人教版八年级下册数学：二次根式的混合运算

八年级数学二次根式教学设计6篇二次根式的混合运算（1）教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。

重点：二次根式的加减乘混合运算。

难点：运算法则的综合运用。

关键：掌握混合运算顺序和步骤。

教学过程：复习提问：1．叙述二次根式加减法的两个步骤。

2．填空：当a≥0，b≥0时，；3．叙述单项式乘以多项式运算顺序；4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。

二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）二次根式的除法：（a≥0，b>0）新课：形如的式子，表示什么？a需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a≥0时，表示a的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a；当a16.1第一课时二次根式的概念教学目标：1、解决实际问题，体会学习二次根式是实际的需要。

2、通过二次根式概念的学习，经历观察、概括的思维过程，理解二次根式的概念。

3、通过二次根式概念的建立，理解二次根式中被开方数中字母的取值范围。

教学重点：二次根式概念的理解。

教学难点：二次根式概念的理解。

教学方法:自主学习问题启发相结合。

教学手段：多媒体课件、学案。

教学过程：一、复习1、式子（﹣3）2中，-3叫2叫2、求数4，5，10，49，0的平方根和算术平方根，4的立方根是3、-4有没有算术平方根？我们已经学习了平方根和算术平方根的定义，引进了一个新的符号word/media/image1_1.png。

今天我们学习一个和前面的算术平方根有关的知识：二次根式2、探究定义1、观察：完成课本第二页“思考”的内容。

观察word/media/image2_1.png，word/media/image3_1.png，word/media/image4_1.png，word/media/image5_1.png这些式子在形式上有什么共同特点？2、思考：（1）都含有word/media/image1_1.png（2）被开方数都是非负数（S表示面积，h是高度。

)。

3、归纳：二次根式的定义形如word/media/image6_1.png（a≥0）的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数。

