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第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3：设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p Ú q ，符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表：
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p：小李是学数学 q：小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）3不是偶数。
复合命题
（7）林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。
p q
（2）吴颖不仅用功而且聪明。
p q
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。
p q
（4）张辉与王丽都是三好学生。
r s
（5）张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意：若“和”、“与”连接的是主语成分，则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充：翻译语句
因为语言（包括一切人类语言）常有二义性，把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
离散数学 数理逻辑__命题逻辑_(1)
EX9：“如果张三能考90分，
那么李四也能考90分。”
P ：“张三能考90分”。
Q ：“李四能考90分”。
P
Q
T
T
•P→Q： “如果张三能考90分，
T
F
那么李四也能考90分。”
F
T
F
F
P→Q T F T T
17
EX10：如果你今年离散数学考100分，那么就奖励你100元。 P：你今年离散数学考100分。 Q：奖励你100元。
8
1、否定联结词
EX3：求“我们班上所有的同学都大于18岁”的否定。 P：我们班上所有的同学都大于18岁。 ① P：我们班上所有的同学不都大于18岁。 ② P：我们班上所有的同学都不大于18岁。
9
2、合取联结词
设P、Q为两个命题，复合命题“P而且Q”称为P、Q的合取式， 记为P∧Q，“∧”称为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P 与 Q 为同时为真。一般地“既P又Q”，“不仅P而且Q”， “虽 然P但是Q”都可以符号化的含义去理解。
11
EX5：求“今天下雪且今天下雨”的否定。 P：今天下雪。 Q：今天下雨。
P Q (P∧Q)
TT
F
TF
T
FT
T
FF
T
12
思考：将“小王和小李是夫妻俩，他们都很贪婪。” 符号化。 令p:小王和小李是夫妻俩; q:小王很贪婪; r:小李很贪婪; 则可符号化为： p∧q∧r 。
5
4、联结词和复合命题
➢ 联结词： 通常“并非”, “并且”, “或”,“如果…那 么…”,“只要…就…”, “当且仅当”等词称为联结词。
在命题逻辑中主要研究由简单命题用联结词连接而成的 命题称为复合命题；相对地，不能分解为更简单命题的 命题称为简单命题。（命题的分类） 注：简单命题和复合命题的划分具有相对性。 复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假所决定。
命题逻辑(联言、选言、负命题)
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命 题并非一一对应： 首先，有的语句不能直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： ‚所有的鸟。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来 表达。
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。
想想看
• 两个女学生走进一餐厅，翻开桌上的菜单，突 然眼前一亮，‚看，熊掌！每盘20元，来两盘 怎么样？‛‚人们都说熊掌名贵，价钱也不贵， ok!‛一会儿，她们吃完了，叫来招待员结帐， 招待员开出帐单：‚一共4025元‛‚什么？你 没搞错吧？‛学生几乎吓晕了。‚熊掌每盘 2000元，你看菜单。‛学生仔细一看，果然是 2000元，中间没有小数点。这下她们急得要哭 了。这时老板出来了，看了几眼付不起钱的学 生，‚没钱，就将证件留下。‛她们乖乖的将 证件交出。学生会出面交涉，老板斩钉截铁说： ‚一分也不能少，如果三天之内不把钱付清， 便立即向法院起诉。……学生只好自认倒霉， 一律师知道了，帮他们追回了所被敲诈的钱。 如何讨？
