第七章平面直角坐标系课程详细标准一、新课程标准对本章的要求1、坐标与图形位置（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置.（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.（3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置（参见例66）.（4）会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形.（5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置（参见例67）.2．坐标与图形运动（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.（3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化.（4）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的.二、教学参考书对本章的要求伟大的法国数学家笛卡儿（Descarts，1596—1650）创立了直角坐标系，用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点.他进而创立了解析几何学，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来.他的这一天才创见，为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域.正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了.”平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁；提前安排平面直角坐标系是本套教科书体系安排上的一个特点.原教科书有关平面直角坐标系的内容只有2课时，放在初中三年级“函数”一章，作为学习函数的基础知识来安排.这套教科书将“平面直角坐标系”单独设章，7课时，放在7年级下学期学习，目的是让学生尽早接触平面直角坐标系这个数学工具，尽早感受数形结合的思想.（一）本章学习目标如下.1.通过实例认识有序数对，感受它在确定点的位置中的作用.2.认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标（横、纵坐标为整数）描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标（横纵坐标为整数）.3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用.4.在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换；通过研究平移与坐标的关系，使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数问题与几何问题的相互转换.5.结合实例，了解可以用不同的方式确定物体的位置.（二）本章知识结构框图（三）内容安排本章的主要内容包括平面直角坐标系的有关概念和点与坐标（横、纵坐标均为整数）的对应关系，以及用坐标表示地理位置和用坐标表示平移等内容.教科书首先从实际中需要确定物体的位置（如从确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置出发，引出有序数对的概念，指出利用有序数对可以确定物体的位置，由此联想到是否可以用有序数对表示平面内点的位置的问题，结合数轴上确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，学习平面直角坐标系的有关概念，如横轴、纵轴、原点、坐标、象限，建立点与坐标（横、纵坐标整数）的对应关系等.对于坐标方法的简单应用，本章主要学习平面直角坐标系在确定地理位置和表示平移变换中的应用.用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用.本章在安排这部分内容时，首先设置一个观察栏目，让学生观察地图上是怎样利用坐标表示一个地点的地理位置的，从中得到启发，来学习建立坐标系，确定一个地点的地理位置的方法.接下去教科书设置了一个探究栏目，要求学生画出一幅地图，标出学校和三位同学家的位置.要用平面直角坐标系表示地理位置，就要考虑如何建立坐标系的问题，首先是确定原点和坐标轴的正方向，教科书选用了以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y 轴正方向建立坐标系，并确定一定的比例尺，根据三位同学家的位置情况，在坐标系中标出这些地点的位置，并归纳给出绘制平面示意图的一般过程.用坐标表示平移，从数的角度刻画了第5章平移的内容，本章主要研究点（或图形）的平移（上、下、左、右平移）引起的点（或图形顶点）坐标的变化，以及点（或图形顶点）坐标的变化引起的点（或图形）的平移.教科书首先设置一个探究栏目，分析在平面直角坐标系中，将一个已知点向右（或向左）平移某个单位长度得到一个新点，这个点的坐标与平移前的点的坐标有什么关系，同样如果将这个点分别向上（或向下）平移某个单位长度得到新的点，这个点与平移前点的坐标又有什么关系；通过分析平移前后点的坐标的变化，发现坐标的变化规律，比如将一个点向右平移某个单位长度，平移后得到的点的坐标是纵坐标不变，横坐标加上这个单位长度.对于图形的平移引起的图形顶点坐标的变化，教科书是在练习中给出的，让学生自己完成.从这个练习的安排上可以看出，本套教科书对于练习有一种新的考虑，就是练习不全是对正文内容的复习和巩固，有些练习是正文的一部分，是正文内容的延伸和拓展.接下去教科书讨论了一个三角形顶点坐标的某种规律性变化引起的三角形的平移.比如，将三角形三个顶点的横坐标都减去某个正数，纵坐标不变，得到三个新的点，连接这三个点，得到一个新的三角形，这个新三角形与原来的三角形在大小、形状和位置上有什么关系等，通过探究发现这两个三角形大小形状完全相同，只是位置不同──实际上是对三角形进行平移，在此基础上教科书归纳给出了有关的规律.