能被11整除的数的特征ppt课件

能被4、7、8、11、13整除的‎数的特征及‎其它一、被4或25‎整除的数的‎特征如果一个数‎的末两位数‎能被4或2‎5整除，那么，这个数就一‎定能被4或‎25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100‎能被25整‎除，100的倍‎数也一定能‎被25整除‎，4600与‎75均能被‎25整除，它们的和也‎必然能被2‎5整除．因此，一个数只要‎末两位数能‎被25整除‎，这个数就一‎定能被25‎整除．又如： 832＝8×100＋32由于100‎能被4整除‎，100的倍‎数也一定能‎被4整除，800与3‎2均能被4‎整除，它们的和也‎必然能被4‎整除．因此，因此，一个数只要‎末两位数字‎能被4整除‎，这个数就一‎定能被4整‎除．二、被7整除的‎数的特征方法1、（适用于数字‎位数少时）一个数割去‎末位数字，再从留下来‎的数中减去‎所割去数字‎的2倍，这样，一次次减下‎去，如果最后的‎结果是7的‎倍数（包括0），那么，原来的这个‎数就一定能‎被7整除．例如：判断133‎是否7的倍‎数的过程如‎下：13－3×2＝7，所以133‎是7的倍数‎；又例如判断613‎9是否7的‎倍数的过程‎如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以613‎9是7的倍‎数，余类推。

方法2、（适用于数字‎位数在三位‎以上）一个多位数‎的末三位数‎与末三位以‎前的数字所‎组成的数之‎差，如果能被7‎整除，那么，这个多位数‎就一定能被‎7整除．如判断数2‎80679‎末三位数字‎是679，末三位以前‎数字所组成‎的数是28‎0，679－280=399，399能被‎7整除，因此280‎679也能‎被7整除。

此法也适用‎于判断能否‎被11或1‎3整除的问‎题。

如：28367‎9的末三位‎数字是67‎9，末三位以前‎数字所组成‎的数是28‎3，679－283=396，396能被‎11整除，因此，28367‎9就一定能‎被11整除‎．如：判断383‎357能不‎能被13整‎除．这个数的未‎三位数字是‎357，末三位以前‎的数字所组‎成的数是3‎83，这两个数的‎差是：383－357=26，26能被1‎3整除，因此，38335‎7也一定能‎被13整除‎．方法3、首位缩小法‎，在首位或前‎几位，减于7的倍‎数。

• 2、173□是个四位数，在□中先后填入3个数字 后，依次可被9、11、6整除，□中先后填入的数 字和是多少？ • 173□被9整除 7 • □填7 • 173□被11整除 • □填8 • 173□被6整除 • □填4 • 7＋8＋4=19
• 例7、某校有6个兴趣小组，人数如下表： • 一天下午有5个小组去听语文和数学讲座， 其中听语文讲座的人数是听数学讲座人数 的2倍，剩下的一个小组（超过10人）外 出活动，这是第几组？
• 1、四位数2□□0是45的倍数，符合这一要求的 四位数共有多少个？ • 45=5×9 • 2□□0 • 是9的倍数，各位上数字的和是9的倍数 • （1）两个数字和是7： • 2160,2610,2250,2520, • 2340,2430，2070，2700 • （2）两个数字和是16： • 2880,2790,2970
• 例❹能被7（11或13）整除的数的特征：一个整 数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之 差（以大减小）能被7（11或13）整除。如果差 太大，可以继续上述过程，直到能直接判断为止。 • 练习1、判断1059282是否是7的倍数？
• 1059－282=777 • 777÷7=111
• 练习2、判断3546725能否被13整除？
• 例❶能被4（或25）整除的数的特征：末两位数 能被4（或25）整除。 • 练习：下列数哪些能被4整除？ • 57 • • 5170
不 能
123
不 能
340
能
不 能
784
能
6732
能
• 例❷能被8（或125）整除的数的特征：末三位 数能被8（或125）整除。 • 练习：下列数哪些能被8整除？ • 1124
• 72=8×9 • □13.7□ • 末三位37□能被8整除只能填6 • □13.76是9的倍数，□里只能填1 • 113.76

