专题02 常用逻辑用语【考点预测】一、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看 （1）若p q ⇒且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若pq 且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)； （4）若pq 且q p ，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立). 二．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看 设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； （3）若A B =，则p 与q 互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】2,20x x x a ∃∈-+<R ，列出不等式，求出1a <，从而判断出答案.【详解】2,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B例2．（2022·重庆·三模）已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】函数()xf x a =为增函数,则 1a > ,此时10a ->,故函数()1ag x x -=在()0,∞+上单调递增;当()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增时, ,10a ->,所以1a >,故()x f x a =为增函数.故选:C例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可. 【详解】∵公比0q ≠，∴20212024a a >，∴420212020a q a q >，∴4q q >，∴()310q q ->，∴()()2110q q q q -++>， ∴()10q q ->，∴01q <<，又∵20222023a a >，∴2320202020>a q a q ，∴23q q >，∴()210q q ->，∴1q <且0q ≠，∴011q q <<⇒<且0q ≠，即“20212024a a >”是“20222023a a >”的充分不必要条件． 故选：A ．例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，n ⊂α，则“m α⊥”是“m n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立. 【详解】由线面垂直的性质知，若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m 必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m α⊥，即必要性不成立. 故选：A.例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m ，n 和平面α，则m n ⊥的一个充分条件是（ ） A ．m α⊥且n α⊥ B ．m α∥且n ⊂αC ．m α⊥且n ⊂αD ．m α∥且n α∥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质及线面平行的性质，结合充分条件的定义即可得出答案. 【详解】解：对于A ，若m α⊥且n α⊥，则m n ∥，故A 不符题意； 对于B ，若m α∥且n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 不符题意； 对于C ，若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥，故C 符合题意；对于D ，若m α∥且n α∥，则m 与n 平行、相交或异面，故D 不符题意. 故选：C.（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a ，b ∈R ，则使“1a b +>”成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．221a b +>B ．||||1a b +>C ．221a b +>D ．4110b a b++> 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A 、D 选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B ，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于C ，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可； 【详解】对于A ，当1a b ==-时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当13,24a b ==时，满足1a b +>，不满足221a b +>，即1a b +>推不出221a b +>，不必要；A 错误；对于B ，当1a b ==-时，满足||||1a b +>，不满足1a b +>，即||||1a b +>推不出1a b +>，不充分； 当1a b +>时，平方得2221a ab b ++>，又()22222221a b a ab b a ab b +=++≥++>，又||||0a b +>，故||||1a b +>，即1a b +>能推出||||1a b +>，必要；B 正确；对于C ，当0a b 时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当1a b +>时，由20,20a b >>，221a b +≥>>，即1a b +>能推出221a b +>，必要；C 正确； 对于D ，当12a b ==时，满足4110b a b ++>，不满足1a b +>，即4110b a b++>推不出1a b +>，不充分； 当2,1a b ==时，满足1a b +>，不满足4110b a b ++>，即1a b +>推不出4110b a b++>，不必要；D 错误. 故选：BC.【方法技巧与总结】1.要明确推出的含义，是p 成立q 一定成立才能叫推出而不是有可能成立.2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围例7．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解， 【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥． 故答案为：[2,)+∞．例8．（2022·浙江·高三专题练习）若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞ B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4]【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围. 【详解】由2()4x a -<，可得：22a x a -<<+； 由131022xx x -+=≤--，则()()23020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，可得23x <≤；∵2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-， ∴2223a a -≤⎧⎨+>⎩，可得14a <≤.故选：D.例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件p ：11x -<<，q ：x m >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,0- D ．(],1-∞-【答案】D 【解析】 【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以{11}xx -<<∣ {}x x m >∣，即1m ≤-. 故选：D.例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若1102x+≤-是()24x a -<成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4∞- B ．[]1,4C ．()1,4D ．(]1,4【答案】D 【解析】 【分析】理解充分不必要条件的含义；解不等式；理解解集间的关系. 