八年级数学《菱形的判定》课后习题

22.5.2《菱形的判定》课后练习一、单选题1．下列命题中，正确的是（ ）．A ．两邻边相等的四边形是菱形B ．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C ．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D ．对角线垂直的四边形是菱形2．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的有（ ）①当AB ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形；①当AC ①BD 时，四边形ABCD 是菱形；①当①ABC ＝90°时，四边形ABCD 是菱形：①当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是菱形；A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）①AC ①BD ；①①BAD ＝90°；①AB ＝BC ；①AC ＝BD ．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 4．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处，易证四边形AECF 是平行四边形．当①BAE 为（ ）度时，四边形AECF 是菱形．A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°5．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；①AB =CD ；①AB BC ⊥；①AO OC =中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，从下列条件中添加一个条件，仍不能判定ABCD 是菱形的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AB BC = C ．12∠=∠D ．AB BD = 7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD 、AC 、BC 于M 、O 、N ，连结AN ，CM ，则四边形ANCM 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法判断 8．如图，在①ABCD 中，用直尺和圆规作①BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．489．如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列条件：（1）190DBC ∠+∠=︒；（2）OA OB =；（3）12∠=∠，其中能判定ABCD 是菱形的条件有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分①CAD B．CD平分①ACB C．AB①CD D．AB=CD二、填空题11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．12．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个__________形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于__________．13．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交①MAN的两边AM、AN于点B、D；①以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；①分别连结BC、CD、AC．若①MAN＝60°，则①ACB的大小为_____．14．如图所示，BEAC ⊥于点D ，且AB BC =，BD ED =，若54ABC ∠=，则E ∠=___．15．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．16．如图，①ABC 中，①BAC ＝60°，①B ＝45°，AB ＝2，点D 是BC 上的一个动点，D 点关于AB ，AC 的对称点分别是E 和F ，四边形AEGF 是平行四边形，则四边形AEGF 的面积的最小值是__．17．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4=AD ，3BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为________．三、解答题18．如图，AE①BF，BD平分①ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．=．连19．如图，在ABCD中，对角线AC平分BAD∠，点E、F在AC上，且CE AF接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．20．如图，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．21．如图，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．（1）求证：①AOF①①COE；（2）当CE ＝5，AO ＝4，OF ＝3时，求证：四边形AFCE 是菱形．22．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB =90゜，D 为AB 的中点，AE //CD ，CE //AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若①B =60゜，BC =6，求菱形ADCE 的高．23．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过B 点作//BF AC ，过C 点作//CF BD ，BF 与CF 相交于点F ．（1）求证：四边形BFCO 是菱形；（2）连接OF 、DF ，若2AB =，2tan 3OFD ∠=，求AC 的长．24．已知，如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点C '的位置上，连接DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）当160∠=︒，2AE =时，求矩形ABCD 的纸片的面积S ．25．