统计学例题_方差分析、相关分析、卡方检验和交互分析报告

卡方检验三个组别例题与解析Title: Analysis of Three Examples of Chi-square Test in Different Groups在统计学中，卡方检验是一种用于比较不同组别之间差异的方法。

它通常用于比较分类数据，并确定这些数据是否存在显著性差异。

本文将通过三个具体的例题来解析卡方检验在不同组别中的应用。

例题一：小明想要研究不同性别在健康意识方面是否存在差异。

他随机选择了100名男性和100名女性，收集了他们对于健康饮食的意识水平（高、中、低）数据。

小明将数据进行了统计分组如下表所示。

| 健康意识水平 | 男性 | 女性 ||--------------|-----|-----|| 高 | 40 | 50 || 中 | 30 | 20 || 低 | 30 | 30 |小明想要确定两个性别在健康意识水平上是否存在显著差异。

他使用卡方检验进行分析后发现卡方统计量为5.83，自由度为2，p值为0.054。

由于p值大于0.05的显著性水平，小明无法拒绝原假设，即他无法得出性别对健康意识水平的显著影响。

例题二：研究人员想要了解不同受教育程度下的就业情况是否存在差异。

为此，他们调查了500名受访者，收集了不同受教育程度（小学、中学、大学）下的就业与失业人数。

结果如下表所示。

| 就业情况 | 小学 | 中学 | 大学 ||--------------|-----|-----|-----|| 就业 | 100 | 150 | 200 || 失业 | 20 | 30 | 50 |研究人员进行卡方检验后发现卡方统计量为6.02，自由度为2，p值为0.049。

由于p值小于0.05的显著性水平，研究人员可以拒绝原假设，即受教育程度对就业情况存在显著影响。

例题三：一家餐馆想要了解不同服务时间带来的顾客满意度是否存在差异。

他们调查了200名顾客，记录了就餐时间（早餐、午餐、晚餐）下的满意度数据（满意、一般、不满意）。

方差分析表检验例题方差分析表检验（AnalysisofVariance,ANOVA）是一种统计分析方法，它用来检验两个或两个以上独立样本之间是否存在统计显著性差异。

它主要是通过比较样本间的平均差异，来检验实验变量在不同水平上的作用。

本文将对方差分析表检验的基本原理、基本思想以及在实际应用中的实例进行介绍，希望能够对那些初次接触方差分析表检验的读者有所帮助。

一、方差分析表检验的基本原理方差分析表检验是一种单因素多水平分析，它主要用来检验实验变量在不同水平上是否存在统计显著性差异。

可以将它看作是t验的多水平推广。

它的基本原理是，在确定有一个总体均值的情况下，把总体变量分割成若干份，每份都有不同的水平，比较每一水平的总体均值，通过计算F而得到是否存在统计显著性差异的结论。

二、方差分析表检验的基本思想方差分析表检验的基本思想是：在确定有一个总体均值的情况下，把总体变量分割成若干份，在各个水平上比较实验结果，以检验是否存在统计显著性差异。

为了检验实验变量在不同水平上是否存在统计显著性差异，方差分析表检验使用了两个不同的总变异数：因变异数（treatment variance）和随机变异数（error variance）。

因变异数用于度量实验变量在不同水平上的差异，而随机变异数则用于度量每一水平中实验结果的不一致性。

通常情况下，若实验变量存在显著性差异，则因变异数和随机变异数的比值（F）会大于1；反之，则F小于1，说明实验变量在不同水平上没有显著性差异。

三、实例演示下面以一个简单的实例来演示方差分析表检验的使用步骤以及获得结果的意义。

假设我们要检验20学生的英语成绩在不同的教学方法（三种）下是否存在显著性差异。

经过实验，获得如下数据：表1差分析表检验实例教学方法本值A 10，12，16，15，11B 15，13，14，17，16C 11，10，17，18，15由表1知，教学方法A，B，C有5 个样本值。

