2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3： 14离散型随机变量的数学期望包含解析

知识点二 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 讲重点 离散型随机变量的特征 1．可用数值表示． 2．试验之前可以判断其出现的所有值． 3．在试验之前不能确定取何值． 4．试验结果能一一列出．
2 新视点· 名师博客 类型一 随机变量的概念 【例 1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机 变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中 2013 年 5 月 1 日的旅客数量； (2)2013 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数； (3)2013 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长．
点评 1.解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1,2，…， 11 所表示的结果不需要分别列出来，只写出 X＝i 即可． 2.在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意，随 机变量的一个值表示多个试验结果的情况， 不能遗漏某些试验结果.
变式训练 3 写出下列随机变量可能取的值， 并说明随机变量 所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有 5 个同样大小的球，编号为 1,2,3,4,5，现从该袋 内随机取出 3 个球，被取出的球的最大号码数 ξ； (2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为 0.5 分钟，某人随 机打开收音机对时间，他所等待的时间 ξ 分钟．
点评 1.解答本题主要是运用离散型随机变量的定义，透彻理解定义 是解此类题的关键． 2.随机变量 X 满足三个特征： (1)可以用数来表示； (2)试验之前 可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值.
变式训练 1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变 量，并说明理由． (1)某天华翰书业公司信息台接到咨询电话的个数； (2)标准大气压下，水沸腾的温度； (3)在将要举行的绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某同学 的一件作品获得的奖次；

第二章概率2. 3 随机变量的数字特征2.3. 1 离散型随机变量的数学期望学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求岀数学期望.（重点）2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.（重点）3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.（难点）教材整理/离散型随机变量的数学期望阅读教材P59〜卩60,完成下列问题.1.定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是加切•“，凡, 这些值对应的概率是卩1，卩2,…，Pn，则E(X)二如1土泌土T土泌叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.------ 0微体验0 -----1. __________________ 下列说法正确的有・(填序号)①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化;②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4；Xl+%2 ----- 為④随机变量X的均值E(X)二◎【镒】■鑒@-^s s s 虐息謬舉1W雷摄豊舉屢藍苞•皐1聲—益眾-K-X 啊豎證■型羸曾酗嚣2.已知离散型随机变量X的分布列为:则X的数学期望E(X)二___11牛刀出M 如】•HG+XDgmsHgg 掘教材整理2常见的几种分布的数学期望阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题.----- 0微体验0 ----(1]1.若随机变量X服从二项分布$4, 则E(X)的值为1 4【解析】E(X)=np=^j=y 【笞案】2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.己知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的期望是・【解析】因为P(X=l)=0.8, P(X=0)二0.2,所以E®=1X0.8+0X02=0.8.【答案】0.8\響17 二点分布与布的数劉望【例1】某运动员投篮命中率为p=0.6.⑴求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数丫的数学期望.【精彩点拨】⑴利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.【解】⑴投篮1次，命中次数X的分布列如下表:则E®=0.6.⑵由题意，重复5次投篮，命中的次数丫服从二项分布，即丫〜5(5,0.6),则E(F)=〃p=5X0.6=3.r规律方沽1.常见的两种分布的均值设卩为-次试验中成功的概率，则⑴二点分布E(X)=p；⑵二顶分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算豊提高解题速度•2.二点分布与二项分布辨析⑴相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值x=0,l, 2,…，n.②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行〃次试验.越跟腳||漏1.⑴某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X,则X的数学期望为（）A. 100B. 200C. 300D. 4002 -9 11 - 07A学期望E(X)等于()X0 1P_______m加【解析】⑴由题意可知，补种的种子数记为X, X服从二项分布, 即X〜B(1 000,0.1),所以不发芽种子的数学期望为1000X0.1 = 100.所以补种的种子数的数学期望为2X100=200.1 12 2(2)由题意可知m+2m=l,所以m=y所以E(X)=0X亍+1X厂亍【答案】(1)B (2)D求离散型随机变量的数学期望一一丿------------------------------------------------------------------------------ 【例2】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演岀活动中, 每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演岀顺序（序号为1,2, •“，6）,求：⑴甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两单位之间的演岀单位个数（的分布列与均值.【精彩点拨】⑴可先求“甲乙两单位的演岀序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；（2）先求出（的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【解】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.⑴设4表示“甲、乙的演岀序号至少有一个为奇数”，则只表示網乙的演岀序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P⑷=1 -— C2P⑷r(2)(的所有可能取值为0,1,2,3,4,且5 1 4 4 3 1 2P(f=0)=R=y P(f=l)="=K，P(f=2)=声PK=3)=^2= C6 J L Z61JL Z6 J Y2 1 1丐P(f=4)p祁.从而知｛的分布列为14 12 1 4所以E(^)=0X^+1X|^+2X^+3X^+4X J^=J.规律方疥求离散型随机变量f的数学期望的步骤(1)根据f的实际意义,写岀§的全部取值.(2球岀｛的每个值的概率.(3)与出§的分布列.(4)利用定义求出数学期望.其中第⑴、⑵两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识. 腿刀2-盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取-节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数x的分布列及数学期望.【解】X可取的值为1,2,3,3 2 3 3则P(X=1)=§, P(X=2)=§X厂亦P(X=3)=討XI二点抽取次数X的分布列为3 3 1 3 E(X)=1X§+2X 込+3X 百二离散型随机变量的均值实际应用［探究问题］1.某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X=0)=03, P(X=l)=0.7.2.在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为^=0.8.3.在探究1中，你能求岀在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0X0.3+1XO.7=O.7（分）.因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.【例3】随机抽取某厂的某种产品200件,经质检，其中一等品126 件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元, 设1件产品的利润（单位：元）为X.⑴求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；⑶经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%, -等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？【精彩点拨】利用期望回答问题根据利润的意义写岀X的取值f写岀X的分布列求岀数学期望E(X)【解】（1）X 的所有可能取值有6,2,1, -2.P(X=_2)=缶=0.02.故X 的分布列为:P(X=6)= 126=0.63,P(X=2)= 5020=0.25, P(X=1)= 20 20=0.h(2)E(X)=6 X 0.63+2 X 0.25+1X 0.1+(—2) X 0.02=4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6X0.7+2X(l-0.7-0.01-x)+lXx+(-2)X0.01 =4.76-x(0<x<0.29).依题意，E(X)24.73,即 4.76—诊4.73,解得i<0.03,所以三等品率最多为3%.¥律方------------------ --------------1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤⑴审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.踪训龜3. 甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7, & 9,10环.将他们的比赛成绩111成频率分布甲 环数乙 环数(1)根据这次比赛的成绩步贝学力冲且力囹屮8环的概率P(X 乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;直方图如图甲和图乙所示.0.3 0.2 0.15击中频率击中频率0.35 0.27 8 9 10击中(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】⑴由图乙可知P（X乙=7）=0.2, P（X乙=9）=0.2, P（X乙=10） =0.35.所以P（X 乙=8）=1—0.2—0.2—0.35=0.25.同理卩（火甲=T）=0.2, P（X甲=8）=0.15, P（X甲二9）=03,所以P（X 甲=10）=1—0.2—0.15—0.3=0.35.P（X甲29）=0.3+0.35=0.65.（2）因为E（X 甲）=7X0.2+8X0.15+9X0.3+10X0. 35=8.8,E（X 乙）=7X0.2+8X0.25+9X0.2+10X0.35=8.7, 则有E（X 甲）〉E（X乙），所以估计甲的水平更高.漲堂小结二自分布的均值二项分布的均值1 •一名射手每次射击中靶的概率为0.8,则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是()D. 3A. 0.83B. 0.8C. 2.4【解析】E(X)=3X0.8=2.4.。