如图，在①ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：①ADE ①①CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案1．B解：两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；2．D解：①四边形ABCD是平行四边形，①①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当AC①BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当①ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；①当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；3．A解：①①ABCD中，AC①BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD 是菱形；故①正确；①①ABCD中，①BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD 是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误；①①ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD是菱形；故①正确；D、①ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误．4．A解：当①BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，①BAE＝①CAE＝30°，①①B＝90°，①①ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，即①CAE＝①ACE，①EA＝EC，①四边形AECF是平行四边形，①四边形AECF是菱形，5．C解：如图所示：①直线l是四边形ABCD的对称轴，①AB=AD，BC=DC，①1=①2，①3=①4，又①AD①BC，①①2=①3，①①1=①4，①AB①CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AB=CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AO=OC，故①正确．①当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故①错误；6．D解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；C、①四边形ABCD是平行四边形，①AD①BC，①①1=①ACB，又①1=①2，①①2=①ACB，①AB=BC，①四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），正确，此选项不符合题意；D 、AB=BD 不能判断平行四边形一定是菱形，符合题意， 7．B解：①四边形ABCD 是平行四边形，①AD①BC ，①①DAC=①ACN ，①MN 是AC 的垂直平分线，①AO=CO ，在①AOM 和①CON 中MAO NCOAO CO AOM CON∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝＝，①①AOM①①CON （ASA ），①MO=NO ，①四边形ANCM 是平行四边形，①AC①MN ，①四边形ANCM 是菱形，8．B解：记AE 与BF 相交于O 点，如图，由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分①BAD ，①①BAE ＝①DAE ，①四边形ABCD 为平行四边形，①AD ①BC ，①①DAE ＝①BEA ，①①BAE ＝①BEA ，①BA ＝BE ，①AF ＝BE ，①AF ①BE ，①四边形ABEF 为平行四边形，①AB ＝AF ，①四边形ABEF 为菱形，①OA＝OE，OB＝OF＝12BF＝3，AE①BF，在Rt①AOB中，OA4==，①AE＝2AO＝8，①四边形ABEF面积116824 22AE BF=⋅=⨯⨯=．9．C解：①四边形ABCD是平行四边形，①OA=OC，OB=OD，AD①BC，①①1=①BCO，（1）若①1+①DBC=90°时，则①BCO+①DBC=90°，①①BOC=90°，①AC①BD，①四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形；（2）若OA=OB，则AC=BD，①四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形；（3）若①1=①2，则①2=①BCO，①AB=CB，①四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形；10．D解：由作图知AC=AD=BC=BD，①四边形ACBD是菱形，①AB平分①CAD、CD平分①ACB、AB①CD，不能判断AB=CD，11．AB=AD.解：添加AB=AD，①OA=OC，OB=OD，①四边形ABCD为平行四边形，①AB=AD，①四边形ABCD是菱形，12．菱形16证明：过点A作AE①BC于E，AF①CD于F，①两条纸条宽度相同（对边平行），①AB①CD，AD①BC，AE=AF，①四边形ABCD是平行四边形，①S①ABCD=BC•AE=CD•AF，又①AE=AF，①BC=CD，①四边形ABCD是菱形；当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，由勾股定理：x2=（18-x）2+62，得：x=10，即菱形的最大周长为10×4=40．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：6×4=24．则图形周长的最大值与最小值的差=40-24=16；13．30°解：由题意可得：AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2cm ，①四边形ABCD 是菱形，①BC①DA ，①CAB ＝①CAD ＝12①MAN ＝30°， ①①ACB ＝①CAD ＝30°，14．27°解：如下图，连接AE①BE①AC ，①①ADB=①BDC=90°①①ABD 和①CBD 是直角三角形在Rt①ABD 和Rt①CBD 中AB BC BD BD =⎧⎨=⎩①Rt①ABD①Rt①CBD①AD=DC①BD=DE①在四边形ABCE 中，对角线垂直且平分①四边形ABCE 是菱形①①ABC=54°①①ABD=①CED=27°15．