曲线运动小船渡河问题分析

高中物理：运动学专题讲解——小船过河问题高一的同学应该都学倒或学过曲线运动了。

其中有一类比较经典的题目——小船过河，让不少学生焦头烂额。

会的学生觉得很简单，不会的学生觉得摸不着头脑。

今天就带来小船过河专题的讲解~希望有所帮助。

小船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动常考题型分两类：1.最短过河时间最短过河时间很简单，一般而言都是船头冲着对岸就行了，但是这里需要注意的是——由于水流的原因，你是冲着对岸开的，但是一定会到达的是靠下游的地方。

2.最短过河路程分两种情况：如果船速大于水速，则可以开到正对岸如果船速小于水速，则需要成一个角度：例如，我们先看一个例题1、河宽 d＝60m，水流速度 v水＝6m／ s，小船在静水中的速度v船=3m／ s，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河 ?最短时间是多少 ?(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少 ?（物理君手写一份超级具体的答案给大家，怕大家看不懂，后续也跟着电子版……）解析：解:(1)当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短,则知:(2)小船以最短距离过河时,则静水中的速度斜着向上游,合速度垂直河岸,设与河岸的夹角为,则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得:,这时船头与河水速度夹角为;过河的时间是.答:(1)船垂直河岸过河时间最短,且过河的最短时间为,;(2)要小船以最短距离过河,开船方向与河水速度夹角为,过河时间为练习一只小船在静水中的速度为 5m/s，它要渡过一条宽为 60m 的河，河水流速为 4m/s，则：（1）过河最短时间；（2）如何过河位移最短并计算以最短位移过河的时间．答案解:(1)当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短,则知: 小船以最短距离过河时,则静水中的速度斜着向上游,设船与河岸的夹角为,则有:,计算得出:合速度垂直河岸,则由速度的合成可得:所以小船要以最短距离过河时所用的时间为:答:(1)过河最短时间;(2)船与河岸的夹角为过河位移最短,且最短位移过河的时间为.O课后练习：如图所示，一小船正在渡河，在离对岸30m 处，发现其下游40m 处有一危险水域，若水流速度为 5m/s，为了使小船在进入危险水域之前到达对岸，那么小船从现在起相对于静水的最小速度应为多大？此时船头的航向如何？渡河要用多少时间？今天的内容就先分享到这里，希望能够帮助到各位考生。

小船渡河模型一、模型建构1、小船渡河问题：小船运动时一个方向上的位移不变，求解最短运动时间和最小位移。

2、两类问题第一类：静水船速大于水流速度一条河宽度为L，水流速度为为v水, 已知船在静水中的航速v船，v 水＜v船,（1）渡河最短时间？（2）渡河最小位移？如图所示，沿河岸和垂直河岸建立坐标系船速在y轴方向：v y=v船sinθ,渡河所需的时间：t=L/v y=L/v船sinθ在L、v船一定时，t随sinθ增大而减小当θ=90时，sinθ=1,最大，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短t min=L/v船船的合速度v的方向与河岸垂直时，渡河的最小位移即河的宽度L。

沿河岸方向的速度分量：v x=v船cosθv水＜v船时，v水=v x=v船cosθ即cosθ=v水/v船v合=v船sinθ垂直河岸，位移最小等于河宽L。

一、解题思路：1、沿河岸和垂直河岸建立坐标系2、比较船速沿河岸分速度与水速关系3、判断小船能否垂直渡河4、列方程求最小位移和渡河时间二、解题方法：运动的合成与分解三、解题关键点：1、合理分解速度2、确定渡河位移最小时船速的方向四、解题易错点1、渡河最短时间与水速和船速的大小关系无关2、静水船速小于水流速度时，最小第二类：静水船速小于水流速度一条河宽度为L，水流速度为为v水，已知船在静水中的航速v船，v 水>v船，渡河最小位移？如图所示，沿河岸和垂直河岸建立坐标系沿河岸方向的速度分量：v x=v船cosθv水＞v船时，v x始终小于v水即v合不会垂直河岸，不能垂直渡河以v水的矢尖为圆心,v船为半径画圆,当与圆相切时α角最大。

α角越大，船到下游的距离x越短。

此时sinα=v船/v水,船的最短航程为X min=L/sinα=Lv船/v水二、例题精析例题、河宽60m，水流速度v1＝2m/s，小船在静水中速度v2＝3m/s，则：（1）它渡河的最短时间是多少？（2）最短航程是多少？【解答】（1）、当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝＝＝20s；（2）、船在静水中的速度v2＝3m/s，大于水流速度v1＝2m/s，因此当船的合速度垂直河岸时，则渡河位移最小，即为河宽60m；三、针对训练1．甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是（）A．甲乙船不可能同时到达对岸B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都变短C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角甲船总能到达正对岸的A点D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L【解答】解：A、将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等。

