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圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面与圆锥相交而得到的曲线。
在平面几何中，圆锥曲线可以用数学方程来进行描述。
一般来说，圆锥曲线的数学方程可以由二次方程来表示，它们的一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0（其中A、B、C、D、E和F是常数，且A和C不同时为0）。
根据二次方程的系数A、B和C的取值，我们可以将圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是圆锥曲线的一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 + By^2 + C = 0（其中A和B不同时为0）。
椭圆在平面上呈现出闭合的轨迹，且其长度和宽度不同，这种特性使得椭圆在几何学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道就可以用椭圆来描述。
双曲线是圆锥曲线的另一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 - By^2 + C = 0（其中A和B不同时为0）。
双曲线在平面上表现出两个分离的开口，它的形状类似于一个倒置的U形。
双曲线在数学和物理学中有着丰富的应用，例如在电磁学中，电场和磁场的分布就可以用双曲线来描述。
抛物线是圆锥曲线的最后一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 + By = 0（其中A不为0）。
抛物线在平面上呈现出开口向上或向下的曲线轨迹，其特性在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在抛物线运动中，抛出的物体会沿着抛物线轨迹移动。
圆锥曲线的性质和特点除了不同类型的圆锥曲线有着各自不同的数学方程之外，它们还有许多共同的性质和特点。
在本节中，我们将分别对椭圆、双曲线和抛物线的性质进行探讨。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种类型，它具有许多重要的性质。
首先，椭圆在平面上呈现出闭合的轨迹，且其长度和宽度不同。
其次，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还满足反射定律，即光线从一个焦点射到椭圆上的一个点，然后被反射到另一个焦点。
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，它涉及到许多重要的数学定理和应用。
本文将对圆锥曲线的知识点进行总结，以帮助读者更好地了解和掌握这一领域的知识。
1. 定义圆锥曲线是由一个平面依某种特定的方式与一个圆锥相交而形成的曲线。
根据平面与圆锥相交的位置和方式的不同，可以得到不同种类的圆锥曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
2. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，它由一个平面截取圆锥而得。
椭圆具有以下特点：- 椭圆是对称图形，它具有两个焦点和一个长轴和短轴。
两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数。
- 通过长轴和短轴的长度可以确定椭圆的形状和大小。
3. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线，它由一个平面与圆锥的一个发电机相交而得。
抛物线具有以下特点：- 抛物线是对称图形，它具有一个焦点和一个直线（称为准线）。
抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等。
- 通过准线的斜率和焦点的坐标可以确定抛物线的形状和方向。
4. 双曲线双曲线是圆锥曲线中最复杂的一种形式，它由一个平面与圆锥的两个发电机相交而得。
双曲线具有以下特点：- 双曲线有两个焦点和两条渐近线。
双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个常数。
- 通过焦点的位置和渐近线的斜率可以确定双曲线的形状和方向。
5. 数学定理圆锥曲线涉及到许多重要的数学定理和关系，包括焦点到直线的距离公式、椭圆的离心率公式、极坐标方程等。
- 焦点到直线的距离公式：椭圆的焦点到直线的距离等于焦点到直线的切线的距离。
- 椭圆的离心率公式：椭圆的离心率是一个常数，它等于焦点到准线的距离与椭圆的长轴长度之比。
- 极坐标方程：圆锥曲线可以用极坐标方程来描述，其中径向距离和极角之间存在特定的关系。
6. 应用领域圆锥曲线在数学和物理学中有广泛的应用。
例如，椭圆的离心率在天文学中用来描述行星的轨道形状；抛物线的反射性质用于抛物面望远镜的设计；双曲线的双曲函数在物理学中有重要的应用等等。
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆顶点为$（±a, 0)＄，＄（0, ±b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆顶点为$（0, ±a)＄，＄（±b, 0)＄。
（4）离心率：椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜1$），它反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越接近于圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
高中数学圆锥曲线知识点
圆锥曲线，渗透到平面解析几何的各个部分，是解决解析几何问题的重要工具之一，更是高考必考内容之一。
对于高中数学的学习，圆锥曲线是一大难点，也是一大重点，归纳结论和解题技巧对学生来说都是十分重要，事实上，运用解析法解决几何问题是一种解决问题的思路，为了体现这种思路，必须出现一些用传统几何方法无法解决或者很难解决的问题，而圆锥曲线就是最好的载体了——简单的方程和很多时候方便出题的性质。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a+=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
圆锥曲线知识总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
例题讲解:①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )A． B．C． D．（）；②方程表示的曲线是__ __已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
