含绝对值的一元一次不等式及其解法

不等式解集方法一、引言不等式是数学中常见的一种基本概念，它涉及到比较两个数大小关系的数学符号。

不等式的解集是指满足不等式条件的所有数值的集合。

掌握不等式的解集方法对于解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍求解一元一次不等式、解集在数轴上的表示、二元一次不等式组的解集、分式不等式的解法、含绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法和一元高次不等式的解法等方法。

二、求解一元一次不等式一元一次不等式是数学中最基础的不等式类型，其形式为ax+b>cc或ax+b<c，其中a、b、c为常数，x为未知数。

求解一元一次不等式的方法是将其转化为等式，然后通过移项、合并同类项和化简等步骤求解。

例如，求解2x+3>5，首先移项得到2x>2，然后除以2得到x>1。

三、解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示是将不等式的解集在数轴上标出来。

首先需要确定解集的取值范围，然后将这个范围在数轴上表示出来。

例如，解集x>1表示在数轴上1的右侧的所有点都是这个不等式的解。

四、二元一次不等式组的解集二元一次不等式组是由两个或多个一元一次不等式组成的。

求解二元一次不等式组的方法是分别求解每个不等式，然后找出满足所有不等式的解的集合，即解集。

例如，求解不等式组{x+y>2, x-y<1}，首先分别求解两个不等式得到两个解集，然后找出这两个解集的交集即为原不等式组的解集。

五、分式不等式的解法分式不等式是指含有分母的不等式。

求解分式不等式的方法是将其转化为整式不等式，然后通过求解整式不等式得到分式不等式的解。

例如，求解不等式(x+3)/(x-2)>0，首先去分母得到x^2-x-6>0，然后因式分解得到(x-3)(x+2)>0，最后确定解集为x<-2或x>3。

六、含绝对值不等式的解法含绝对值的不等式是指含有绝对值符号的不等式。

求解含绝对值不等式的方法是根据绝对值的定义将其转化为分段函数，然后分别求解每个分段函数的不等式得到原不等式的解。

2024初中数学知识点复习提纲一、代数与函数1.一元一次方程与一元一次不等式•含有绝对值的一元一次不等式的解法•解一元一次方程和不等式时的变形方法•应用一元一次方程和不等式解决实际问题2.一次函数与一次函数图像•一次函数的定义、性质和图像表示•利用一次函数解决实际问题•一次函数和一元一次方程、不等式的关系3.二次根式•关于二次根式的定义、性质和化简方法•二次根式的运算和求值•应用二次根式解决实际问题4.整式的定义、性质和运算•多项式的基本概念、性质和表示方法•多项式的加、减、乘和整式除法运算•利用整式解决实际问题二、几何与测量1.平面几何初步•直线、线段、射线、角的基本概念及刻画方法•同位角、对顶角、内错角等角度关系•垂直、平行、相交、交错等线段关系•用角度关系和线段关系解决几何问题2.平面图形初步•三角形的基本性质、分类和判定方法•四边形、多边形、圆的定义和性质•识别和绘制各种平面图形•应用平面图形解决实际问题3.直线、角、面积测量•直线的测量方法和误差控制•利用角度测量解决几何问题•平面图形的面积计算及其应用4.立体几何•空间图形的基本概念、分类以及基本变换方法•立体图形的体积和表面积计算•应用立体几何解决实际问题三、数据与概率1.统计基础知识•数据和变量的定义、分类及其表示方法•统计描述性分析方法（频数、频率、中位数、平均数等）•数据图表的绘制和分析2.概率初步•随机事件和样本空间的定义、性质及表示方法•概率的定义、性质和计算方法•统计与概率的关系及其应用3.统计与概率的实际应用•利用统计和概率解决实际问题•假设检验及其应用以上是2024初中数学知识点复习提纲，希望对广大中学生有所帮助。

解不等式方程不等式方程是指含有不等号的方程，需要求解的是满足不等式条件的解集。

解不等式方程的方法根据不等式的类型和形式而有所不同。

在本文中，我们将介绍常见的不等式方程及其解法。

一、一元一次不等式方程一元一次不等式方程是形如ax + b > c或ax + b < c的方程，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

