高一数学平面向量计算题

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．2.设向量，，若向量与向量共线，则= ．【答案】-3【解析】由题知=（，），由向量与向量共线得，()(-3)-( )(-1)=0,解得，=-3.考点:向量的坐标运算；向量共线的充要条件3.已知点，，向量，若，则实数的值为．【答案】4【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件4.已知平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】∵=（2，-1），=（1，1），∴＝(2，−1)+k(1，1)＝(2+k，k−1)，又=（-5，1），且∥，，∴1×（2+k）-（-5）×（k-1）=0，解得：k=．故选：B．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．5.已知向量，若向量则( ).A．B．2C．8D．【答案】B【解析】.【考点】平面向量平行的坐标表示.6.已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由向量的坐标运算及向量模的定义易表示出，，再由求得的值；（2）首先由同角的三角函数关系求出，再由得的值，最后合理的拆分角及和角公式得即可求得结果.试题解析：(1)(2)【考点】向量的坐标运算及向量模的定义；同角的三角函数关系；三角函数的和、差角公式.7.已知向量，且，则．【答案】.【解析】∵，∴，，又∵，∴.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量共线的坐标表示.8.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】【解析】根据∥有,可知,得．【考点】向量共线．9.已知向量，,,且、、三点共线，则=_________．【答案】【解析】∵A,B,C三点共线，∴，又∵，，∴，解得．【考点】向量共线的坐标表示．10.已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则等于（）A．-2B．-6C．2D．3【答案】A【解析】解：∵A（1，1）、B（-1，0）、C（3，-1），∴=（-2，-1），=（2，-2）∴=（-2）•2+（-1）•（-2）=-2，故选A.【考点】数量积的坐标表达式．11.若，点的坐标为，则点的坐标为.【答案】【解析】设，则有，所以，解得，所以.【考点】平面向量的坐标运算.12.已知,,则．【答案】【解析】根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到.向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.【考点】向量的减法运算13.已知向量（）A．（8，1）B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算点评：若，14.设向量满足及，（Ⅰ）求夹角的大小；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)设与夹角为，，而，∴，即又，∴所成与夹角为.(Ⅱ)∵所以.【考点】向量的夹角向量的模点评：本题是一个考查数量积的应用问题，在解题时注意启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，把握向量的几何表示，注意数量积性质的相关问题15.设，向量且，则( )A．B．C．2D．10【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算及向量位置关系点评：若则，16.已知点和向量,若,则点的坐标为________.【答案】【解析】设【考点】向量的坐标运算点评：若则，两向量相等，则其横纵坐标对应相等17.已知＝(1,2)，＝(-2,k)，若∥(+)，则实数的值为．【答案】-4【解析】因为＝(1,2)，＝(-2,k)，所以+=（-1,2+k），因为∥(+)，所以1×（2+k）+2=0，解得，k=-4.【考点】平面向量的加法运算；平面向量平行的条件。

高一数学平面向量的概念试题答案及解析1.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】根据题意由于向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，那么可知向量表示向东南航行km ，故选A.【考点】向量的物理意义点评：主要是考查了向量的物理意义的运用，属于基础题。

2.在平行四边形ABCD中, + +等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图形，+ += + += ，故选A。

【考点】本题主要考查平面向量的线性运算。

点评：简单题，在平行四边形中，由平行四边形法则。

注意相等向量及相反向量。

3.已知点，向量，且，则点的坐标为。

【答案】【解析】设点的坐标为（x,y）,则由得，（x-2,y-4）=2(3,4),所以x-2=6,y-4=8，所以x=8,y=12，即点的坐标为。

【考点】本题主要考查平面向量的概念及其坐标运算。

点评：简单题，注意若A（a,b）,B(c,d),则。

4.作用于原点的两个力F1 ="(1,1)" ,F2 ="(2,3)" ,为使得它们平衡，需加力F3=【答案】(-3,-4)【解析】F3=-(F1+F2)=-(3,4)=(-3,-4).5.下列判断正确的是 ( )A．若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；B．单位向量都相等；C．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D．模为0的向量的方向是不确定的。

【答案】D【解析】解：因为A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成四边形。

B.单位向量都相等；方向不一样。

C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。

D.模为0的向量的方向是不确定的，成立6.下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B．模相等的两个平行向量是相等向量.C．若和都是单位向量,则.D．两个相等向量的模相等.【答案】D【解析】根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．解：对于（1），相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；对于（2）模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；对于（3），都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；对于（4），相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．故选C7.给出下列命题：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则。