• 规则： 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件 • 推理蕴涵式为： • （p↔q）∧p →q • （p↔q）∧q →p • （p↔q）∧ p → q • （p↔q）∧ q →p • 某甲犯了罪当且仅当某甲应受刑罚处罚； • 某甲是案犯当且仅当某乙是案犯；
• 负判断由支命题和联结词‚并非‛构成。负 命题的逻辑联结词‚并非‛可以用否定词 ‚‛来表示。 • 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 ‚没有‛、‚不‛、‚这是假的‛、‚这是 错误的‛等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。 • 负命题的形式：并非p，也可表示为： p • 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。
想想看
• 两个女学生走进一餐厅，翻开桌上的菜单，突 然眼前一亮，‚看，熊掌！每盘20元，来两盘 怎么样？‛‚人们都说熊掌名贵，价钱也不贵， ok!‛一会儿，她们吃完了，叫来招待员结帐， 招待员开出帐单：‚一共4025元‛‚什么？你 没搞错吧？‛学生几乎吓晕了。‚熊掌每盘 2000元，你看菜单。‛学生仔细一看，果然是 2000元，中间没有小数点。这下她们急得要哭 了。这时老板出来了，看了几眼付不起钱的学 生，‚没钱，就将证件留下。‛她们乖乖的将 证件交出。学生会出面交涉，老板斩钉截铁说： ‚一分也不能少，如果三天之内不把钱付清， 便立即向法院起诉。……学生只好自认倒霉， 一律师知道了，帮他们追回了所被敲诈的钱。 如何讨？
• 规则： 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件 • 推理蕴涵式为： • （p↔q）∧p →q • （p↔q）∧q →p • （p↔q）∧ p → q • （p↔q）∧ q →p • 某甲犯了罪当且仅当某甲应受刑罚处罚； • 某甲是案犯当且仅当某乙是案犯；
• 负判断由支命题和联结词‚并非‛构成。负 命题的逻辑联结词‚并非‛可以用否定词 ‚‛来表示。 • 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 ‚没有‛、‚不‛、‚这是假的‛、‚这是 错误的‛等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。 • 负命题的形式：并非p，也可表示为： p • 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
第 1 章 命题逻辑
第 1 章命题逻辑数理逻辑是用数学方法研究思维规律和推理过程的科学，而推理的基本要素是命题，因此命题逻辑是数理逻辑最基本的研究内容之一，也是谓词逻辑的基础。
由于数理逻辑使用了一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此，一般又称之为符号逻辑。
数理逻辑和电子计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计、逻辑电路、开关理论等计算机应用和理论研究提供了必要的理论基础。
一、命题与命题变量在日常生活中，人们不仅使用语句描述一些客观事物和现象，陈述某些历史和现实事件，而且往往还要对陈述的事实加以判断，从而辨其真假。
语句可以分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，其中只有陈述句能分辨真假，其他类型的语句无所谓真假。
在数理逻辑中，我们把每个能分辨真假的陈述句称作为一个命题。
陈述句的这种真或假性质称之为真值或值，这就是说真值包含“真”和“假”。
因而命题有两个基本特征，一是它必须为陈述句：二是它所陈述的事情要么成立(真)，要么不成立(假)，不可能同时既成立又不成立，即它的真值是惟一的。
命题可按其真值分为两类。
若一个命题是真的，则称其真值为真，用1或T表示，称该命题为真命题；若一个命题是假的，则称其真值为假，用0或F表示，称该命题为假命题。
命题还可根据其复杂程度分类。
只是由一个主语和一个谓语构成的最简单的陈述句，称为简单命题或原子命题或原始命题。
简单命题不可能再分解成更简单的命题了，它是基本的，原始的。
当然，也有一些命题并不是最基本的，它们还可以分解成若干个简单命题。
由若干个简单命题通过联结词复合而成的更为复杂的新命题称为复合命题或分子命题。
复合命题仍为陈述句。
任意有限个简单或复合命题，还可用若干不同的联结词复合成极为复杂的复合命题。
简单命题和复合命题的真值是固定不变的，故又可称为命题常量或命题常元，简称为命题。
