小学三年级下册数学奥数知识点讲解第4课《最短路线问题》试题附答案-精华版

1 / 7 三年级奥数金典讲义(jiǎngyì)第四讲最短路线问题通用版（含答案）

在日常(rìcháng)工作、生活和娱乐中,经常会遇到有关行程路线(lùxiàn)的问题.在这一讲里,我们主要(zhǔyào)解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。

例1 下图4—1中的线段表示(biǎoshì)的是汽车所能经过的所有马路,这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线?

分析 为了叙述方便,我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里,首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长?从A点走到B点,不论怎样走,最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽,即AD＋DB.因此,在水平方向上,所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上,所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点,我们就不应该走“回头路”,即在水平方向上不能向左走,在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线,即：

A→C→D→G→B A→C→F→G→B

A→C→F→I→B A→E→F→G→B

A→E→F→I→B A→E→H→I→B 通过验证,我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找,它的缺点是不能保证找出所有的最短路线,即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些,做到“不重”也是很困难的。

现在观察这种题是否有规律可循。

1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C,而由F→C是由下向上走,由D→C是由右向左走,这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此,从A到C只有一条路线。

同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。

我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上,如图4—2。

2.看F点：从上向下走是C→F,从左向右走是E→F,那么从A点出发到F,可以是A→C→F,也可以是A→E→F,共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。

最短路线

【例1】

如右图，直线AB表示一条公路，公路两侧有甲、乙两村。

（1）甲村要修一条通往AB的小路，最短是哪一条？在图上表示出来。

（2）如果在公路上AB上修一个加油站，使两个村子到加油站的距离之和最短，加油站该建在哪里？在图上画出路线，用N表示加油站。

【例2】A、B两村来往很多，AB两村村民想在河上建一座桥。请问，桥建在何处，才能使两村村民来往路程最近？

【例3】小华和妈妈每天在小区里散步，小区的道路如右图，图上的数据表示各街道长度的米数。一天，妈妈给小华出了道难题：要求从家出发，要走遍各条道路，最后回到家。什么样的路线最短？最短是多少米？

【例4】如图，从A点到B点，不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请用在交叉点上标数的方法算一下。

【例5】 如右图是一个景点的路线图，从入口甲出发游览景点的最短路线，有多少不同的走法？从入口乙出发游览景点的最短路线，有多少不同走法？

【强化训练】

1、一种游戏，所有队员都必须从A地出发，先到河边，再到点。张老师在小河边做了一个记号M，请队员们直接到河边的记号处，再出发到B点，这样总路程最近。请在小河边标出M点。

2、下图是一个街区平面图，AB=300米，BE=600米，CH=450米。一辆电影宣传车从电影院出发，到每条街上宣传至少一次，宣传车最短路线是多少米？

3、养兔专业户养殖场内安置了5个兔笼（如下图）。在饲料房配好食物后，为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个兔笼，喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？算出每喂食一次，至少要走多少路。

4、某迷宫从A点到B点有很多道路，其中C点不通。从A点出发到B点的最短路线有多少种？

5、如右图，从小明家到学校，最短的路线有多少条？

小学数学《最短路线》练习题（含答案）

【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？

分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。

所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。

解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。

【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？

分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。

答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。

为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：

（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以

AB′=AE+EB′=AE+EB

（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得

最短路线

知识要点

在日常生活中，我们经常会遇到关于行程的路线问题。比如从一个地方到另一个地方，两地之间有许多条路，我们就需要选择哪一条路最近，也就是要选择一条最短路线，这样可以省时省力，这就是最短路线问题。

本讲我们就一起来学习怎样找最短路线。

精选例题

【例1】：如图，甲、乙两个村庄分别在公路的两侧，现在要在公路旁建造一个汽车站，使甲、乙两个村庄到车站的距离之和最短，那么，车站应建在公路何处？

思路点拨：根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，如图，这条线段与公路有一个交点O，在O点处建一个车站，就能使甲、乙两个村庄到车站的距离之和最短。

标准答案：

活学巧用

1.小明和小强分别住在河岸的两边，现在要修一条路，让小明和小强能去河岸旁取水，并要求这条路使小明和小强去取水的距离之和最短，这条路应该怎么修？

小明

河岸

小强 2.如下图，在一条河的两边有A、B两个小区，为了方便两个小区的居民出行，准备在河上建一座桥，请问，这座桥建在何处，使两个小区的居民来往的路程最短？

河

【例2】：小华、小明两家分别住在河岸边的A、B两地，如图，如果两家想在河边合修一个取水码头，请问，这个码头的点选在何处，才能使小华、小明两家取水时所走的路程之和最短？

河

思路点拨：如图，先在河对岸找到以河为对称轴的对称点A’，再连接A’B，线段A’B与河的交点在O点处，A’O＝AO。因为两个点之间线段最短，所以A’B是两点间最短的距离，而A’B＝A’O＋OB＝AO＋OB。所以应把取水码头的点选在O点，这样小华和小明两家取水时所走的路程之和最短。

标准答案：

河