高中数学课件 二面角

求空间角
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
异面直线所成角的取值范围： (0o, 90o ] ．
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
O
平面的斜线和平面所成的角
的取值范围： (0o, 90o)．
1
A
B
问题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射
2、二面角的画法和记法：做二的面大角小的与面。其顶点
画法：在直棱立上式的和位平置卧无式关
3、二面角的平面角：
记2法、：二二面面角角的大－小A用B－
它二的面平角面角－的大l－
4、二面角的平面角的作法：12、、小根利来据用度定直量义线作和出平来面垂
直作出来
1、二面角的定义 2、二面角的平面角
*转化思想 —降维
3、二面角的平面角的作法 *类比思想
4、数学思想
二面角的平面角的常用作法
1、定义法：
2、应用三垂 线定理：
l
A
OB
A
l
O
B
课堂小结
从一条直线出发的两个半
1、二面角的定义：
平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面
角1的、棱二。面这角两的个平半面平角面叫
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’ A’
C’ B’
D
C
A
OB
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列 （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’ A’
C’ B’
D线所组成的图形叫做角。

设平面的一个法向量为 = (1 , 1 , 1 ),
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义

θ=<n1,n2>或π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.
3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大
小是(
)
A.45° B.90°
C.60°D.120°
解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,
|·|
1
1
则 cos θ=|||| =
= .

答案:B

2
)
2.在正四面体ABCD中,二面角A-BC-D的余弦值为(
1
A.2
1
B.3
3
C. 3
)
3
D. 2
解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,则∠AEO就是二
面角A-BC-D的平面角.
3
3
1
在 Rt△AOE 中,AE= 2 AB,EO= 6 AB,则 cos∠AEO= = 3.
二面角B-AP-C的大小.
解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接
BN,由三垂线定理知BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角.
设AB=BC=AC=PC=1,
3
2
∴BM= ,MN= ,
2
4
3
∴tan∠MNB= 2 = √6.故∠MNB=arctan√6,
2
4
APC的一个法向量.
·
∵cos<a,n>=||||=0,∴<a,n>=90°,
∴二面角A-PC-B为90°.
用法向量法求二面角的大小的优点是不需要确定二面角的平面角,缺点是
计算量大.若二面角两个半平面的法向量分别是n1,n2,设二面角的大小为θ,

且 AC 平面 ABCD ，则 DD1 AC ，∵ BD 平面 BDD1B1 ， D1D 平面 BDD1B1 ，
BD D1D D ∴ AC 平面 BDD1B1 . BD1 平面 BDD1B1 ，∴ BD1 AC .
（3）连接 B1P ，B1O ，因为 PA PC ，O 是 AC 中点，所以 PO AC ，因为 AC 平面 BDD1B1 ，
（1）记 AC 中点为 M，连结 DM ， ACD 为正三角形， AC 4 ,
则 DM AC ，且 DM 2 3 .
因为平面 ACD 平面 ABC ，平面 ACD 平面 ABC AC ， DM 平面 ACD, 所以 DM 平面 ABC ，又因为 BE 平面 ABC ，所以 DM ∥BE . 延长 MB, DE 交于点 G，则 AG 为平面 ADE 与平面 ABC 的交线，
例 3．如图，60 的二面角的棱上有 A, B 两点，直线 AC ， BD分别在这个二面角的两个半 平面内，且都垂直于 AB ．已知 AB 4， AC 6 ， BD 8 ，则CD 的长为__2___1_7___.
例 4.如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ， ABC 和 ACD 均为正三角形， AC 4 ， BE 3 . (1)在线段 AC 上是否存在点 F，使得 BF ∥平面 ADE ?说明理由； (2)求平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值.
1 2
BC BG sin150
2
3，
故 BH 2S BGC 2 3 ,又因为 BE 1 DM 3 ，所以 tan BHE BE 13 ，
CG 13
2
BH 2
即平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值为 13 . 2

则 sin θ＝
1－cos2θ
＝
55 10
.
即二面角 A-C1M-B1 的正弦值为
55 10
.
利用向量法求二面角的两种方法 方法一：分别在二面角 α­l­β 的面 α，β 内，沿 α，β 延伸的方向作向量 n1⊥l，n2⊥l， 则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小． 方法二：通过法向量求解 设 m1⊥α，m2⊥β， 则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．
2．对射影面积公式的理解： (1)来源：三垂线定理． (2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上 的射影的面积已知或者已求出． (3)优势：不需要作出二面角的平面角．
如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝1，AC＝AA1＝ 3 ，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C； (2)求二面角 A-A1C-B 的正切值．
面角 A­ A1C­ B 的平面角．在 Rt△AA1C 中，AD＝AAA1·1CAC ＝
3× 6
36 ＝2 .
在 Rt△BAD 中，tan
∠ADB＝AABD
＝
6 3
，
6 所以二面角 A­ A1C­ B 的正切值为 3 .
类型三 利用向量法求二面角(逻辑推理、数学运算)
角度1
利用棱的垂线的方向向量求二面角
【思考】 二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的范围是相 同的吗？
提示：不相同．二面角的大小和二面角的平面角的大小的范围是[0°，180°] ，两 个相交平面所成角的大小的范围是[0°，90°] .
2．射影面积公式 已知平面 β 内一个多边形的面积为 S，它在平面 α 内的射影图形的面积为 S′，平 面 α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ，则 cos θ＝SS′ .