例题讲解:①已知方程表示椭圆，则的取值范围为____②若，且，则的最大值是____，的最小值是___（①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线知识点总结一、考点概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
3、双曲线：（1）轨迹定义：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；5、曲线与方程：（1）轨迹法求曲线方程的程序：①建立适当的坐标系；②设曲线上任一点（动点）M的坐标为(x,y)；③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式；⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；（2）曲线的交点：由方程组确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。
二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
3、利用焦半径公式计算过焦点的弦长：若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为AB，则；4、弦长公式：若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点的坐标分别为，则弦长这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系：若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上⇔00(,)0f x y =；点000(,)P x y 不在曲线C 上⇔00(,)0f x y ≠.两条曲线的交点：若曲线1C ，2C 的方程分别为1(,)0f x y =，2(,)0f x y =，则点000(,)P x y 是1C ，2C 的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 二、圆：1、定义：点集{|}M OM r =，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆方程是222()()x a y b r -+-=圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是222x y r +=(2)一般方程：①当2240D E F +->时，一元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D --半径是2. 配方，将方程220x y Dx Ey F ++++=化为22224()()224D E D E Fx y +-+++=②当2240D E F +-=时，方程表示一个点)2,2(ED --③当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ，半径为r ，点M 的坐标为00(,)x y ，则||MC r < ⇔点M 在圆C内，||MC r =⇔点M 在圆C 上，||MC r >⇔点M 在圆C 外，其中||MC =（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点.②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离22BA C Bb Aa d +++=与半径r 的大小关系来判定.三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点(,)P x y 到一个定点(,0)F c 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数(0)e e >，则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点(,0)F c 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.（3）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为；如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 【备注2】抛物线：（1）抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标是(2p ，0)，准线方程2p x =- ，开口向右；抛物线22(0)y px p =<的焦点坐标是(2p ，0)，准线方程2p x =-，开口向左；抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标是(0，2p )，准线方程2p y =-，开口向上；抛物线22(0)x py p =<的焦点坐标是(0，2p )，准线方程2p y =-，开口向下.（2）抛物线22(0)y px p =>上的点00(,)M x y 与焦点M 的距离20px MF +=； （3）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p . 五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换. 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是(,)x y ，在新坐标系'''x O y 中的坐标是),(''y x . 设新坐标系的原点'O 在原坐标系xOy 中的坐标是(,)h k ，则 ''x x hy y k =+⎧⎨=+⎩叫做平移(或移轴)公式. 六、椭圆的常用结论：1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角.证明：如图，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，00(,)P x y .对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，'22220x yy a b+=2'2b x y a y ∴=-，002'0(,)20PT x y b x k k y a y ===-又12001200,PF PF y yk k k k x c x c====+- 同理2tan 4b cy ∴∠=故24∠=∠总结：角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率，多利用几何方法 补充角平分线定理2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. （和圆上点的切线做比较）解析：对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，'22220x yy a b +=2'2b x y a y ∴=-，002'0(,)20PT x y b x k k y a y ===-故直线方程为00221x x y ya b+= 总结：常见的求切线的方法3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b+=. 