20解：①AG①BD ，BD=FG ，①四边形BGFD 是平行四边形，①CF①BD ，①CF①AG ，又①点D 是AC 中点， ①BD=DF= 12AC ， ①四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt①AFC 中，由勾股定理可得：()()2236132x x +-=解得：5x =即GF=5①四边形BDFG 的周长=4GF=20．16解：由对称的性质得：AE=AD=AF ，①四边形AEGF 是平行四边形，①四边形AEGF 是菱形，①①EAF=2①BAC=120°，当AD①BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小， ①①ABC=45°，AB=2，①四边形AEGF 的面积的最小值=212⨯=．17．解：①AO OC =，//AD BC ， ①OAF OCB ∠=∠，OFA OBC ∠=∠，①易证AOF ①COB △，①AF BC =，又①//AD BC ，①四边形AFCB 为平行四边形．①AO=CO ，连接AE ，CE ，则AE=CE ，①OE①AC ，①平行四边形AFCB 为菱形，①3AF FC BC ===，①1DF =，①CD ==18．证明见解析①AE ①BF ，①①ADB ＝①DBC ，①BD 平分①ABC ，①①DBC ＝①ABD ，①①ADB ＝①ABD ，①AB ＝AD ，又①AB ＝BC ，①AD ＝BC ，①AE ①BF ，即AD ①BC ，①四边形ABCD 为平行四边形，又①AB ＝AD ，①四边形ABCD 为菱形．19．证明见详解．证明：连结BD交AC于O，①对角线AC平分BAD∠，①①BAC=①DAC，在ABCD中，AB①DC，AB=DC，BC①AD，BC=AD，①①BAC=①DCA，①BCA=①DAC，①BC=BA，DC=DA，①平行四边形ABCD为菱形，①AC①BD，OA=OC，OB=OD，①CE AF=，①OA-AF=OC-CE，即OE=OF，①四边形BEDF为平行四边形，AC①BD，点E、F在AC上，①EF①BD，①平行四边形BEDF为菱形．20．（1）见解析；（2）S菱形ADCF＝96．（1）证明：①E是AD的中点，①AE＝DE，①AF∥BC，①①AFE＝①DBE，在①AEF和①DEB中，①AFE DBEAEF DEBAE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AEF①①DEB（AAS），①D是BC的中点，①AF＝DB＝DC，①四边形ADCF是平行四边形，①①BAC＝90°，D是BC的中点，①AD＝CD＝12 BC，①四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，①AF∥BC，AF＝BD＝CD，①BAC＝90°，①S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S①ABC＝12AB•AC＝12×12×16＝96．21．（1）见解析；（2）见解析（1）证明：①四边形ABCD为矩形，①AD①BC，①①F AC＝①ECA，①AFE＝①CEF，①O是对角线AC的中点，①OA＝OC，①①AOF①①COE（AAS）；（2）由（1）知①AOF①①COE，①AF＝CE＝5，①AO＝4，OF＝3，①222345+=，即222OF OA AF+=，①①AOF＝90°，①三角形AOF是直角三角形，①AF＝CE，AF①CE，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形．22．（1）见解析；（2）（1）证明：①AE//CD，CE//AB，①四边形ADCE是平行四边形，①①ACB=90°，D为AB的中点，①CD=12AB=AD，①四边形ADCE为菱形；（2）解：过点D作DF①CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，①①B=60°，CD=BD，①①BCD是等边三角形，①①BDC=①BCD=60°，CD=BC=6，①CE//AB，①①DCE=①BDC=60°，①①CDF=30°，又①CD=BC=6，①CF=3，①在Rt①CDF中，DF23．（1）见解析；（2）解：（1）//BF AC ，//CF BD ，∴四边形OBFC 是平行四边形，矩形ABCD ， ∴11,,22AC BD BO BD CO AC ===OB OC ∴=， ∴四边形OBFC 是菱形．（2）连接FO 并延长交AD 于H ，交BC 于K ，菱形OBFC ，90BKO ∴∠=︒，矩形ABCD ，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，OA OD =， ∴四边形ABKH 是矩形，90DHF ∴∠=︒，2HK AB ==，H ∴是AD 中点， O 是BD 中点，112OH AB ∴==， 1FK OK OH ∴===，3HF ∴=，2tan 3OFD =， 2HD AH ∴==，4BC AD ∴==，①AC =24．（1）证明见解析；（2）ABCD S =矩形 （1）证明：①四边形ABCD 是矩形， ①AD①BC ，①①1=①2，①EF 为折痕，①BF=DF ，BE=DE ，①BEF=①2，①①BEF=①1，①BE=BF ，①BF=DF=BE=DE ，①四边形BEDF 是菱形；（2）解：由（1）知①2=①BEF=①1=60°， ①①3=180°-60°-60°=60°，①AE=2，①A=90°，①①ABE=30°，①BE=2AE=4，由勾股定理得：= ①四边形ABCD 是矩形，沿EF 折叠B 和D 重合， ①DE=BE=4，①AD=BC=2+4=6，AB=CD=①矩形ABCD 的面积S=6⨯= 25．（1）见解析；（2）菱形，见解析解：（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形， ①AD ＝CB ，①ADC ＝①CBA ，①①ADE ＝①CBF ，在①ADE 和①CBF 中，14 AD CB ADE CBF DE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ADE ①①CBF （SAS ）；（2）当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是菱形， 理由：如图，①BD 平分①ABC ，①①ABD ＝①CBD ，①四边形ABCD 是平行四边形，①OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ①BC ，①①ADB ＝①CBD ，①①ABD ＝①ADB ，①AB ＝AD ，①平行四边形ABCD 是菱形，①AC ①BD ，①AC ①EF ，①DE ＝BF ，①OE ＝OF ，又①OA ＝OC ，①四边形AFCE 是平行四边形，①AC ①EF ，①四边形AFCE 是菱形．。

菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．四、思考题9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．]2、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．3如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是___________2、有一组邻边相等的四边形是菱形（）3、对角线互相垂直的四边形是菱形（）4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（）5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。

八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．482．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线相等且互相垂直C．两条对角线互相垂直D．两条对角线互相垂直平分5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC6．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC7．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD8．菱形的周长为52，一条对角线长为10，则此菱形的面积为．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB于点H，则OH 的长为．11．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．12．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．13．要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是．（写出一种即可）14．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．16．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．20．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．（1）求证：AE＝CF；（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．21．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC＝2OC，BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG（1）若CE＝8，∠ACE＝∠ACB，求AB；（2）求证：FG＝AG．参考答案与解析1．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．故选：C．4．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．5．解：需要添加的条件是AB＝BC；理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故选：D．6．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：D．7．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；故选：B．8．解：如图所示∵菱形的周长为52，即4AB＝52，∴AB＝13，∵AC＝10，∴AO＝AC＝5，∵AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得BO＝12，∴BD＝2BO＝24，∴菱形的面积＝×10×24＝120．故答案为：120．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，∴BC＝13，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，∴×24×10＝13×DE，解得：DE＝，故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝，故答案为：．11．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．12．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC或AC⊥BD．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．14．解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．15．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝AB＝EB，∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF为菱形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DF A＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，∴∠DEC+∠DFC＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠DFC，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF，∵点G为BE的中点，∴BG＝GE，在△AGE和△HGB中，，∴△AGE≌△HGB（AAS），∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（SAS），∴AF＝AH，∴AF＝2AG．21．（1）解：延长EF与BC交于点K∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∵BC＝2OC∠OBC＝30°，∴∠EBF＝30°，∴∠BEF＝30°，∠ABC＝60°，∠EKB＝90°，∠ACB＝60°∠ACE＝∠ACB＝×60°＝15°，∠ECK＝45°，在Rt△CKE中，EK＝CK＝CE＝，在Rt△EKB中，BK＝∴BC＝，即AB＝；（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．∵G为CE中点，∴EG＝GC，在△EFG与△CHG中，，△EFG≌△CHG（SAS），∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，∴CH＝BF，CH∥EF，由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF＝∠ACH，在△AFB与△AHC中，△AFB≌△AHC（SAS），∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH∵FG＝GH，∴AG⊥FG，∴∠F AG＝∠HAG∵∠BAC＝∠BAF+∠F AC＝60°，∴∠CAH+∠F AC＝60°，即∠F AH＝60°，∴∠F AG＝∠HAG＝30°，∴。

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期2.6.2 菱形的判定要点感知1 四条边__________的四边形是菱形.预习练习1-1 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组临边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形要点感知2 对角线__________的平行四边形是菱形.预习练习2-1 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的条件是( )A.BA=BCB.AC，BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD知识点1 四条边都相等的四边形是菱形1.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( )A.120°B.130°C.140°D.150°2.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是__________，学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6 m和8 m，则这个花圃的面积为__________.3.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD=BC，求证：四边形EFGH是菱形.知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________________(写出一个即可).5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E 在AO上，且OE=OC.(1)求证：∠1=∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.6.如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.7.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的条件是( )A.AB＝BCB.AC＝BCC.∠B＝60°D.∠ACB＝60°8.如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，做AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断( )A.甲正确，乙错误B.乙正确，甲错误C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误9.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=______.10.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形.12.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF.(1)求证BE=CD；(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.13.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由.参考答案要点感知1 都相等预习练习1-1 B要点感知2 互相垂直预习练习2-1 B1.B2.菱形24 m23.证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF=12AD.同理可得：GH=12AD，GF=12BC，HE=12BC，又AD=BC，∴EF=GF=GH=HE.∴四边形EFGH是菱形.4.答案不唯一，如AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等5.(1)证明：∵在△ADC和△ABC中，AD＝AB，AC=AC，DC=BC，∴△ADC≌△ABC(SSS).∴∠1=∠2；(2)四边形BCDE是菱形；证明：∵DC=BC，∠1=∠2，∴AC垂直平分BD.又∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形.∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形.6.证明：连接EF，交AD于点O，∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO.∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.在△AEO和△AFO中，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA).∴EO=FO.∵A点与D点重合，∴AO=DO.∴EF，AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形.又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形.7.B 8.C 9.25°10.③11.证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＝∠D.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形.12.(1)证明：由题知AE＝AD,AB＝AC,∠BAC＝∠EAD＝α.∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,即∠EAB=∠DAC.∴△EAB≌△DAC.∴BE＝CD.(2)四边形BDFE是菱形.∵AB＝AC，AD⊥BC,∴BD＝CD.∵BE＝CD,∴BE＝BD.∵△EAB≌△DAC，∴∠EBF＝∠C.∵∠ABC＝∠C,∴∠EBF＝∠ABC.∵BF＝BF,∴△EBF≌△DBF.∴EF＝DF.∵EF∥BC,∴∠EFB＝∠FBD.∴∠EFB＝∠EBF.∴EF＝EB.∴BD＝BE＝EF＝FD.∴四边形BDFE是菱形.13.(1)证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，∴△ABF≌△ADF(SAS).∴∠AFB=∠AFD.又∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE.∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE. (2)∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF(SAS).∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°.∴∠ECB+∠CBF=∠EFD+∠EDF=90°. ∴∠EFD=∠BCD.。