【详解】 由题意可得()211042x a x+≤⇒-<- ，而 ()()230131********x x x x x x x --≤⎧-⎪+≤⇔≤⇔⇔<≤⎨---≠⎪⎩()242222x a x a a x a -<⇔-<-<⇔-<<+则2232a a -≤⎧⎨<+⎩ ，故14a <≤， 故选：D例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】1x a -<成立的充分条件是04x <<，则0a >，111x a a x a -<⇒-<<+，所以10314a a a -≤⎧⇒≥⎨+≥⎩. 故选：D例12．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解， 【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥． 故答案为：[2,)+∞．例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】2a ≥ 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】 由不等式||x a <，当0a ≤时，不等式||x a <的解集为空集，显然不成立； 当0a >时，不等式||x a <，可得a x a -<<，要使得不等式||x a <的一个充分条件为20x -<<，则满足{|20}{|}x x x a x a -<<⊆-<<， 所以2a -≥-，即2a ≥ ∴实数a 的取值范围是2a ≥. 故答案为：2a ≥.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 【答案】33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】求函数的值域求得集合A ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】函数2312y x x =-+的对称轴为34x =，开口向上，所以函数2312y x x =-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，当34x =时，min 716y =；当2x =时，max 2y =.所以7,216A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.{}{}22|1|1B x x m x x m =+≥=≥-，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以27116m -≤，2916m ≥， 解得34m ≤-或34m ≥，所以m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =A ，关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ．(1)当m ＝2时，求()A B R ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(,][3,)2-∞-⋃+∞；(2)(,2]-∞-. 【解析】 【分析】（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A 和B ，利用集合的并补运算求()A B R ． （2）解含参一元二次不等式求集合B ，根据充分条件有A ⊆B ，列不等式求m 的范围即可． (1)由题设40210x x ->⎧⎨+>⎩得：142x -<<，即函数的定义域A ＝1(,4)2-，则R1(,][4,)2A =-∞-⋃+∞，当m ＝2时，不等式(4)(3)0x x --≤得：34x ≤≤，即B ＝[3,4]，所以()A B R ＝1(,][3,)2-∞-⋃+∞．(2)由2()(21)0x m x m --+=得： x ＝m 2或x ＝21m -， 又2221(1)0m m m -+=-≥，即221m m ≥-，综上，2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ＝2[21,]m m -，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B ，即241212m m ⎧≥⎪⎨-≤-⎪⎩，得：2m ≤-，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞-．例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5212xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =，求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.(3)设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}|11A B x x ⋂=-≤<； (2)(][),12,-∞-⋃+∞ (3)(]1,2 【解析】 【分析】（1）分别解出解出集合A ，B ，再求A B ；（2）由A B B ⋃=得到A B ⊆.对m 分类讨论，分0m >， 0m =和0m <三种情况，分别求出m 的范围，即可得到答案；（3）用集合法列不等式组，求出a 的范围. (1) 由5212xx ->+的解集是A ，解得：{}|21A x x =-<<. 当m =1时，22450x mx m --≤可化为2450x x --≤，解得{}|15B x x =-≤≤. 所以{}|11A B x x ⋂=-≤<. (2)因为A B B ⋃=，所以A B ⊆. 由（1）得：{}|21A x x =-<<.当0m >时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =-≤≤.要使A B ⊆，只需512m m ≥⎧⎨-≤-⎩，解得：2m ≥；当0m =时，由22450x mx m --≤可解得{}0B =.不符合A B ⊆，舍去；当0m <时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =≤≤-.要使A B ⊆，只需152m m -≥⎧⎨≤-⎩，解得：1m ≤-；所以，1m ≤-或2m ≥.所以实数m 的取值范围为：(][),12,-∞-⋃+∞. (3)设关于x 的不等式22430x ax a -+<（其中>0a ）的解集为M ，则(),3M a a =；不等式组2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩的解集为N ，则(]2,3N =；要使p 是q 的必要不充分条件，只需N M ，即233a a ≤⎧⎨>⎩，解得：12a <≤.即实数a 的取值范围(]1,2.例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件{}22:4410p A x x ax a =-+-≤∣，条件{}2:20q B xx x =--≤∣．U =R ． (1)若1a =，求()UA B ⋂．(2)若q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围． 【答案】(1)(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或(2)10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）首先求出集合,A B ，代入1a =，得出A ，进而利用集合的交集、补集的定义即可求解.（2）由（1）知，得出集合,A B ，再根据q 是p 的必要不充分条件转化为集合A 是集合B 的真子集，即A B ≠⊂即可求解. (1)由224410x ax a -+-≤，得2121a x a -≤≤+，所以{}2121A xa x a =-≤≤+∣， 由220x x --≤，得12x -≤≤，所以{12}B xx =-≤≤∣ 当1a =时，{13}A xx =≤≤∣.所以{12}A B x x ⋂=≤≤∣ 所以(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或；(2)由（1）知，{}2121A xa x a =-≤≤+∣，{12}B x x =-≤≤∣， q 是p 的必要不充分条件，A B ≠∴⊂，所以212211a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得102a ≤≤所以实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >． 其中是真命题的有（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④【答案】C 【解析】 【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答. 