第十六章 二次根式16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念基础题知识点1 二次根式的定义1．(2019·黔东南期末)下列式子中一定是二次根式的是( A )A . 2B .32C .－2D .x2．下列各式中，不一定是二次根式的为( A )A .a ＋1B .b 2＋1C .0D .（a －b ）23．小红说：“因为4＝2，所以4不是二次根式．”你认为小红的说法对吗？错(填“对”或“错”)．知识点2 二次根式有意义的条件 4．(2019·黔南期中联考)二次根式x ＋3有意义的条件是( C )A ．x ＞3B ．x ＞－3C ．x ≥－3D ．x ≥35．当x 为何值时，下列各式有意义？(1)－x ；解：由－x ≥0，得x ≤0. ∴当x ≤0时，－x 有意义．(2)5－2x ；解：由5－2x ≥0，得x ≤52. ∴当x ≤52时，5－2x 有意义．(3)x 2＋1；解：由x 2＋1≥0，得x 为任意实数．∴当x 为任意实数时，x 2＋1都有意义．(4)14－3x. 解：由4－3x>0，得x<43. ∴当x<43时，14－3x有意义．知识点3 二次根式的实际应用6．已知一个表面积为12 dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为( B )A ．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D ．3 dm易错点 考虑不全造成答案不完整7．若式子a ＋1a －2有意义，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≥－1 B ．a ≠2 C ．a ≥－1且a ≠2 D ．a >202 中档题8．(2019·毕节织金县期末)如果y ＝1－x ＋x －1＋2，那么(－x)y 的值为( A )A ．1B ．－1C ．±1D ．0 9．(2020·遵义汇川区模拟)若x －1＋2x －3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是x ≥1且x ≠3． 10．要使二次根式2－3x 有意义，则x 的最大值是23． 11．若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是3或－2．(只需填一个)12．x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)32x －1； 解：x>12.(2)21－x； 解：x ≥0且x ≠1.(3)1－|x|；解：－1≤x ≤1.(4)x －3＋4－x.解：3≤x ≤4.03 综合题13．已知a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝4＋3a －6＋32－a ，求此三角形的周长． 解：∵3a －6≥0，2－a ≥0，∴a ＝2，b ＝4.当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.综上，此三角形的周长为10.第2课时 二次根式的性质01 基础题知识点1 (a)2＝a(a ≥0) 1．计算：(3)2＝3；(49)2＝49． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(5)2； (2)3.4＝( 3.4)2； (3)16＝(16)2; (4)x ＝(x)2(x ≥0)． 3．在实数范围内分解因式：x 2－5＝(x ＋5)(x －5)．知识点2 a 2＝a(a ≥0)4．(2019·黔东南期末)计算：（－1）2＝1．5．若（a －2）2＝2－a ，则a 的取值范围是a ≤2.6．计算：(1)49；解：原式＝72＝7.(2)（－5）2；解：原式＝52＝5.(3)－（－13）2； 解：原式＝－（13）2＝－13.(4)4×10－4. 解：原式＝（2×10－2）2＝2×10－2.知识点3 代数式用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．7．下列式子中属于代数式的有( A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦x 2＋1；⑧x ≠2.A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．若一个正方体的表面积为S ，则用含S 的代数式表示正方体的棱长a ＝S 6；当S ＝18时，a ＝3．知识点4 二次根式的非负性二次根式a的两个非负性：(1)被开方数a必须是非负数；(2)a的结果一定是非负数．9．已知x，y为实数，且x－1＋3(y－2)2＝0，则x－y的值为( D )A．3 B．－3 C．1 D．－110．当x＝2_020时，式子2 021－x－2 020有最大值，且最大值为2_021．易错点运用a2＝a(a≥0)时，忽略a≥011．计算：（1－2）2＝2－1．02中档题12．下列等式正确的是( A )A．(3)2＝3 B.（－3）2＝－3 C.33＝3 D．(－3)2＝－3 13．化简二次根式（3.14－π）2，结果为( C )A．0 B．3.14－πC．π－3.14 D．0.114．(2020·呼伦贝尔)已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a－1|－（a－2）2的结果是( D )A．3－2a B．－1 C．1 D．2a－315．若等式（x－2）2＝(x－2)2成立，则字母x的取值范围是x≥2．16．计算下列各式：(1)13＋23＝3；(2)13＋23＋33＝6；(3)13＋23＋33＋43＝10；(4)13＋23＋33＋43＋53＝15；(5)13＋23＋33＋…＋203＝210；(6)猜想13＋23＋33＋…＋n3＝n（n＋1）2．(用含n的代数式表示)17．比较211与35的大小．解：∵(211)2＝22×(11)2＝44，(35)2＝32×(5)2＝45，又∵44＜45，且211＞0，35＞0，∴211＜3 5.18．已知实数m满足（2－m）2＋m－4＝m2，求m的值．解：由题意，得m－4≥0，解得m≥4.∴原等式化为m－2＋m－4＝m.整理，得m－4＝2，解得m＝8.03综合题19．甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：a＋1－6a＋9a2，其中a＝5.”甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：a＋1－6a＋9a2＝a＋（1－3a）2＝a＋1－3a＝1－2a＝－9；乙的解答是：a＋1－6a＋9a2＝a＋（1－3a）2＝a＋3a－1＝4a－1＝19.(1)甲的解答是错误的；(2)(用公式表示)(3)模仿上题解答：化简并求值：|1－a|＋1－8a＋16a2，其中a＝2.解：|1－a| ＋1－8a＋16a2＝|1－a|＋（1－4a）2.∵a＝2，∴1－a<0，1－4a<0.∴原式＝a－1＋4a－1＝5a－2＝8.16．2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法01 基础题知识点1 二次根式的乘法二次根式的乘法法则：a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．1．计算并化简8×2的结果为( C )A .16B . 4C ．4D ．162．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 63．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A )A ．x ≥1B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≥－1 4．计算：(1)12×8＝2；(2)221×(－37)＝－6．5．计算：(1)2×11；解：原式＝22.(2)125×15； 解：原式＝125×15＝25 ＝5.(3)32×27；解：原式＝3×2×2×7＝614.(4)3xy·1y .解：原式＝3xy·1y＝3x.知识点2 积的算术平方根积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)．6．化简40的结果是( B )A．10 B．210 C．4 5 D．20 7．化简：(1)（－3）2×6＝36；(2)2y3＝y2y．8．化简：(1)144×169；解：原式＝144×169＝12×13＝156.(2)9x2y5z.解：原式＝9·x2·y5·z＝3x y4·y·z＝3xy2yz.9．计算：(1)36×212；解：原式＝662×2＝36 2.(2)15ab2·10ab.解：原式＝2a2b＝a2b.易错点忽视被开方数不能小于零10．化简：（－4）×（－9）.解：原式＝－4×－9＝(－2)×(－3)＝6. 以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．解：不正确．原式＝36＝6.02中档题11．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．－5＜m ＜－4 D ．－6＜m ＜－512．(教材P 16“阅读与思考”变式)已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦(Heron ，约公元50年)给出求其面积的海伦公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝a ＋b ＋c 2；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202－约1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S ＝12a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是( B ) A .3158 B .3154 C .3152 D .15213．(教材P5习题T9(2)变式)(2020·益阳)若计算12×m 的结果为正整数，则无理数m 写出一个符合条件的即可)． 14．(2019·铜仁期末)计算：133x 3y 2·1212xy 2＝x 2y 2． 15．化简：(1)75×20×12； 解：原式＝25×3×4×5×3×4＝60 5.(2)（－14）×（－112）；解：原式＝14×112 ＝2×72×42＝2×72×42＝28 2.(3)－32×45×2；解：原式＝－3×16×22＝－96 2.(4)200a 5b 4c 3(a ＞0，c ＞0)．解：原式＝2×102·（a 2）2·a ·（b 2）2·c 2·c＝10a 2b 2c 2ac.16．将下列二次根式中根号外的因数或因式移至根号内：(1)35；解：原式＝32×5＝45.(2)－23；解：原式＝－22×3＝－12.(3)x－x.解：原式＝－(－x)－x＝－（－x）2·（－x）＝－－x3.17．