二次函数的最值问题-高一数学练学案

二次函数最值练习题二次函数是数学中常见的一种函数形式，其图像呈现出拱形，并且具有最值点。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二次函数的最值问题。

1. 题目一：已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求该二次函数的最值及对应的 x 值。

解析：首先，我们可以观察到这是一个开口朝上的二次函数，即二次项的系数为正。

根据二次函数的特点，最值点在函数图像的对称轴上，对称轴的 x 坐标可由公式 x = -b / (2a) 求得。

代入 a = 2, b = -3，可以得到对称轴的 x 坐标为 x = -(-3) / (2*2) = 3/4。

接下来，我们可以计算出对称轴上的 y 值，即函数的最值。

将 x =3/4 代入函数 f(x) 中，可以得到最值点的纵坐标 y = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 5 = 7.3125。

因此，该二次函数的最小值为 7.3125，对应的 x 值为 3/4。

2. 题目二：已知函数 g(x) = -x^2 + 4x - 1，求该二次函数的最值及对应的 x 值。

解析：观察到这是一个开口朝下的二次函数，即二次项的系数为负。

根据对称轴公式 x = -b / (2a)，我们可以计算出对称轴的 x 坐标。

代入 a = -1, b = 4，可得 x = -4 / (2*(-1)) = 2。

将 x = 2 代入函数 g(x) 中，即可计算出对应的 y 值。

即最值点的纵坐标为 y = -(2)^2 + 4(2) - 1 = 3。

因此，该二次函数的最大值为 3，对应的 x 值为 2。

通过解析以上两个题目，我们可以看出，确定二次函数的最值需要找到对称轴的 x 值，并将其代入函数中计算对应的纵坐标，从而得到最值。

无论二次函数开口朝上或朝下，我们都可以用这一方法来求解。

而当二次函数无最值时，即开口朝上的二次函数没有最小值，开口朝下的二次函数没有最大值。

这种情况通常发生在函数图像没有和 x轴有交点的情况下。

课程教育研究Course Education Research2022年第7期含有参数的函数最值问题,能很好地考查数形结合思想和分类讨论思想。

解决这类问题的关键点是研究函数图像的对称轴与区间的相对位置关系。

本人针对二次函数的最值问题设计一堂课,展开问题串,让学生理解含参数的函数最值问题的特征,以引导学生掌握解决此类问题的方法为教学目标。

1.教学设计1.1教材分析二次函数是初中数学的重要内容,二次函数最值问题的专题复习,可以对二次函数的概念等知识进一步巩固和深化。

含参数的二次函数是进入高中以后学生经常会遇到的,本专题利用函数的图像和性质去研究函数在区间上的最值,可以为高中进一步学习其他函数打下坚实的基础。

本专题涉及分类讨论思想、数形结合思想,以便培养学生分析问题、解决问题的能力。

1.2学情分析学生已掌握了二次函数的图像和性质的相关知识,具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力和数学说理能力,为本节课解决二次函数最值问题奠定了基础。

1.3学法分析课堂上安排了学生讨论、分组、交流等活动,让学生变被动地接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系,从而完成知识的认知过程,在互相交流和自主探究中获得发展。

课堂上注重学习过程的循序渐进。

在问题、图像、应用、拓展的过程中按照先易后难的顺序层层递进,让学生感到有挑战、有收获。

不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异,引导学生利用函数图像来解决问题。

1.4教学目标知识与技能:掌握二次函数在区间上最值的求法。

过程与方法:培养学生分类讨论的能力和数形结合思想。

情感、态度与价值观:通过合作学习的形式,培养学生主动学习的意识和敢于创新的个性品质。

1.5教学重难点教学重点:二次函数在区间上最值的求法。

教学难点:分类讨论思想和数形结合思想在求最值中的应用。

教学重点难点的突破:本节课从复习基础引入,通过教师引导、学生合作探究的方式突破难点。

2.教学过程与环节评析环节一:基础引入,回顾定轴定区间问题例1:已知二次函数y=x2-4x+3,判断y有最大值或最小值,并求出这个最值。

二次函数最值问题教学设计学习目标：1. 学习二次函数的定义和特性；2. 理解二次函数最值问题的概念；3. 掌握计算二次函数最值的方法；4. 运用二次函数最值解决实际问题。