高中数学课件
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

―A→E ＝1，12，0 ，―AB→1 ＝(1，0，1)，―A→F ＝12，1，0 ，―AD→1＝(0，1，1).
设平面AB1E的法向量为n
n 1＝(x1，y1，z1)，则
n
1·―AB→1 ＝0， 1·―A→E ＝0，
x1＋z1＝0， 即x1＋12y1＝0，
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n 1＝(－1，2，1).
答案：45° 45°
来个随堂小测试，比比谁更快！！
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平 面AB1E与平面AD1F所成的角的大小．
解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为
1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E1，12，0 ，D1(0，1，1)，F12，1，0 ，
6
＝12
.
所以平面AB1E与平面AD1F所成的角为60°.
2．如图，已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝
3 2
a，则二面角
A-BC-D的大小为
()
A．30°
B．45°
C．60°
解析：如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝
3 2
a，又AD＝
设平面AD1F的法向量为n 2＝(x2，y2，z2).
n 则
n
2·―AD→1 ＝0， 2·―A→F ＝0，
y2＋z2＝0， 即12x2＋y2＝0.
令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.所以n 2＝(2，－1，1).
|n 所以平面AB1E与平面AD1F所成的角的余弦值为
1·n
2|
|n 1||n 2|

关注作二面角的平面角的方法、三垂线定理及其逆定理 的使用.
3.灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角 放到三角形里求解.
课后练习
1.通读课本；
2.完成课本习题：第52页练习A1; 练 习B2,3.
0已知二面角P-AB-P '的大小为 垂 且PP'⊥ 面ABP',△ABP 的面积为3,求
△ABP'的面积.
θ=π-∠BOB,
tanθ=-tan∠BOB₁=-√2.
由同角关系得
即=面角DAG,蹦 余 磁 信 为
例题分析与讲授
(2)求二面角D-A,B-C的余弦值.
视察图形，正方体截面A,BC和截面DAB 均是正三角形.
例题分析与讲授
(2)求二面角D-AB-C的余弦值.
解：取A,B的中点E, 连接DE,C₁E,C₁D.
证明a⊥
例题分析与讲授
例1.如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC,
SA=SC=√3,AB=BC=2 且AB⊥BC.
求(1)二面角S-AB-C的大小； (2)二面角B-SA-C的大小.
例题分析与讲授
(1)求二面角S-AB-C 的大小. 解：取AC,AB的中点D,E.
连接SD,DE,SE.
因为SA=SC, 所 以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥ 面ABC, 所以SD⊥ 面ABC.
所以∠BFD=60°, 即二面角B-SA-C为60°.
例题分析与讲授
例2.已知正方体ABCD-A,BC₁D, 棱长为1. (1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值；
(2)求二面角D-A,B-C₁的余弦值.
例题分析与讲授
(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值 .
视察发现二面角D₁-AC₁-B是钝角， 与二面角B-AC₁-B互补.

∵PA＝AB＝2，∴AC＝BC＝ 2，PO＝ 3，∴OD＝ 2 2， ∴二面角 P-AC-B 的正切值是OPOD＝ 6.
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(2)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点．
第16页
①证明：平面 AA1C1C⊥平面 DBC1； ②若 AB＝2，且二面角 D-BC1-C 的正切值为 615，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积．
－ 即 －
2x1＋ 2y1＋
2z1＝0， 2z1＝0，
设平面 ABF 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
取 x1＝1，则 y1＝z1＝AA··nn＝＝00，，
即
2x2＝0，
－ 2y2＋
2z2＝0，
得 x2＝0，取 y2＝1，则 z2＝1，n＝(0,1,1)．
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第14页
对点练 1 (1)如图， 设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上， 若 PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角 P-AC-B 的正切值是____6____．
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第15页
(1)解析： 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，易知 OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO 是二面角 P-AC-B 的平面角．
在 Rt△AB1C 中，S△AB1C＝12AB1·AC＝12B1C·AE，所以 AE＝ABB11·CAC＝2×2
2＝2
2 .
23
3
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在 Rt△ADE 中，sin∠AED＝AADE＝ 2 ＝ 2 3. 22 3
所以∠AED＝60°，所以二面角 A-B1C-B 的大小为 60°.
第11页
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