解这种方程的方法和解线性方程类似，但需要注意不等号的方向。

1. 解ax + b > c型不等式方程：- 如果a > 0，即a为正数，解为x > (c - b) / a。

- 如果a < 0，即a为负数，解为x < (c - b) / a。

2. 解ax + b < c型不等式方程：- 如果a > 0，即a为正数，解为x < (c - b) / a。

- 如果a < 0，即a为负数，解为x > (c - b) / a。

二、一元二次不等式方程一元二次不等式方程是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的方程，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

解这种方程的方法可以通过以下步骤来进行：1. 判断a的正负和大小：- 如果a > 0，则为开口向上的抛物线，解为抛物线上方的区域或两个根之间的区域。

- 如果a < 0，则为开口向下的抛物线，解为抛物线下方的区域或两个根之外的区域。

2. 求解方程ax^2 + bx + c = 0的根，可以使用因式分解、配方法或求根公式来求解。

3. 根据根的位置和a的正负，确定不等式的解集：- 如果a > 0，当x < 根1或x > 根2时满足不等式。

- 如果a < 0，当根1 < x < 根2时满足不等式。

三、绝对值不等式方程绝对值不等式方程是形如|ax + b| > c或|ax + b| < c的方程，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解不等式的方法在数学学习中，不等式是一个非常重要的概念。

它不仅在数学中有广泛的应用，而且在生活中也有很多实际的应用。

因此，掌握解不等式的方法对于中学生来说是至关重要的。

本文将介绍一些常见的解不等式的方法，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。

解一元一次不等式的方法与解方程的方法类似，可以通过移项、合并同类项等步骤来求解。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以先将3移到等式的另一边，得到2x > 7 - 3，即2x > 4。

接着，我们将不等式两边都除以2，得到x > 2。

因此，不等式的解集为{x | x > 2}。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。

解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要考虑不等式的开口方向以及二次函数的图像。

对于形如ax^2 + bx + c > 0的一元二次不等式，我们可以先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以先求出二次函数x^2 - 4x + 3 = 0的零点，得到x = 1和x = 3。

然后，我们可以绘制二次函数的图像，根据图像可以确定不等式的解集为{x | 1 < x < 3}。

三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式的方法比较灵活，可以根据不等式的形式来选择不同的解法。

对于形如|ax + b| > c的绝对值不等式，我们可以分两种情况讨论。

当ax + b > 0时，不等式可以化简为ax + b > c，解得x > (c - b)/a；当ax + b < 0时，不等式可以化简为-(ax + b) > c，解得x < (b - c)/a。

因此，绝对值不等式的解集为{x | x < (b - c)/a 或 x > (c - b)/a}。

解不等式常用公式解不等式是数学中的一个重要内容，它在实际问题中具有广泛的应用。

在解不等式的过程中，我们可以运用一些常用的公式和方法来简化计算，提高求解的效率。

本文将介绍一些常用的不等式解法公式，并通过实际例子来说明它们的应用。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

对于一元一次不等式ax+b>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax+b>0的解集为x>-b/a；2. 当a<0时，不等式ax+b>0的解集为x<-b/a；3. 当a>0时，不等式ax+b<0的解集为x<-b/a；4. 当a<0时，不等式ax+b<0的解集为x>-b/a。

例如，对于不等式2x-3>0，我们可以将其转化为2x>3，再除以2，得到x>3/2。

因此，不等式2x-3>0的解集为x>3/2。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。

对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x<x1或x>x2，其中x1和x2分别为方程ax^2+bx+c=0的两个根；2. 当a<0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x1<x<x2。

例如，对于不等式x^2-3x+2>0，我们可以先求出方程x^2-3x+2=0的根，即x1=1和x2=2。

由于a=1>0，因此不等式x^2-3x+2>0的解集为x<1或x>2。

三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

对于绝对值不等式|ax+b|>c来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a-c/a或x>-b/a+c/a；2. 当a<0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a+c/a或x>-b/a-c/a。