小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

21．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间　，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最θυυsin 1船ddt ==︒=90θ小为，合运动沿v 的方向进行。

vd2．位移最小若水船υυ>结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos 若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短水船v v <呢？如图所示，设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据船头与河岸的夹角应为水船v v =θcos，船沿河漂下的最短距离为：水船v v arccos=θθθsin )cos (min 船船水v d v v x ⋅-=此时渡河的最短位移：船水v dv ds ==θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间s s dt 2030602===υ(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2<v 1时，合速度v 不可能与河岸垂直，只有当合速度v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

小船渡河问题一、小船渡河的基础知识1．小船渡河问题的速度(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．2．小船渡河的三种情景(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝dv1(d为河宽)．(2)过河路径最短(v2＜v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v2v1 .(3)过河路径最短(v2＞v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v1v2，最短航程：s短＝dcos α＝v2v1d.二、小船渡河的经典例题例题1．(多选)一只小船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过一条宽为30 m 的河，河水流速为4 m/s，则这只船()A．过河时间不可能小于10 sB．不能沿垂直于河岸方向过河C．渡过这条河所需的时间可以为6 sD．不可能渡过这条河解析：选AB.船在过河过程同时参与两个运动，一个沿河岸向下游的水流速度，一个是船自身的运动．垂直河岸方向位移即河的宽度d＝30 m，而垂直河岸方向的最大分速度即船自身的速度3 m/s，所以渡河最短时间t＝d3 m/s＝10 s，A对、C错．只要有垂直河岸的分速度，就可以渡过这条河，D错．船实际发生的运动就是合运动，如果船垂直河岸方向过河，即合速度垂直河岸方向．一个分速度沿河岸向下，与合速度垂直，那么在速度合成的三角形中船的速度即斜边，要求船的速度大于河水的速度，而本题目中船的速度小于河水的速度，故不可能垂直河岸方向过河，B对．例题2．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )A.kvk2－1B．v1－k2C.kv1－k2D.vk2－1解析：选B.设大河宽度为d，去程时t1＝dv静，回程时，t2＝dv2静－v2，又t1t2＝k，得v静＝v1－k2，B正确．例题3．小船匀速渡过一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸．求：(1)水流的速度；(2)船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α.解析：(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示．由x＝v2t1得v2＝xt1＝120600m/s＝0.2 m/s①(2)船头保持与岸成α角航行时，如图乙所示．由(1)可得d＝v1t1v2＝v1cos α②。

曲线运动——小船渡河问题分析1．一人以垂直河岸不变的速度（相对水）向对岸游去，若河水流动速度恒定。

下列说法中正确的是A．河水流动速度对人渡河无任何影响B．游泳者渡河的路线与河岸垂直C．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置将向下游方向偏移D．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同答案：C正确的是A．小船过河所需的最短时间是40sB．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸C．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50sD．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间将增大答案：AA、下落时间越短B、下落时间越长C、落地时速度越小D、落地时速度越大答案：D4．小船匀速横渡一条宽120m的河流，当船头垂直于河岸方向航行时，30s到达河对岸下游60m处，则船在静水中的速度为；若船头保持与河岸上游成α角航行，恰好到达正对岸，则α= 。

答案：5．一小船在静水的速度为3m/s，它在一条河宽150m，水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船（）A．能到达正对岸 B．渡河的时间可能少于50sC．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200mD．以最短位移渡河时，位移大小为150m答案：C6．小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（）A. 不变B.减小C.增大D.不能确定答案：A7．若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。

现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为5m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，则下列说法中正确的是（）A．船渡河的最短时间是40sB．船在河水中航行的轨迹是一条直线C．要使船渡河时间最短，船头应始终与河岸垂直D．要使船渡河行程最短，船头应与上游河岸成53°行驶答案：AC8．一条河宽100m，水流速度为3m/s，一条小船在静水中的速度为5m/s，关于船过河的过程，下列说法不正确的是：A．船过河的最短时间是20s B．船要垂直河岸过河需用25s的时间C．船的实际速度可能为5m/s D．船的实际速度可能为10m/s答案：D9．某船在静水中的速率为4m/s, 要横渡宽为40m的河, 河水的流速为5m/s、下列说法中不正确的是A、该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸B、该船渡河的速度最小速度是3m/sC、该船渡河所用时间至少是10sD、该船渡河所经位移的大小至少是50m答案：B10．一只船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，欲使小船以最短时间渡过河去，则应使船头方向_________河岸（填“垂直”或“不垂直”）行驶，最短的时间是_________ s.答案：垂直5011．一艘船以相对于静水恒定的速率渡河，水流速度也恒定（且小于船速），若河的宽度一定，要使船到达对岸航程最短，则（）A．船头指向应垂直河岸航行B．船头指向应偏向下游一侧C．船头指向应偏向上游一侧D．船不可能沿直线到达对岸答案：C12．一只小船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽度为30m的河，河水的流速为4m/s，则下列说法正确的是( )A．船不能渡过河 B．船过河的速度一定为5m/sC．船运动的轨迹不可能垂直河岸D．船过河的最短时间为10s答案：CD13．王聪同学，为了测量某河流的水速，找来一条小船，他首先保持小船对水以恒定的速度行驶．第一次，保持船头始终垂直河岸划行，经10min到达正对岸下游120m处；第二次，船头始终保持指向与上游河岸成θ角划行，经12.5min到达正对岸。