【详解】对于①，由01b a <<<得：1a b >，(0,)∀∈+∞x ，01x x x a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x x a b >，①正确；对于②，(0,1)x ∀∈，log log log log 10x x xx aa b b-=<=，即0log log x x a b <<，则log log a b x x >，②正确； 对于③，函数(01)x y m m =<<在(0,1)上为减函数，而01b a <<<，则a b m m <，即(0,1)x ∀∈，a b x x <，③错误；对于④，当(0,)x b ∈时，1x a <，log log log 1a a a x b a >>=，即log xa a x <，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②． 故选：C例19．（2022·江西·二模（理））已知命题1p ：存在00x >，使得0044+≤x x ，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有tan 2x =22tan 1tan xx-，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6+=x x ，其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】取特值可判断1p 和2p ，由辅助角公式化简可判断3p . 【详解】当02x =时，显然1p 成立；当4x π=时，可知2p 不成立；由辅助角得0003sin 4cos 5sin(x )x x ϕ+=+，所以所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假. 故选：B例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（ ） A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x > C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C 【解析】 【分析】先解读选项ABC ，D 选项是12M M >成立的充分不必要条件，再判断得解. 【详解】解：A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件． 故选：C例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（ ） A ．存在0x R ∈，使得00x e ≤ B ．直线a b ⊥，a ⊂平面α，平面b αβ=，则平面αβ⊥C ．224sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈最小值为4 D ．1a >，1b >是1ab >成立的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数x y e =的性质，可判定A 为假命题；利用正四面体，举例判定，可得判定B 为假命题；利用基本不等式和正弦函数的性质，可判定C 为假命题，结合不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定D 为真命题.【详解】对于A 中，由指数函数x y e =的性质，可得0x e >恒成立， 所以不存在0x R ∈，使得00x e ≤，所以A 为假命题； 对于B 中，如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，设平面11A BCD 为平面α，平面ABCD 为平面β，直线1A B 为直线a ，直线BC 为直线b ， 此时满足a b ⊥，且a ⊂平面α，平面b αβ=，但平面α与平面β不垂直，所以C 为假命题.对于C 中，由224sin 4sin y x x =+≥=， 当且仅当224sin sin =x x时，即2sin 2x =时，等号成立， 显然2sin 2x =不成立，所以C 为假命题对于D 中，由1,1a b >>，可得1ab >，即充分性成立；反之：例如：1,42a b ==，此时满足1ab >，但1,1a b >>不成立，即必要性不成立，所以1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件，所以D 为真命题. 故选：D（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（ ） A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A ，根据指数函数值域即可得到A 正确；对选项B ，当1x =时，不满足题意，故B 错误；对选项C ，根据存在1x =，使得lg 1x <，故C 正确；对选项D ，根据正切函数的值域为R ，即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，令1t x =-，2t y =，因为x ∈R ，所以20t y =>，故A 正确； 对选项B ，当1x =时，()210x -=，故B 错误；对选项C ，当1x =时，lg101=<，故存在x ∈R ，lg 1x <，C 正确； 对选项D ，因为tan y x =的值域为R ，所以存在x ∈R ，使得tan 2x =. 故选：ACD例23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号） （1）[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max min f x g x >； （2）[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦； （3）[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，只需()()min max f x g x >； （4）[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，只需()()min min f x g x >． 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】根据不等式恒成立问题和有解问题逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于（1），[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max max f x g x >，故（1）错误； 对于（2），[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，即()()0f x g x ->恒成立， 应需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦，故（2）正确；对于（3），[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立， 即需()()min max f x g x >，故（3）正确；对于（4），[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，， 应需()()max min f x g x >，故（4）错误． 综上，正确的命题是（2）（3）． 故答案为：（2）（3）． 【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可. 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定例24．（2022·四川成都·三模（理））命题“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是（ ）． A ．0x ∃∈R ，0e 20x +≤B ．x ∀∈R ，e 20x +≤C ．0x ∃∈R ，0e 20x +>D ．0x ∀∈R ，0e 20x +<【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定可知：“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是“0x ∃∈R ，0e 20x +≤”. 故选：A.例25．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p ：*N n ∀∈，22n n +≥，则p ⌝为（ ） A ．*N n ∀∉，22n n +<B ．*N n ∀∈，22n n +<C ．*0N n ∃∉，202n n +< D ．*0N n ∃∈，202n n +< 【答案】D 【解析】p ⌝：*0N n ∃∈，2002n n +<.故选：D例26．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +≥p ⌝为（ ） A．