三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。

专题：阅读型。

分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

类型三、一元一次不等式中绝对值【解惑】 阅读求绝对值不等式子3x <解集的过程：因为3x <，从如图所示的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值是小于3的，所以3x <的解集是33x -<<，解答下面的问题：(1)不等式()0x a a <>的解集为______；(2)求53x -<的解集实质上是求不等式组______的解集，求53x -<的解集． 方法：1：3x <的解集是33x -<<，∴不等式||(0)x a a <>的解集为：a x a -<<． 2.解：3x <的解集是33x -<<，∴求|5|3x -<的解集是353x -<-<，即可求出，本题以模仿为住。

【融会贯通】 1．已知不等式()()112512222x a x --->-+的解是12x <，则a ＝_______． 2．不等式1x <的解集是______．3．若关于x 的不等式122334455a x x x x x ≥+++++++++有解，则a 的取值范围是__________.【知不足】1.如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是___________2．能够使不等式()()10x x x -+<成立的x 的取值范围_______．3.数学实验室：A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；(3)若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++＝ ；(4)若x 表示一个有理数，且13x x -++＞4，则有理数x 的取值范围是 ． 4．对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定∆a b 表示a ，b 中较大的数，例如，2(1)2∆-=． (1)2334⎛⎫⎛⎫-∆-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________； (2)若||22∆=a ，则满足条件的所有整数．．a 为_________；(3)求方程31[()]2+∆-=x x x 的解． 【一览众山小】1.若|2a ﹣6|＞6﹣2a ，则实数a 的取值范围是_____．2．不等式x 3x 12--+>的解集是__________．3．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<4．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．5．解不等式：||4238x x -++>【温故为师】1.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题： ①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2．2．解不等式：（1）215x x -++<________；（2）2560x x -+>________．3．阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式. 求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3. 因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集. ①1x >的解集是 ； ② 2.5x <的解集是 .（2）求绝对值不等式359x -+>的解集.（3）直接写出不等式24x >的解集是 ．4．解不等式：|x －1|＋|x －3|＞4.5．阅读下列材料并解答问题： 我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=6．（1）【阅读理解】“||a ”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“||2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：①“||2a <”可理解为___________；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“||2a >”成立，列举的a 的值为___________和___________．我们定义：形如“||x m ≤”“||x m ≥”“||x m <”“||x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由如图可以得出：绝对值不等式||1x >的解集是1x <-或1x >，绝对值不等式||3x ≤的解集是33x -≤≤．则：①不等式4x ≥的解集是___________．②不等式1||22x <的解集是___________． （3）【拓展应用】解不等式|1||3|4x x ++-≥，并画图说明．7．先阅读，再完成练习．一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．|x |＜3．x 表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x |＜3的解集是﹣3＜x ＜3；|x |＞3x 表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以|x |＞3的解集是x ＜﹣3或x ＞3．解答下面的问题：(1)不等式|x |＜a （a ＞0）的解集为 ．不等式|x |＞a （a ＞0）的解集为 ．(2)解不等式|x ﹣5|＜3．(3)解不等式|x ﹣3|＞5．(4)直接写出不等式|x ﹣1|+|x +2|＜5的解集： ．8．【阅读理解】a 的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离．所以，2a ≤可理解为： 数a 在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①2a >可理解为___________________；②请列举3个不同的整数a ，使不等式2a <成立．列举的a 的值是______________； 我们定义：形如x m ≤，≥x m ，x m >，x m <（m 为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由上图可得出：绝对值不等式3x ≤的解集是33x -≤≤；绝对值不等式4x >的解集是<4x -或>4x ．(2)①不等式5x <的解集是______________；②不等式132≥x 的解集是__________________； 【拓展探究】(3)求不等式41-+≤x 的解集．