补充圆的切线公式：200()()()()x a x a y b y b r --+--= 圆的切点弦公式：200()()()()x a x a y b y b r --+--=总结：知识点的对比性记忆4. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.证明：设12,PF m PF n ==，则由余弦定理可得5. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的焦半径公式10||MF a ex =+，，其中(1(,0)F c - ，2(,0)F c ，00(,)M x y ).解析：22222222220010000022()||()2b x cx a MF c x y x cx x b a a +=++=+++-= 同理10||MF a ex =+ 6.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即202y a x b K AB-=.解析：设直线方程为00()y k x x y =-+，联立可得22200120222222a k x ka y x x x b a k -+==+，2020b x k a y =- 7. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+；8、已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，O 为坐标原点，P Q 、为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）22||||OP OQ +的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 解析: 设直线方程为y kx m =+，联立可得222222222()20a k b x kma x a m a b +++-=可得22222212121212222,()a m a b x x y y k x x km x x m a k b -==++++ 由222121222201m a b x x y y k a b +=⇒=++ （2）222222222221111||||||||()(||||)()()2OP OQ OP OQ OP OQ a b a b ++=+≤+ 2222224||||a b OP OQ a b +≥+（3）同理可求2222OPQ a b S a b ∆≥+七、双曲线的常用结论：1、点P 处的切线PT 平分12PF F ∆在点P 处的内角.2、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=.3、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b-=. 4、双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.5、双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的焦半径公式：(1(,0)F c -，2(,0)F c ）当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+，20||MF ex a =-；当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+，20||MF ex a =--.6、AB 是双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则0202y a x b K AB =.7、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>内，则被0P 所平分的中点弦的方程2200002222x x y y x y a b a b -=-.8、已知双曲线22221x y a b-=(0)b a >>，O 为坐标原点，P Q 、为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）22||||OP OQ +的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.八、抛物线的常用结论： 1、顶点.2、设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则（1）221212,4p x x y y p ==- （2）弦长1222||()sin pAB x x p AB αα=++=为弦的倾斜角 解析：（一）设直线为()2py k x =-，代入抛物线方程可得： 则1212...,...x x x x +== （二）利用定义12||()()22p p AB x x =--+-- （3）112||||FA FB p+= 解析：12212121211112||||()2224x x p p p p p FA FB p x x x x x x +++=+==+++++（4）以弦AB为直径的圆与准线相切、与B在准线上的射影'B三点共线，,B O与A点在准线上的射影'A三点共线（5）A O（6）通径长度为2p3、则焦点半径;则焦点半径为.。
圆锥曲线知识要点及重要结论圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种特殊的曲线形状。
本文将介绍圆锥曲线的基本定义、性质和重要结论，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个可移动的点P和两个固定点F1、F2组成的。
对于椭圆和双曲线而言，这两个固定点称为焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥线还有一个固定的直线L，称为准线，通过焦点F1、F2的垂线交于准线上的点称为顶点。
圆锥曲线的定义可以用以下公式表示：椭圆：PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的大半轴长度；双曲线：|PF1 - PF2| = 2a，其中a为双曲线的距离焦点到准线的距离；抛物线：PF = PL，其中P为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线。