如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）

能被11 整除的数的特征能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11 的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11 整除.例如:判断491678 能不能被11 整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678 能被11 整除."奇偶位差法".这种方法叫除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11 的10 倍,20 倍,30 倍⋯⋯到余下一个100 以内的数为止.如果余数能被11 整除,那么,原来这个数就一定能被11 整除.又如:判断583 能不能被11 整除.用583 减去11 的50 倍(583- 11×50=33)余数是33, 33 能被11整除,583 也一定能被11 整除.（1）1 与0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0 是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6 或8，则这个数能被 2 整除。

（3）若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。

（5）若一个整数的末位是0 或5，则这个数能被 5 整除。

（6）若一个整数能被 2 和3 整除，则这个数能被 6 整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。

如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133 是否7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133 是7 的倍数；又例如判断6139 是否7 的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49 ，所以6139 是7 的倍数，余类推。

▪ （三）11的倍数检验法也可用上述检查7
的（割尾法）处理！过程唯一不同的是：
倍数不是2而是1。
7
▪ 例如：
▪ 判断165是否11的倍数的过程如下： ▪ 16－5=11，所以165是11的倍数；
▪ 又例如判断2112是否11的倍数的过程如下： 211－2＝209 ， 20－9＝11，所以2112 是11的倍数，依次类推。
15
23的倍数的特征：
▪ 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数 的差能被23整除，则这个数能被23整除。 （注：这里的隔出数，是一个数扣除末四 位后剩下的数字。）
▪ 例如：判断2271595是否23的倍数的过程 如下：
▪ 1595－227×5=460，460是23的倍数， 所以2271595是23的倍数。
4、6、7、8、9、 11、13、17、 19、23、29的 倍数特征
1
4的倍数的特征：
▪ 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则 这个数能被4整除,即是4的倍数 。
2
6的倍数的特征：
▪ 各个数位上的数字之和可以被3整除的偶 数。
3
7的倍数的特征：
▪ 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数 能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述（截尾、倍大、相减、 验差）的过程，直到能清楚判断为止。
14
▪ ②若一个整数的末三位与7倍的前面的隔 出数的差能被19整除，则这个数能被19整 除。（注：隔出数，就是一个数扣除末三 位后剩下的数字。例如5012的隔出数就是 5；12590的隔出数就是12。）
▪ 例如：判断21128是否19的倍数的过程如 下：
▪ 21×7－128=19，所以21128是19的倍数。

2. 与3有同种倍数特征的数据： 9的倍数的特征：一个数的各个数位上的数的和 是9的倍数，这个数就是9的倍数。 例：4536是9的倍数吗？ 解答：（4+5+3+6）÷9=2，是9的倍数， 所以4536是9的倍数。
3. 其他一些数据的倍数的特征：
7的倍数的特征：把一个数的末尾数字割去，从留下的 数中减去所割去的数字的2倍，这样继续 做下去，如果最后的结果是7的倍数，那么 原来这个数就是7的倍数。 例：判断：4151能否被7整除？
判断1884924与2560437， 能否被27或37整除。 能被27（或37）整除的数的特征：对于任何一个 自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若 干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和 能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27 （或37）整除。
判断1884924与2560437，能 否被27或37整除。 解：1884924=1,884,924， 1+884+924=1809。 因为，1809能被27整除，不能被37整除。 所以，1884924能被27整除，但不能被37整除。
所有六位数是：123654、321654
5. 一个整数乘以17后，乘积的后四位数是2002， 这样的整数中最小的是多少？ 解答：用□2002除以17，要求整数中最小的 是多少？这个数字最小就是12002。 12002÷17=706， 符合题目要求的最小的整数是706。
ABC分别是几时，使得七位数A6474BC能分别 被8、9和25整除。 分析：本体可以利用能被8、9和25整除的数的特 征，以及整除的性质3来解决。 ① 能被8整除的数的特征：一个数的末三位能被8整除。 ② 能被9整除的数的特征：一个数各个数位上的数字 之和能被9整除。 ③ 能被25整除的数的特征：一个数的末两位能被25整除。

课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1020/11/5
18
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。

练习一：
四位数 □23□，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234□□789，能被99整除，这个九位数是多少？ 分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99 的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123□□678，能被99整除，这个八位数是多少？
能被7、11、13整餘的特征：从个位开始，每三位一截， 奇数段之和与偶数段之和 的差能被7、11或13整除.
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间，拼成一个五位数59□89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是 多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
现特征：从个位开始每两位一截，得到的所有 两位数（最前面的可以是一位数）之和被99整除.
例题一：
六位数□ 2008□ ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习三：
四位数57□2，能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
{ {
例题四：
已知51位数 55...5□ 99...9能被13整除，中间方框内的数字是多少?