9．阅读下面材料：材料一：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作||a ，数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作||-a b ，如|2|x +表示数轴上表示数x 的点与表示数2-的点的距离．材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式||2x >的解集．小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当||2x =时，2x =±，把2-和2在数轴上分别表示为点A ，B ，如图所示，观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于2；点B 右边的点表示的数的绝对值大于2因此，小华得出结论，绝对值不等式||2x >的解集为：<2x -或2x >．参照小华的思路，解决下列问题：(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．①||1x >的解集是 ；②||2x <的解集是 ；(2)求绝对值不等式31410x -+的整数解；(3)直接写出绝对值不等式235x x ++->的解集是 ．答案与解析【融会贯通】1．已知不等式()()112512222x a x --->-+的解是12x <，则a ＝_______．【答案】11x -<<##11x >>-【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“1x <”可理解为数x 在数轴上对应的点到原点的距离小于1，不等式1x <的解集是11x -<<．3．若关于x 的不等式122334455a x x x x x ≥+++++++++有解，则a 的取值范围是__________.【知不足】1.如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是___________【答案】3x >或3x <-【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），()()10x x x -+<【答案】x ＜-1【详解】解：当x ≥0时，|x |-x =x -x =0，于是（|x |-x ）（1+x ）=0，不满足原式，故舍去x ≥0；当x ＜0时，|x |-x =-2x ＞0，x 应当要使（|x |-x ）（1+x ）＜0，满足1+x ＜0，即x ＜-1，所以x 的取值范围是x ＜-1．3.数学实验室：A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；(3)若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++＝ ；(4)若x 表示一个有理数，且13x x -++＞4，则有理数x 的取值范围是 ．【答案】(1)3(2)|2|x +(3)4(4)3x <-或1x >【详解】（1）解：2和5的两点之间的距离|52|3=-=， ∴数轴上表示2和5的两点之间的距离是3．（2）解：x 和2-的两点之间的距离为：|(2)||2|x x --=+，∴数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为：|2|x +．（3）解：31x -<<，|1||3|134x x x x ∴-++=-++=．（4）解：当1x >时，原式13224x x x =-++=+>，解得，1x >，当3x <-时，原式13224x x x =-+--=-->，解得，3x <-，当31x -<<时，原式134x x =-+++=，不符合题意，故舍去，∴有理数x 的取值范围是：1x >或3x <-． 4．对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定∆a b 表示a ，b 中较大的数，例如，2(1)2∆-=． (1)2334⎛⎫⎛⎫-∆-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________； (2)若||22∆=a ，则满足条件的所有整数．．a 为_________；(3)求方程31[()]2+∆-=x x x 的解． 912， ，∴满足条件的所有整，此时-x =1，不符合【一览众山小】1.若|2a ﹣6|＞6﹣2a ，则实数a 的取值范围是_____．【答案】x 0<【详解】解:x ＜-1时，-x+3+x+1＞2，4>2∴x ＜-1，-1≤x≤3时，-x+3-x-1＞2， x<0；x ＞3时，x-3-x-1＞6，不成立.3．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<4．阅读：我们知道，0a a a =⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．【温故为师】1.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题： ①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2．（2）2560x x -+>________．【答案】（1）-2＜x ＜3；（2）x ＜-3或-2＜x ＜2或x ＞3【详解】解：（1）当x －2＜0，x ＋1＜0，即x ＜-1时，()215--+<x x 解得：x ＞-2∴此时-2＜x ＜-1；当x －2＜0，x ＋1≥0，即-1≤x ＜2时，()215-++<x x 3＜5∴在此范围内的x 均满足题意∴-1≤x ＜2；当x －2≥0，x ＋1≥0，即x≥2时，()215-++<x x 解得：x ＜3∴此时2≤x ＜3综上：此不等式的解集为-2＜x ＜3（2）当x≥0时，2560x x -+>()()230-->x x 解得：x ＞3或x ＜2∴此时x ＞3或0≤x ＜2；当x ＜0时，2560x x ++>()()230x x ++>解得：x ＞-2或x ＜-3∴此时x ＜-3或-2＜x ＜0；综上：原不等式的解集为x ＜-3或-2＜x ＜2或x ＞3．3．阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式. 求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3. 因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集. ①1x >的解集是 ； ② 2.5x <的解集是 .（2）求绝对值不等式359x -+>的解集.