高三物理小船渡河问题分析试题答案及解析1.一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边，小船相对于水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变，由此可以确定船（）A．沿AD轨迹运动时，船相对于水做匀减速直线运动B．沿三条不同路径渡河的时间相同C．沿AB轨迹渡河所用的时间最短D．沿AC轨迹船到达对岸的速度最小【答案】 A【解析】做曲线运动的物体所受合外力的方向指向轨迹曲线的凹侧，即加速度指向曲线凹侧，由图可知，船沿AB、AC、AD轨迹运动时，小船相对于水分别做匀速、匀加速、匀减速直线运动，故选项A正确；船渡河时的时间取决于垂直河岸方向的速度，即小船相对于水的速度，因此小船相对于水做匀加速直线运动时的时间最短，做匀减速直线运动时的时间最长，故选项B、C错误；船到达对岸的速度为沿河岸方向与垂直河岸方向速度的矢量和，在沿河岸方向船的速度始终等于水流速度，不变，因此垂直河岸方向的速度越小，合速度越小，因此当船沿AD轨迹运动时到达对岸的速度最小，故选项D错误。

【考点】本题主要考查了运动的合成与分解的应用问题。

2.一只小船在静水中的速度为3m／s，它要渡过一条宽为30m的河，河水流速为4m／s，则这只船：（）A．过河时间不可能小于10sB．不能沿垂直于河岸方向过河C．可以渡过这条河，而且所需时间可以为6sD．不可能渡过这条河【答案】AB【解析】船在过河过程同时参与两个运动，一个沿河岸向下游的水流速度，一个是船自身的运动。

垂直河岸方向位移即河的宽度，而垂直河岸方向的最大分速度即船自身的速度3m/s，所以渡河最短时间答案A对C错。

只要有垂直河岸的分速度，就可以渡过这条河答案D错。

船实际发生的运动就是合运动，如果船垂直河岸方向过河，即合速度垂直河岸方向，一个分速度沿河岸向下，与合速度垂直，那么在速度合成的平行四边形中船的速度即斜边，要求船的速度大于水的速度，而本题目中船的速度小于河水的速度不可能垂直河岸方向过河答案B对。

小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θυυsin 1船ddt ==，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为vd，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小 若水船υυ>结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，v 2设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船v v =θcos 船头与河岸的夹角应为水船v v arccos=θ，船沿河漂下的最短距离为：此时渡河的最短位移：船水v dv ds ==θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2<v 1时，合速度v 不可能与河岸垂直，只有当合速度v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

可由几何方法求得，即以v 1的末端为圆心，以v 2的长度为半径作圆，从v 1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。

小船渡河问题分析及模型求解方法总结小船渡河问题是一种经典的约束规划问题，它可以应用在工程实践中，最近几年受到了广泛的关注。

它的本质是将一组人、物从一岸渡到另一岸，要求每条船上的人和物的数量不能超过船的最大载重量，同时保证每个人和物都安全地渡河。

此外，小船渡河问题还要求尽可能地减少渡河次数（使用最少的船来渡河）。

小船渡河问题可以用代数式描述为：在一条河上有n 个人和物，分别用变量 Xi (i=1,2,…,n)表示；n个人和物要渡河，每条小船的最大载重量为C，小船的装载过程有以下几个约束：(1)t每条船上的人数和物品数S必须小于C，即S≤C(2)t每个人和物都必须在一次渡河中安全渡河，即∑Xi≤C(3)t每个人和物都必须通过渡河，即Xi≥1 (i=1,2,…,n)另外，问题还要求尽可能地减少渡河次数，即最小化Z=∑Xi(i=1,2,…,n)对于小船渡河问题，模型求解可以采用禁忌搜索法、遗传算法、人工神经网络、动态规划、贝叶斯网络等多种方法进行求解。

禁忌搜索法是一种模拟退火算法，具有搜索范围大、解空间大、可以接受较差解等优点，是一种非常有效的求解小船渡河问题的方法。

它根据小船渡河问题的特点，采用选择最优方案的操作，让解在解空间内搜索，人工调整算子以达到解的可控性。

此外，禁忌搜索法还可以设置“禁忌表”来限制未来的搜索，从而更好地改进搜索效率。

遗传算法是一种基于自然进化的模拟算法，可以用来求解小船渡河问题，它将解的搜索用种群的行为模拟，具有全局搜索的能力，能够有效的利用历史信息，可以得到比较满意的解，但局限在算法的参数调整，这使得实际应用中还存在改进的空间。

人工神经网络是一种机器学习技术，可以用来求解小船渡河问题，它是由输入、隐藏和输出三层组成，输入层使用小船渡河数据，每个神经元代表一条小船；隐藏层以及输出层使用激活函数，用来检测小船数量，以及小船上的总人和物数量。

通过训练可以获得一个局部最优的解，它比较适用于小规模的小船渡河问题，但对于大规模问题，效果可能不太好。