下面我们将它们用方差分析表检验来检验它们之间是否存在统计显著性差异。

例1、某地用A 、B 和C 三种方案治疗血红蛋白含量不满10g 的婴幼儿贫血患者，A 方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁1ml ，B 方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁0.5ml ，C 方案为每公斤体重每天口服3g 鸡肝粉，治疗一月后，记录下每名受试者血红蛋白的上升克数，资料见下表，问三种治疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？ 表 A 、B 、C 三种方案治疗婴幼儿贫血的疗效观察治疗方案血红蛋白增加量（g ）A 1.8 0.5 2.3 3.7 2.4 2.0 1.5 2.7 1.10.9 （n =20）1.4 1.22.3 0.7 0.5 1.4 1.73.0 3.2 2.5 B 0.2 0.5 0.3 1.9 1.0 2.4 -0.4 2.0 1.6 2.0 （n =19）0.0 1.6 3.0 1.6 0.0 3.0 0.7 1.2 0.7 C 2.1 1.9 1.7 0.2 2.0 1.5 0.9 1.1 -0.2 1.3 （n =20） -0.7 1.3 1.1 0.2 0.7 0.9 0.8 -0.30.7 1.4完全随机设计方差分析计算表变异来源 SS ν MS F 总变异2211()in k iji j Xx X C ==-=-∑∑∑N -1 组间（处理） 2211()()kki iii i iX n x x C n ==-=-∑∑∑k -1 SS TR /νTRMS TR /MS e组内（误差）SS T -SS TRN -kSS e /νe()N X C 2∑=F 检验步骤： （1）建立假设：H 0：μA =μB =μC ，三种治疗方案治疗婴幼儿贫血的疗效相同； H 1：三种治疗方案治疗婴幼儿贫血的疗效不全相同或全不相同。

（2）确立检验水准：α=0.05 （3）计算检验统计量：①计算各组基础数据：i X ∑和2i X ∑以及总的X ∑和2X ∑。

AB C 总和 iX ∑ 36.80 23.30 18.60 78.70 2iX∑83.56 47.01 28.86 159.43 n i20192059②分别计算SS T ，SS TR ，和SS e 。

方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中有着广泛的应用。

方差分析主要用于比较多个总体均值之间的差异，而卡方检验则用于分析分类数据的关联性和独立性。

方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值的统计方法。

在方差分析中，我们假设总体均值相等，然后通过计算组内变异和组间变异来判断这个假设是否成立。

方差分析的基本思想是将总体方差分解成组内方差和组间方差，进而判断组间方差占总变差的比例是否显著大于组内方差的比例。

通过方差分析，我们可以分析因素对总体均值的影响，并进行多组之间的比较。

方差分析的常见类型有单因素方差分析和多因素方差分析，分别适用于不同的研究设计。

卡方检验是一种常用的非参数检验方法，用于分析分类数据的关联性和独立性。

分类数据是指由频数或频率构成的数据，例如某个班级学生的分数等级、不同城市居民的职业分布等。

卡方检验的基本原理是比较观察频数与期望频数之间的差异，如果差异显著，则我们可以拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联性。

卡方检验的应用领域非常广泛，例如医学研究中的药物疗效评价、市场调查中的产品偏好分析等。

尽管方差分析和卡方检验有着不同的应用对象和基本原理，但它们都是统计学中重要的推断方法，具有一定的共性。

首先，方差分析和卡方检验都是基于统计假设检验的思想，通过计算特定统计量来判断样本数据是否支持或反对某个假设。

其次，方差分析和卡方检验都需要明确的研究问题和研究设计，并进行数据收集和处理。

最后，方差分析和卡方检验都可以通过计算显著性水平来进行结果的判断和推断。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的统计方法进行数据分析。