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速(单位：千米/时)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米)，f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20米，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(6≈2.449 5，结果精确到0.01千米/时)解：当d＝20米，f＝1.2时，v＝16df＝16×20×1.2＝1624＝326≈78.38(千米/时)．答：肇事汽车的车速大约是78.38千米/时．03综合题18．观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是(结果需化简)第2课时 二次根式的除法01 基础题知识点1 二次根式的除法二次根式的除法法则：a b ＝a b(a ≥0，b>0)． 1．计算：10÷2＝( A )A . 5B ．5C .52D .1022．下列运算正确的是( D ) A .50÷5＝10B .10÷25＝2 2C .32＋42＝3＋4＝7D .27÷3＝3 3．计算：(1)40÷5； 解：原式＝40÷5 ＝8＝2 2.(2)322；解：原式＝322＝16＝4.(3)45÷215； 解：原式＝45÷215 ＝45×152＝ 6.(4)2a 3bab (a>0)．解：原式＝2a.知识点2 商的算术平方根商的算术平方根的性质：a b ＝a b (a ≥0，b>0)． 4．下列各式成立的是( A )A .－3－5＝35＝35 B .－7－6＝－7－6 C .2－9＝2－9D .9＋14＝9＋14＝312 5．化简： (1)7100； 解：原式＝7100＝710.(2)11549； 解：原式＝6449＝6449＝87.(3)25a 49b 2(b>0)． 解：原式＝25a 49b 2＝5a 23b.知识点3 最简二次根式最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．6．(2020·遵义汇川区模拟)下列各式中，是最简二次根式的是( C )A .12B .8C . 6D .0.37．把下列各个二次根式化为最简二次根式：(1)85； 解：原式＝8×55×5 ＝22×1052 ＝22×1052(2)2 3；解：原式＝2×3 3×3＝6 3.(3)8a2b3(a>0)．解：原式＝8·a2·b3＝22·a·b b＝2ab2b.易错点忽视二次根式的被开方数为非负数8．小东在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此他认为一个化简过程－27－3＝－27－3＝－3×9－3＝9＝3是正确的．你认为他的化简正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程．解：不正确.－27－3≠－27－3.正确解答过程：－27－3＝273＝9＝3.02中档题9．下列等式不成立的是( B )A．62×3＝6 6 B.8÷2＝4C.13＝33D.8×2＝410．计算212×34÷32的结果是( A )A.22B.33C.23D.3211．已知长方形的宽是32，它的面积是186，则它的长是12．不等式22x－6＞0的解集是x＞213．计算：(1)215；解：原式＝115＝115＝11×55×5＝555.(2)(2019·黔南期中)23÷223×25； 解：原式＝23×38×25＝1010.(3)0.9×121100×0.36. 解：原式＝12140＝11222×10＝112110＝112×1010＝111020.14．先化简，再求值：x －1x 2－1÷x 2x 2＋x，其中x ＝ 3. 解：原式＝x －1（x ＋1）（x －1）÷x 2x （x ＋1）＝1x ＋1·x ＋1x＝1x. 当x ＝3时，原式＝13＝33.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，S △ABC ＝18 cm 2，BC ＝ 3 cm ，AB ＝3 3 cm ，CD ⊥AB 于点D.求AC ，CD 的长．解：∵S △ABC ＝12AC·BC ＝12AB·CD ， ∴AC ＝2S △ABC BC ＝2183＝26(cm )， CD ＝2S △ABC AB ＝21833＝236(cm )．03 综合题16．已知x －69－x ＝x －69－x，且x 为奇数，求(1＋x)·x 2－2x ＋1x 2－1的值． 解：∵x －69－x ＝x －69－x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －6≥0，9－x ＞0.∴6≤x ＜9. 又∵x 是奇数，∴x ＝7.∴原式＝(1＋x)·（x －1）2（x ＋1）（x －1） ＝(1＋x)·x －1x ＋1＝（x ＋1）（x －1）＝（7＋1）（7－1）＝8×6＝4 3.16.3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减01 基础题知识点1 可以合并的二次根式1．下列二次根式中，能与3合并的是( C ) A .8 B . 6 C .12 D .122．若最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，则x 的值为( C )A ．－12B .34C ．2D ．5 3．若m 与18可以合并，则m 的最小正整数值是( D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点2 二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．4．下列计算18－2的结果是( C )A ．4B ．3C ．2 2D . 25．下列计算正确的是( C )A ．2＋3＝2 3B ．52－2＝5C ．52a ＋2a ＝62aD .y ＋2x ＝3xy6．(2019·遵义)计算35－20的结果是5．7．(2020·遵义红花岗区模拟)计算：27－313＝23． 8．三角形的三边长分别为20 cm ，40 cm ，45 cm ，这个三角形的周长是(55＋210)cm .9．计算：(1)(2020·遵义汇川区期末)27－12＋32；解：原式＝33－23＋4 3＝5 3.(2)6－32－23； 解：原式＝6－62－63(3)(2019·黔南期中)8＋23－(27－2)；解：原式＝22＋23－33＋ 2＝32－ 3.(4)45＋45－8＋4 2.解：原式＝45＋35－22＋4 2＝75＋2 2.易错点错用运算法则致错10．计算：18＋98＋27.解：原式＝32＋72＋33①＝102＋33②＝(10＋3)2＋3③＝13 5.④(1)以上解答过程中，从③开始出现错误；(2)请写出本题的正确解答过程．解：原式＝32＋72＋3 3＝102＋3 3.02中档题11．若x与2可以合并，则x可以是( A )A．0.5 B．0.4 C．0.2 D．0.112．计算|2－5|＋|4－5|的值是( B )A．－2 B．2 C．25－6 D．6－2 513．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为27，宽为12，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是( C )A．大长方形的长为6 3B．大长方形的宽为5 314．若a ，b 均为有理数，且8＋18＋18＝a ＋b 2，则a ＝0，b ＝214.15．当y ＝23时，8y ＋4－5－4y 316．已知一个等腰三角形的周长为125，其中一边的长为25，则这个等腰三角形的腰长为17．计算： (1)(45＋27)－(43＋125)； 解：原式＝35＋33－233－5 5 ＝733－2 5.(2)8－612＋12－|2－3|； 解：原式＝22－32＋23＋2－ 3＝ 3.(3)18－22－82＋(5－1)0； 解：原式＝32－2－2＋1＝2＋1.(4)254x ＋16x －9x ； 解：原式＝52x ＋4x －3x ＝72x.(5)(30.5－513)－(20.125－20)． 解：原式＝(312－513)－(218－20) ＝322－533－22＋2 5 ＝2－533＋2 5.面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2 m长的金色细彩带，请你帮忙算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多长的金色细彩带？(2≈1.414，结果保留整数)解：镶壁画所用的金色细彩带的长：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2 m＝120 cm＜197.96 cm，所以小刚的金色细彩带不够用．197．96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78 cm的金色细彩带．03综合题19．若a，b都是正整数，且a＜b，a与b可以合并，是否存在a，b，使a＋b＝75？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：∵a与b可以合并，a＋b＝75＝53，且a，b都是正整数，a＜b，∴a＝3，b＝43或a＝23，b＝33，即a＝3，b＝48或a＝12，b＝27.第2课时 二次根式的混合运算01 基础题知识点1 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．1．下列计算错误的是( D )A .14×7＝7 2B .60÷30＝ 2C .9a ＋25a ＝8 aD ．32－2＝32．(2020·朝阳)计算12－12×14的结果是( B )A ．0B . 3C ．3 3D .12 3．计算(515－245)÷(－5)的结果为( A )A ．5B ．－5C ．7D ．－7 4．计算：(1)(2019·南京)计算147－28的结果是0；(2)(2019·青岛)计算：24＋82－(3)2＝23－1．5．计算：(1)3(5－2)；解：原式＝3×5－3× 2＝15－ 6.(2)(2019·黔南期中)348－427÷23；解：原式＝123－123÷2 3 ＝123－6.(3)(2＋3)(2＋2)．解：原式＝(2)2＋32＋22＋6＝2＋52＋6＝8＋5 2.乘法公式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2；(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2．6．(2019·遵义桐梓县模拟)计算(5＋4)(5－4)的结果是1．7．计算(25－2)2的结果是22－4108．计算：(1)(2019·黔东南期末)(7＋43)(7－43)； 解：原式＝49－48＝1.(2)(3－3)2.解：原式＝(3)2－2×3×3＋32＝3－63＋9＝12－6 3.易错点 错用运算法则进行运算9．嘉淇计算12÷(34＋233)时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算： 解：原式＝12÷34＋12÷233＝12×43＋12×323 ＝11.她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．解：不正确，正确解答过程为： 原式＝12÷(3312＋8312) ＝12÷11312＝23×12113 ＝2411.02 中档题10．