菱形1．(2022·河南)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加以下条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( C )A ．AC ⊥BDB ．AB ＝BCC ．AC ＝BDD ．∠1＝∠2解析：A.正确，对角线垂直的平行四边形的菱形．B.正确，邻边相等的平行四边形是菱形，C.错误，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D.正确，可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形．应选C.2．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，假设AE ＝4 cm ，那么四边形AEDF 的周长为( B )A ．12 cmB ．16 cmC ．20 cmD ．22 cm解析：∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形．由AD 是角平分线，DE ∥AC ，易得∠EAD ＝∠EDA ，∴AE ＝DE ，∴四边形AEDF 是菱形，∴四边形AEDF 的周长＝4×4＝16(cm)．应选B.3．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E .假设BF ＝6，AB ＝5，那么AE 的长为( C )A ．4B ．6C ．8D ．10 解析：如下图，连接EF ，设AE 与BF 交于点O .∵∠BAE ＝∠FAE ，∠AEB ＝∠FAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .又∵AB ＝AF ，AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是菱形，∴OB ＝12BF ＝3， OA ＝AB 2－OB 2＝52－32＝4,∴AE ＝2OA ＝8.应选C.4．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件OA ＝OC (答案不唯一)，使ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)解析：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得出结论．5．如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE ，CF .(1)求证：△BDF ≌△CDE ；(2)假设AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．证明：(1)∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .∵CE ∥BF ，∴∠DBF ＝∠DCE .又∵∠BDF ＝∠CDE ，∴△BDF ≌△CDE .(2)方法1：∵△CDE ≌△BDF ，∴DE ＝DF .∵BD ＝CD ，∴四边形BFCE 是平行四边形．在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，即EF ⊥BC .∴四边形BFCE 是菱形．方法2：∵△CDE ≌△BDF ，∴CE ＝BF .∵CE ∥BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形．在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，即AD 垂直平分BC ，∴BE ＝CE .∴四边形BFCE 是菱形．6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E ，F ，并且DE ＝DF . 求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．证明：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C .在△ADE 和△CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ ∠A ＝∠C ，∠AED ＝∠CFD ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF (AAS)．(2)∵△ADE ≌△CDF ，∴AD ＝CD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．7．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图①所示位置旋转，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角。

八年级下《菱形的性质与判定》练习题及答案2017年八年级数学下册菱形性质与判定练题1.下列四边形中不一定为菱形的是哪一个？A。

对角线相等的平行四边形B。

每条对角线平分一组对角的四边形C。

对角线互相垂直的平行四边形D。

用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.下列说法中正确的是哪一个？A。

四边相等的四边形是菱形B。

一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C。

对角线互相垂直的四边形是菱形D。

对角线互相平分的四边形是菱形3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是哪一个？A。

菱形B。

对角线互相垂直的四边形C。

矩形D。

对角线相等的四边形4.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为多少？A．4：1B．5：1C．6：1D．7：15.四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有哪一个？A。

1种B。

2种C。

3种D。

4种6.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于多少度？A．100°B．104°C．105°D．110°7.如图，在长方形ABCD中，AB=12，AD=14，E为AB 的中点，点F、G分别在CD、AD上，若CF=4，且△EFG为等腰直角三角形，则EF的长为多少？A。