（3）直接写出不等式24x >的解集是 ． ∴|x|＞1的解集是x ＞1或x ＜-1；②令|x|=2.5，x=2.5或-2.5，如图，数轴上表示如下：∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x ＜2.5；（2）359x -+>，化简得34x ->，当34x -=时，x=-1或7，如图，数轴上表示如下：可知：359x -+>的解集为：x ＞7或x ＜-1；（3）不等式x 2＞4可化为|x|＞2，如图，数轴上表示如下： 可知：不等式x 2＞4的解集是 x ＞2或x ＜-2． 4．解不等式：|x －1|＋|x －3|＞4.【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.当1＜x≤3时，原式可变形为x －1＋3－x ＞4，得2＞4，不合题意．当x ＞3时，原式可变形为x －1＋x －3＝2x －4＞4，解得x ＞4.∴x ＜0或x ＞4.5．阅读下列材料并解答问题：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，当<2x -时，7可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：①“||2a <”可理解为___________；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“||2a >”成立，列举的a 的值为___________和___________．我们定义：形如“||x m ≤”“||x m ≥”“||x m <”“||x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由如图可以得出：绝对值不等式||1x >的解集是1x <-或1x >，绝对值不等式||3x ≤的解集是33x -≤≤．则：①不等式4x ≥的解集是___________．②不等式1||22x <的解集是___________． （3）【拓展应用】解不等式|1||3|4x x ++-≥，并画图说明．【答案】（1）①数a 在数轴上对应的点到原点的距离小于2，②3，3-；（2）①4x ≥或4x ≤-，②44x -<<；（3）1x ≤-或3x ≥，见解析【详解】解：（1）①由题意可知||2a <可以理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离小于2，②使不等式||2a >成立的整数a 有3，3-，7．先阅读，再完成练习．一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．|x|＜3．x表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；|x|＞3x表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．解答下面的问题：(1)不等式|x|＜a（a＞0）的解集为．不等式|x|＞a（a＞0）的解集为．(2)解不等式|x﹣5|＜3．(3)解不等式|x﹣3|＞5．(4)直接写出不等式|x﹣1|+|x+2|＜5的解集：．【答案】(1)﹣a＜x＜a，x＞a或x＜﹣a(2)2＜x＜8(3)x＞8或x＜﹣2(4)﹣3＜x＜2（1）解：不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a 或x＜﹣a．（2）解：|x﹣5|＜3，∴﹣3＜x﹣5＜3，∴2＜x＜8；（3）解：|x﹣3|＞5，∴x﹣3＞5或x﹣3＜﹣5，∴x＞8或x＜﹣2；（4）解：在数轴上找出|x﹣1|+|x+2|＝5的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．∵在数轴上1和﹣2对应的点的距离为3，∴满足方程的x对应的点在1的右边或﹣2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x＝2；若x对应的点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，∴方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3，∴不等式|x﹣1|+|x+2|＜5的解集为﹣3＜x＜2，8．【阅读理解】a 的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离．所以，2a ≤可理解为： 数a 在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①2a >可理解为___________________；②请列举3个不同的整数a ，使不等式2a <成立．列举的a 的值是______________； 我们定义：形如x m ≤，≥x m ，x m >，x m <（m 为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由上图可得出：绝对值不等式3x ≤的解集是33x -≤≤；绝对值不等式4x >的解集是<4x -或>4x ．(2)①不等式5x <的解集是______________；②不等式132≥x 的解集是__________________； 【拓展探究】(3)求不等式41-+≤x 的解集． 3x 或12x ≤解：4x -+≤141x -+，解得3⩽x ⩽5．阅读下面材料：材料一：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作||a ，数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作||-a b ，如|2|x +表示数轴上表示数x 的点与表示数2-的点的距离．材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式||2x >的解集．小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当||2x =时，2x =±，把2-和2在数轴上分别表示为点A ，B ，如图所示，观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于2；点B 右边的点表示的数的绝对值大于2因此，小华得出结论，绝对值不等式||2x >的解集为：<2x -或2x >．参照小华的思路，解决下列问题：(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．①||1x >的解集是 ；②||2x <的解集是 ；(2)求绝对值不等式31410x -+的整数解；(3)直接写出绝对值不等式235x x ++->的解集是 ． 410，316x -，|1|2x -，212x ∴--，13x ∴-，∴整数解为(3)解：①当2<-时，不等式为235x x ---+>，移项、合并得<2x -；②当23x -时，不等式为235x x +-+>，移项、合并得3>时，不等式为235x x ++->，移项、合并得26x >，系数化为不等式的解集是<2x -或3，。