而有些陈述句尽管不是命题，但可以将其变成命题，它的真值是不固定的、可变的，这种真值可变化的陈述句称为命题变量或命题变元。
1命题逻辑
6
命题表示法：可用 • 字母a，b，c，…，p，q，r… • 或带下标的字母，如p1，q4…表示命题。 例：p：今天下雨。 q：今天是晴天。 r ：雪是黑的。
命题标识符：表示命题的符号。 如上例中的p，q和r就是标识符。
7
命题分类 1. 简单命题：不能分解为更简单命题的命题， 又称为原子命题。 2. 复合命题：由原子命题、联结词和标点符 号复合构成的命题。 例：(1) 黄色和蓝色都是常用的颜色。 (2) 李冰选学英语或法语。 (3) 如果4是偶数，则5也是偶数。 (4) 小王虽然没上过大学，但他自学成才。 符号逻辑下，联结词也要符号化。
例:公式 p pq (p q) ∧r ((pq)( q p)) 的层次分别为 0、1、3、4
33
1.4
真值表与等值公式
赋值/指派：设p1，p2，…，pn是出现在公 式A中的全部命题变元，给p1，p2，…，pn 各指定一个真值，称为对公式A的一个赋值。 若指定的一组值使A的真值为1，则称这组 值为A的成真赋值/指派，若使A的真值为0， 则称这组值为A的成假赋值/指派。 真值表：在命题公式中，对于分量指派真 值的各种可能组合，就确定了这个命题公 式的各种真值情况，把它汇列成表，就是 命题公式的真值表。
18
如：R：张三或者李四考了90分。 S：第一节课上数学或者上英语。
对于R，张三和李四可能都考了90分。张三和 李四中只要有一个考了90分，则命题R为真， 若张三和李四都考了90分，R当然也为真。
而对于S，第一节课不能既上数学又上英语， 因此，若p表示“第一节课上数学”，q表示“ 第一节课上英语”，当两个命题都真，S就不 真了。在将命题进行形式化的时候，我们不能 简单的符号化为p∨q，而应采用其他形式。如 可以写为(p∧┐q)∨(┐p∧q)。
1 命题逻辑
严格来说: 命题变项不是命题。因它可以表示任一 命题，故无确定的真值。
15
Logic 命题逻辑
例：我学英语。 我学日语。 我学英语，或者我学日语。 例：如果今天是星期一，则要进行英语或离散数 学考试。如果英语老师有会，则不考英语。今天 是星期一，英语老师有会，所以进行离散数学考
试。
16
Logic 命题逻辑
判断一个句子是否为命题: (1)看它是否为陈述句 (2)看它的真值是否惟一
命题语句真值确定的几点说明：
1、时间性 2、区域性 3、标准性
14
命题符号化: 化。该符号称为命题表示符 P: 2是素数。
Logic 命题逻辑
将表示命题的符号放在该命题前面,称为命题符号
一个符号若表示确定的命题，称为命题常项或命题常 元。 引入特定的符号来表示任一简单命题，起着类似数 学中变元的作用，称为命题变项或命题变元。
30
Logic 命题逻辑
例：将下列命题符号化: （1）只要不下雨，他就骑自行车上班。 （2）只有不下雨，他才骑自行车上班。
解： P：天下雨， Q：他骑自行车上班 （1） ┐ P→Q （2）Q→ ┐ P
（1）没下雨就骑车去上班 （2）骑车去上班肯定没下雨 课本P31
31
Logic 命题逻辑
5．等价联结词 设 P，Q为两个命题，复合命题“P当且仅当 Q”，
Logic 命题逻辑
（2）如果A是合式公式，那么┐ A是合式公式 （3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B）， （A→B）和（A↔B）都是合式公式； （4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得 到的包含 命题常元 、 变元 ， 联结词和 括号的符 号串是合 式公式，也称为命题公式或简称为公式。 这个定义是以递归形式给出的， （1）称为基础，（2）（3）称为归纳，（4）称为界限
01命题逻辑
先看一个例子：
例2：判断下列命题是否为复合命题，说出其联结词。
(1) 3不是偶数。
(非)
(2) 曹操是我国古代杰出的政治家、军事家和文学家。
(3) 林芳学过英语或日语。
(或)
(且)
(4) 如果角A和角B是对顶角，则角A等于角B。
(如果…,则…)
(5) 我去上街当且仅当我有时间。 (当且仅当)
2019/5/19
离散数学
9
三、联结词（续）
常见的基本联结词： 1、否定联结词“ ”，读作“非”。 复合命题“非p ”称作p 的否定式，记作“ p ”。 p 为真当且仅当p 为假。
在例2(1)中，设p 表示“3是偶数”，则 p 表示“3 不是偶数”。显然，p 真值为0， p 真值为1 。
2019/5/19
1、简单命题(或原子命题)： 命题为简单的陈述句，不能分解成更简单 的句子。一般用英文字母p, q, r, …表示。
2、命题常项(或命题常元)： 由于简单命题的真值确定，故又称之为命题常项 或命题常元。 如例1中的陈述句(1) (2) (3) (4) (5)。
2019/5/19
离散数学