（四）课时安排本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：6.1 平面直角坐标系（3课时）6.2 坐标方法的简单应用（3课时）数学活动小结（1课时）（五）编写本章时考虑的问题（一）注意加强知识间的相互联系平面直角坐标系是以数轴为基础的，两者之间存在着密切的联系：平面直角坐标系是由两条相互垂直、原点重合的数轴构成的，坐标平面内点的坐标是根据数轴上点的坐标定义的，平面内点与坐标的对应关系类似于数轴上点与坐标的对应关系.本章编写时注意突出了平面直角坐标系与数轴的联系.对于平面直角坐标系的引入，教科书首先从学生熟悉的数轴出发，给出点在数轴上的坐标的定义，建立点与坐标的对应关系，在此基础上，教科书类比数轴，探讨了在平面内确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，给出平面直角坐标系的有关概念.这样通过加强平面直角坐标系与数轴的联系，可以帮助学生更好地理解点与坐标的对应关系，顺利地实现由一维到二维的过渡.（二）突出数形结合的思想，体现平面直角坐标系的作用无论是在数学还是在其他领域，平面直角坐标系都有着非常广泛的应用.由于平面直角坐标系的引入，架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用几何的方法研究代数问题，又可以用代数的方法研究几何问题.对于平面直角坐标系的这种桥梁作用，本套教科书给予了充分重视：本章中，编写了利用坐标的方法研究平移的内容，从数的角度刻画平移变换，这就是用代数的方法研究几何问题，体现了平面直角坐标系在数学中的作用.通过对本章的学习，让学生看到平面直角坐标系的引入，加强了数与形之间的联系，它是解决数学问题的一个强有力的工具.用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用.用经纬度表示地球上一个地点的地理位置，用极坐标表示区域内地点的位置，用平面直角坐标表示区域内地点的位置，等等，实际上都是利用了有序数对与点的对应关系，是坐标与点一一对应思想的表现.教科书突出了这种对应关系，利用这种对应关系研究了如何建立坐标系用坐标表示地理位置的问题，使学生体会到坐标思想在解决实际问题中的作用.（三）注重学生的认知规律本章编写时，改变了原教科书从数学的角度引出坐标系的做法，而是将本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置展开，从实际生活中确定物体的位置出发引出坐标系，也就是从实际需要引出坐标系这个数学问题，然后展开对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，最后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题，让学生经历由实际问题抽象出数学问题，再通过对数学问题的研究解决实际问题的过程，也就是经历“实践──理论──实践”的认识过程.（四）内容编写生动活泼本章编写时，注意结合本章内容的特点，将枯燥的数学问题赋予了有趣的实际背景，使内容更符合学生的年龄特点，激发学生学习数学的兴趣.例如，教科书习题6.2的第1题“三架飞机P、Q、R 保持编队飞行，分别写出它们的坐标.30秒后，飞机P 飞到P′位置，飞机Q、R 飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标”，这个问题实际上是一个三角形平移的问题.再比如，让学生画出本学校的平面示意图，用坐标表示动画制作过程中小鸭子的位置变化，用坐标表示某地古树名木的位置等.从数学上讲这些都是关于点与坐标对应关系的问题，本章编写时注意给这些数学问题加上一个有趣的背景，增加了学生学习本章内容的兴趣.（六）对本章教学的建议（一）密切联系实际本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置这一问题.教科书首先从建国50周年庆典中的背景图案、确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置等实际出发，引出有序数对，进而引入平面直角坐标系.通过对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，然后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题（如确定同学家的位置等），让学生经历由实际问题抽象出数学问题，再通过对数学问题的研究解决实际问题的过程.这样的一种处理，不是从数学角度引入平面直角坐标系，而是密切联系生活实际，从实际的需要出发学习直角坐标系.教学中可以结合学生的实际情况，利用学生周围熟悉的素材学习本章内容，让学生充分感受平面直角坐标系在解决实际问题中的作用.（二）准确把握教学要求对于某些重要的概念和方法，本套教科书采用了螺旋上升的编排方式.例如，对于平移变换，教科书首先在上一章“相交线与平行线”中安排了一节“平移”，探讨得出“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本性质；在本章又安排了一小节“用坐标表示平移”的内容，用坐标刻画了平移变换，从数的角度进一步认识平移变换.对平移变换以后还要继续学习，例如在本册书第10章“实数”进一步安排了在实数范围内研究平移的内容，在八年级下册“四边形”一章中，将对“对应点的连线平行且相等”这条平移变换的基本性质进行论证，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础.对于平面直角坐标系，本章只要求学生会在方格纸中建立直角坐标系，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标，其中点的坐标都是整数，这实际研究了点与有序整数对的对应关系.在第10章“实数”中将把点的坐标扩展到实数范围，并建立点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等问题打下基础.因此，教学中要注意内容安排的这个特点，准确把握本章对于平移变换和平面直角坐标系的教学要求，以一个动态的、发展的观点看待教学要求.