2. 圆锥曲线的性质2.1 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数2a，其中a为椭圆的大半轴长度；- 椭圆的长轴是焦点的连线，短轴是准线的连线；- 椭圆是一个封闭曲线，对称于长轴和短轴。
2.2 双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有双曲线上的点到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a为焦点到准线距离的一半；- 双曲线的两支分别相交于点F1、F2，这两个点称为焦点；- 双曲线是一个非封闭曲线，它与准线之间没有交点。
2.3 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；- 抛物线是一个非封闭曲线，它与准线相切于顶点。
3. 圆锥曲线的重要结论3.1 椭圆的离心率椭圆的离心率是用来衡量椭圆形状扁度的指标，其定义为离心距与长轴长度的比值。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，而当离心率为1时，椭圆变成了一个线段。
3.2 双曲线的离心率双曲线的离心率也是衡量其形状的指标，其定义为离心距与焦点距离之差的比值。
离心率的取值范围大于1，当离心率趋近于无穷大时，双曲线的形状趋近于两个平行线。
圆锥曲线基础知识汇总表优秀版椭圆 双曲线 抛物线图像定义定义1：平面内到两定点12,F F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆 即 122MF MF a +=定义2： 到定点(,0)F c 的距离与到直线2:a l x c=的距离之比是常数1ce a=<， (0)a c >>的动点轨迹称为椭圆定义1：平面内与两定点12,F F 的距离差的绝对值等于常数2a 的点的轨迹叫做双曲线即 122MF MF a -=定义2：到定点(,0)F c 的距离与到直线2:a l x c=的距离之比是常数1c e a =>，(0)a c >>的动点轨迹称为双曲线定义： 平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点(1)e =，的动点轨迹称为抛物线标准方程 22221x y a b += (0,0)a b >> 22221x y a b -= (0,0)a b >> 22y px = (0)p >顶点坐标 (,0); (0,)a b ±±(,0)a ±(0,0) 焦点坐标 222(,0) c a b c ±=+ a 最大222(,0) c c a b ±=+ c 最大(,0)2p 离心率1c e a=< 1c e a=> 1e =常用经验公式1.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.2.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.3.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式 1020 MF a ex MF a ex =+=-4．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 5. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.6.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.7.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 8.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.9. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.10. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.11.抛物线px y 22=上的动点可设为200(,)2y P y p或或)2,2(2pt pt P 00(,)P x y ，其中 2002y px =.12. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.13.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆;当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.14.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =21AB x =-=A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>, k 为直线的斜率）.15.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.16.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.圆锥曲线知识点回顾1．椭圆的性质2．双曲线的性质3．抛物线中的常用结论①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）5．二次曲线在高考中的应用二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
椭圆一、知识梳理 椭圆的定义:椭圆的第一定义——平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数2a （大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.注：即设21F F 、是平面上两定点，122F F c=，P 为平面上一动点，则12122222c P PF PF a c P F F c P >⇔⎧⎪+==⇔⎨⎪<⇔⎩点轨迹为椭圆点轨迹为线段点轨迹不存在.椭圆的第二定义——平面内，到一定点F 与到一定直线l 的距离之比为一常数e ，且01e <<的动点的轨迹叫做椭圆.注：此定义中的定点即为椭圆的焦点，而定直线为对应的准线.这个地方的焦点和准线一定要对应，结合第一定义中的，焦点坐标和准线方程，我们可以算出比值e 就是定义中的离心率，e=c a .焦半径公式：椭圆上的点到椭圆焦点的距离. 焦半径1020,MF a ex MF a ex =+=-；【M （00,x y ）在椭圆上，1F 、2F 分别为左、右焦点】.椭圆的标准方程:若焦点在x 轴上，则标准方程为22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则标准方程为22221y x a b +=。