7
二、与命题相关的几个概念（续）
(5) 明年元月一日是晴天。 (是)
(6) 5x + 1 > 11。
(否)
(7) 这朵花多好看呀！
(否)
(8) 明天下午开会吗？
(否)
(9) 请关上门！
(否)
2019/5/19
离散数学
5
解题思想：判断一个句子是否为命题，一看它是 否为陈述句， 二看它的真值是否唯一。
2019/5/19
离散数学
6
二、与命题相关的几个概念
第01章命题逻辑
判断给定句子是否为命题, 应该分两步：
首先判定它是否为陈述句, 其次判断它的真值是 否唯一。
例1.1 判断下例句子是否为命题。
(1) 2 是素数。
(2) 雪是黑色的。
(3) 1+101=110
(4) 十是整数。
(5) 向右看齐！
(6) 今天是十五号。
(7) 这朵花多美啊！ (8) 我们这里四季如春。
命题符号化是很重要的, 一定要掌握好。 在命题推理中常常最先遇到的就是符号化 这个问题, 解决不好, 等于说推理的首要前提 没有了。
在本节结束时, 应强调指出的是: 复合命题的真值只
取决于各原子命题的真值, 而与它们的内容、含义无关, 与原子命题之间是否有关系无关。
理解和掌握这一点是至关重要的, 请认真领会。
2. 在自然语言中, “如果P, 则Q”中的前件P与后件Q往往具有某 种内在联系。而在数理逻辑中, P与Q可以无任何内在联系。
3. 在数学或其它自然科学中, “如果P, 则Q”往往表达的是前件 P为真, 后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中, 作为 一种规定, 当P为假时, 无论Q是真是假, PQ均为真。即: “只有P为真Q为假”使得复合命题PQ为假。
或 0 表示“假”。
(3) 命题中的联结词也符号化: ¬、∧、∨、、。
四、命题常量与命题变元
简单命题可用命题标识符表示。表示命题的符号有双 重作用:
(1) 如果命题标识符表示确定的命题(真值确定)——命题 常元;
(2) 如果命题标识符只表示任意命题的位置标志, 即可表
示任意命题(真值不确定)——命题变元。
由它构成的命题称为简单命题。简单命题是命题逻
辑的基本单位。
三、命题符号化
命题逻辑1
3. 命题公式
命题公式是由0、1、命题常元、命题变元以及命题 联结词、括号等组成的符号串。 定义 （命题公式的递归定义）
（1） 0，1，命题常元是命题公式； （2） 命题变元是命题公式； （3） 如果A是命题公式，则¬ A是命题公式； （4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B）， （A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式； 有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式， 又称为合式公式，简称公式。
命题逻辑
命题符号化 命题公式的赋值 公式的等值
命题逻辑推理理论
公式的标准形式
1.1 命题符号化
命题相关概念 联结词 命题符号化
1.1 命题符号化
一、 命题(statement)的概念
命题：是能判断真假的陈述句。 命题的真值：作为命题的陈述句所表达的判断结果。 真值只取两个值：真(1)或假(0) 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 判断给定句子是否为命题分两步： 1、判定它是否为陈述句 2、判断它是否有唯一的真值
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的 上述特点，需要做到以下几点： 1、注重课堂效率，熟读教材。准确理解各个概念和定理 的含义（结合多个例子来理解），必要的推理过程要看懂、 理解（它可以帮助你熟悉和深刻理解定理的含义）。 2、独立思考，做好习题。仅靠熟读教材并不能将书上的 知识变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通 过大量练习，独立思考来真正获取知识。 3、注重抽象思维能力的训练。数学与其他学科相比较具 有较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它 有着大量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须 具有较好的抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
离散数学第一章命题逻辑
chapter1
6
1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R, ∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
3/22/2019
chapter1