高一数学 平面向量练习题1、下列说法正确的是（ ）A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小.2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ ）A 、相等的向量B 、平行的向量C 、有相同起点的向量D 、模相等的向量3、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（ ）A 、（1，5）或（5，5）B 、（1，5）或（－3，－5）C 、（5，－5）或（－3，－5）D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）5、已知a =(2,3) , b =(4-,7) ,则a 在b 上的投影值为（ ）A 、13B 、513 C 、565 D 、65 6、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ ）A 、17B 、18C 、19D 、207、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、23D 、108．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =9．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， B ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 10．设向量||4,||3,60a b a,b ==<>=︒，则||a+b 等于（ ）A ．37B ．13CD 11．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．412．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．300 B.600 C.1200 D.150013．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是． 14．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则()a a +b = ．15．已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么a+b 与a-b 的夹角的大小是 .16．已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈，向量1)b =-（1）当//a b ，求θ. （2）当a b ⊥时，求θ. （3）求|2|a b -的最大和最小值.17．已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(0)ααββαβπ<<<a=b=.（1）求证：a b +与a b -互相垂直.（2）若|a b k +|与|a b k -|大小相等，求βα-（其中,0k R k ∈≠）18. 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()30A ，、()03B ，、()cos sin C αα，，且π3π22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值.参考答案：1.D2.D3.C.4.D5.C6.C7.C 8. A13. －314.21 15. 2π 16. （1）θ=32π； （2）θ=3π； （3）最大值为4，最小值为2(3－1)。

高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。

第二章 平面向量 一、选择题

1．如图所示， A ． BC C ． CB ABCD 中， AB － BC ＋ CD 等于( )． B ． DA

D ． BD

2．在矩形 ABCD 中，| AB |＝ 3 ，| BC |＝1，则向量( AB ＋ AD ＋ AC )的长等于 ( )． A ．2 B ．2 3 (第 2 题) C ．3 D ．4

3．如图，D ，E ，F 是△ABC 的边 AB ，BC ，CA 的中点，则 AF － DB 等于( )．

A ． FD

B ． FC C ． FE

D ． BE

4．下列说法中正确的是( )． A ．向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b 与向量 c 共线，则向量 a 与 c 共线 B ．任意两个模长相等的平行向量一定相等 C ．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 所在直线的夹角为锐角 D ．共线的两个非零向量不平行 D ．e1＝(2，-3)， e2＝( 1

5．下面有四个命题，其中真命题的个数为( )． ①向量的模是一个正实数． ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件． ③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等． ④模相等的平行向量一定相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．下列说法中，错误的是( )． A ．零向量是没有方向的 B ．零向量的长度为 0 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量的方向是任意的 7．在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是 BC ，CA ，AB 边上的中线，G 是它们的交点，则 下列等式中不正确的是( )．

A ． BG ＝ 2 3 BE

B ． DG ＝ 1 2 AG

C ． CG ＝－ 2FG

1 2 1 D ． DA ＋ FC ＝ BC 3 3 2

8．下列向量组中能构成基底的是( )． A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

B ．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)