计算(2＋1)2 021(2－1)2 020的结果是( C )A ．1B ．－1C .2＋1D .2－1A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2 12．(2019·滨州)计算：(－12)－2－|3－2|＋32÷118＝2＋43． 13．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为3． 14．计算： (1)48÷3－12×12＋24； 解：原式＝48÷3－12×12＋2 6 ＝4－6＋2 6 ＝4＋ 6.(2)(2019·黔东南期末)18－412＋24÷3； 解：原式＝32－22＋24÷3 ＝2＋2 2 ＝3 2.(3)(32＋23)×(32－23)－(3－2)2.解：原式＝(32)2－(23)2－[(3)2－2×3×2＋(2)2] ＝18－12－(3－26＋2) ＝6－5＋2 6 ＝1＋2 6.15．已知x ＝3＋2，y ＝3－2，求x 3y －xy 3的值． 解：原式＝xy(x 2－y 2)＝xy(x ＋y)(x －y)． 当x ＝3＋2，y ＝3－2时， xy ＝1，x ＋y ＝23，x －y ＝2 2. ∴原式＝1×23×22＝4 6.16．先化简，再求值：(a －2a 2＋2a －a －1a 2＋4a ＋4)÷a －4a ＋2，其中a ＝2－1.解：原式＝[a －2a （a ＋2）－a －1（a ＋2）2]·a ＋2a －4＝a 2－4－a 2＋a a （a ＋2）2·a ＋2a －4 ＝a －4a （a ＋2）2·a ＋2a －4＝1a （a ＋2）.当a ＝2－1时，原式＝1（2－1）（2－1＋2）＝1.03 综合题17．(2019·遵义期末改编)观察下列运算： ①由(2＋1)(2－1)＝1，得12＋1＝2－1； ②由(3＋2)(3－2)＝1，得13＋2＝3－2； ③由(4＋3)(4－3)＝1，得14＋3＝4－3； …(1)通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来； (2)利用(1)中发现的规律计算：(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12 020＋ 2 019＋12 021＋ 2 020)×( 2 021＋1)． 解：(1)1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ≥0)．(2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋ 2 021－ 2 020)×( 2 021＋1) ＝(－1＋ 2 021)×( 2 021＋1) ＝( 2 021)2－1 ＝2 020.小专题(一) 二次根式的性质及运算类型1 二次根式的非负性1．已知a －b ＋|b －1|＝0，则a ＋1＝2．2．已知x ，y 为实数，且y ＝x －9＋9－x ＋4，则x －y 的值为5． 3．当x ＝15时，5x －1＋4的值最小，最小值是4．类型2 二次根式的运算 4．计算： (1)62×136；解：原式＝(6×13)2×6＝212 ＝4 3.(2)(－45)÷5145； 解：原式＝－45÷(5×355)＝－45÷3 5 ＝－43.(3)72－322＋218； 解：原式＝62－322＋6 2 ＝2122. (4)(25＋3)×(25－3)． 解：原式＝(25)2－(3)2 ＝20－3 ＝17.5．计算：(1)334÷(－12123)； 解：原式＝[3÷(－12)]34÷53＝－6920 ＝－69×520×5＝－95 5.(2)(6＋10×15)×3； 解：原式＝32＋56× 3 ＝32＋15 2 ＝18 2.(3)354×(－89)÷7115； 解：原式＝3×(－1)×54×89÷7115＝－348÷765＝－3748×56＝－6710.(4)(12－418)－(313－40.5)； 解：原式＝23－2－3＋2 2 ＝3＋ 2.(5)(32－6)2－(－32－6)2. 解：原式＝(32－6)2－(32＋6)2 ＝18＋6－123－(18＋6＋123) ＝－24 3.6．计算：(1)(2019·南充)(1－π)0＋|2－3|－12＋(12)－1； 解：原式＝1＋3－2－23＋ 2 ＝1－ 3.(2)|2－5|－2×(18－102)＋32. 解：原式＝5－2－12＋5＋32＝25－1.类型3 与二次根式有关的化简求值7．已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝⎩⎨⎧b （a ≤b ），a 2－b 2（a>b ），求7★(2★3)的值．解：由题意，得2★3＝ 3.∴7★(2★3)＝7★3＝7－3＝2.8．已知x ＝3＋1，求x 2－2x －3的值． 解：x 2－2x －3＝x 2－2x ＋1－4 ＝(x －1)2－4. 当x ＝3＋1时， 原式＝(3＋1－1)2－4 ＝3－4 ＝－1.9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值． 解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1. ∴原式＝(x －y)2－2(x －y)＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1) ＝7＋4 2.10．(2020·烟台)先化简，再求值：(y x －y －y 2x 2－y 2)÷xxy ＋y 2，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.解：原式＝[y （x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）－y 2（x ＋y ）（x －y ）]÷xy （x ＋y ）＝xy（x ＋y ）（x －y ）·y （x ＋y ）x＝y 2x －y. 当x ＝3＋1，y ＝3－1时， 原式＝（3－1）22＝2－ 3.11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋22mn ， ∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把a ＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：4＋(1＋2；(答案不唯一) (3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn.∵2mn ＝4，且m ，n 为正整数， ∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2. ∴a ＝7或13.章末复习(一)二次根式01分点突破知识点1二次根式的相关概念二次根式有意义的条件：(1)1A有意义⇒A＞0；(2)A＋1B有意义⇒⎩⎪⎨⎪⎧A≥0，B≠0.1．(2019·黔东南期末)在二次根式a－2中，a能取到的最小值为( C ) A．0 B．1 C．2 D．2.52．(2019·毕节模拟)使代数式2x－13－x有意义的x的取值范围是x≥12且x≠3．知识点2二次根式的性质3．若a－1＋(b－2)2＝0，则ab的值等于( D )A．－2 B．0 C．1 D．2 4．若xy＜0，则x2y化简后的结果是( D )A．x y B．x－y C．－x－y D．－x y 5．(2019·黔东南期末)若m＝n－2＋2－n＋5，则m n＝25．6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋a2－4a＋4＝2．知识点3二次根式的运算在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式，具体化简方法如下：(1)ab＝a·bb·b＝abb(a≥0，b＞0)；(2)abb＝a（b）2b＝a b(b＞0)．7．与－5可以合并的二次根式的是( C )A.10B.15C.20D.25 8．下列计算正确的是( D )A.3＋5＝8B.2÷5＝2 5C．23×33＝6 3 D.7－27＝－79．计算： (1)68－32； 解：原式＝122－4 2 ＝8 2. (2)27－13＋12； 解：原式＝33－33＋2 3 ＝1433.(3)212×34÷2； 解：原式＝2×14×12×3×12＝322. (4)(48＋20)－(12－5)． 解：原式＝43＋25－23＋ 5 ＝23＋3 5.02 易错题集训10．下列计算正确的是( D )A .2＋5＝7B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝3D .2－12＝2211．计算：23÷5×15. 解：原式＝23×15×15＝235.12．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：∵23＝22×3＝22×3＝12，①－23＝（－2）2×3＝（－2）2×3＝12，② ∴23＝－2 3.③ ∴2＝－2.④(1)上面的推导过程中，从第②步开始出现错误(填序号)； (2)写出该步的正确结果．解：－23＝－22×3＝－22×3＝－12.03 常考题型演练13．(2019·遵义期中)下列式子是最简二次根式的是( D ) A .8 B .3m 2 C .12D . 6 14．(2020·遵义汇川区模拟)下列运算正确的是( C )A ．x －2x ＝xB ．(xy)2＝xy 2C .2×3＝ 6D ．(－2)2＝4 15．(2019·遵义期中)下列各式计算错误的是( C ) A ．(3－2)(3＋2)＝1 B .2×3＝ 6 C ．55－25＝3 D .18÷2＝316．(2019·黔东南期末)已知x ＝5＋1，y ＝5－1，则x 2＋2xy ＋y 2的值为( A ) A ．20 B ．16 C ．2 5 D ．4 517．已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：（a ＋1）2＋（b －1）2－|a －b|＝－2．18．观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表达出来n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． 19．计算： (1)(24－12)－(18＋6)； 解：原式＝26－22－24－ 6 ＝6－324.(2)6×13－16×18；解：原式＝2－4×3 2＝2－12 2＝－11 2.(3)(5＋3)2－(5＋3)(5－3)；解：原式＝5＋3＋215－(5－3)＝6＋215.(4)48÷3－12×12＋24；解：原式＝43÷3－22×23＋2 6＝4－6＋2 6 ＝4＋ 6.(5)18－22－(5－1)0－82.解：原式＝32－2－1－ 2＝2－1.20．(2019·遵义期中)先化简，再求值：a＋1－2a＋a2，其中a＝1 010.如图是小亮和小芳的解答过程．(1)小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：a2＝－a(a＜0)；(2)先化简，再求值：x＋2x2－4x＋4，其中x＝－2 019.解：x＋2x2－4x＋4＝x＋2（x－2）2.∵x＝－2 019，∴x－2<0.∴原式＝x＋2(－x＋2)＝x－2x＋4＝－x＋4＝2 019＋4＝2 023.。