7
1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题 , 这
种新命题叫复合命题（Compositional Proposition ）。例
(2)刘昕这次考试可能是全班第一也可能是全班第二。
这两例表示的均是排斥或，即两种情况不能同时出现， 这时便不能仅用析取词∨表示。
3/22/2019 chapter1 13
1.2 联结词
4、条件 → P→Q, 读做 “如果P, 那么Q”或“P则Q” 。 运算对象P叫做前提 , 假设或前件, 而Q叫做结论或后件。
(b) 小王边走边唱。
解：设p：小王走路，q：小王唱歌。 则原命题符号化为： p∧q (c) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 解：设p：a能被2整除，q：a能被4整除。
则原命题符号化为： ┐ p → ┐q
3/22/2019 chapter1
或
q→p
21
1.3 命题公式
(d) 此时，小刚要么在学习，要么在玩游戏。 解：设p：小刚在学习，q：小刚在玩游戏。
（否，感叹句） （否, 悖论） (h) 我正在说谎。 (i) 如果天气好，那么我去散步。 （是,复合命题） (g) 天气多好啊！ (j) x>3
3/22/2019
（否，不能确定真值）
chapter1 3
1.1 命题及其表示法
2、命题的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
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15
负命题
• 负命题由否定联结词(如“并非”)联结 支命题而形成的复合命题。例如：
并非花儿都是红色的。
如果它是三角形，则内角和等于180°，
这个观点不对。
2020/5/20
16
• 负判断由支命题和联结词“并非”构成。负 命题的逻辑联结词“并非”可以用否定词 “”来表示。
• 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 “没有”、“不”、“这是假的”、“这是 错误的”等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。
命题
• 命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。 例如
如果我有一双翅膀，我就从天上飞下来看你。 一切事物都是发展变化的。 四边形具有稳固性
• 命题的主要特征：命题有真假 • 符合实际的命题是真命题，不符合实际的命
题是假命题。
2020/5/20
1
命题与语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命 题并非一一对应： 首先，有的语句不能直接表达命题。
• （3）∧的重言（幂等）律： p∧pp
合取规则
• 合取引入规则（∧+）：从A和B可推出A∧B。图 示如下：
•A
•B
• ——
• A∧B
• 合取消去规则（∧-）：从A∧B可推出A，从A∧B可推出B。
• 图示如下：
•
A∧B A∧B
•
—— ——
•
A
B
2020/5/20
8
选言命题 选言命题用选言联结词联结支命题而形成 的复合命题。
• 负命题的形式：并非p，也可表示为： p
• 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
简单命题的负命题:
A E I O
复合命题的负命题及等值式:
并非（p并且q） 并非（p或者q） 并非（要么p，要么q） 并非（如果p，那么q） 并非（只有p，才q） 并非（p当且仅当q） 并非（并非p）
• 把命题中包含的模态词分析出来
•
——研究关于模态词的推理(模态逻辑)
2020/5/20
4
联言命题
• 联言命题是由联言联结词(如“并且”)联 结支命题而形成的复合命题，又称合取命 题。例如：
• （1）小芳美丽又大方（2）这样建立的逻 辑系统既有可靠性，又有完全性。
• 联言命题的形式：p并且q（p∧q）。
2020/5/20
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命题分析的层次
• 将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来 看待
——研究关于联结词的推理(命题逻辑)
• 深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、 量项和联项
•
——研究关于量项和联项的推理(传统词项
逻辑)
• 深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、 量词及联结词
•
——研究关于量词的推理(现代谓词逻辑)
回答下列各题：