高一数学必修4《平面向量》复习向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ① 向量：既有_____又有______的量 向量的大小即向量的_____，记作|AB | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为______，其方向是任意的，规定：0 与任意向量_____零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =2向量加法 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”3向量的减法 三角形法则4实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7、平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标8平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==，则=±_____________ (2)若()()2211,,,y x B y x A ，则=AB __________________ (3)若a =(x,y)，则λa =_______________ (4)若()()1122,,,a x y b x y ==，则⇔// _______________ (5)若()()1122,,,a x y b x y ==，则=•_______若a b ⊥，则_____________9、两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b = 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=若两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +10向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影11、数量积的应用：①模长公式：22||a a a a ⋅== 12、 ②夹角公式：==cos θ_________③垂直：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔____________ 12、乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+高一数学平面向量测试题一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）1．“两个非零向量共线”是这“两个非零向量方向相同”的 （ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件2．已知点P 分211P P 所成的比为－3，那么点1P 分P P 2所成比为 （ ） A ．34- B. 32- C. 21- D. 23- 3．点（2，－1）按向量a 平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到 （ ）A ．(2,－1) B. (－2,1) C. (6,－3) D. (－6,3))4．已知a =(1,－2),b =(1,x),若a ⊥b ,则x 等于 （ ）A ．21 B. 21- C. 2 D. －2 5．下列各组向量中，可以作为基底的是 （ ）A ．)1,2(),0,0(21-==e e B. )9,6(),6,4(21==e eC ．)4,6(),5,2(21-=-=e e D. )43,21(),3,2(21-=-=e e6．已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a = （ ）A ．3 B. 9 C . 12 D. 13 7．已知点O 为三角形ABC 所在平面内一点，若=++，则点O 是三角形ABC 的( ) A ．重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心8．设a =(2,－3),b =(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于 （ ）A ．－3 B. 3 C. 31- D. 31 9．已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为 （ ）A ．0 B. 2 C. 21 D. －2 10．已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B. 4π C. 3π D. 32π 二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）11．在三角形ABC 中，点D 是AB _______=⋅CB CA 12．设21,e e 是两个不共线的向量，则向量b =)(21R e e ∈+λλ与向量a =212e e -共线的充要条件是_______________13．圆心为O ，半径为4的圆上两弦AB 与CD 垂直相交于点P ，若以PO 为方向的单位向量为b ，且|PO|=2，则PD PC PB PA +++=_______________14．已知O 为原点，有点A （d,0）、B （0，d ），其中d>0，点P 在线段AB 上，且AB t AP =（0≤t ≤1），则⋅的最大值为______________三、解答题15．（12分）设a,b 是不共线的两个向量,已知,2,,2b a b a kb a -=+=+=若A 、B 、C 三点共线,求k 的值.16．（12分）设向量a ，b 满足|a|=|b |=1及|3a-2b|=3，求|3a+b |的值17．（14分）已知|a|=2，|b|=3，a 与b 夹角为 45，求使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角时，λ的取值范围18．（14分）已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围19．（14分）已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直20．（14分）已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用)(u f v =表示（1）证明：对于任意向量a,b 及常数m,n 恒有)()()(b nf a mf nb ma f +=+成立（2）设a=(1,1),b=(1,0)求向量)(a f 及)(b f 的坐标（3）求使),()(q p c f =(p,q 为常数)的向量c 的坐标高一数学平面向量测试题参考答案1．选（B ）2．选（B ）3．选（D ）4．选（A ）5．选（C ）6．选（D ）7．选（A ）8．选（C ）9．选（A ）10．选（B ）11．答案：012．答案：21-=λ 13．答案：4b14．答案：2d15．【解】由A 、B 、C 三点共线，存在实数λ，使得BD AB λ=∵ b a CD b a BC 2,-=+=∴ b a CD BC BD -=+=2故2a +k b =)2(b a -λ又a,b 不共线∴ λ=1，k=－116．【解】由|a|=|b |=1，|3a-2b |=3得，91249)23(222=⋅-+=-b a b a b a ∴ 31=⋅b a ∴1269)3(222=⋅++=+b a b a b a 即32|3|=+b a17．【解】∵ |a|=2，|b|=3 ，a 与b 夹角为 45∴ 3222345cos ||||=⨯==⋅ b a b a 而（a+λb ）·（λa+b ）=3113933222222++=+++=+++λλλλλλλλb ba ab a要使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角，则（a+λb ）·（λa+b ）>0即031132>++λλ从而得6851168511+->--<λλ或 18．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a19．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值 （2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥(a +t b )20．【解】（1）设向量a=),(11y x ，b=),(22y x ,则m a +n b=),(2121ny my nx mx ++ 由)(u f v =，得 )22,()(212121nx mx ny my ny my nb ma f --++=+而)22,()2,()2,()()(212121222111nx mx ny my ny my x y y n x y y m b nf a mf --++=-+-=+∴对于任意向量a,b 及常数m,n 恒有)()()(b nf a mf nb ma f +=+成立（2）∵ a=(1,1),b=(1,0)，)(u f v =∴ )1,0()(),1,1()(-==b f a f（3）设c=(x,y)，由),()(q p c f =得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=p y q p x q x y p y 22 ∴ c=),2(p q p -。