x ∀∈R ，sin cos x x +<B ．x ∃∉R ，sin cos x x +<C．x ∀∉R ，sin cos x x +<D ．x ∃∈R ，sin cos x x +<【答案】D 【解析】命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +x ∃∈R ，sin cos x x +< 故选：D ．例27．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-”的否定是（ ） A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x <- B ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x ≥- C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <- D ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≥- 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定知原命题的否定为：()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-. 故选：C.例28．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可 【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定； 故只有D 满足题意； 故选：D例29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p ：存在一个无理数，它的平方是有理数，则p ⌝为（ ） A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C ．任意一个无理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在命题的否定的性质进行判断即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以p ⌝为：任意一个无理数，它的平方不是有理数， 故选：A例30．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤，则¬p 为___________. 【答案】00x ∃≥，22002e 3x x -+>【解析】命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤. 则¬p 为：00x ∃≥，22002e 3x x -+> 故答案为：00x ∃≥，22002e 3x x -+>【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定. 1. 全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否. 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围例31．（2022·山东青岛·一模）若命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．1a ≤【解析】 【分析】结合二次函数的性质来求得a 的取值范围. 【详解】依题意命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题， 当0a =时，10≥成立， 当0a >时，210ax +≥成立，当0a <时，函数21y ax =+开口向下，210ax +≥不恒成立. 综上所述，0a ≥. 故选：B例32．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数m 的取值范围. 【详解】∵命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤” 是假命题， 则其否定“任意R x ∈， 220x x m ++>” 为真命题, ∴2240m ∆=-< ， 所以1m . 故选： C.例33．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“[]1,4x ∀∈时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．16m ≥ B ．m 1≥ C ．16m < D ．1m < 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围因为“[]1,4x ∀∈，2x m >”是假命题， 则其否定“[]1,4x ∃∈，2x m ≤”为真命题 则()2minxm ≤而当1x =时，2x 取得最小值1 所以m 1≥ 故选：B例34．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ） A ．[]1,4- B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解. 【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题， 即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C例35．（2022·全国·高三专题练习）若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果.若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题， 则实数m 小于等于函数tan y x =在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值，因为函数tan y x =在[,]34ππ-上为增函数，所以函数tan y x =在[,]34ππ-上的最小值为所以m ≤m 的最大值为故答案为：例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>且21(1)e h =，其中2x 1()e h x >的解集为A .函数21()1x x f x x -+=-，()()1xg x a a =>，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()1,3 【解析】 【分析】构造函数2()()x H x h x e =⋅，利用导数结合已知条件可得()H x 的单调性，由(1)1H =，不等式2x1()e h x >等价于()(1)H x H >，由()H x 的单调性即可求得解集A ，再分别求得()f x ，()g x 的值域，由已知可得函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，从而可求得实数a 的取值范围. 【详解】解：构造函数2()()x H x h x e =⋅，所以''222'()()2()()2()x x x H x h x e h x e e h x h x ⎡⎤=⋅+⋅=+⎣⎦，因为定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>，所以'()0H x >，所以()H x 在R 上单调递增，且2(1)(1)1H h e ==， 所以不等式2x 1()eh x >可化为2()1x h x e ⋅>，即()(1)H x H >， 所以1x >， 所以2x1()e h x >的解集()1,A =+∞，函数221(1)111()1113111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++≥=---，当且仅当111x x -=-，0x =或2x =时等号成立，在A 上仅当2x =时等号成立，所以()f x 在A 上的值域为[)3,+∞，()()1x g x a a =>为增函数，所以()g x 在A 上的值域为(),a +∞， 若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =， 则[)()3,,a +∞⊆+∞， 所以3a <，又因为1a > 即实数a 的取值范围是()1,3. 故答案为：()1,3.例37．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若命题“0,,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦0tan x m >”是假命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】)+∞ 【解析】 【分析】转化为命题的否定是真命题后求解 【详解】由题意得“0,,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦0tan x m ≤”为真命题，故0πtan tan3max m x ≥==（）故答案为：)+∞例38．