中职数学基础模块上册《含绝对值的不等式》绝对值函数在数学中是一个重要的概念，它在解决不等式问题时具有特殊的作用。

本文将详细介绍含有绝对值的不等式及其解法，以帮助大家更好地掌握这一知识点。

一、含有一个绝对值的一元一次不等式我们先从最简单的情况开始，即含有一个绝对值的一元一次不等式。

例如：|x - 2| < 5 或|2x + 3| ≥ 1。

对于这类不等式，我们可以分成两种情况进行讨论，即：当绝对值内的表达式大于等于0时，不等式本身不变；当绝对值内的表达式小于0时，原不等式变成取反不等号的形式。

例如，对于不等式 |x - 2| < 5，我们首先得到 x - 2 ≥ 0 或 x - 2 < 0，即x ≥ 2 或 x < 2。

然后我们分别讨论这两种情况下的解集：情况一：x ≥ 2。

在这种情况下，原不等式变为 x - 2 < 5，解得 x < 7。

因此，当x ≥ 2 且 x < 7 时，原不等式成立。

情况二：x < 2。

在这种情况下，原不等式变为 2 - x < 5，解得 -3 <x < 7。

因此，当 -3 < x < 2 时，原不等式成立。

综上所述，原不等式的解集为 -3 < x < 7。

二、含有一个绝对值的一元二次不等式接下来，我们来讨论含有一个绝对值的一元二次不等式。

例如：|x²- 4x + 3| ≥ 2 或 |2x² - 5x + 2| < 7。

对于这类不等式，我们需要运用一元二次函数的性质进行解题。

首先，我们可以将绝对值函数拆分成两个不等式：① x² - 4x + 3 ≥ 2 或 x² - 4x + 3 ≤ -2；② 2x² - 5x + 2 > -7 且 2x² - 5x + 2 < 7。

然后，我们分别求解这些不等式：①当 x² - 4x + 3 ≥ 2 时，即 x² - 4x + 1 ≥ 0，我们求得其解得x ≤ 1 或x ≥ 3。

一元一次不等式绝对值不等式计算题一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程式，形如 ax + b < 0（或 > 0），其中 a 和 b 是已知常数。

而绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，形如 |ax + b | < c（或 > c），其中 a、b和 c 是已知常数。