高一数学平面向量试题答案及解析1.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是；【答案】【解析】略2.已知平面向量，且∥，则（）A．-3B．-9C．9D．1【答案】B【解析】由两向量平行坐标间的关系可知【考点】向量平行的性质3.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．试题解析：（1）∵的周期为∴（2），则【考点】（1）辅助角公式（2）三角函数的值域4.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得：D为BC中点，，又因为在边长为的正三角形中，所以，故解得，故选择D【考点】平面向量的线性运算5.若向量满足：，，，则 .【答案】【解析】【考点】向量垂直与向量的坐标运算6.设，向量，，且，∥，则______________．【答案】【解析】因为，∥，所以有即，，所以【考点】向量坐标运算7.向量a=，b=，则A．a∥bB．C．a与b的夹角为60°D．a与b的夹角为30°【答案】B【解析】根据两向量平行坐标表示公式“”可得A错误；根据两向量垂直的坐标表示公式“”可得B正确；根据B可知两向量夹角为，所以C，D错误，故选择B【考点】向量线性关系8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选择A【考点】向量的加减法运算9.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】,,,,则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．【考点】1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．10.已知向量则x=【答案】6【解析】由题意可得,解得．【考点】向量共线．11.（2015秋•友谊县校级期末）已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】作出图象，由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心，故，代入m+m=可解出m．解：以MB，MC为邻边作平行四边形MBEC，连结ME交BC于D，如图．则，∵+=﹣，∴M在线段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中点，∴=2=3，∵m+m=，∴3m=，∴m=．故选C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．12.已知点（1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）只需证明且三点不在一条直线上即可；（2）利用菱形的定义可求得坐标，进而求出所求的值.试题解析：（1）∵点∴∴.若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，此方程无解，∴∴∠APB恒为锐角．（2）∵四边形ABPQ为菱形，∴，即，化简得到解得设Q（a，b），∵，∴，∴【考点】平面向量数量积的运算13.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．14. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．15.已知，，，则=（）A．﹣8B．﹣10C．10D．8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出．解：，，，∴=+|+2=16+25+2=21，∴=﹣10，故选：B．【考点】平面向量数量积的运算．16.已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于m，n的等式，从而可以求出．解：如图，由的两边分别乘以得：；∴；∴得：；∴；∴．故选：B．【考点】向量在几何中的应用．17.已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，.【考点】向量数量积的坐标表示.18.=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为．【答案】【解析】由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．解：∵=（2，3），=（﹣3，5），∴，，则=．故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算．19.已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为120°．(1) 求及＋；(2)设向量＋与－的夹角为θ，求cosθ的值．【答案】(1);;(2).【解析】(1)根据向量的数量积的运算公式；以及；（2）根据公式，根据数量积公式，再根据公式试题解析：解析：(1)＝||||cos 120°θ＝1×2×(－)＝－1，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2＝12＋22＋2×(－1)＝3.所以|＋|＝(2)同理可求得|－|＝.因为(＋)(－)＝2－2＝12－22＝－3，所以cosθ＝＝＝－．所以向量＋与－的夹角的余弦值为－．【考点】向量数量积20.（1）在直角坐标系中，已知三点，当为何值时，向量与共线？（2）在直角坐标系中，已知为坐标原点，，，当为何值时，向量与垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】首先根据向量减法的线性运算得到向量与的坐标，当与共线时坐标交叉积的差等于零，当与垂直是数量积等于零，从而列出的方程，即可求得满足条件的的值.试题解析：（1）∵，又向量与共线，∴,解得（2）,当向量与垂直时，，即，解得【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示.21.已知a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝|a|＋|b|，则一定有（）A．a＝b B．a∥b，且a，b方向相同C．a＝－b D．a∥b，且a，b方向相反【答案】B【解析】根据向量加法的几何意义， a，b方向相同，方向相同即是共线向量.【考点】向量加法的几何意义．22.已知向量．（1）若点三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值.【答案】（Ⅰ）-19；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得；（Ⅱ）根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析：解：（Ⅰ）∴，.（Ⅱ），则，∴，【考点】向量的减法运算；向量平行和垂直的充要条件.23.平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】（1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到，从而同理可以用分别表示出；（2）设线段、的中点分别为，用分别表示出，从而可得，即证得线段交于一点且互相平分．试题解析：（1），.（2）证明：设线段的中点为，则，设中点分别为，同理：，，∴，即其交于一点且互相平分.【考点】1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算．【方法点睛】本题考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．另一种解法：（1）；同理，；（2）证明：如图，连接，则，且，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴线段交于一点且互相平分，同理，线段交于一点且互相平分，∴线段交于一点且互相平分．24.已知是两个非零向量，当的模取最小值时.①求的值；②已知与共线且同向，求证：与垂直.【答案】①；②证明见解析.【解析】（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小；（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．试题解析：①令，则.当时，.②证明：与共线且同向，,,,.【考点】（1）向量的模；（2）数量积判断两个向量的垂直关系.【方法点晴】本题主要考查模长形式，通常两边平方以及证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，因为在本题中主要是数学符号的运算，所以对学生的运算能力要求较高，属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．25.已知，在方向上的投影为，则（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】由在方向上的投影为，则，所以，故选B.【考点】向量的数量积及向量的投影的应用.26.给出下列命题：（1）若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若则；（4）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得，（1）中，例如，此时，但，所以不正确；（2）中，向量是既有大小又有方向的量，所示向量不能比较大小，所以（2）是正确的；（3）中，根据相等向量的概念，可得“若则”是正确的；（4）中，由，则是成立的，但由，则与是相等向量或相反向量，所以不正确，综上所述，正确命题的个数为个，故选B.【考点】向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念，其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键，试题很容易出错，属于易错题，本题的解答中，（4）中，，容易忽视相反向量的概念，造成错解，应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念，防止出错.27.已知向量，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故选A．【考点】数量积的坐标运算．28.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据四边形为平行四边形，利用，即可求解的值；（2）利用为等腰直角三角形，且为直角，则且，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用．29.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量模的平方等于向量的平方，即可化简，即可求解的值；（2）设，利用，求得的值，又由，，即可运算的值．试题解析：（1） =169，得；（2）矩形ABCD中，∵点F在边CD上，∴设，，本小题也可建坐标系，用平面向量坐标运算解决．【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算．30.已知三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为，若，则 =（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的坐标运算31.已知向量与的夹角为，||=2,||=3,记,（1）若，求实数k的值。