（三）注意留给学生思考的空间本章编写时，注意结合本章内容特点，利用一些“探究”“思考”“归纳”等栏目，给学生留出了较大的思考空间.例如，在6.2.2小节中，教科书首先设置一个“探究”栏目，让学生探究将几个已知坐标的点上、下、左、右平移后得到新的点，各对应点之间的坐标有怎样的变化规律，接下去就设置一个“归纳”栏目，栏目中留有空白，让学生写出平移过程中对应点的坐标的变化规律.这实际上让学生经历了一个由特殊到一般的归纳过程.对于这个规律的获得，教科书仅用了两个栏目，篇幅很少，而给学生留出了较大的探索空间.因此，教学中，要注意留给学生足够的时间，使学生充分活动起来，通过探究发现并总结规律.对于这些规律，不要让学生死记硬背，而要让学生在坐标系中，结合图形的变换理解这些结论.三、具体知识点及详细标准【知识点1】有序数对（一）定义我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）.（二）学习目标1、理解有序数对的意义.2、能用有序数对表示实际生活中物体的位置3、经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述世界的重要手段，体验数形结合思想（三）重点难点教学重点：利用有序数对准确地表示出一个点的位置教学难点：有序数对中有序的理解（四）基本题型【题型1】根据所给信息确定位置（★）如右下图，红马的位置是（2，1），你能表示出红帅、红车、红炮的位置吗？【题型2】有序数对的应用（★）1、如果将一张“12排10号”的电影票记为（12，10），那么（10，12）的电影票表示的位置是，“6排25号”简单记为2、下列数据不能确定物体位置的是（）（★）A、希望路25号B、北偏东30°C、东经118°北纬40°D、西南方向50米处【知识点2】平面直角坐标系（一）定义：用平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系. 水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标的交点为平面直角坐标系的原点.（注意：在一般情况下，两条坐标轴所取的单位长度是一致的.）（二）学习目标1、掌握平面直角坐标系的有关概念；了解点的坐标的意义2、根据点的位置写出点的坐标，能建立平面直角坐标系，并根据坐标找点；3、通过建立平面直角坐标系的过程，进一步渗透数形结合的思想（三）重点难点教学重点：平面直角坐标系和点的坐标教学难点：在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标，由坐标描出点（四）基本题型【题型1】平面直角坐标系概念（★）下列语句不正确的是（）A平面直角坐标系中，两条互相垂直的数轴的垂足是原点B平面直角坐标系所在的平面叫做坐标平面C坐标平面上的点与有序数对一一对应D凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系【题型2】根据点的位置写出坐标（★）请你在图中标出点A、B、C、D、E 、F在直角坐标系中的坐标.【题型3】根据点的坐标作图（★）在平面直角坐标系中描出下列各点，并用线段顺次连接起来（-9,0）（-9,3）（-10,3）（-6,5）（-2,3）（-3,3）（-3,0）（-9,0）【知识点3】平面直角坐标系中的特殊点的特点与规律（一）（二）学习目标1、掌握各象限内点的坐标符号的特点.2、了解关于坐标轴对称的点的坐标特点，及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点3、经历探索点的位置与坐标之间的关系的过程，发展学生有条理、清晰的阐述自己的观点的能力（三）重点难点教学重点：平面直角坐标系中的特殊点的特点与规律教学难点：探索特殊点与坐标之间的关系（四）基本题型【题型1】由点的坐标确定点的位置1、点M(-2,3)在第象限,则点N(-2,-3)在____象限.，点P(2, -3) 在____象限，点Q(2, 3) 在____象限.（★）2、如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( )（★★）A、第一象限B、第二象限C、第三象限,D、第四象限.3、如果xy＜0，那么点P（x，y）在（）（★★）(A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限4、点P位于y轴左方，距离y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距离x轴4个单位长度，则点P的坐标是（★★）【题型2】由点的位置确定点的坐标如图所示，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（1，-2），“象”位于点（3,-2），则“炮”位于点 . （★）炮将象【题型3】根据点到坐标轴的距离求点的坐标P(x,y)到x轴的距离是y，到y轴的距离是x1、点A(-2,-1)与x轴的距离是________，与y轴的距离是________.（★）2、如果点A到y轴的距离是4，到x轴的距离是3，则M的坐标为 .（★★）【题型4】坐标轴上的点的坐标特征点在x轴上，坐标为（x,0）在x轴的负半轴上时，x<0, 在x轴的正半轴上时，x>0 点在y轴上，坐标为（0,y）在y轴的负半轴上时，y<0, 在y轴的正半轴上时，y>01、点P（a-1，2a-9）在x轴负半轴上，则P点坐标是.（★）2、点A(3,a)在x轴上,点B(b,4)在y轴上,则a=______,b=______.（★）3、如果点A（m，n）的坐标满足mn=0，则点A在（）（★★）A. 原点上B. x轴上C. y轴上D. 坐标轴上【题型5】平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同.1、已知长方形ABCD中，AB=5，BC=3，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），求点C的坐标.（★★）2、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为.（★★）3、平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定（）（★★）A．大于0 B．小于0 C．相等D．