在解一元一次不等式绝对值不等式的计算题时，我们可以采用以下简单的策略：1. 去掉绝对值符号：首先，我们可以去掉绝对值符号，得到两个不等式。

对于 |ax + b | < c，我们得到 ax + b < c 和 ax + b > -c。

去掉绝对值符号：首先，我们可以去掉绝对值符号，得到两个不等式。

对于 |ax + b | < c，我们得到 ax + b < c 和 ax + b > -c。

2. 求解一元一次不等式：接下来，我们可以分别求解这两个一元一次不等式。

对于 ax + b < c，我们可以将 b 移到右边，得到 ax< c - b。

然后再将 x 的系数 a 除到右边，得到 x < (c - b) / a。

对于另一个不等式 ax + b > -c，我们可以采用类似的方法求解。

求解一元一次不等式：接下来，我们可以分别求解这两个一元一次不等式。

对于 ax + b < c，我们可以将 b 移到右边，得到 ax < c - b。

然后再将 x 的系数 a 除到右边，得到 x < (c - b) / a。

对于另一个不等式 ax+ b > -c，我们可以采用类似的方法求解。

3. 解一个区间：最后，我们需要将两个不等式的解合并为一个解区间。

如果 a > 0，那么我们可以将 x < (c - b) / a 和 x > -c / a 的解区间取交集。

如果 a < 0，那么我们可以将 x > (c - b) / a 和 x < -c / a的解区间取交集。

补课教材3：一元一次方程、不等式(组）＆绝对值不等式的解法学生姓名：【知识一】 解一元一次方程①一般形式：ax+b=0（0≠a ）②解法：③练习：2x+3=0 5x-3=0 3（x-1）=5（x-2）+8【知识二】 解一元一次不等式①一般形式：ax+b>0（0≠a ）或ax+b<0（0≠a ）若所给不等式不是般形式，先通过去括号，移项，合并同类项，化为一般形式，再解 ②解法举例：(1) 3x+2>0 (2)-3x+2>0 (3) )2(473-≥-x x 解： 23->x 解法1：23->-x 解法2：2>3x 解：去括号 32->x 3232<--<x x 即 3x<2 移项 32<x 合并同类项 答案：③总结：ax+b>0（0≠a ）的解法： ④练习： 2x-3<4 -2x+3>0 x x 223>- )13(52)1(3-->--x x【知识三】 解不等式组⎩⎨⎧->-≤-)2(7328)1( 332x x x x①方法： 先分别解不等式(1)、(2),再利用数轴找出两个解的公共部分！ 解：解(1)得：解(2)得：原不等式的解集为∴不等式组的解集有四种情况：若a b <，则：x a x b <⎧⎨<⎩的解集是 ，即“小小取小”；x a x b >⎧⎨>⎩的解集是 ，即“大大取大”； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是 ，即“大小小大中间找”；x a x b <⎧⎨>⎩，即“大大小小无解答”. （★在理解的基础上记忆）③解不等式组⎩⎨⎧<+->-14123x x ⎩⎨⎧<+<-04123x x解不等式：3123≤-<-x ⎩⎨⎧<-<-010513x x【知识四】简单的绝对值不等式！|x|<3 的解集为 |x|>4的解集为 总结：|x|<a （a>0）的解集为 |x|>a （a>0）的解集为01-2。

绝对值不等式的解法2上学期我们学了我们讲了绝对值的方程的解法.这学期我们学了不等式，不等式中同样有绝对值的不等式，绝对值不等式的解法怎么解呢？含绝对值的一元一次不等式，需要用讨论的方法求解.今天我们讲讲含多个绝对值不等式的解法，从此以后，这类问题将不再成为学习中的难点了，而是成为同学们在考试中得分的热点了.欢迎同学们在巧学网上咨询答疑板块与我们联系，我们会按照同学们的需要调整网上的内容，同学们的需要是我们创作的原动力.大思路解绝对值不等式，自然是要先考虑去绝对值了。

怎么去绝对值，尤其是含多个绝对值去绝对值的方法是零点分区间法。

即先令绝对值里面的数为零，.然后进行讨论求解.解不等式体验思路：先找出x体验过程：|x-4|与可以把x的取值范32-x+4+2x-3≤1.x≤0-x+4-2x+3≤12解之得x≥2 ∴此时原不等式的解集为2≤x≤4(3)当x>4时，原不等式可化为x-4-2x+3≤1解之得，x≥-2 ∴此时原不等式的解集为x>4综上所述，原不等式的解集为x≤0或x≥2。

小结: 解含多个绝对值的不等式的解法是先找出绝对值为0的零点,然后分类讨论.解完后,要进行总结,将能合并的解集合并，否则的话，改卷老师到哪里去找答案呢？好，看了上面的体验题，你明白这类问题的解法吧!现在咱们实践一下，毕竟实践出真知吗？实践题1|3x-2|+|x+1|<9实践题2解不等式|x+1|-|x-4|>3实践题答案实践题1实践详解：|3x-2|，这样可以把数轴分成三段，x≤-1；-1<x≤2 3（1）当x≤-1解得x>-2,(2)当-1<x≤2 3解得x>-3,(3)当x>2 3解得x<5 2 ,综上所述：原不等式的解集为-2<x<52.实践题2实践详解：|x+1|,|x-4|的零点分别是x=-1和x=4,将数轴分成三段：x≤-1;-1<x≤4;x>4. （1）当x<-1时，原不等式可化为：-x-1+x-4>3,即-5>3，∴此时不等式的解集为空集。