高一数学平面向量试题答案及解析1.在中，，是边上任意一点（与不重合），若，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），∵|AB|2=|AD|2+|BD|×|DC|，∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），即d2-b2+（d-b）（c-d）=0，∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，∴b+c=0，即b=-c，∴B与C关于y轴对称，∴AB=AC，则△ABC为等腰三角形．得到∠B=∠C=75°2.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．3.向量，若，则实数的值为．【答案】【解析】【考点】向量的数量积的坐标运算及向量模4.已知为锐角，，且，则为．【答案】或【解析】因为，，故为或．【考点】平行向量的坐标表示5.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】，所以【考点】1．数量积的坐标表示；2．两向量垂直的充要条件6.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对【答案】A【解析】移项得设AB边的中点为D，则所以O在与边垂直的直线上，选A．【考点】向量加减法的几何意义，数量积的性质．7.如图，在四边形中，，且，，记向量则= （）A．B．C．D．【答案】B【解析】作于，与，由题意，且，记向量，，故选B．【考点】（1）向量在几何中的应用（2）向量的加法及其几何意义8.如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界），若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于点落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知与方向相反，与相反，，故选D．【考点】向量加减呼和运算及其几何意义9.已知向量a＝（1,2），b＝（x＋1，－x），且a⊥b，则x＝（）A．2B．C．1D．0【答案】C【解析】两向量垂直坐标满足【考点】向量垂直的判定10.设R，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．10【答案】B【解析】由得：，解得：，所以，，则，所以。

高一数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.已知为平行四边形，若向量，，则向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的减法2.（1）化简（2）如图，平行四边形中，分别是的中点，为与的交点，若=，=，试以，为基底表示、、．【答案】（1）；（2），，．【解析】（1）根据向量加法的三角形法则，可得到；在中，可得，在中，可得，在中，由条件可得为其重心，因此．（1） 3分；（2） 6分9分是的重心， 12分．【考点】1．向量加法的三角形法则；2．向量的减法运算．3.化简得（）A．B．C．D．【答案】【解析】【考点】向量的三角形法则.4.如图BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】因为,同理可得所以,根提题意知,所以.【考点】三角形法则的应用.5.已知平行四边形，是的中点，若，则向量= （用向量表示）．【答案】【解析】在三角形中,将所求向量表示成已知向量的和与差,利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键.【考点】向量三角形法则,6.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点,若，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，与相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，，解得，，由向量加法的三角形法则可知，,故D正确。

【考点】平面向量的加减法7.已知向量，若，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，即，所以，，所以【考点】向量共线数量积公式，向量加减法坐标公式8.化简下列式子：其结果为零向量的个数是（）①；②；③；④A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】对于①成立，对于②,对于③=,对于成立，故答案为D.【考点】向量的加减法点评：主要是考查了向量的加减法法则运用，属于基础题。

9.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示( )A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】本题充分体现向量的大小和方向两个元素，根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理做向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km，故选A．【考点】向量的加法几何意义点评：本题考查向量的几何意义，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．10.如图.点M是的重心,则为（）A．B．4C．4D．4【答案】D【解析】点M是的重心，所以有点是中点，【考点】向量的加减法点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，加法：将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量11.D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵D、F分别是三边BC、AB中点，∴，∴，故选A【考点】本题考查了向量的运算点评：熟练掌握向量的概念及运算是求解此类问题的关键，属基础题12.设不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．与B．与C．与D．和【答案】B【解析】∵=-2（），∴（）∥（），故与不能作为基底，故选B【考点】本题考查了基底的概念点评：熟练掌握基底的概念及共线向量的判定是求解此类问题的关键，属基础题13.下列计算正确的有（）个①②③A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据向量的运算法则可知：式子①，正确；②，正确，式子③，∴正确的由2个，故选C【考点】本题考查了向量的运算法则点评：熟练掌握数乘向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题14.已知||=3,||=4,向量+与－的位置关系为（）A．平行B．垂直C．夹角为D．不平行也不垂直【答案】B【解析】因为||=3,||=4,所以（+）·（－）==0，即向量+与－的位置关系为垂直，选B。