互为相反数4、已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是.（★★）【题型6 】关于坐标轴对称的点的坐标特征关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数1、已知A(－3，5)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________；关于y轴对的点的坐标为____________；关于原点对称的点的坐标为___________；关于直线x=2对称的点的坐标为____________.（★）2、若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m= ,n= .（★）【题型7】象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上)；坐标点（x，y）xy>0第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x直线上)；坐标点（x，y）xy<01、若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= .（★）2、已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= .（★）【题型8】根据点的坐标特征求点的坐标1、在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．（★★）2、直角坐标系中，一长方形的宽与长分别是6，8，对角线的交点在原点，两组对边分别与坐标轴平行，求它各顶点的坐标.（★）3、已知三点A （0，4），B （—3，0），C （3，0），现以A 、B 、C 为顶点画平行四边形，请根据A 、B 、C 三点的坐标，写出第四个顶点D 的坐标.（★★）【题型9】 利用平面直角坐标系解决创新问题（★★）若1a +（b+2）2=0，则点M （a ，b ）关于y 轴的对称点的坐标为_______．【题型10】 平面直角坐标系中的面积计算（★★）已知四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （3，6），C （14，8），D （16，0），求四边形ABCD 的面积.【题型11】探究平面直角坐标系中点的变化规律1、如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次跳动至点A 1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A 4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A 第100次跳动至点A 100的坐标是 ．（★★★）2、如图所示，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4…表示，则顶点A 55的坐标为( ). （★★★）A．(13，13)B．(-13，-13)C．(14，14)D．(-14，-14)【知识点3】用坐标表示地理位置（一）用坐标和方位角表示位置（二）学习目标1、通过学生的动手探究得出实际问题中建立平面直角坐标系的基本方法，并能结合具体情境运用坐标描述地理位置.2、通过体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用，加深学生对数学重要性的认识，激发学生学习数学的热情.3、通过生生交流合作，师生交流探讨，培养学生与他人合作的良好品质.（三）重点难点教学重点：根据具体情境建立平面直角坐标系，用坐标描述地理位置教学难点：根据具体情境建立适当的平面直角坐标系（四）基本题型【题型1】用平面直角坐标系表示地理位置（★）根据以下条件建立平面直角坐标系，标出文化广场、一小、实验中学、实验小学的位置，并写出坐标.一小：从文化广场向北走400米，再向东走200米实验中学：从文化广场向西走600米，再向北走300米，再向西走100米实验小学：从文化广场向南走100米，再向东走100米【题型2】用方位角和距离表示物体的位置（★）1、下面说法中，不能确定位置的是（）A 甲在乙南偏西40°方向20m处B甲在乙北偏东30°方向10m处C甲在乙南正西方20m处 D 甲距乙50m2、广场在学校北偏西30°，则学校在广场________【知识点4】用坐标表示平移（一）平移1、定义：把一个图形整体沿着某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移.2、平移规律：上加下减，右加左减3、平移后图形的位置改变，形状和大小不变；新图形和原图形对应点的连线平行且相等.（二）学习目标1、掌握点的坐标变化与点和图形平移的关系；会根据的点的坐标的变化，来判定点的移动过程2、经历探索点坐标变化与点和图形平移的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识（三）重点难点教学重点：掌握坐标变化与点和图形平移的关系 教学难点：探索坐标变化与点和图形平移的关系（四）基本题型【题型1】 知平移求坐标（★）1、将点A （-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B 的坐标是（ ） A. （-1，2） B. （-1，5） C. （-4，-1） D. （-4，5）2、已知三角形三个顶点的坐标分别是A （—2，3）B （—4，—1）C （2，0），现将三个顶点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是_________________【题型2】 由坐标定平移（★）已知△ABC,A(-3,2),B(1,1),C(-1,-2),现将△ABC 平移,使点A 到点(1,-2) 的位置上,则 点B,C 的坐标分别为______,________.【题型3】 平移作图（★★）如图，①写出△ABC 各顶点坐标②△111C B A 是由△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的，请在图中画出△111C B A ③求出△ABC 的面积。