10B。

10C。

12D。

128.用一条直线将一个菱形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N值不可能是多少度？A。

360°B。

540°C。

630°D。

720°9.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为多少？A。

1B。

2C。

3D。

410.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是多少？A。

课时作业(二十)[2.6.2 菱形的判定]一、选择题1．如图K－20－1，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则?ABCD的周长为( )图K－20－1A．4 B．6 C．8 D．122．如图K－20－2，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC折叠，得到△DBC，其与原三角形ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是链接听课例1归纳总结( )图K－20－2A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形3．2017·河南如图K－20－3，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD 是菱形的是链接听课例3归纳总结( )图K－20－3A．AC⊥BD B．AB＝BCC．AC＝BD D．∠1＝∠24．如图K－20－4，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )图K－20－4A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm5．如图K－20－5，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形( )图K－20－5A．4个 B．5个 C．6个 D．7个6．图K－20－6是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两名同学的作法分别如下，对于甲、乙两人的作法，可判断( )甲：连接AC，作AC的中垂线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE，则四边形AFCE是菱形．乙：分别作∠BAD与∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，则四边形ABEF是菱形．图K－20－6A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确二、填空题7．如图K－20－7，在?ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm，点M，N分别在AD，BC上，且DM＝CN＝2 cm，则四边形ABNM是________形，判断的依据是______________________．图K－20－78．如图K－20－8，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．图K－20－8三、解答题9．2018·郴州如图K－20－9，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于点E，F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．图K－20－910.2018·南京如图K－20－10，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内的一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形.链接听课例1归纳总结图K－20－1011．2018·娄底如图K－20－11，在四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．图K－20－1112．如图K－20－12，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证：AD ⊥EF.图K－20－12操作探究小明用两条宽度均为 d cm的长方形纸条交错地叠在一起，相交成∠α(如图K－20－13)，设重叠部分是四边形ABCD.(1)他发现：不管∠α是锐角、直角还是钝角，四边形ABCD的形状好像总不变，请你判断它的形状，并说出理由；(2)分别求出当d＝1，∠α＝45°和d＝3，∠α＝60°时重叠部分的面积．图K－20－13详解详析课堂达标1．C2．[解析] B ∵将△ABC沿边BC折叠得到△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD.∵AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABDC是菱形．故选 B.3．[解析] C A项，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)；B项，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴?ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)；C项，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)；D 项，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ACB.∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠2，∴AB＝BC，∴?ABCD 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)．故选 C.4．[解析] A 连接BD.∵四边形ABCD的四边相等，∴四边形ABCD为菱形．∵它的面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，∴120＝12×24×BD，∴BD＝10 cm，∴AB＝52＋122＝13(cm)，∴四边形ABCD的周长为4×13＝52(cm)．故选A.5．[解析] B ∵四边形ABCD是菱形，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，∴AE＝AH＝HD＝GD＝CG＝CF＝FB＝BE＝OE＝OG＝OH＝OF，∴四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFCG和ABCD均为菱形，共5个．6．[解析] A 甲的作法正确，如图①.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO.在△AOE和△COF中，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．乙的作法正确，如图②.∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠1＝∠3，∠4＝∠6，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE.∵AF∥BE且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴?ABEF是菱形．故选A.7．菱有一组邻边相等的平行四边形是菱形8．[答案] ③[解析] 需添加条件③.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又∵DE＝DF，∴四边形BECF为平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴?BECF为菱形，故答案为③.9．解：如图．∵EF是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，BF＝DF，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BF，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．10．证明：(1)∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∠BOD＝360°－∠AOD－∠AOB，∠AOB ＝180°－∠OAB－∠OBA＝180°－2∠OAB，∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝180°－3∠OAD，∴∠BOD＝360°－(180°－2∠OAD)－(180°－2∠OAB)＝2∠OAD＋2∠OAB＝2(∠OAD＋∠OAB)＝2∠BAD.又∵∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)连接OC.∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△BOC≌△DOC，∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∴∠BOC＝12∠BOD，∠BCO＝12∠BCD.由(1)知∠BOD＝∠C，∴∠BOC＝∠BCO，∴OB＝CB.又∵OB＝OD，CB＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．11．解：(1)证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．(2)结论：四边形BEDF是菱形．∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BF.∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．12．[解析] 要证AD⊥EF，可先证明四边形AEDF为菱形．由题意可得四边形AEDF为平行四边形，再证一组邻边相等即可．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥AC，∴∠FAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF为菱形，∴AD⊥EF.素养提升解：(1)四边形ABCD是菱形．理由：∵两长方形纸条对边平行，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则AE＝AF＝d.又∵S?ABCD＝AE·BC＝AF·CD，∴BC＝CD，∴?ABCD是菱形．(2)当d＝1，∠α＝45°时，∠ADF＝45°，AF＝1 cm，而AF⊥CD，∴△ADF是等腰直角三角形且AF＝DF.又∵AD2＝AF2＋DF2，∴AD＝ 2 cm，∴CD＝AD＝ 2 cm，∴重叠部分的面积＝CD·AF＝2×1＝2(cm2)．当d＝3，∠α＝60°时，∠ADF＝60°，AF＝ 3 cm，则DF＝12 AD，利用勾股定理可得AD＝2 cm，∴CD＝AD＝2 cm，∴重叠部分的面积＝CD·AF＝2×3＝2 3(cm2)．。