高一数学平面向量试题答案及解析1.设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为()A．4a－5b＝3B．5a－4b＝3C．4a＋5b＝14D．5a＋4b＝14【答案】A【解析】据投影定义知，＝⇒·－·＝0⇒·＝0，⇒4(a－2)＋5(1－b)＝0⇒4a－5b＝3.2. (08·浙江)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C．D．【答案】C【解析】由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.3. (2010·金华十校)△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．【答案】3【解析】∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.4.已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥，⊥.(1)求x、y的值；(2)求四边形ABCD的面积．＝||·||＝×4×8＝16.【答案】（1）x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3（2）S四边形ABCD【解析】(1)＝＋＋＝(4＋x，y－2)，∴＝(－4－x,2－y)，由∥得，x(2－y)＋y(4＋x)＝0①＝＋＝(6＋x，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，由⊥得，(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0②由①②解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.(2)当x＝2，y＝－1时，＝(8,0)，＝(0,4)，∴S＝||·||＝×8×4＝16；四边形ABCD当x＝－6，y＝3时，＝(0,4)，＝(－8,0)，∴S＝||·||＝×4×8＝16.四边形ABCD5.已知a＝(，－1)，b＝.(1)求证：a⊥b；(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k ＝f(t)；(3)求函数k＝f(t)的最小值．【答案】（1）见解析（2）k＝t(t－3)．（3）－.【解析】(1)由a·b＝－＝0，得a⊥b.(2)由x⊥y得，x·y＝[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.－ka2＋t(t－3)b2＝0.∴k＝t(t－3)．(3)k＝t(t－3)＝－，所以当t＝时，k取最小值－.6.已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝()A．B．3C．3D．【答案】B【解析】∵·＝m||2＋n·＝m，·＝m·＋n·||2＝3n，∴＝S＝1，∴＝3.7.已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则·＝________.【答案】-2【解析】∵|AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°.∴·＝||·||·cos120°＝－2.8.一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？【答案】船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时【解析】如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°.∴||＝＝2，sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．9.已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是() A．B．C．－3D．0【答案】D【解析】∵＝－，＝－.∴＝－－＝－－.∴＝－，∴＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.10.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°【答案】B【解析】∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴〈a，b〉＝120°.11.P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】D【解析】由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．12.已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据向量数量积的意义，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝4cosθ＝2及0≤θ≤π，可得θ＝，选C.13. (09·天津文)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝______________.【答案】-2【解析】∵＝＋，∴＝－＝－，＝－＝－.∴·＝－ 2－ 2＋·＝－×12－×12＋×12×＝－2.14.已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．【答案】<λ<且λ≠－1.【解析】由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，∴cosθ＝<0，∴(a＋λb)(λa＋b)<0.λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴<λ<.若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，∵a，b不共线，∴，∴k＝λ＝－1，∴<λ<且λ≠－1.本题易忽视θ＝180°时，也有a·b<0，忘掉考虑夹角不是钝角而致误．15.已知a，b是两个非零向量，证明：当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．【答案】当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．【解析】当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，b·(a＋λb)＝0，∴λ＝－.|a＋λb|2＝λ2b2＋2λa·b＋a2＝b2＝b22＋a2－2.当λ＝－时，|a＋λb|取得最小值．即当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．[点评]本题是将向量、函数的知识有机地结合起来，考查了向量与函数知识的综合应用．要注意a＋λb的模是一个关于λ的二次函数．16. .已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在θ，使|a＋b|＝|a－b|成立，若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立【解析】假设满足条件的θ存在，由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，即|a|2－4a·b＋|b|2＝0，∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0，由Δ≥0，得(4cosθ)2－4≥0，解得cosθ≤－或cosθ≥，又cosθ∈[－1,1]，∴－1≤cosθ≤－或≤cosθ≤1，∵θ∈[0，π]，∴θ∈∪，故当θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立．17.已知a＝(2,1)，b＝(x，－2)且a＋b与2a－b平行，则x等于()A．－6B．6C．－4D．4【答案】C【解析】∵(a＋b)∥(2a－b)．又a＋b＝(2＋x，－1),2a－b＝(4－x,4)，∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，解得x＝－4.18.已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于()A．－6B．6C．2D．－2【答案】B【解析】a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.19. (09·北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向【答案】D【解析】c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c∥d⇒k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.20.若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．【答案】－【解析】∵A、B、C共线，∴∥，∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴＋＝－.21.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【答案】D【解析】设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)．又由表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0，即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．22.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有()A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】D【解析】与向量共线的向量有：，，，，，，，，，故共有9个23.在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤【答案】D【解析】由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.24.下列命题正确的是()A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量【答案】D【解析】当b＝0时，A不对；如图a＝，c＝，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．在▱ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确．25.如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)向量与是否相等？【答案】(1) ＝，＝；(2)与共线的向量为：，，；(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；(4)不相等【解析】(1) ＝，＝；(2)与共线的向量为：，，；(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；(4)不相等26.已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．【答案】力F1，F2的大小分别为5N和5N.【解析】设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，由题意易得||＝||cos60°＝5，||＝||sin60°＝5，因此，力F1，F2的大小分别为5N和5N.27.若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.【答案】略【解析】如图所示，连结AC，在△DAC中，∵N，M分别是AD，CD的中点，∴∥，且||＝||，且与的方向相同．同理可得||＝||且与的方向相同，故有||＝||，且与的方向相同，∴＝.28.化简－＋＋的结果等于()A．B．C．D．【答案】B【解析】原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.29.．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A．＝B．＋＝C．－＝D．＋＝0【答案】C【解析】A显然正确．由平行四边形法则知B正确．C中－＝，故C错误．D中＋＝＋＝0.30.在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形【答案】C【解析】以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．∴选C.。