八年级下册第十六章：二次根式（1）)0a ≥号，a 叫做被开方数.2，即：2可以省略 .（2） 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即：被开方数大于或等于0.在实数范围内有意义的条件为： . 由20x -≥，可以得出：2x ≥.20x ≥，x 属于任意实数.在实数范围内有意义的条件：30x ≥，0x ⇒≥.在实数范围内有意义的条件：10121202x x x x x -≥≤⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨+>>-⎩⎩. (分析：分子、分母都要有意义，分式有意义：分母不为0)（3） 负数没有平方根也没有算术平方根，0的平方根是0，0的算术平方根是0.（4） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（5） 一个正数有两个平方根，互为相反数. 一个正数有一个算术平方根方根，且为正根. （6） 二次根式的双重非负性：0a ≥0≥.21a =-，则a 的取值范围是： .根据二次根式的双重非负性，()2120a -≥，则210a -≥，所以：12a ≥. （7）()20a a=≥.例如：21.5=；(22224520=⨯=⨯=.提示：2=2倍根号5”.（8()()()0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩.4==5== .11=-=；14==；π==-；110==. （9）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.例如：3，x ，x y +)0x ≥，ab -，()0st t≠，3x 都是代数式.（10）二次根式的乘法法则：一般地，=()0,0a b ≥≥，=.=； 3=== ；2612==⨯=；33===；14===== ；⑥((32-=⨯-=-=-=-=-；====；（11=()0,0a b ≥>，=()0,0a b ≥>利用它可以进行二次根式的化简 .====；=====；==； 53=== ；⑤===；（12）最简二次根式：最简二次根式是指满足下列两个条件的二次根式①被开方数不含分母；②被开方数中不含开的尽方的因数或因式..（13）化简最简二次根式的一般方法：①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.====.②化去根号下的分母，即：分母有理化.====；=====；====；==.（14）二次根式的加减:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并.例：==；==；==；-==；同类二次根式：根指数相同、化简后被开方数相同的二次根式；=.注：合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将它们的“系数”相加减，最简结果，不能合并.（15）二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左往右依次计算； ②在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用 .例： ① ⎛÷ ⎝解原式(=÷(2=+2==②)23-解原式22223⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦()5329=---229=-+9=注：运算结果是根式的，应表示为最简二次根式 .（16 解：2150126=+ ； 令：12a =，6b =；61212.25224b a a ≈+=+≈第十七章：勾股定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c =＋ . 勾股定理的证明方法：全世界共有370多种证明方法.其中赵爽正弦图、毕达哥拉斯证法、美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法比较出名；勾股定理的变式：① 222c a b =＋；②()()222a cbc b c b =-=+- ；③ ()()222b c a c a c a =-=+-；④c =⑤a =⑥b =（2）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c =＋，那么这个三角形是直角三角形 .（3）定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理 .（4）我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 .（例如：勾股定理与勾股定理逆定理） （5）常见的勾股数（勾股数是正整数）：①3、4、5，222345⇒+= ； ②5、12、13，22251213⇒+=； ③6、8、10，2226810⇒+=； ④7、24、25，22272425⇒+=；注：只要三角形的三边长都是勾股数的k （k 为正整数）倍时，构成的三角形仍然是直角三角形.（6）蚂蚁吃食物最短路径问题：①如下图，是一个边长为2的正方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为AB = 42 + 22 =20 =25AbacCBAAAB = 42 + 22 =20 =25AAB = 42 + 22 =20 =25②如下图，是一个长为2，宽为4，高为8的长方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为10.③如下图，是一个底面半径为2，高为8的圆柱体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程.（注：表面爬行）情况一： 情况二:把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为（7）如图：直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c .以两直角边为边长的正方形的面积等于以斜边为边长的正方形的面积.即：123S S S +=，或222a b c +=.AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2A8AB = 62 + 82 =100 =10AB AB = 122 + 22 =148AAB = 62 + 82 =100 =10bac S 3S 2S 1（8）三角形面积的计算方法：海伦秦九韶公式（知道三角形的三边长可以直接求面积）.2a b cP ++=（其中,,a b c 为三角形的三边长 ）；S =.例：在下列ABC ∆中，边长如图所示，计算其面积. 解：由海伦秦九韶公式得：6810122P ++==ABC S ∆∴==24==（9）如图，AB BC ⊥，3,4,12,13,AB BC CD AD ====求四边形ABCD 的面积. 解：（法一）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===22222251216913AC CD AD +=+===∴根据勾股定理得逆定理得：ACD ∆是直角三角形. AC CD ∴⊥，即：90ACD ∠=︒. ∴S 四边形ABC ACD S S ∆∆=+ 111134512362222AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=.解：（法二）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===在ACD ∆中，由海伦秦九韶公式得：51213152P ++==A C D S ∆∴=30== ∴S 四边形113034306303622ABC ACD S S AB BC ∆∆=+=⋅+=⨯⨯+=+=. 6108CBA341213DCBA第十八章：平行四边形（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示，如平行四边形ABCD 记作“ABCD ”.即：若AB ∥CD ，AD ∥BC ，则四边形ABCD 是平行四边形. （2）平行四边形的性质：①平行四边形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC .AB =CD ，AD =BC .②平行四边形的两组对角相等.即：BAD BCD ∠=∠，ABC ADC ∠=∠.平行四边形的邻角互补.即：180BAD ABC ∠+∠=︒，180BCD ABC ∠+∠=︒. ③平行四边形的对角线互相平分.即：OA OC =，OB OD =.（3）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.即：14AOBBOCCODAODABCDSSSSS ====.4444ABCDAOBBOCCODAODSSS SS====.（4）两平行线间的距离处处相等. （5）平行四边形的面积：底⨯高.（6）平行四边形的判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ③对角线互相平分的四边形是平行四边形. ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ⑤两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （7）三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 在ABC ∆中，点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，所以DE 是ABC ∆的中位线.即：12DE BC =，DE ∥BC .（8）梯形中位线定理：梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半. 在梯形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，所以EF 是梯形ABCD 的中位线.即：2AD BCEF +=，EF ∥AD ∥BC .（9）矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （10）矩形的性质：①矩形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②矩形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒. ③矩形的对角线相等且互相平分.即：AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==.ODCB AED CBAFEDCBAODCBAA OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是等腰三角形. （11）矩形的面积：长⨯宽.即：S AB BC =⋅.（12）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.如：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是斜边AC 的中线，则12BD AD DC AC ===.（13）矩形的判定：①对角线相等的平行四边形是矩形. ②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ④有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （14）菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （15）菱形的性质：①菱形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②菱形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===. ③菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即：AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. 