八年级数学下册《菱形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题）1．下列可以判断是菱形的是()A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90ABC∠=︒时，四边形ABCD是菱形：④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边=，OB OD形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BDAOB⊥∠=︒D．AC BD⊥C．60=B．AB BC4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OAB OAD=，那么下列条件∠=∠，BO DO中不能判定四边形ABCD是菱形的为()A．OA OC==D．AD DC=B．BC DC=C．AD BC第3题图第4题图二．填空题（共4小题）5．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）6．如图在Rt ABCAC=，6BC=，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平ACB∆中，90∠=︒，8行四边形CDEB，当AD=时，平行四边形CDEB为菱形．7．如图所示，四边形ABCD中，AC BDBO DO==，6==，点P为线段AC上AO CO⊥于点O，8的一个动点．（1）填空：AD CD==．（2）过点P分别作PM AD⊥于M点，作PH DC⊥于H点．连结PB，在点P运动过程中，++的最小值为．PM PH PB8．如图1，边长为a 的正方形发生形变后成为边长为a 的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h ，我们把a h的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD 分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2:3．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，(AEF A ∆、E 、F 是格点）同时形变为△A E F '''，若这个菱形的“形变度” 1615k =，则A E F S '''=V ．三．解答题（共2小题）9．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AH BC ⊥，点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH EH =．求证：四边形EBFC 是菱形．10．如图（1），ABC ∆为等腰三角形，AB AC a ==，P 点是底边BC 上的一个动点，//PD AC ，//PE AB ． （1）用a 表示四边形ADPE 的周长为 ；（2）点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形，请说明理由；（3）如果ABC ∆不是等腰三角形（图2)，其他条件不变，点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形（不必说明理由）．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定是本题的关键．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四=，OB OD边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OC=，Q，OB OD=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【分析】利用菱形的判定依次进行判断即可．【解答】解：A、若AO OC=，=，且BO DO∴四边形ABCD是平行四边形，//∴AB CD∠=∠BAO OCD∴∠=∠，且OAB OAD∴∠=∠OAD OCD∴=，AD CD∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC DC==，BO DO∴是BD的垂直平分线AC∴=AB AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，=，Q，BO DOC、OAB OAD∠=∠∴=，且BO DOAB AD=∴垂直平分BDAC=BC CD∴=，且AD BC∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、OAB OAD=，∠=∠Q，BO DO∴=，且BO DOAB AD=AC∴垂直平分BD=BC CD∴=，且AD CD∴===AB AD BC CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练地掌握菱形的判定，注意与矩形、正方形、平行四边形的判定进行比较，是提高同学们综合能力的关键． 二．填空题（共4小题）【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论． 【解答】解：OA OC =， OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．【分析】首先根据勾股定理求得10AB =，由菱形的性质可得OD OB =，CD CB =，根据勾股定理可得OB 的值，由2AD AB OB =-可求AD 的长． 【解答】解：如图，连接CE 交AB 于点O ． Rt ABC ∆Q 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，2210AB AC BC ∴=+=若平行四边形CDEB 为菱形时，CE BD ⊥，OD OB =，CD CB =． Q1122AB OC AC BC =g g ， 245OC ∴=． 