如果我们希望比较多个总体均值的差异，可以选择方差分析方法；如果我们关心分类数据的关联性和独立性，可以选择卡方检验方法。

当然，这只是方差分析和卡方检验的基本应用，实际研究中可能还需要考虑其他因素和方法。

总之，方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中都有着广泛的应用。

方差分析与卡方检验练习题本练习题涵盖了方差分析和卡方检验的基概念、方法和应用，包含不同难度等级的题目，旨在帮助学习者巩固知识，提高分析问题和解决问题的能力。

第部分：方差分析 (ANOVA)一、单因素方差分析1. 基本概念题 (500字)简述方差分析的基本思想和假设条件。

* 解释方差分析中组间方差、组内方差和总方差的概念，以及它们之间的关系。

* 说明F检的原理以及在方差分析中的应用。

* 解释方差分析结果中的P值及其意义。

* 比较方差分析与t检验的异同点。

2. 计算题 (000字)某研究者想比较三种不同肥料对小麦产量的影响。

他随机选择了三个地块，每个地块种植了相同数量的小麦，分别施用三种不同的肥料A、B、C。

收获后，测得三个地块的小麦产量如下（单位：k/亩）：肥料A：15, 18, 16, 17, 19 肥料B：20, 22, 21, 19, 23 肥料C：12, 14, 13, 5, 16请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断三种肥料对小麦产量是否有显著性差异。

(需写出详细的计算步骤，包括自由度、平方和、均方、F值、P值等，并进行结果解释。

). 应用题 (1000字)一家公司想比较四种不同广告策略对产品销量的影响。

他们随机选择了四个地区，每个地区采用一种不同的广告策略。

三个月后，测得四个地区的销售额如下（单位：万元）：策略A：10, 110, 95, 105 策略B：120, 130, 115, 125 策略C：80, 90, 75,85 策略D：150, 60, 145, 155(1)请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断四种广告策略对产品销量是否有显著性差异。

(需写出详细的计算步骤，并进行结果解释。

)(2)如果发现有显著差异，请进行事后检验（例如Tukey检验或LSD检验），找出哪些广告策略之间存在显著性差异。

(需说明所用检验方法的原理和步骤)二、双因素方差分析 (1500字)1. 基本概念题 (50字)•解释双因素方差分析的概念和应用场景。

案例分析—四格表确切概率法【例1-5】为比拟中西药治疗急性心肌堵塞的疗效，某医师将27例急性心肌堵塞患者随机分成两组，分别给予中药和西药治疗，结果见表1-4。

经检验，得连续性校正χ2，P＞，差异无统计学意义，故认为中西药治疗急性心肌堵塞的疗效根本相同。

表1-4两种药物治疗急性心肌堵塞的疗效比拟药物有效无效合计有效率〔％〕中药12〔〕2〔〕14西药6〔〕7〔〕13合计18927【问题1-5】〔1〕这是什么资料？〔2〕该资料属于何种设计方案？〔3〕该医师统计方法是否正确？为什么？【分析】该资料是按中西药的治疗结果〔有效、无效〕分类的计数资料。

27例患者随机分配到中药组和西药组，属于完全随机设计方案。

患者总例数n=27＜40，该医师用χ2检验是不正确的。

当n＜40或T＜1时，不宜计算χ2值，需采用四格表确切概率法〔exact probabilities i n2×2table〕直接计算概率案例分析－卡方检验〔一〕【例1-1】某医师为比拟中药和西药治疗胃炎的疗效，随机抽取140例胃炎患者分成中药组和西药组，结果中药组治疗80例，有效64例，西药组治疗60例，有效35例。

该医师采用成组t检验〔有效=1，无效=0〕进行假设检验，结果t＝，P＝，差异有统计学意义检验〔有效=1，无效=0〕进行进行假设检验，结果t＝，P＝，差异有统计学意义，故认为中西药治疗胃炎的疗效有差异，中药疗效高于西药。

【问题1-1】〔1〕这是什么资料？〔2〕该资料属于何种设计方案？〔3〕该医师统计方法是否正确？为什么？〔4〕该资料应该用何种统计方法？【分析】(1)该资料是按中西药疗效〔有效、无效〕分类的二分类资料，即计数资料。