1122ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠.1122BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 菱形ABCD .（16）菱形的面积：两条对角线乘积的12.即：12S AC BD =⋅.（17）菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（18）正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形. （19）正方形的性质：①正方形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②正方形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===.正方形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒ ③正方形的对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即： A C B D ⊥，AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. DCBAODCB AODCB A114522ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.114522BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 正方形ABCD .（20）正方形的面积：边长⨯边长或对角线乘积的一半.即：S AB BC =⋅或12S AC BD =⋅. （21）正方形的判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③有一个角是直角的菱形是正方形.④对角线相等且互相垂直平分的四边形是菱形. ⑤对角线相等的菱形是正方形. ⑥对角线互相垂直的矩形是正方形.（22）平行四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形；矩形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形. （23）平行四边形不是轴对称图形；矩形是轴对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，有2条对称轴；正方形是轴对称图形，有4条对称轴.第十九章：一次函数（1）常量与变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.（2）函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，x 是自变量. （3）函数值：函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值.如果当x a =时，y b =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.（4）解析式：像23y x =-+这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.（5）函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. （6）描点法画函数图象的步骤：①列表； ②描点； ③连线；（7）判断分析函数图象的突破点：①明确两坐标轴所表示的意义；②明确图象上的点所表示的意义；③弄清图象上的转折点、最高（低）点所表示的意义；④弄清上升线和下降线所 表示的意义.（8）函数的表示方法：解析式法；列表法；图象法.例1：小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.如图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系. 第（1）段：小明从家到食堂，相距0.6km ，用时8min . 第（2）段：小明在食堂用餐，用时()25817min -=. 第（3）段：小明从食堂到图书馆，食堂与图书馆相距()0.80.60.2km -=，用时()28253min -=.食堂与家相距()0.800.8km -=.第（4）段：小明在图书馆看书，用时()582830min -=. 第（5）段：小明从图书馆到家，用时()685810min -=，速度()0.8100.08/min v km =÷=.例2：画出函数21y x =+的图象.第三步：连线（9）正比例函数：一般地，形如()0y kx k =≠（k 是常数）的函数，叫做正比例函数，其/miny /中k 叫做比例系数或斜率.例：①0.2y x =-； ②2xy =； ③22y x =； ④24y x =. 在上面式子中： ①②是正比例函数；③④不是正比例函数.（10）正比例函数()0y kx k =≠的图象性质：①正比例函数()0y kx k =≠的图象是一条经过原点的直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数），函数图象经过第一、三象限.③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数），函数图象经过第二、四象限.④k 越大，直线越倾斜（越陡）.⑤正比例函数()0y kx k =≠的图象经过点()0,0和()1,k .（11）一次函数：一般地，形如()0y kx b k =+≠（,k b 是常数）的函数，叫做一次函数.当0b =时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. （12）一次函数()0y kx b k =+≠的图象性质： ①一次函数()0y kx b k =+≠的图象是一条直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数）. ③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数）. ④当0b >时，函数图象交y 轴的正半轴. ⑤当0b =时，函数图象经过原点. ⑥当0b <时，函数图象交y 轴的负半轴.⑦k 越大，直线越倾斜（越陡）.正比例函数和一次函数的图象都是直线，画函数图象时只需要找两个点，即两点作图法.（13）函数的平移：x ：左+右-；y ：上+下-.例：6y x =-向上平移5个单位长度得到：65y x =-+. 6y x =-向下平移3个单位长度得到：63y x =--.2y x =-向左平移3个单位长度得到：()2326y x x =-+=--.2y x =-向右平移2个单位长度得到：()2224y x x =--=-+.22y x =--向左平移2个单位，向下平移3个单位得到：()222329y x x =-+--=--. 32y x =-+向右平移2个单位，向上平移3个单位得到：()3223311y x x =--++=-+.（14）在一次函数()11110y k x b k =+≠和()22220y k x b k =+≠中：①当12k k =时，1y ∥2y . ②当121k k =-时，12y y ⊥.例：直线21y x =--与26y x =-+互相平行；直线21y x =--与162y x =+互相垂直. （15）直线与x 轴相交0y =；直线与y 轴相交0x =（16）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.例：已知一次函数的图象过点()3,5和()4,9--，求这个一次函数的解析式.解：设这个一次函数的解析式为()0y kx b k =+≠.函数图象经过点()3,5和()4,9--∴3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：21k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为21y x =-.（17）一次函数与方程、不等式：①一次函数与方程的关系：函数值y 为某一特定值时，求自变量x 的值. ②一次函数与不等式的关系：函数值y 为某一范围时，求自变量x 的取值范围.（18）两个一次函数图象相交时，它们有相同的横坐标，相同的纵坐标.例：求函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标. 解：50.525x x +=+ 20x =把20x =代入5y x =+中得20525y =+=.∴函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标为()20,25. （19）一次函数的实际应用：①方案选择问题 ②租车问题. 两个问题的考察实则是考察自变量的取值范围 例题：重点掌握人教版教材109页的第15题.第二十章：数据的分析（1）算术平均数：一般地，我们把n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，的和与n 的比值，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“__x ”.即__12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.（2）加权平均数：一般地，若n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅的权分别是12,,,n w w w ⋅⋅⋅，则__112212n nnx w x w x w x w w w ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+叫做这n 个数的加权平均数.（3）在求n 个数的平均数时，如果1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次，（这里12k f f f n ++⋅⋅⋅+=），那么这n 个数的平均数为__1122k kx f x f x f x n++⋅⋅⋅+=.也叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅这k 个数的加权平均数，其中12,,,k f f f ⋅⋅⋅分别叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅的权.（4）中位数：将-组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.（5）众数：把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.（6）平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重复出时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响.（7）方差：设__x 是n 个数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数，各个数据与平均数只差的平方的平均数，叫做这n 个数据的方差.用“2s ”表示，即：222______2121n s x x x x x x n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.（8）标准差：方差的算术平方根称为标准差.s =（9）极差：一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.。