其中0a b >>，且222a b c =+.3、（重点）椭圆的几何性质：焦点、顶点、长轴、短轴、a 、b 、c 的关系:4、直线与椭圆的位置关系:将直线方程与椭圆方程联立组成方程组，消元后得到一个一元二次方程.根据判别式：当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离. 焦点弦长公式：直线与椭圆方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解得：2121AB k x x =+-；若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则21211()AB y y k =+-.5、椭圆的参数方程：（补充）22221x y a b +=（0a b >>）的参数方程为：（ϕ表示离心角）定义平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹标准方 程 椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）； 椭圆2C ：22221y x a b +=（0a b >>）； 几何性质焦点坐标 ()1,0F c -，()2,0F c ()10,F c -，()20,F c顶点()1,0A a -，()2,0A a ；()10,B b -，()20,B b ； ()10,A a -，()20,A a ；()1,0B b -，()2,0B b ；范围 x≤a ，y ≤b ；x≤b ，y≤a ；对称性关于,x y 轴均对称，关于原点中心对称；,,a b c 的关系22c a b =-1. 写出圆方程的标准式和对应的参数方程.（1）圆222x y r +=参数方程为：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）圆22200()()x x y y r -+-=参数方程为：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）.2.做一下类比：（1） ①22()()1yx r r +=，②22cos sin 1θθ+=，你能否将他们联系起来？答：可以看出，cos x r θ=，sin y r θ=，所以可得圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ .（2） ①22221y x a b +=，②22cos sin 1θθ+=，你会有什么结论？ 答：可以看出，cos x a θ=，sin y b θ=，所以可得椭圆的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ .二、新课导学：（一）新知：1.如图，以原点为圆心，分别以a ，b （0a b >>）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN Ox ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.【分析】点M 的横坐标与点A 的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B 的纵坐标相同. 而A 、B 的坐标可以通过引进参数建立联系，【解析】设xOA θ∠=，(,)M x y ，则(cos , sin )A a a θθ，(cos , sin )B b b θθ，所以cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.即为点M 的轨迹参数方程.消去参数θ得:22221y x a b +=即为点M 的轨迹普通方程.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a b >，θ称为离心角，规定参数的取值范围是[0,2)θπ∈.2．根据以上的解法，可求得椭圆22221bay x +=（0a b >>）的参数方程是：cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩为参数（）.3.椭圆的参数方程中离心角θ的的几何意义是：是xOA θ∠=，不是xOM θ∠=.如：2212516x y +=的参数方程为 .6、点与椭圆的位置关系：设点()00P x y ，，椭圆方程为22221x y a b +=，则：1222001222121211212P PF PF ax y P PF PF a a b P PF PF a⎧>⇔⇔+>⎪+==⇔⇔+=⎨⎪<⇔⇔+<⎩在椭圆外在椭圆上在椭圆内（其中21F F 、为椭圆焦点）.7、常用结论：若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y y a b +=.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.4. 与椭圆22221x y a b +=（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为：22221x y a k b k +=++.5. 椭圆上的点与两焦点构成的三角形的面积：2tan2S b θ∆=.6. 通径长22b MN a =（其中MN 是通过焦点12)F F （或且与长轴垂直的弦）.双曲线一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
圆锥曲线方程与性质1．椭圆 （1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0ab >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
圆锥曲线知识点总结.doc
圆锥曲线是数学中的重要曲线，应用广泛，可用于解决各类几何问题。
本文主要总结了圆锥曲线的一些重要知识点，包括定义形式、几何特性、画法以及分类等。
一、定义形式：
圆锥曲线是由两个圆柱形拱面和一个交叉轴所组成的几何体及其螺旋线，也称三棱圆锥曲线、双曲锥曲线等。
二、几何特性：
1、圆锥曲线是椭圆的一种特殊形式，具有极大的椭圆形，但是有着一定的独特性及特殊的几何特征；
2、根据旋转角的不同，分别画出布朗曲线、螺旋曲线、玫瑰曲线和双曲曲线等；
3、圆锥曲线的参数方程为：X^2+Y^2=(2a θ)^2，其中a为参数，常用于轴向投影图形；
4、可以通过更改曲线参数中的椭圆系数，来控制曲线的比例及形状。
三、画法：
1、用圆锥曲线模板在平面上画出圆锥曲线；
2、用圆锥几何法在平面上把圆锥曲线表示为低阶泰勒级数；
4、用投影法将圆锥曲线在平面上投影出来；
四、分类：
1、等偏曲线：按椭圆参数形式记为M^2+(A/B)^2=1，其中A为TOP圆或Y轴高度，B 为偏曲轴，表示不同高度的圆锥曲线；
5、双曲曲线：按椭圆参数形式记为X^2/A^2+Y^2/B^2=1，其中A为X轴半径，B为Y 轴半径，这种曲线主要用于轴向投影图形。
综上所述，圆锥曲线是一种重要的几何曲线，具有多样性，广泛应用于几何学的研究中。