证明：由f(x)=
1 c
(cf(x)),可得。
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F)
g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
若是 r(x)r(x)0 那么，
q(x)q(x)0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左 边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。 因此必有：
r(x)r(x)0
因而 q(x)q(x)0
即 r(x ) r(x )q ,(x ) q (x )
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。
若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).
若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，
（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，
（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
则有：f(x)=cg(x).
说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项 式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质 判定两首项系数为1的多项式是否相等。
二 带余除法定理
三 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两 个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中 可以找到多项式g(x)和r(x),使
四
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）

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二、整除判定
7和13的倍数同样也用三位截断作差来判断
7和13部 分倍数的 特殊形式 ababab abcabc abcdabcdabcd
（4）分解判定法 一些复杂整数的整除性,例如63、72等,可 以把他们分拆成互质的整数,分别验证整除性.
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二、整除判定
（2）截断求和法 ①能被 3 （或 9 ）整除的数的特征：数 字之和（或乱切求和）能被3（或9）整除. ②能被 99 （或其约数）整除的数的特 征：两位截断求和能被99（或其约数）整除. ③能被 999 （或其约数）整除的数的 特征：三位截断求和能被 999 （或其约数） 整除. 大家猜想一下能 9 一位截断 被9999整除的数 99 两位截断 的特征是什么呢？ 999 三位截断
知识回顾
二、整除判定
（3）截断求差法 ①能被 11 整除的数的特征 : 奇位和减偶 位和能被11整除. ②能被 101 整除的数的特征 : 两位截断 , 奇段和减偶段和能被101整除. ③能被 1001 ( 或其约数 ): 整除的数的 特征:三位截断,奇段和减偶段和能被1001(或 其约数)整除. 1001=13×11×7
整除问题
主讲人：修艳平
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一、整除的定义
如果整数 a 除以整数 b （b≠0 ），所 得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b整除，也可以说b能整除a，记作 b|a. 如果除得的结果有.
知识回顾
二、整除判定
（1）尾数判断法 ①能被 2 、 5 整除的数的特征：个位数字 能被2或5整除； ②能被4、25整除的数的特征：末两位能 被4或25整除； ③能被 8 、 125 整除的数的特征：末三位 能被8或125整除. 规律： 能被16、625整 2×5=10 除的数需要看 4×25=100 末几位呢？ 8×125=1000

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的倍数，百位是3的能被7和13即91整除的数字是91×4=364，所以
3ab =64。
THANK YOU
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【数的整除特征】
3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把数从末三位断开，用末三位与末三位之前 的数做差，看这个差是否为7，11，13的倍数； 能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是 否为11的倍数； 这个差除以11余几就代表这个数除以11余几。
4．拆分系： 72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……
解题过程
45=5×9，这个五位数一定是5的倍数，则其个位为0或5； 这个五位数同样是9的倍数，则其各位数之和为9的倍数； 当个位取0时，最小的五位数为12690； 当个位取5时，最小的五位数为10395； 所以所求的五位数为10395。

• 789连续写___ 3 次，所组成的数能被9整除，并且这 把 个数最小。
六位数
• 1，
20
08能被99整除，
是多少？
99 9 11
2，各位数字之和为9的倍数，方框中数字的和只能为8或17； 又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5，可得 是71.
• 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位 数是_____. • 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是 _____. • 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.
在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能 分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
• • • • • 设补上数字后的六位数是 865abc ，它应满足以下三个条件： 第一：数字和是3的倍数； 第二：末两位数字组成的两位数是4的倍数； 第三：末位数字是0或5。 要求的六位数是865020。
• • • • • • • •
1、能同时被2、3、5整除的最小三位数是_____. 2、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 3、能同时被2、5、7整除的最小五位数是_____. 4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5、能同时被5和13整除的最小两位数是_____. 2、能同时被3、5、8整除的最小三位数是_____. 3、能同时被2、3、7整除的最大小整数是_____.
密码是1112112.
为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组 成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而 且密码能被3和4所整除．试求出这个密码． 密码是2222232
72 8 9
根据能被8整除的数的特征，计算个位的□=2 根据能被9整除的数的特征，前面的□应是3. 所以这笔帐笔记本的单价是： 367.92 72 5.11 (元).