人教版数学八年级下册16.1《二次根式》说课稿1一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。

本节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识的基础上进行学习的，为后续学习二次根式的应用和进一步学习高中数学打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。

但是，对于二次根式的概念和性质，学生可能初次接触，理解起来有一定的难度。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，逐步理解和掌握二次根式的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的概念、性质和运算方法。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等方式，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的概念、性质和运算方法。

2.教学难点：二次根式的性质和运算规律。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，帮助学生形象直观地理解二次根式的概念和性质。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习实数、有理数、无理数等基础知识，引出二次根式的概念。

2.探究二次根式的性质：让学生观察、分析例子，引导学生发现二次根式的性质。

3.学习二次根式的运算：通过讲解和练习，让学生掌握二次根式的运算方法。

4.应用拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出二次根式的概念、性质和运算方法。

可以设计如下：1.二次根式的概念–定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式。

2.二次根式的性质–√a = √b（a=b≥0）–√a × √b = √(ab)（a≥0，b≥0）–√a ÷ √b = √(a/b)（a≥0，b>0）3.二次根式的运算方法–加减法：同底数相加减，指数不变；–乘除法：底数相乘除，指数相加减。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

《二次根式的乘除混合运算》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《二次根式的乘除混合运算》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课是人教版八年级下册第十六章《二次根式》中的重要内容。

二次根式的乘除混合运算既是对二次根式乘法和除法法则的综合运用，也是后续学习二次根式的加减运算以及解二次根式方程的基础。

通过本节课的学习，学生将进一步提高对二次根式运算的理解和掌握，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。

在教材的编排上，先介绍了二次根式的乘法和除法法则，然后通过实例引入二次根式的乘除混合运算，让学生在实际运算中体会法则的应用，逐步掌握运算方法和技巧。

二、学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本运算和整式的乘除运算，具备了一定的运算能力和逻辑思维能力。

但对于二次根式的运算，尤其是乘除混合运算，可能会在运算顺序、化简过程中出现错误。

部分学生可能对法则的理解不够深入，在应用时容易出现混淆。

因此，在教学过程中，要注重引导学生理解法则的本质，加强练习，及时纠正错误。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够熟练掌握二次根式的乘除混合运算的法则和方法。

（2）能够正确进行二次根式的乘除混合运算，并化简结果。

2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、归纳等活动，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

（2）在运算过程中，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心。

（2）培养学生严谨的学习态度和良好的运算习惯。

四、教学重难点1、教学重点（1）二次根式的乘除混合运算的法则和顺序。

（2）正确化简二次根式的乘除混合运算结果。

2、教学难点（1）运算过程中符号的确定和根式的化简。

（2）灵活运用二次根式的乘除法则进行混合运算。

五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解二次根式的乘除混合运算的法则和方法，使学生形成系统的知识体系。

二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。

人教版初中数学八年级下册16.3.2 二次根式的混合运算同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．计算：（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将括号内化为最简二次根式，合并，再计算除法即可．【详解】故选B．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．3．化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分子分母同时乘以即可求解．【详解】解：．故选B．【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．4．估计的值在（ ）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【答案】B【分析】先根据二次根式的混合计算法则计算原式，然后对所得的结果进行估算即可得到答案．【详解】解：，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，正确根据二次根式的相关计算法则求出原式的结果是解题的关键．5．与的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．以上都不对【答案】A【分析】根据与的积为1，可得出与互为倒数，再选择即可．【详解】解：，与互为倒数，【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题时要注意观察式子的形式，灵活借助平方差公式进行运算．6．已知，，则的值为（）A．-32B．32C．D．【答案】C【分析】直接将原式变形，结合因式分解、二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：∵，，∴＝ab（a﹣b）＝（4+2）（4﹣2）（4+24+2）＝（16﹣20）×4＝﹣16．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用因式分解是解题关键．7．计算：的结果是（）A．B．6C．D．【答案】C【分析】利用平方差公式及积的乘方的法则对式子进行运算，从而可求解．【详解】解：=====【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二、填空题：8．计算：＝_____．【答案】【分析】利用二次根式的乘法法则和加减运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．9．计算：______．【答案】##【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及二次根式的混合运算法则．10．化简：_____．【答案】【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简．【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键．11．比较大小_____．【分析】利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．【详解】解：作差法可得：，∵与0的大小并不能直接观察得出，∴利用平方法比较与的大小，∵，又∵，∴，则，∴即＜0，∴，得出：，故答案为：．【点睛】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．12．已知，，则的值为_________．【答案】【分析】先把二次根式进行化简，然后把，，代入计算，即可得到答案.【详解】解：=，∵，，∴原式=；故答案为：.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.13．已知，，则ab＝_____；a2+b2＝_____．【答案】 1 14【分析】先求出a+b、ab，再利用平方差公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：∵，，∴a+b＝2+2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1．∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2＝14．故答案为：1，14．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．三、解答题：14．计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．……第一步……第二步……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】一；运用完全平方公式错误，去括号错误；；注意二次根式的化简要彻底（答案不唯一，合理即可）【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：任务一：根据题意可得第一步错误，错误的原因是运用完全平方公式错误，去括号错误；故答案为：一；运用完全平方公式错误，去括号错误；任务二：；任务三：除上述错误外，二次根式的化简要彻底．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．15．计算：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（2）首先利用平方差公式以及完全平方公式化简求出即可；（3）首先运算乘法和化简，以及进行零次幂的运算，最后再进行合并，即可求解；（4）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（5）首先绝对值运算，负指数幂运算，利用平方差公式进行化简，再进行合并，即可求解；（6）首先运算乘法和化简，再进行合并，最后进行除法运算，即可求解．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式==；（3）解：原式===；（4）解：原式===；（5）解：原式====；（6）解：原式===．【点睛】此题考查实数的运算，二次根式的混合运算，负指数幂、零次幂的运算，正确应用乘法公式是解题关键．16．先化简．再求代数式的值，其中【答案】，【分析】先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x的值代入计算即可求解．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．17．已知，求的值．【答案】【分析】先化简，然后计算的值，再根据完全平方公式变形求得代数式的值．【详解】解：∵∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．已知，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.【详解】解：当x＞0，y＞0时，=2=；当x＜0，y＜0时，=-2=-；综上所述本题答案应为：C.【点睛】二次根式的化简求值是本题的考点，分类讨论是解题的关键.2．对于任意的正数m，n定义运算※为：，计算的结果为（ ）A．2﹣4B．3C．2D．20【答案】B【分析】根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．3．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】欲求S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，SLMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题．正方形【详解】解：如图：由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，∴HC=4cm，LM=LF=cm．∴S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF=（HL+MC）•LF=（HC-LM）•LF==cm2．故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．二、填空题：4．设实数的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．【答案】##【分析】根据题意先估算的大小，求得的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：∵实数的整数部分为a，小数部分为b，，∴；（2a+b）（2a﹣b）＝．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，平方差公式，求得的值是解题的关键．5．观察下列三个等式：①；②；③；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式________________．【答案】【分析】利用数字之间的变化规律：，，…进而得出等式的规律，求解即可．【详解】解：可化为：，可化为：，可化为：，∴用n（n为正整数且n≥2）表示以上各等式所反映的规律为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数字变化的规律性问题，分式的规律性问题，二次根式的应用等知识，根据已知数据得出数字之间的关系是解题的关键．三、解答题：6．（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为的正方形面积-边长为的正方形面积求解即可；（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得；（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，∴；【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1与图2中图形的关系是解题的关键．7．比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，，∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．8．已知且，求的值．【答案】【分析】根据完全平方公式可得，然后由题意及平方差公式可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．。