• 由前提“p或q”进行选言推理： 加上前提（1）：“q”，能得什么结论？为什么？ 加上前提（2）：“﹁p”，能得什么结论？为什么？ • 下列甲和乙和推理都对吗？ 甲：“下午只要是晴天，我就到你家访你。” 乙：“下午只有下雨，我才外出。” 下午下雨，甲去访乙。乙说甲食言，雨天不应访他，
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合取词∧的真值表
p
q
p∧q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时 为真时，p∧q才为真；只要p、q其中一个为假，则 p∧q为假。2020/5/20 Nhomakorabea6
• 由∧的真值表,可得出∧运算的规 律:
• （1）∧的交换律：p∧qq∧p
• （2）∧的结合律： p∧(q∧r)(p∧q)∧r
• 选言命题分为“相容选言命题”和“不相容选言命题 ”两种。
• 相容选言命题的选言支可以同时为真，如：
• (1)小王或者是班干部，或者是学生会干部(二者可以得兼)。
• (2)这份统计材料，或者是原始材料有错误，或者是计算有错 误，或者两种情况都存在。
• 而不相容选言命题的选言支不能同时为真，如： • (1)鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。
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选言判断“p∨q”的逻辑性质可用真 值表表示如下
p
q
+
+
+
-
-
+
-
-
p∨q
+ + + -
相容选言命题及推理
• 相容选言命题的形式：p或者q(p∨q)
• 相容选言命题的逻辑特征：
• 相容选言命题为真，则它的选言支至 少有一个为真；反过来讲，当选言命 题至少有一个选言支为真，选言命题 一定为真。
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• 用真值表检验德·摩根律：
• pq p q p∧q
(p∧q)
TT F F
T
F
p∨q F
TF F T
F
T
T
FT T F
F
T
T
FF T T
F
T
T
• 从上真值表，可得：¬(p∧q) <=> ¬p∨¬q
• 应用德·摩根律的实例: • 并非这件衣服物美(而且)价廉这件衣服或者物不美，或者价不廉。 • 并欢非体小 育李。或者喜欢音乐，或者喜欢体育小李既不喜欢音乐，也不喜
q）
q
p q 逻辑性质：不相容选
言命题为真，当且仅
T
F
当两个选言支有且只
F
T
有一个为真。
T
T
F
F
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消去规则(记为 _ ):
从A B和A可推出B；从A B和B可推出A；
AB
AB
A
B
——
——
B
A
从A B和 A可推出B；从A B和 B可推出A；
AB
A
—— B
AB
B
—— A
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其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来 表达。
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。 • 一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、立
场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被断 定就与断定者的知识水平有很大关系。 • 充分假言命题被断定是前后件的关系，而不是 支命题。。
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• 析取引入规则(记为∨＋ )：
• 从A可推出A∨B；
从B可推出A∨B。
•
A
B
•
——
——
•
A∨B
A∨B
• 析取引入规则的应用实例：
• 小王是医生；所以，小王是医生，或者小王是教师。
• 其推理形式为：p├ p∨q
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形式：要么p,要么q（p
p
p T T F F
相应的等值式
非p或者非q 非p并且非q （P并且q）或者（非p并且非q） P并且非q 非p并且q （P并且非q）或者（非p并且q） p
写出与下列负命题具有等值关系的命题： 并非只有贪污才犯大错误。 并非只要认识字母，就能学好外语。 并非凡有成就者都天生聪明。 并非有些圆是方。 并非兼听不明或偏信不暗。 并非当且仅当某年风调雨顺，这一年才 获丰收。 并非此裹要么寄往郑州，要么寄往广州。 并非他聪明又能干。 并非孩子每天吃巧克力，才长得好。 并非凡人均去过西藏。