探究并证明能被11整除的5位正整数的特征1. 前言在数学中，我们常常会遇到对整数的性质进行探究和证明的问题。

其中，能够被某个整数整除是一个重要的性质。

本文将探究并证明能被11整除的5位正整数的特征，通过推导和证明，最终得出结论。

2. 5位正整数的表示我们来考虑5位正整数的表示。

一个5位正整数可以表示为$N=xxxa+1000b+100c+10d+e$，其中a、b、c、d、e分别为个位数、十位数、百位数、千位数和万位数。

3. 11的整除特征接下来，我们来分析11的整除特征。

一个数能被11整除的充分必要条件是，该数的各个位数之和的奇偶性相同。

121是11的倍数，因为1+2+1=4，而4是偶数。

而123则不是11的倍数，因为1+2+3=6，而6是奇数。

4. 探究5位正整数的特征基于以上分析，我们在此探究5位正整数的特征。

假设一个5位正整数N能被11整除，则根据第3点的结论，$a+c+e=b+d$，且$a+c+e-b-d=11k$，其中k为某个整数。

5. 证明现在，我们来证明上述结论。

假设$N=xxxa+1000b+100c+10d+e$能被11整除，则$a+c+e-b-d$必能被11整除。

而根据第3点的结论，$a+c+e-b-d=11k$成立。

我们证明了5位正整数N能被11整除的特征。

6. 结论一个5位正整数能被11整除的充分必要条件是，该数的各个位数之和的奇偶性相同。

我们成功地探究并证明了能被11整除的5位正整数的特征。

7. 总结在数学中，我们常常通过推导和证明来探究整数的性质。

本文通过分析5位正整数的表示以及11的整除特征，最终得出了能被11整除的5位正整数的特征。

这一过程充分展现了数学推理和证明的重要性，也为我们理解整数的性质提供了有益的参考。

8. 参考文献1. 王军. 数学分析[M]. 高等教育出版社, 2008.2. 张三, 李四. 离散数学基础[M]. 清华大学出版社, 2010.以上便是本文对能被11整除的5位正整数的特征的探究和证明，希望能对读者有所帮助。

能被11整除的数的奥秘这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。

也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。

例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

例1判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。

如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。

例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11=0……7，所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。

因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

（17+11×2）-32＝7,所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。

如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。

例3求除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。

能被整除的数的特征
2或5 4或25 8或125
末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 末三位数能被8或125整除
7、11、13 一个整数的末三位与末三位以前 的数字组成的数的差能被7，11或 13整除
.
14
.
15
数的整除特征
奥数专题
下列数字哪些能被2整除，哪些能被5 整除？
① 125，②756， ③1011， ④2450， ⑤7855 ,⑥8104，⑦9152，⑧70975
能被2整除：②、④、⑥、⑦ 能被5整除：①、④、⑤、⑧
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2
（一）数的整除特性：
如果具有某个条件的数，都能被 整数b整除，反过来，能被b整除的 数，都具有这个条件，那么这个条 件就叫做被b整除的数的特征.
.
3
（二）数的整除特征 1.能被2或5整除的数的特征是： 这个数的末 一位能被2或5整除. 2.能被4或25整除的数的特征是： 这个数的末两位能被4或25整除. 3. 能被8或125整除的数的特征是： 这个数的末三位能被8列整数 ①53728， ②375， ③1011， ④328925，⑤8421862，⑥8150， ⑦73600，⑧309108.
（3）能被8整除的最小四位数是
，
最大三位数
..
.
7
练习1
（2）当m＝ 7 时，能被25整除.
（3）能被4整除的最大四位数___9996__.
（4）能被8整除的最小四位数是 1000 ，
最大三位数 992
..
.
8
（二）数的整除特征
1.能被2或5整除的数的特征是：
这个数的末 一位能被2或5整除.
2.能被4或25整除的数的特征是：

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有，是不是很难算呢？那么今天就让我们来揭开他
数的整除特征
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1. 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
665÷13=15(整除）
2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征
小测试 07692308(不能整除）
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征
665÷13=15(整除）
同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有，是不是很难算呢？那么今天就让我们来揭开他
46÷9 67÷11 123÷13 们的秘密吧！
同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有，是不是很难算呢？那么今天就让我们来揭开他
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。