2．1.2 离散型随机变量的分布列
[对应学生用书P21]
1．投掷一颗骰子，所得点数为X . 问题1：X 可取哪些数字？ 提示：X ＝1,2,3,4,5,6
问题2：X 取不同的值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于1
6
.
2．一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码．
问题3：随机变量X 的可能取值是什么？ 提示：X ＝3,4,5.
问题4：试求X 取不同值的概率分别是什么？
提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24
C 35＝610＝35
.
问题5：你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 提示：可表示为：
1．分布列的定义
设离散型随机变量X 所有可能取的值为x 1，x 2，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率p 1，p 2…，p n 则称表
为离散型随机变量X 的概率分布列． 2．分布列的性质。

[ 答案]
C
[ 解析]
1 5 E(X)＝5×4＝4.故选 C.
离散型随机变量的均值的性质
1 (1)设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝6(k＝ 1、2、3、4、5、6)，求： (1)E(2X＋3)； 1 (2)设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝n(k＝1、2、„、 n)，求 E(X)．
[ 解析 ]
X 的分布列为： P(X ＝ 1) ＝ 0.7 ， P(X ＝ 0) ＝ 0.3 ，
∴E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.
[说明] 明确了是两点分布后只要找出成功概率即可．
设一随机试验的结果只有 A 和 A ，P(A)＝p，令随机变 量
1，A出现 X＝ 0，A不出现
然后列其分布列，最后计算 E(X)．
[ 解析]
从 10 件产品中任取 3 件共有 C3 10种结果．从 10
3－k 件产品中任取 3 件， 其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck 3C7 ，
其中 k＝0,1,2,3.
3－k Ck C 3 7 ∴P(X＝k)＝ C3 ，k＝0,1,2,3. 10
所以随机变量 X 的分布列为： X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120
[分析] 利用离散型随机变量的均值概念与性质解题．
[ 解析]
1 1 1 (1)E(X)＝1×6＋2×6＋„＋6×6＝3.5，
∴E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×3.5＋3＝10. 1 1 nn＋1 (2)E(X)＝n(1＋2＋„＋n)＝n· 2 n＋1 ＝ 2 .
高数学应用意识.
本节重点：离散型随机变量的均值概念及计算． 本节难点：求离散型随机变量的均值.
1．离散型随机变量X的期望 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1、