(2)随机抽取140例胃炎患者分成西药组和中药组，属于完全随机设计方案。

(3)该医师统计方法不正确。

因为成组t检验用于推断两个总体均数有无差异，适用于正态或近似正态分布的计量资料，不能用于计数资料的比拟。

(4)该资料的目的是通过比拟两样本率来推断它们分别代表的两个总体率有无差异，应用四格表资料的X2检验〔chi-squaretest〕。

方差分析习题及答案方差分析习题及答案方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。

它可以帮助我们确定是否存在显著的差异，并进一步了解这些差异的来源。

在本文中，我们将介绍一些方差分析的习题，并提供相应的答案。

习题一：某研究人员想要比较三种不同的肥料对植物生长的影响。

他随机选择了30个植物，并将它们分成三组，每组10个。

每组植物分别使用不同的肥料进行施肥。

研究人员在10天后测量了每组植物的平均生长高度（单位：厘米）。

下面是测量结果：组1：12, 14, 15, 16, 17, 13, 14, 15, 16, 18组2：10, 11, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 11, 10组3：9, 10, 8, 11, 12, 13, 10, 9, 11, 12请使用方差分析方法，判断这三种肥料是否对植物生长有显著影响。

答案：首先，我们需要计算每组的平均值和总体平均值。

组1的平均值为15.0，组2的平均值为11.1，组3的平均值为10.5。

总体平均值为12.2。

接下来，我们计算组内平方和（SS_within），组间平方和（SS_between）和总体平方和（SS_total）。

根据公式，我们有：SS_within = Σ(xi - x̄i)^2SS_between = Σ(ni * (x̄i - x̄)^2)SS_total = Σ(xi - x̄)^2其中，xi代表第i组的观测值，x̄i代表第i组的平均值，x̄代表总体平均值，ni代表第i组的样本量。

计算得到：SS_within = 23.0SS_between = 48.6SS_total = 71.6接下来，我们计算均方（mean square）：MS_within = SS_within / (n - k)MS_between = SS_between / (k - 1)其中，n代表总样本量，k代表组数。

计算得到：MS_within = 2.56MS_between = 24.3最后，我们计算F值：F = MS_between / MS_within计算得到：F = 9.49根据F分布表，自由度为2和27时，F临界值为3.35。

卡方检验四格表例题卡方检验是一种常用的统计方法，用于检验两个或多个分类变量之间是否存在显著关联。

它常被用于分析四格表（也称为列联表）的数据，其中包含了两个分类变量的交叉频数。

举个例子，假设我们想要研究男性和女性在购买某种产品时的偏好。

我们随机调查了200名男性和200名女性，并记录了他们对该产品的购买决策（购买或不购买）。

我们将数据整理成一个四格表，如下所示：购买不购买男性 120 80女性 80 120在这个例子中，我们的研究假设是性别和购买决策之间没有关联。

我们想要通过卡方检验来验证这个假设。

卡方检验的原理是比较实际观察到的频数与预期频数之间的差异。

预期频数是基于无关联假设下的期望频数，即每个单元格中的频数应该是各行总数和各列总数的乘积再除以总样本数。

在这个例子中，我们可以计算出四个单元格中的预期频数：购买不购买男性 (200*120)/400 (200*80)/400女性 (200*80)/400 (200*120)/400计算结果如下：购买不购买男性 60 40女性 40 60接下来，我们需要计算观察频数与预期频数之间的差异，并进行卡方值的计算：购买不购买男性 (120-60)^2/60 + (80-40)^2/40女性 (80-40)^2/40 + (120-60)^2/60计算结果如下：购买不购买男性 40 40女性 40 40最后，我们将四个单元格中的卡方值相加得到总的卡方值。

在这个例子中，如果卡方值小于给定的显著性水平的临界值，我们就可以接受原假设，即性别和购买决策之间没有关联；如果卡方值大于临界值，我们就会拒绝原假设，即性别和购买决策之间存在关联。

