m 2），Q （2m tm-，0），由∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k=-+•tk -=1，化为2211m x m x --m 3﹣mt +m ，① 2222m x m x -=--•2t m=1，即（m +x 1）（m +x 2）＝﹣1，化为m 2+km﹣t +1＝0，② 由①②可得t ＝k 2m 2，由k 2﹣4（1﹣t ）≥0可得4（1﹣t ）≤k 21tt-≤， 由于m ≠0，m 2＞0，可得1tt -≤0解得t ≥1．【点睛】本题考查了抛物线方程，根据直线和抛物线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.。