概率与概率分布(教师版)

第 1 页 共 11 页概率与概率分布编制：张清 审核：邓国华题组一：1.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。

比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。

假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的。

根据赛前训练统计数据，运动员小马完成甲系列和乙系列的情况如下表：表1：甲系列表2：乙系列现运动员小马最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。

（1）若运动员小马希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；（2）若运动员小马选择乙系列，其成绩设为ξ，试写出ξ的分布列并求数学期望()E ξ。

解：（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140>115可能获得第一名， 而选择乙系列最高得分为90＋20＝110<115，不可能获得第一名．记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A ，“该运动员完成D 动作得40分”为事件B ， 则P (A )＝34，P (B )＝34，记“该运动员获得第一名”为事件C ，依题意得P (C )＝P (AB )＋P (A －B )＝34×34＋14×34＝34.∴运动员获得第一名的概率为34． ----------------------------------5分（2）若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50,70,90,110， 则P (ξ＝50)＝110×110＝1100，P (ξ＝70)＝110×910＝9100，P (ξ＝90)＝910×110＝9100；P (ξ＝110)＝910×910＝81100．第 2 页 共 11 页ξ的分布列为∴()E ξ＝50×1100＋70×9100＋90×9100＋110×81100＝104． ----------------------------------10分2（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。

另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。

【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则 45)A A A（Ⅲ）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6第 3 页 共 11 页所以ξ的分布列是3.李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有1L 、2L 两条路线（如图），1L 路线上有1A 、2A 、3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有1B 、2B 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （1）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （2）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.解：（1）设“走1L 路线最多遇到1次红灯”为事件A ，则 0312331111()=()()2222PA C C ⨯+⨯⨯=，所以走1L 路线，最多遇到1次红灯的概率为12. ……………3分第 4 页 共 11 页（2）依题意，X 的可能取值为0，1，2. ……………4分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=， 339(=2)=4520P X ⨯=. …………7分所以1992701210202020EX =⨯+⨯+⨯=. ……………8分 （3）设选择1L 路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布)21,3(~B Y ，所以13322EY =⨯=. 因为EX EY <，所以选择2L 路线上班最好. ……………10分题组二：1.袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色. （1）现从中任取3个球，求至少取到1个黄球的概率；（2）现从中随机且不放回地取球，每次取1个，当两种颜色的球都被取到时，即停止取球，记随机变量ξ为此时已取球的次数，求随机变量ξ的概率分布； (3)随机变量ξ的数学期望与方差.答案 解答：(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,11123211543(2);5C C C P C C ξ=== 212123*********(3);10P C P C P C C C ξ+===3132111154321(4);10P C P C C C C ξ===得随机变量ξ的概率分布律为：第 5 页 共 11 页(2)随机变量ξ的数学期望为：2510141033532=⋅+⋅+⋅=ξE ； 随机变量ξ的方差为：209101)5.24(103)5.23(53)5.22(222=⋅-+⋅-+⋅-=ξD2．为振兴旅游业，某省今年年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。

某旅游公司 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。

在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。

（I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考 察运用概率只是解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持 银卡。

设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

12()()()P B P A P A =+121119219621333636C C C C C C C =+ 92734170=+3685=所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685。

第 6 页 共 11 页…………………………………………………………6分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，333391(0)84C P C ξ===, 1263393(1)14C C P C ξ=== 21633915(2)28C C P C ξ===，363915(3)21C P C ξ===，所以ξ的分布列为所以131550123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……………………12分3.在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H 、I 、J 、K 四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担. (1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率;(2)设这五位同学中承担H 任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望.ξE解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B ，那么,101)(442544=A A =B P C所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是.109)(1)(=B P -=B P (2)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“2=ξ”是指有两人同时承担H 任务，则41244253325=A A ==P C C )(ξ， .)()(43211==P -==P ξξ 所以,ξ的分布列是第 7 页 共 11 页所以.44241=⨯+⨯=E ξ4.用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花． (1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”， 如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种； 当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种； 因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种；B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种．所以P (M )＝72420＝635.(2)随机变量ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0×635＋1×2335＋2×635＝1.题组三：1．已知一口袋中共有4只白球和2只红球 （1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率． 解：（1）X 的可能取值为4、5、6.P(X=4)= 1514644=C C ，P(X=5)= 158461234=C C C ，P(X=6)= 156462224=C C C ∴X 的分布列为第 8 页 共 11 页∴3156155154)(=⨯+⨯+⨯=X E (2)设 “6次取球后恰好被停止”为事件A则72944323231]32)31(323132)31[()(2233=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+=C A P∴6次取球后恰好被停止的概率为729442.如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S 的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C 种不同选法，其中S =的为有一个角是 30 的直角三角形（如△145PP P ），共6212⨯=种，所以(361235CP S ===． (3)分 （2）SS 的为顶角是120 的等腰三角形（如△123PP P），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分S =135PP P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分 又由（1）知(36123C P S ===，故S 的分布列为4第 9 页 共 11 页所以331()10510E S =++．……………………………………… 10分3．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .解：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A = ，又且A2，A3（II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.第 10 页 共 11 页X 4．电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体1111D C B A ABCD -顶点A 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）求跳三步跳到1C 的概率P ；（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过1C 的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望)(X E ．1A试题解析：将A 标示为0，A 1、B 、D 标示为1，B 1、C 、D 1标示为2，C 1标示为3，从A 跳到B 记为01，高三数学二轮附加题专题复习第 11 页 共 11 页。