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知是同一平面内的三个向量，其中.（Ⅰ）若，且，求向量；（Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为是在坐标前提下解决问题，所以求向量，即求它的坐标，这样就必须建立关于坐标的方程；（Ⅱ）求与的夹角的正弦值，首先应想到求它们的余弦值，如何求，还是要建立关于它的方程，可由与垂直关系，确立方程来解决问题.试题解析：（Ⅰ），可设， 1分∴，， 2分∴ 4分∴或. 6分（Ⅱ）∵与垂直，∴，即 8分∴，∴， 10分，所以与的夹角的正弦值 12分【考点】平面向量的坐标运算和向量之间的关系.2.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上（1）若，求；（2）设，用表示，并求的最大值.【答案】（1），（2）1.【解析】（1）本小题中因为思路一即化为坐标运算：从而求得x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算：即可求得模长；（2）本小题因为所以则，两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,以下把问题转化为目标函数为t的线性规划问题加以解决.试题解析：（1）解法一：又解得x=2,y=2,即所以解法二：则,所以所以（2），两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.【考点】平面向量的线性运算与坐标运算；线性规划问题.3.已知(1)若，求x的范围；(2)求的最大值以及此时x的值.【答案】(1);(2),或【解析】(1)先利用向量的数量积的坐标表示把的解析式表示出来，得，然后解关于的一个一元二次不等式得到的范围，然后再解三角不等式即可。

（2）用换元法求的最大最小值，然后求的取值即可。

试题解析：解：（1）由题意，即，；（2）∵令，则，当，即或时，.【考点】1、向量的坐标运算；2、三角不等式；3、换元法求函数的最值；4.已知点，，向量，若，则实数的值为．【答案】4【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件5.已知向量，，函数.(1)若，求的最大值并求出相应的值；(2)若将图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的倍，横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位得到图象，求的最小正周期和对称中心；（3）若，求的值.【答案】（1），；（2），（3）。