通过这个例子，我们可以看到卡方检验在分析四格表数据时的应用。

它可以帮助我们确定两个或多个分类变量之间是否存在显著关联，为研究结果的解释和推断提供科学依据。

第八章卡方检验与交互分析交互分析是社会调查研究中常用方法之一，用于研究两个定类变量的关系。

交互分析中用于检验两个变量是否相关的方法叫做卡方检验，也叫独立性检验。

卡方检验是建立在观测频次和期望频次之差基础上的一种检验。

一、卡方检验的原理例：一项调查得到890个样本的与收入和所处地区的数据，希望分析收入和地区的关系。

表1要检验的H0：收入和地区之间没有相关性，即每一地区的收入分布模式应该是相同的，收入的高低不应随着地区的不同而有所差异。

也就是说，如果东部城市的四个收入类别各自比重和中西北部城市的四个收入类别各自比重一致，那么，收入和地区之间是相互独立的。

如果这个890人的样本能够反应总体的独立性特征，那么就应该能够观测到两个地区具有相同的收入分布模式，称为期望模式，样本的期望观测频次如下：表2接下来，计算观测频次f0与期望频次f e之间的偏差(f0-f e)，如果这些偏差比较小，则有利于证明原假设即总体的独立性。

反之，则可能推翻原假设。

但偏差之和为0，所以对偏差进行平方。

但是，为了说明每一个偏差的相对重要性，每一偏差平方和都需要和本组中的期望频次相比较，计算相对(f0-f e)2/f e。

然后，将所有组的贡献相加，从而得到度量全部偏差的一个量，叫做卡方χ2=∑∑(fo−fe)2，fe服从自由度为(c-1)(r-1)的卡方分布。

如用c 和r 分别表示表中的列数和行数，自由度为(c-1)(r-1)。

f 0 f e(f 0-f e )(f 0-f e )2/f e计算出卡方值后，可根据已知的显著性水平和自由度查卡方分布表，找出临界值，与之作对比。

反过来，也可以计算出概值，再根据我们所希望的显著性水平做比较。

该例题中计算出χ2为31.6，查表发现对应自由度为3的那一行的所有临界值都小于χ2，因此，概值小于0.001。

由于概值如此小，检验水平可以是1%甚至更小，所以一定可以拒绝原假设。

也就是说，在总人口中，收入与地区有显著的相关性，二者并不独立。

方差例题和解析
方差是统计学中常用的一个概念，用来衡量一组数据的离散程度。

在实际应用中，方差可以帮助我们分析数据的稳定性和可靠性。

下面我们来看一个方差的例题，并进行解析。

例题：某公司的销售额数据如下所示：{10, 12, 15, 18, 20}，求该数据的方差。

解析：首先，我们需要计算数据的平均值。

将所有数据相加得到：10 + 12 + 15 + 18 + 20 = 75。

然后，将总和除以数据的个数得到平均值：75 / 5 = 15。

接下来，我们需要计算每个数据与平均值的差的平方。

分别计算得到：(10-15) = 25，(12-15) = 9，(15-15) = 0，(18-15) = 9，(20-15) = 25。

然后，将这些差的平方相加得到总和：25 + 9 + 0 + 9 + 25 = 68。

最后，将总和除以数据的个数得到方差：68 / 5 = 13.6。

所以，该组数据的方差为13.6。

方差的计算过程可以帮助我们理解数据的分布情况。

方差越大，说明数据的离散程度越高，即数据点离平均值较远；方差越小，说明数据的离散程度越低，即数据点离平均值较近。

方差还有一些重要的性质，例如方差为0时，表示所有数据都相等；方差为正时，说明数据的分布较为分散；方差趋近于无穷大时，说明数据的分布非常离散。

在实际应用中，方差常常与其他统计指标一起使用，例如均值、标准差等，来对数据进行全面分析。

方差的概念和计算方法对于理解和解读数据具有重要意义。