教学设计：引入部分：1. 利用一个简单的例子引入二次函数的概念，比如：一个抛物线的形状。

2. 引导学生讨论抛物线的特点，比如：顶点、开口方向等。

实际问题部分：3. 呈现一个实际问题，比如：某公司的销售额在一定时间内变化的情况。

给出某段时间内销售额的二次函数表达式。

4. 引导学生分析问题，找到函数的最值对应的实际情况，比如：销售额的最大值对应最大的营业额等。

计算方法部分：5. 教授计算二次函数最值的方法：a. 找到二次函数的对称轴，也就是顶点的横坐标，记作p；b. 将p代入二次函数，得到对应的纵坐标q；c. 判断是最大值还是最小值，可以通过二次函数的开口方向来确定，如果是上凹则有最小值，如果是下凹则有最大值。

练习部分：6. 给学生提供练习题，让他们通过计算找出二次函数的最值。

比如：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+1，求函数的最值。

实际问题应用部分：7. 再次呈现一个实际问题，让学生运用二次函数最值的方法来解决问题，比如：某游乐场的过山车最高点的高度。

小结部分：8. 总结二次函数最值的概念和计算方法。

示范部分：9. 利用一个实际问题，再次演示计算二次函数最值的过程。

拓展部分：10. 提出拓展问题，让学生思考其他类型的最值问题，如绝对值函数的最值等。

评估部分：11. 针对学生的表现和理解程度进行评估，例如，给学生几个二次函数，让他们计算最值。

讨论互动：12. 组织学生分享彼此计算二次函数最值的方法和答案，共同讨论、解决问题的过程和思路。

注意事项：1. 在讲解计算方法时要详细解释每一步的原理；2. 引入的例子和实际问题要尽可能贴近学生的实际生活；3. 激发学生的思考和讨论，让他们积极参与到教学活动中来。

4. 尽量提供多样化的练习和问题，以满足不同层次的学生需求。

培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x=-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c =，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．(3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是()1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t tg t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t + 时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．。

二次函数的区间最值问题导学案【学习目标】(1) 知识与技能：掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。

培养敏锐的观察力、运算的准确性、思维的灵活性、发散性、独立性、合作性。

(2) 思想与方法：数形结合的思想, 分类讨论的思想。

(3) 情感、态度与价值观：培养运用辨证唯物主义观点分析解决数学问题的能力。

培养学生严谨的科学态度、欣赏数学的美学价值，以及探索问题的积极性、主动性和同学互相合作的团队精神。

【自主学习】2f (x)ax bx c(a0) 的顶点式1. 二次函数顶点：对称轴：2f ( x)ax bx c(ax00) 的图像及性质Ra2. 已知二次函数定义域判别式a图像对称性单调性最值【复习巩固】x 2 1. 函数 2x 2 的单调区间是 （ ）y A.( ,1] B.[1, ) C.( ,2] D.[ 2, )2 x 2. 已知函数 ( x ) 2 x 2f （1）判断函数 f ( x) 的单调性；（ 2）求函数 f ( x) 的最值。

x 2 3. 函数 f ( x ) 2mx 3 在区间 [1,2] 上单调，求 m 的取值范围。

【典型题探索】一、抛物线开口方向定、对称轴定、区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

2 x 例 1 求函数 f (x ) 2 x3 的最值x 2, 0 （ 2） x 0,3 （ 3） x 2, 4（ 1） x 2 变式 . 已知函数 y 4 x ，求满足下列条件的函数的最值：① x 4,0 ② x 1, 4▲总结：求一元二次函数在闭区间上的最值的思路：1 、对称轴不在区间内时，函数在区间上具有2 、对称轴在区间内时，其中一个最值一定在 性，可由此求得；取到，另一个最值要分成对称轴在区间中点的左侧时， 时，最值在 取到。

最值在 取到，对称轴在区间中点右侧二、抛物线开口方向定、对称轴动、区间定二次函数随着参数的变化而变化， 即其图象是运动的， 但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

2.2二次函数的图象及性质一、考点突破1. 求二次函数的解析式；2. 求二次函数的值域或最值及一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；二、重难点提示1. 理解二次函数三种解析式的特征及应用；2. 分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3. 充分应用数形结合思想把握二次函数的性质。

1. 二次函数的定义与解析式（1）二次函数的定义形如：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数。