最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。

2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。

4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。

5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。

6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A。

$-3$；B。

$x$；C。

$x^2+1$；D。

$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。

二次根式的混合运算教学建议学问结构重难点分析本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。

它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在学校阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓同学的解题思路，提高同学的解题力量。

本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。

分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。

分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再依据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。

所以对初学者来说，这一过程简单消失找错有理化因式和计算出错的问题。

教法建议1.在学问的引入上，可实行复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。

2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要留意由浅入深的层次支配，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，渐渐从数过渡到带有字母的式。

3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求同学辨别，并准时总结。

同学特点：试验班的A层同学(数学实施分层教学),主动学习乐观性高，基础扎实，思维活跃, ,并具有肯定的独立分析问题,探究问题,归纳概括问题的力量,有较好的思索、质疑的习惯。

教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

鉴于同学的特点及教材的特点，本节课主要采纳“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、同学与教材之间的互动。

详细说明如下：（一）在师生互动方面，老师注意问题设计，注意引导、点拨及提高性总结。

使同学学中有思、思中有获。

如本节课开头，出示书中例题1：让同学先进行思索，解答。

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中,被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式.例1．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0)．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二,被开方数是正数或0．知识点二:取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时，有意义,是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时，没有意义.例2．当x是多少时，31x-在实数范围内有意义？例3．当x是多少时，23x++11x+在实数范围内有意义？知识点三:二次根式（)的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，(）是一个非负数，即0(）.注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数,即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若,则a=0,b=0;若，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x-+2x-+5，求xy的值．（2)若1a++1b-=0,求a2004+b2004的值知识点四：二次根式（）的性质(）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(）是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来应用：若，则,如：，.例1 计算1．（32）22．（35）23．（56)24．（72）2例2在实数范围内分解下列因式:（1）x2—3 （2)x4—4 (3) 2x2—3知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

二次根式的混合运算数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握二次根式的混合运算方法。

2. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 提高学生对二次根式的理解和运用。

二、教学内容：1. 二次根式的加减法运算。

2. 二次根式的乘除法运算。

3. 二次根式的混合运算。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次根式的混合运算方法。

2. 教学难点：解决复杂的二次根式混合运算问题。

四、教学方法：1. 采用讲解法、引导法、实践法等多种教学方法，让学生在实践中掌握二次根式的混合运算。

2. 通过例题和练习题，让学生巩固所学知识。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾一次根式的运算，引导学生思考二次根式的运算。

2. 讲解与示范：讲解二次根式的加减法、乘除法运算规则，并通过示范例题让学生理解。

3. 实践练习：让学生独立完成一些二次根式的混合运算题目，教师巡回指导。

4. 总结与反思：让学生总结二次根式混合运算的规律，反思自己在解题过程中的不足。

5. 课后作业：布置一些二次根式混合运算的练习题，巩固所学知识。

教案编辑专员：我为您提供了五个章节的二次根式的混合运算数学教案。

教案中包含了教学目标、内容、重点与难点、教学方法以及教学过程。

您可以根据这个教案进行教学，并根据实际情况进行调整。

如有需要，我可以为您提供更多的帮助。

六、教学评估：1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对二次根式混合运算的理解和掌握程度。

2. 观察学生在解决问题时的思维过程，了解他们的学习困难和学习需求。

3. 及时给予反馈，指导学生改进学习方法，提高解题能力。

七、教学策略：1. 针对不同学生的学习水平，设计不同难度的题目，使所有学生都能在课堂上得到锻炼和提高。

2. 采用分组讨论、合作学习等方式，激发学生的学习兴趣，培养他们的团队协作能力。

3. 注重启发式教学，引导学生主动探索，发现规律，提高解决问题的能力。

八、教学评价：1. 评价学生对二次根式混合运算的掌握程度，包括知识的理解、方法的运用和解题技能。

第十六章二次根式
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为
上底宽4
2m ，下底宽 62m ，高6m 的梯形，这段路基长 500 m ，那么这段路基的
土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
针对训练 计算：
(3 1 6 2 2 2 + 2 1 28⎝⨯() ； () .
--
探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 典例精析
例3(教材P14例4变式题)计算：
21(32)（）；((2)32481843;⨯32a a b a ab a b --+
方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根
据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
【变式题】计算：
20182018
1223223;（）（）（）⨯201720193
223232.2
（）
（）（）-⨯
教学备注
配套PPT 讲授
3.探究点2新知讲授
（见幻灯片11-15）
计算：(
)
)))
2
(1)1(2).
；
探究点3：求代数式的值
n b 的式子，构
1.下列计算中正确的是（）
3
=1
=-
2=
2.计算2.
=
3.设,3
10
,
3
10
1
-
=
+
=b
a则a b(填“>”“< ”或“=”）.
4.计算：。

16.3.2二次根式的混合运算课前预习:1.二次根式的混合运算与整式的混合运算一样，也是先算，再算，最后算加减，有括号应先算。

2. 在二次根式运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用，即()m a b c++=。

()()a b c d++=，()()a b a b+-=，()2a b±=。

课堂演练:1.下列运算正确的是( )A3= B.1=-C.2= D.=2.下列计算正确的是( )A．(55252319-+=-⨯=B.2225=+=C.((225=-=D. (1=3.计算( )A．6 B.C. 30D.4.计算=,2=。

5.已知2222a b a b ab=+=+=则。

6.计算:（1（2）(7.2132-⎛⎫--+⎪⎝⎭=。

81=。

9.如果()22,a a b+=+为有理数，那么a+b=。

10.已知2,2,a b==11=。

12.计算=。

13.的运算结果在整数和之间。

课后练习:14.计算:（1(；（2）(2÷15.1.732,⎛≈⎝求16.先化简再求值:2,1 11a aa aa a⎛⎫+÷=⎪--⎝⎭其中17已知221,1,(1);(2)a b ab a b==-求.23.已知221221a aaa a a-+=---求24.已知xy>0，化简二次根式的正确结果=。

25.计算:)(20120244⋅=。

26.当3x=则代数式268x x-+=。

27.化简二次根式:=。

28．已知.1122x yx y==+求的值。

29.2,=30先化简再求值:22214, 1.2442a a aaa a a a a---⎛⎫-÷=⎪++++⎝⎭其中。