高一数学平面向量的应用试题答案及解析1.已知D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由于D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，，.【考点】向量相等和加法运算.2.在△ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为( ).A．B．C．1D．3【答案】B.【解析】如图，因为，所以，又B,P,N三点共线，所以，则.【考点】平面向量基本定理，及重要结论：如上图当B,P,N共线时，且，则有.3.已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部（不含边界），则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，延长AP交BC于D，设(m>1),,即,∴，又∵，∴，又∵∴1<m<3，∴．【考点】平面向量的线性运算．4.设，，且，则锐角为______________．【答案】【解析】解：∵，，∴由，得3×cosα=sinα×，即sinα=cosα，由此可得tanα==，结合α为锐角，可得α=．【考点】平行向量与共线向量．5.已知向量a＝(sinx，1)，b＝(1，cosx)，－＜x＜. (1)若；(2)求|a＋b|的最大值【答案】(1)，(2)【解析】(1)带入角,直接利用向量的数量积公式计算;(2)首先计算的坐标，再计算模长，然后利用辅助角公式计算最值.试题解析：(1) ,则,所以.(2)因为,所以,利用辅助角公式有,显然当,即时,.【考点】向量的数量积,模的计算,辅助角公式求最值.6.下列说法正确的是_________（请把你认为正确说法的序号都填上）.①与共线的单位向量是；②函数的最小正周期为；③是偶函数；④是所在平面内一点，若，则是的垂心；⑤若函数的值域为，则的取值范围是.【答案】②③④【解析】对于①，与共线的单位向量为；对于②，函数，所以该函数的最小正周期为；对于③，由，定义域关于原点对称，此时，，故该函数为偶函数；对于④，由，同理，所以是高线的交点即的垂心；对于⑤，当的值域为时，的值域必须包含了所有的正实数，结合二次函数的图像可知或；综上可知，②③④正确.【考点】1.平面向量的线性运算；2.三角函数的图像与性质；3.函数的奇偶性；4.平面向量的数量积；5.对数函数的图像与性质.7.已知向量若则 .【答案】【解析】两向量垂直，满足条件，可得，公式求得.【考点】向量垂直坐标表示以及向量模的公式.8.已知点是函数，）一个周期内图象上的两点，函数的图象与轴交于点，满足．（1）求的表达式；（2）求函数在区间内的零点．【答案】（1）；（2）函数在区间内的零点为或.【解析】（1）已知是函数一个周期内图象上的两点，可求得，；又，有已知条件可知，，进而可得，所以的表达式为.（2）求函数在区间内的零点，即令解关于x 的方程，满足即可.试题解析：（1），，；（3分）得；（6分），，，得，，．（9分）（2），，，即，或，得或（14分）【考点】三角函数的性质、函数的零点、向量的数量积.9.如图,是正方形ABCD的内接三角形,若,则点C分线段BE所成的比为( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，,,,解得，所以故选B。

高一平面向量测试题一、选择题：1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．)0,0(=a ρ )2,1(-=b ρB ．)2,1(-=a ρ)4,2(-=b ρC ．)5,3(=a ρ)10,6(=b ρD ．)3,2(-=a ρ)9,6(=b ρ2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；3.已知两个非零向量22),2,3(),6,3(,b a b a b a b a --=--=+则与=（ ）A ．－3B ．－24C ．21D ．12。

4. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 5.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 106.已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a//b ，则x=（ ）A 4B 5C 6D 77.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是（ ）A.=-B.a （b ·c ）= （a ·b ）cC.()()(,)a a λμλμλμ=∈R D ．00=⋅ 8. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a ρρρρ,),,1(),,1(-==（ ）A ．1B ．2C ．2D ．4 10.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ）A ．B ． 2C ．D ．1011.,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u rA ．34a b +r rB ．1344a b +r rC ．1144a b +r rD ．3144a b +r r12.若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180o, 且b 3=则b 等于( ).A. (3,6)-B. (3,6)-C. (6,3)-D. (6,3)-13.已知→a =2，→b =3，→→-b a =7,则向量→a 与向量→b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π14.已知非零单位向量a r 、b r 满足a b a b +=-r r r r ,则a r 与b a -r r 的夹角是( )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π615.已知)1,6(),2,3(-==b a ，而)()(b a b a λλ-⊥+，则λ等于（ ）A ．1或2B ．2或－12C ． 2D ．以上都不对16.已知向量(2,2),(5,)a b k =-=r r ，若a b +r r不超过5，则k 的取值范围是（ ）A ．[-4，6] B. [-6，4] C. [-6，2] D. [-2，6]17.设、是非零向量，)()()(,x x x f R x -⋅+=∈若函数的图象是一条直线，则 必有（ ） A ．⊥ B ．//C ．||||=D ．||||≠18.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若λλ则则,31,2+===（ ） A ．32 B ．31 C ．－31 D ．－3219.21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=，若D B A ,,三点共线，则k 的值是（ ） A ．2 B ．3-C ．2-D ．3ABC D二、填空题：1.已知i r 与j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r 且a r 与b r的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是2.设向量a r与b r的模分别为6和5，夹角为120°，则||a b +r r等于3 已知向量1(3,2),(5,1),2OM ON MN =-=--u u u u r u u u r u u u ur 则等于4 已知平面内三点(2,2),(1,3),(7,)A B C x BA AC ⊥u u u r u u u r满足，则x 的值为5 设12e e u r u u r 、是两个单位向量，它们的夹角是ο60，则1212(2)(32)e e e e -⋅-+=u r u u r u r u u r6.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝ ．7.若向量)4,3(-=a ρ，则与a ρ平行的单位向量为________________ ， 与a ρ垂直的单位向量为______________________。