（2）二次函数解析式的三种形式①一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；②顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；③零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）；3. 与二次函数有关的不等式恒成立问题①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是2>-<0,40a b ac②ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是20,40a b ac <-<例题1 已知函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]。

（1）当a ＝－2时，求f （x ）的最值；（2）求实数a 的取值范围，使y ＝f （x ）在区间[－4，6]上是单调函数；（3）当a ＝1时，求f （|x |）的单调区间。

思路分析：对于（1）和（2）可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于（3），应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用。

答案：解：（1）当a ＝－2时，f （x ）＝x 2－4x ＋3＝（x －2）2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f （x ）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f （x ）的最小值是f （2）＝－1，又f （－4）＝35，f （6）＝15，故f （x ）的最大值是35；（2）由于函数f （x ）的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f （x ）在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4；（3）当a ＝1时，f （x ）＝x 2＋2x ＋3，∴f （|x |）＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6，6]，且f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-∈++]0,6[32]6,0(3222x x x x x x ，， ∴f （|x |）的单调递增区间是（0，6]。

二次函数中的最值问题导学案延寿一中数学组高三备课组【学习目标】1.巩固二次函数的常规的性质。

2.掌握求二次函数的最值常见方法。

3.体会高中数学中数形结合的思想。

4.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】二次函数中含参数问题【学习难点】二次函数中含参数问题[自主学习]1．二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：零点式：2.二次函数图像y=ax2+bx+c (a≠0)开口方向 a>0时函数在x= 时区的最值 a<0时函数在x= 时区的最值[典型例析]例1已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记为g(a).(1)求g(a)的表达式；（2）求g(a)的最大值。

变式训练1：已知函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值2，求a 的值。

变式训练2：函数f(x)=x 2-4x-4在闭区间[t,t+1] （x R ）的最小值记为g(t),（1） 写出g(t)的函数表达式，（2） 作出g(t)的图像；（3） 求出g(t)的最小值。

例3设=)x (f ,2ax 2x 2+- 当x ∈),1[∞- 时, a )x (f ≥恒成立, 求实数a 的取值范围。

变式训练1：当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .小结：[当堂检测]1.设函数=)x (f ) 0a ( c bx ax 2≠++, 对任意实数t 都有) t 2 (f ) t 2 (f -=+成立. 问:在函数值)1(f -、)1(f 、)2(f 、)5(f 中, 最小的一个不可能是2.已知函数y ＝) 3x 1 ( ax 4x 2≤≤-是单调递增函数, 则实数a 的取值范围是3. 已知函数f(x)=（x-a)2+2，a ∈ R ，当x ∈[1，3] 时，求函数f(x)的最小值。

4.已知函数f(x)=x 2-2x-3，若x ∈[t ，t+2]时，求函数f(x)的最值。

高中数学必修一教案二次函数最值《二次函数在闭区间的值域》教学设计一、教学内容解析二次函数在闭区间上的最值是高中数学中的重点内容，也是困扰学生的一个难点和教师教学的一个难点，因为在解题过程中渗透着学生不太容易掌握的分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法。

本节课安排在《普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）》(人教B版)第一章《2.1.3函数的单调性》教学之后，使得学生能更深刻地理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，并深刻体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用。

本节课的教学重点是二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律，教学难点是与参数有关的二次函数在闭区间上的最值的求法。

二次函数在闭区间上的最值属于程序性知识，需要教师运用理性的教学方法，让学生在认知单调性与最值等相关知识的基础上熟练掌握二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

根据教学实际,我将本节课设计为数学探究课。

在探究的过程中，借助于多媒体教学手段,让学生观察几何画板中的动态演示，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值；运用“探究——讨论”模式，使学生运用单调性与最值的知识既巩固了函数的单调性与最大（小）值的知识，又突破了二次函数在闭区间上的最值这一重点。

学生在初中已经学过二次函数的简单性质与图像，在前一节课中对函数的单调性与最大（小）值有一个初步的认识。

遵循由浅入深、循序渐进的原则,本节课实质上是对前面所学知识的综合应用，从而实现对所学知识的螺旋式上升。

本节课中渗透的分类讨论思想及数形结合思想，又为学生继续学习高中数学打下坚实的基础。

二、教学目标设置1。

知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题。

2。

过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。