（2022·全国·高三专题练习）若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出a 的取值范围，进而可求得a 的最小值 【详解】“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”的否定为“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”， 因为“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题， 所以“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”为真命题， 所以2a x +≥在[1,1]x ∈-上恒成立， 所以3a ≥，所以实数a 的最小值为3，故答案为：3例39．（2022·全国·高三专题练习）在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由命题p 为真命题可得1a ≤，选择①，可得方程2220x ax a ++-=有解，借助判别式求解即得；选择②，由给定条件列出不等式求解即得. 【详解】选条件①，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立， 因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，由命题q 为真命题，即方程2220x ax a ++-=有解，则()()22420a a ∆=--≥，解得1a ≥或2a ≤-， 又p ，q 都是真命题，从而有2a ≤-或1a =， 所以实数a 的取值范围是(]{},21-∞-.选条件②，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立， 因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，因命题q 为真命题，由区间(),3B a a =得0a >，又A B =∅，即4a ≥或032a <≤，解得4a ≥或203a <≤， 又p ，q 都是真命题，从而有203a <≤， 所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎝⎦.例40．（2022·全国·高三专题练习）若f （x ）＝x 2－2x ，g （x ）＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，求实数a 的取值范围． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】分别求两个函数的值域，利用子集关系，求参数a 的取值范围. 【详解】由于函数g （x ）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g （x ）的值域是函数f （x ）值域的子集．()()[]22211,1,2f x x x x x =-=--∈-，()[]1,3f x ∈-，函数f （x ）的值域是[－1，3]，因为a >0，所以函数g （x ）的值域是[2－a ，2＋2a ]， 则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即12a ≤．故a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断.【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件. 故选：C.2．（2022·北京房山·二模）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“//l α”是“l β⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】解：当直线l α⊄，且αβ⊥，//l α，则l β⊂，或l β//，l 与β相交，故充分性不成立， 当直线l α⊄，且αβ⊥，l β⊥时，//l α，故必要性成立， 所以，“//l α”是“l β⊥”的必要而不充分条件. 故选：B3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若1z ，2z 为复数，则“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】分别判断命题的充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性：令14i z =，22i z =，满足12z z -是纯虚数， 不满足1z ，2z 互为共轭复数，不满足充分性. 必要性：若121z z ==，满足1z ，2z 互为共轭复数， 则120z z -=，不满足12z z -是纯虚数，不满足必要性.所以“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的既不充分也不必要条件. 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．1a ≥ B ．3a ≥C ．2a ≥D ．4a ≤【答案】A 【解析】 【分析】求出当命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题时，实数a 的取值范围，结合题意可得出合适的选项. 【详解】命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题，则2max22x a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此，命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是1a ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（ ）1p ：00x ∃>，使得00ln 1x x >-；2p ：R x ∀∈，都有210x x -+>； 3p ：00x ∃>，使得001ln1x x >-+； 4p ：()0,x ∀∈+∞，使得121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．2p ，4pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，3p【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln 1f x x x =-+，求导判断单调性求最大值可判断1p ；对二次函数配方求21x x -+的最小值可判断2p ；举例子如0e x =可判断3p ；举反例如12x =可判断4p ，进而可得正确答案. 【详解】对于1p ，设()ln 1f x x x =-+，则()111x f x x x-'=-=， 由()0f x '>可得01x <<；由()0f x '<可得1x >，所以()ln 1f x x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110f x f ==-+=，所以()ln 10f x x x =-+≤恒成立， 所以0x ∀>，ln 1≤-x x ，故1p 错误；对于2p ，R x ∀∈，都有22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故2p 正确；对于3p ：当0e x =时，011ln ln 1ex ==-， 011e x -+=-，此时满足001ln 1x x >-+，故3p 正确；对于4p ，当12x =时，1212⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 12=，不满足121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，故4p 错误；故正确是2p ，3p ，故选：C ．6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“2x ∀≥，24x ≥”的否定为（ ）A ．02x ∃≥，204x < B ．2x ∀≥，24x <C ．02x ∃<，204x <D ．2x ∀<，24x <【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题否定为“02x ∃≥，204x <”.故选：A7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，。
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