22185OB BC OC ∴=-= 1425AD AB OB ∴=-=故答案为：145【点评】本题考查了菱形的判定与性质．求出OB 的长是本题的关键．【分析】（1）在ADO ∆中，由勾股定理可求得10AD =，由AC BD ⊥，AO CO =，可知DO 是AC 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD DC =；（2）由PM PH +为定值，当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，由垂线的性质可知当点P 与点O 重合时，OB 有最小值．【解答】解：（1）AC BD ⊥Q 于点O ， AOD ∴∆为直角三角形．22228610AD AO OD ∴=+=+=． AC BD ⊥Q 于点O ，AO CO =， 10CD AD ∴==．故答案为：10；（2）如图1所示：连接PD ．ADP CDP ADC S S S ∆∆∆+=Q ，∴111222AD PM DC PH AC OD +=g g g ，即1111010166222PM PH ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯． 10()166PM PH ∴⨯+=⨯． 9648105PM PH ∴+==， ∴当PB 最短时，PM PH PB ++有最小值，Q 由垂线段最短可知：当BP AC ⊥时，PB 最短．∴当点P 与点O 重合时，PM PH PB ++有最小，最小值4878655=+=． 故答案为：10，785． 【点评】本题主要考查了勾股定理、垂线段的性质、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM PH +的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP 垂直于AC 时，PM PH PB ++有最小值是解答问题（3）的关键．【分析】求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比=菱形的“形变度”，求AEF ∆的面积，根据两面积之比=菱形的“形变度”，即可解答． 【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：2a ，形变后的菱形的面积为：233a =g， ∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：22323a = Q 这个菱形的“形变度”为23∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比=这个菱形的“形变度”，112222422AEF S ∆=⨯⨯+⨯⨯=，Q 若这个菱形的“形变度” 1615k =， ∴1615AEF A E F S S ∆'''=V ，即41615A E F S '''=V ， 154A E F S '''∴=V ． 故答案为：154． 【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键． 三．解答题（共2小题）【分析】根据题意可证得BCE ∆为等腰三角形，由AH CB ⊥，则BH HC =，从而得出四边形EBFC 是菱形． 【解答】证明：AB AC =Q ，AH CB ⊥，BH HC ∴=，……………………………………………………3分FH EH =Q ，∴四边形EBFC 是平行四边形，………………………………6分又AH CB ⊥Q ，∴四边形EBFC 是菱形．………………………………………10分【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．【分析】（1）由题意可得四边形ADPE 为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB DP =，即可求四边形ADPE 的周长；（2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得AE EP =，则平行四边形ADPE 是菱形；（3）P 运动到A ∠的平分线上时，四边形ADPE 是菱形，首先证明四边形ADPE 是平行四边形，再根据平行线的性质可得13∠=∠，从而可证出23∠=∠，进而可得AE EP =，然后可得四边形ADPE 是菱形． 【解答】解：（1）//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形AD PE ∴=，DP AE =，AB AC =Q B C ∴∠=∠， //DP AC QB DPB ∴∠=∠ DB DP ∴=∴四边形ADPE 的周长2()2()22AD DP AD BD AB a =+=+==故答案为：2a …………………………………………………………………………2分 （2）当P 为BC 中点时，四边形ADPE 是菱形．………………………………3分 理由如下：连结AP ……………………………………………………………………………4分//PD AC Q ，//PE AB∴四边形ADPE 为平行四边形…………………………………………………………5分AB AC =Q ，P 为BC 中点PAD PAE ∴∠=∠…………………………………………………………………………6分//PE AB QPAD APE ∴∠=∠ PAE APE ∴∠=∠EA EP∴=………………………………………………………………………………7分∴四边形ADPE是菱形…………………………………………………………………8分（3）P运动到A∠的平分线上时，四边形ADPE是菱形，…………………………10分PE AB，Q，//PD AC//∴四边形ADPE是平行四边形，Q平分BACAP∠，∴∠=∠，12//Q，AB EP∴∠=∠，13∴∠=∠，23∴=，AE EP∴四边形ADPE是菱形．【点评】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．。